专题02认识有理数期中复习讲义（核心知识点+典例精讲+分层专项训练）2026-2027学年北师大版七年级数学上册

专题02认识有理数期中复习讲义 ✵复习目标 会用正负数表示具有相反意义的量，掌握有理数两种分类方式，辨析整数、分数。 掌握数轴三要素，能利用数轴表示有理数、比较大小。 理解相反数、绝对值的代数与几何意义，会求一个数的相反数、绝对值。 掌握有理数大小比较方法，能结合数轴化简简单绝对值式子；掌握绝对值非负性模型。 ✵高频题型梳理 题型1.正负数的定义及实际应用 题型2.相反意义的量 题型3.有理数的定义、分类及0的意义 题型4.数轴三要素及用数轴上的点表示有理数 题型5.有理数大小比较 题型6.相反数的定义，多重符号化简、相反数的应用 题型7.求一个数的绝对值及绝对值的几何意义、非负性 题型8.数轴上点的平移问题 题型9.绝对值的综合应用 题型10.数轴动点综合、整点覆盖、规律探究问题 题型11.分层专项训练 ✵核心知识梳理 知识点一、正数与负数 正数：大于0的数，“+” 可以省略。 负数：在正数前面添上负号 “-” 的数，负数小于 0。 0 既不是正数，也不是负数，是正数与负数的分界。 相反意义的量：规定其中一类量为正，则与之意义相反的量记为负。 知识点二、有理数及其分类 有理数定义：整数和分数统称为有理数。 整数：正整数、0、负整数统称为整数。 分数：正分数、负分数统称为分数。有限小数、无限循环小数都可以化为分数，属于有理数；无限不循环小数不能化为分数，不属于有理数（如π）。 分类方式：（1）按正负性分类：有理数分为正有理数、0、负有理数。其中正有理数包含正整数、正分数；负有理数包含负整数、负分数。（2）按定义分类：有理数分为整数、分数。 知识点三、数轴 定义：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。 三要素：原点、正方向、单位长度，三者缺一不可。 性质：任何一个有理数都可以用数轴上唯一的一个点表示；数轴上右边的点表示的数总比左边的大。 知识点四、相反数 定义：只有符号不同的两个数互为相反数。特别地，0的相反数是0。 几何意义：在数轴上，互为相反数的两个点位于原点两侧，且到原点的距离相等；0的相反数是0，对应点就是原点。 代数性质：a的相反数是-a；a+b=0 ⟺ a,b互为相反数。 知识点五、绝对值 定义：数轴上一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值，记作|a|。 代数法则：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。 性质：绝对值具有非负性，|a|≥0；互为相反数的两个数绝对值相等。 补充：若几个非负数的和为0，则每一个非负数都为0；常见模型：|a|+|b|=0 ⟹ a=0,b=0。 知识点六、有理数大小比较 数轴比较法：右边的数大于左边的数。 符号比较：正数>0>负数。 负数比较：两个负数比较大小，绝对值大的反而小。 ✵易错提醒 1. 0 是整数，但 0 既不是正数，也不是负数。 2. 数轴三要素缺一不可，单位长度必须统一。 3. 相反数成对出现；0 的相反数是它本身。 4. 绝对值表示距离，结果一定是非负数；去绝对值前先判断内部式子正负。 5. 两个负数比较大小，绝对值大的反而小，容易写反。 6. 有限小数、无限循环小数属于分数，是有理数；π不是有理数。 ✵典例精讲 题型1.正负数的定义及实际应用 1．在，，，，，，这些数中，正数有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查正数和负数，解答本题的关键是掌握正数和负数的定义．根据正负数的定义即可判断． 【详解】解：，是正数； ，是负数； ，是正数； 既不是正数，也不是负数； ，是负数； ，是负数； ，是正数； ∴正数有，，共个； 故选：C． 2．在﹣3、+（﹣3）、﹣|﹣4|、﹣（+2）、-a中，负数的个数有____________个. 【答案】4或5 【分析】根据小于0的数是负数，可得负数的个数． 【详解】−3<0,+(−3)<0,−(−4)<0,−(+2)<0；        -a的判定：当a>0时，-a为负数；                   当a<0时，a为正数. 所以负数个数为4或5. 【点睛】本题考查的是正数和负数的判断，熟练掌握两者的性质是解题的关键. 3．小光一边吃零食一边看风景日历，这时妈妈凑了过来，说：“小光，我们一起来研究日历好吗？日历中可是充满了奥秘呀！”小光一听要探索奥秘，立刻来了精神，因为小光最喜欢探究性的问题了，可是从哪儿入手研究呢？ 星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 小光任意翻开了一张日历，如表所示．经过一番观察，小光发现：日历中每一横行相邻的数字都相差1，而每一竖列相邻的数字都相差7．同学们，你们发现了吗？妈妈告诉小光，有了这个发现，就可以解决日历中的所有问题了． 同学们，小光的妈妈说得对吗？解决有关日历中的问题，还需要哪些数学知识呢？ 【答案】 小光的妈妈说得不对， 解决有关日历的问题还需要知道日历中的日期都是正整数，每周7天，以及每个月的天数（28、29、30或31天）等． 【分析】本题考查了日历中的规律问题．熟练掌握日历表格是解题的关键． 根据日历的排列结构，每月每周天数解答． 【详解】略 题型2.相反意义的量 1．中国是最早采用正负数表示相反意义的量，并进行负数运算的国家．若冰箱保鲜室的温度零上记作，则冷冻室的温度零下记作（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正负数的意义，根据正负数表示一对相反意义的量，零上为正，则零下为负，进行作答即可． 【详解】解：冰箱保鲜室的温度零上记作，则冷冻室的温度零下记作， 故选：C． 2．中国是最早采用正负数表示相反意义的量的国家．成都实行的“新中考”中“引体向上”项目男生满分标准为次，若在平时训练时小成把次记为，则应把次记为______． 【答案】 【分析】本题考查了运用正数和负数表示两个相反意义的量．正确理解正、负数的意义是解题的关键．根据正负数的意义求解即可． 【详解】解：∵“新中考”中“引体向上”项目男生满分标准为次，若在平时训练时小成把次记为， ∴应把次记为， 故答案为：． 3．如图，数轴上的一个点从原点出发沿着数轴先向左移动个单位长度，再向右移动个单位长度，到达原点左边个单位长度处． (1)根据图示你能写出怎样的算式？这个算式的结果与根据运算法则计算得到的结果一致吗？ (2)请你设计一种合适的情境解释的结果． 【答案】(1)结果一致； (2)能，． 【分析】本题考查了数轴，正数负数的意义． 根据正负数的意义可得向左移动表示负数、向右移动表示正数，两数相加即可得到点所到达的位置表示的数； 根据相加的两个数都是负数，可以设置情境为数轴上的点两次都向左移动． 【详解】（1）解：， 结果一致； （2）能， 对于可以解释为数轴上的一个点，从原点出发，沿着数轴先向左移动3个单位长度，再向左移动2个单位长度，到达原点左边5个单位长度处（答案不唯一，言之成理即可） 算式为． 题型3.有理数的定义、分类及0的意义 1．下列说法错误的有（ ） ①非负数就是正整数和零；               ②整数和分数统称为有理数； ③0既不是正数，也不是负数；           ④相反数等于本身的数只有0． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查有理数的分类，有理数的定义，相反数的概念，掌握相关知识是解决问题的关键．根据定义判断各说法的正误． 【详解】解：∵ 非负数包括正数和零，故①错误； ∵ 整数和分数统称为有理数，故②正确； ∵ 0既不是正数也不是负数，故③正确； ∵ 相反数等于本身的数只有0，故④正确． ∴ 错误的说法有1个，故选A． 2．下列对“0”的说法中，正确的是________．（填序号） ①0是正数与负数的分界；②0只表示“什么也没有”；③0可以表示特定的意义，如；④0是正数． 【答案】①③/③① 【分析】根据0的意义，逐一判断即可解答． 【详解】解：①因为正数大于0，负数小于0，所以0是正数与负数的分界，故①正确； ②0除了表示“什么也没有”，还可以表示其他意义，如等，故②错误； ③0可以表示特定的意义，如，故③正确； ④0既不是正数，也不是负数，故④错误． 综上所述，正确的是①③． 3．把下列各数分别填入相应的括号里： ，，，，，，，，，． 正有理数：{__________________…}； 负有理数：{__________________…}； 整数：{______________________…}； 负分数：{______________________…}． 【答案】 正有理数：{，，，， …} 负有理数：{，，， …} 整数：{，， …} 负分数：{，， …} 【详解】解：因为，， 所以正有理数：{，，，， …} 负有理数：{，，， …} 整数：{，， …} 负分数：{，， …}． 题型4.数轴三要素及用数轴上的点表示有理数 1．给出下列结论：一个有理数的倍大于这个有理数；绝对值最小的整数是；规定了原点和单位长度的直线叫数轴；如果，那么；不是正数的数一定是负数．其中正确结论的个数为（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】根据数轴和绝对值的性质即可求解． 【详解】解：①若一个有理数为负数，则这个有理数的3倍小于这个有理数，故①不正确； ②绝对值最小的整数是0，故②正确； ③规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴，故③不正确； ④如果，那么，故④不正确； ⑤不是正数的数是负数或0，故⑤不正确； 综上所述，正确的个数为1个， 故选：A． 【点睛】本题考查了数轴的性质，用几何方法借助数轴来求解，非常直观，且不容易遗漏，体现了数形结合的优点． 2．在数轴上，点A、B分别表示数a、b，且，，若点A在点B的左侧，则的值为______． 【答案】或 【分析】本题考查绝对值与数轴的有关知识，解题的关键是掌握绝对值的定义；根据题意可得，；再根据表示的点在表示的点的左侧，说明比小，这样即可求得的值． 【详解】解：∵，， ∴，， 又∵点A在点B的左侧， ∴， 分情况讨论： ①当时，要满足，则，此时； ②当时，要满足，则，此时（, 时，，不合题意，舍去）， 综上，的值为或． 3．在下面数轴上表示下列各数，并用“<”号把这些数按从小到大的顺序连接起来． ，，，． 【答案】 【详解】解：， ．把各数表示在数轴上， 用“<”号把这些数按从小到大的顺序连接起来得： ． 题型5.有理数大小比较 1．、是有理数，且，，，则下图符合条件的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据绝对值非负，确定a、b的符号即可作答． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，，， ∴，即点a在原点左侧，且距离原点更远， 故选C． 2．若，则中最小的是_______． 【答案】 【分析】先想数轴上表示出，再比较大小即可． 【详解】解：如图， 由在数轴上的位置可知，， ∴中最小的是． 3．如图，数轴上的相邻两个刻度之间的距离为1个单位长度，点．表示的数互为相反数． (1)点表示的数是__________． (2)在数轴上标出原点的位置，并将，，在数轴上表示出来． (3)将（2）中的各数按由小到大的顺序用“”连接起来． 【答案】(1) (2)解：∵点，表示的数互为相反数，， ∴原点是线段的中点，画图如下： (3)解：由题意知，． 【分析】（1）首先确定原点，然后解答即可． （2）根据相反数的意义，确定原点，化简，然后再在数轴上表示出来即可． （3）根据数轴上靠近右边的数大于其左边的数，比较解答即可． 【详解】（1）解：∵点，表示的数互为相反数， ∴原点是线段的中点， ∵，之间是4个刻度， ∴点表示的数为， ∴点表示的数为． （2）略； （3）略． 题型6.相反数的定义，多重符号化简、相反数的应用 1．化简_______． 【答案】 【分析】从最内层括号开始逐层去括号化简． 【详解】解：， 代入中括号内的表达式可得 ：， 代入大括号内的表达式可得 ：． 2．（1）已知|x5| + | y4|=0，求x，y的值.     （2）已知a、b互为相反数，| c2021|=0，求a+b+c的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据绝对值的非负性求得的值，即可求解； （2）根据相反数的定义，绝对值的非负性，进而即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）∵a、b互为相反数，| c2021|=0， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了绝对值的非负性，相反数的性质，掌握绝对值的非负性是解题的关键． 3．下列各组数中，互为相反数的是（     ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】根据相反数的概念求解即可． 【详解】解：A、，不互为相反数，故不符合题意； B、，不互为相反数，不符合题意； C、与不互为相反数，不符合题意； D、，，互为相反数，符合题意． 题型7.求一个数的绝对值及绝对值的几何意义、非负性 1．已知，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵， ∴， ∴． 2．如果，那么=_______． 【答案】 【分析】根据绝对值的定义，绝对值为正数的数有两个，且互为相反数，据此求解． 【详解】解：根据绝对值的定义可知，若一个数的绝对值是正数，满足条件的数有两个，且互为相反数， ， 或 ，即 ． 3．已知：与互为相反数，求x和y的值． 【答案】， 【分析】本题考查的是绝对值的非负性、相反数的性质，掌握相反数的两个数之和为0、有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零是解题的关键．根据相反数的两个数之和为0列出算式，根据非负数的性质求出x、y的值即可． 【详解】解：由题意得，， 则，， ∴，． 题型8.数轴上点的平移问题 1．在数轴上点表示，将点向右移动个单位长度得到点，则点表示的数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵在数轴上点表示，将点向右移动个单位长度得到点， ∴点表示的数为． 2．如图所示，已知正方形的边长为1，在数轴上的位置如图所示，点表示的数为0，点表示的数为． （1）将正方形从如图所示的位置沿数轴向左滚动一圈（滚动一圈指线段再次落在数轴上），则点表示的数是______； （2）将正方形从如图所示位置沿数轴向右滚动，则数2025表示的点与点______重合． 【答案】 【分析】此题主要考查数轴的特点，解题的关键是根据题意得到正方形滚动一周，正方形的顶点移动4个单位． （1）根据正方形滚动1周后点的位置得出点对应的数； （2）根据正方形滚动的规律，得到经过数轴上的数的点． 【详解】（1）由题可得，正方形向左滚动一周，正方形的顶点向左移动4个单位， 所以正方形向左滚动一周后，点对应的数为：， 故答案为：； （2）∵ 所以将正方形从如图所示位置沿数轴向右滚动，数2025表示的点与点B重合； 故答案为：． 3．如图，在数轴上有三个点，，，请回答下列问题： (1)点，，表示的数分别为 ， ， ； (2)点，，表示的数的相反数分别为 ， ， ； (3)将点向左移动个单位长度后，其对应点所表示的数的相反数是 ； (4)将点向某个方向移动个单位长度后，其对应点所表示的数的绝对值是 ． 【答案】(1)，， (2)，， (3)5 (4)或 【分析】本题考查了数轴上的点，相反数的定义． （1）直接根据数轴作答即可； （2）直接根据相反数的定义作答即可； （3）先求出点所表示的数，再求其相反数即可； （4）先求出点所表示的数，再求其绝对值即可． 【详解】（1）解：点，，表示的数分别为，，； 故答案为：，，； （2）解：点，，表示的数的相反数分别为，，； 故答案为：，，； （3）解：将点向左移动个单位长度后，其对应点所表示的数为，相反数是； 故答案为：； （4）解：将点向右移动个单位长度后，其对应点所表示的数为，绝对值是． 将点向左移动个单位长度后，其对应点所表示的数为，绝对值是． 故答案为：或． 题型9.绝对值的综合应用 1．绝对值小于但不小于的整数有（     ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【详解】解：，设符合条件的整数为， 由题意得， ∵为整数， ∴可取， 对应整数为，共6个． 2．的最小值为______ 【答案】15 【分析】本题考查绝对值及数轴上点的距离，题目难度较大，解题关键理解绝对值的几何意义．数轴上有奇数个点，到这些点距离之和最小的点即是正中间那个点，据此求解即可． 【详解】解：可以看成数轴上一个表示的点到1个、个、3个、4个、5个的距离之和，共个点， ∵数轴上有奇数个点，到这些点距离之和最小的点即是正中间那个点，15个点正中间的是第8个点， ∴当时，有最小值， 最小值， 故答案为：． 3．检查5个篮球的质量，把超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，检查的结果如下表： 篮球编号 1 2 3 4 5 与标准质量的差/g (1)最接近标准质量的是几号篮球； (2)如果对两个篮球作上述检查，检查的结果分别为和，请利用学过的绝对值的知识指出哪个篮球的质量好一些？ 【答案】(1)3号篮球 (2) 由题意得： 如果，那么结果为的质量好一些； 如果，那么结果为的质量好一些； 如果，那么两个篮球的质量一样好． 【分析】本题考查了绝对值的应用，理解绝对值的意义，能用绝对值解决实际问题是解题的关键． （1）比较，即可求解； （2）根据绝对值的大小，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得： ∵， ∴3号篮球最接近标准质量； （2） 略 题型10.数轴动点综合、整点覆盖、规律探究问题 1．数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长为厘米的线段，则线段盖住的整点的个数是（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】线段的端点位置不确定，需分在整点、不在整点两类情况讨论． 【详解】解：分两种情况讨论： ①当线段的起点在整点时，覆盖的整点个数为； ②当线段的起点不在整点，即在两个整点之间时，覆盖的整点个数为． 2．如图，已知四个有理数在数轴上的对应点、、、，若点、表示的有理数互为相反数，则、、、四个点中所表示的数的绝对值最小的是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【分析】本题考查了数轴、相反数以及绝对值的意义，解题的关键是确定原点的位置． 由“点、表示的有理数互为相反数”可知原点为、的中点，再根据离原点越近，绝对值越小即可解答． 【详解】解：∵点、表示的有理数互为相反数， ∴原点的位置大约在点， ∴绝对值最小的数的点是点， 故选：B． 3．综合与探究 数轴是初中数学的一个重要工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础． 【定义】 一个点（不是原点）在数轴上运动，第一次跳到的位置（点与点表示的数互为相反数），点称为点的一次跳跃点，紧接着从跳到的位置（点与点位于点的两侧，且，则点称为点关于点的二次跳跃点． 【初步理解】 (1)如图1，若点表示的数是，点表示的数是6，则点的一次跳跃点表示的数是________，点关于点的二次跳跃点表示的数是________，线段的长度为________． 【深入探究】 (2)如图2，若点是数轴正半轴上的一个点，点是数轴负半轴上的一个点，点为点关于点的二次跳跃点．若点，点表示的数分别是，，当变化时，探究线段的值是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由． 【归纳总结】 (3)若在数轴上点，分别表示有理数，（其中，，点为点关于点的二次跳跃点，直接写出线段的长度． 【答案】(1)2，10， 12 (2)不变；10 (3) 【分析】（1）根据相反数的意义即可求出表示的数；根据数轴上两点的距离求出的长度，利用，结合表示的数，求出表示的数，根据数轴两点距离公式，从而求出长度． （2）根据相反数的意义即可求出表示的数；根据数轴上两点的距离求出的长度，利用，结合表示的数，求出表示的数，根据数轴两点距离公式，从而求出长度． （3）根据相反数的意义即可求出表示的数；根据数轴上两点的距离求出的长度，利用，结合表示的数，求出表示的数，根据数轴两点距离公式，从而求出长度． 【详解】（1）解： 点表示的数是，点与点表示的数互为相反数， 表示的数是． 表示的数是6， ， ， ， ，（舍去，与重合） 表示的数是． ． （2）解：设为点的第一次跳跃，表示的数是， 表示的数是， 表示的数是，， ， ， ， ，（舍去，与重合） ． 不管怎么变化，为固定值，且是10． （3）解：设为点的第一次跳跃，表示的数是， 表示的数是， 表示的数是， ， ， ，（舍去，与重合） ． ✵分层专项训练 一、单选题 1．下列说法正确的有（    ） ①不仅是有理数，而且是分数； ②互为相反数，则； ③如果一个数的绝对值是它本身，那么这个数一定是正数． A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 【答案】A 【详解】解：①∵π不是有理数， ∴不是有理数，也不是分数． ∴①说法错误． ②∵，互为相反数，且， ∴，且， ∴． ∴②说法正确． ③∵0的绝对值是0，即0的绝对值也是它本身， ∴绝对值是它本身的数是正数和0，并非只有正数． ∴③说法错误． 综上，正确的说法共1个． 2．如图，点表示的有理数是，则，，的大小顺序为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点在数轴上的位置，结合数轴上的数左边比右边的大，进行比较即可． 【详解】解：由图可知：， 所以， ∴． 故选A． 3．已知，是有理数，，，且，若把，，，按照从大到小的顺序排列，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据相反数的定义可得，，可得，，再根据，可得，，即可得结论． 【详解】解：，， ，， ∴，， ， ，， ． 4．下列说法中正确的个数为（     ） ①若，则；        ②如果，则； ③若，则；    ④若，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】结合绝对值的性质判断各说法，错误命题可通过举反例快速验证． 【详解】解：①，，该说法正确，符合题意； ②举反例：取，，满足，但，该说法错误，不符合题意； ③，或，该说法错误，不符合题意； ④，，该说法正确，符合题意； 综上，正确的说法共2个． 二、填空题 5．武汉冬季某一天的最高气温为零上，记作，那么这天的最低气温零下可以记作______． 【答案】 【分析】考查的是有关正数、负数在生活中应用，熟练掌握考查的是有关正数、负数在生活中应用的知识是解题的关键； 根据正数、负数在生活中应用即可求解； 【详解】解：某一天的最高气温为零上，记作， 最低气温零下可以记作， 故答案为： 6．下列对“0”的说法中，正确的是________．（填序号） ①0是正数与负数的分界；②0只表示“什么也没有”；③0可以表示特定的意义，如；④0是正数． 【答案】①③/③① 【分析】根据0的意义，逐一判断即可解答． 【详解】解：①因为正数大于0，负数小于0，所以0是正数与负数的分界，故①正确； ②0除了表示“什么也没有”，还可以表示其他意义，如等，故②错误； ③0可以表示特定的意义，如，故③正确； ④0既不是正数，也不是负数，故④错误． 综上所述，正确的是①③． 7．比较大小（填“”、“”、“”）： ________；________；________． 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的大小比较． 根据负数，绝对值大的反而小；先化简表达式，再比较大小即可． 【详解】解：比较和： ，， 由于，所以， 即． 比较和： ，， 由于，所以． 比较和： ，所以， ， 由于，所以． 故答案为：，，． 8．下面说法正确的有______（填序号） （1）正整数和负整数统称有理数；（2）0既不是正数，又不是负数；（3）正数和负数统称有理数；（4）相反数等于它本身的数是不存在的；（5）互为相反数的两个数在数轴上对应的两个点到原点的距离相等；（6）若一个数是有理数，则这个数不是分数就是整数． 【答案】（2）（5）（6） 【分析】根据有理数的分类、相反数的定义、0的性质，逐一判断每个说法即可． 【详解】解：（1）说法错误，有理数包含整数和分数，整数包括正整数、、负整数，因此正整数和负整数不能统称有理数； （2）说法正确，既不是正数，又不是负数； （3）说法错误，也是有理数，因此正数和负数不能统称有理数； （4）说法错误，相反数等于它本身的数是，是存在的； （5）说法正确，互为相反数的两个数绝对值相等，因此它们在数轴上对应的两个点到原点的距离相等； （6）说法正确，有理数按定义分为整数和分数，因此若一个数是有理数，则这个数不是分数就是整数． 三、解答题 9．已知一列数：，0，． (1)请将上面各数填入大括号内． 负有理数：{                  …}； (2)请在如图所示的数轴上标出表示题干中的整数的点，并用“”将这些整数连接起来． 【答案】(1)｛，，，，…｝； (2)； 【分析】（1）先化简绝对值，然后利用负有理数的定义解答即可； （2）先确定题干中的整数，0，，1；再在数轴上表示出来，最后从小到大排列并用“”连接即可． 【详解】（1）解： ，，负有理数是小于0的有理数， 负有理数： （2）解： 化简各绝对值：，， 题干中的整数：，0，，1； 在数轴上标出 对应的点 <>． ∵数轴上左边的数小于右边的数， ，即． 10．如下图，在数轴上有三个点A，B，C，请回答下列问题： (1)将点B向左平移3个单位长度后，三个点所表示的数谁最小？是多少？ (2)怎样移动A，B两点中的一个点，才能使这两个点所表示的数互为相反数？请列举出所有移动方式． (3)怎样移动A，B，C三点中的两个点，才能使三个点所表示的数都相同？请列举出所有移动方式． 【答案】(1)点B所表示的数最小，是 (2) 解：要移动两点中的一个点，使这两个点所表示的数互为相反数． ①点不动，将点向右平移个单位长度； ②点不动，将点向右平移个单位长度． (3) 解：要移动三点中的两个点，使三个点所表示的数都相同． ①点不动，将点向左平移个单位长度，点向左平移个单位长度； ②点不动，将点向右平移个单位长度，点向左平移个单位长度； ③点不动，将点向右平移个单位长度，点向右平移个单位长度， 【分析】本题考查了数轴以及数轴上点的移动和数的大小改变规律：左减右加． （1）根据题意可得出三点所表示的数，再得出将点沿数轴向左移动个单位长度后表示的数，再比较出各数的大小即可； （2）分不动，移动；不动，移动两种情况讨论即可得出； （3）移动三个数中的两点，使个数重合即可；即①把两点移到点处；②把两点移到点处；③把两点移到点处． 【详解】（1）解：将点向左平移个单位长度后，点所表示的数为． ， 点所表示的数最小，是． （2）略 （3）略 11．阅读与思考：认识绝对值 【阅读理解】如下图：两辆巡护车从长治市太行街中点同时出发，一辆向东行驶千米，另一辆向西行驶千米．规定向东为正方向，向西为负方向，则向东记作千米，向西记作千米．我们发现：它们的行驶方向不同，行驶的路程不同，离出发点的距离也不同，分别是千米和千米． 数轴上表示一个数的点到原点的距离，叫做这个数的绝对值，记作“”． 例如：，， 【思考提升】 (1)填空： ①________②________③________④________ 我们发现：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是去掉负号后的数；的绝对值是． 绝对值永远不会是_____________．（填“正数”“”“负数”） (2)长治市太行街道路巡护车从市政府（原点）出发巡查，向东为正方向，向西为负方向，当天行驶记录如下：，，，（单位：千米） ①请你先填写每次行驶路程的绝对值，再求出巡护车当天总共行驶了多少千米？ 次序 第一次 第二次 第三次 第四次 路程（千米） 绝对值 ②如果巡护车每行驶千米耗油升，当天巡护车耗油多少升？ ③道路巡护车巡查结束后，会停在什么位置？ 【答案】(1)①；②；③；④；负数 (2)①8，5，3，6；22千米；②2.2升；③市政府（原点） 【分析】（1）根据绝对值的定义和规律，即可求解； （2）①根据绝对值的定义求出每次行驶的路程的绝对值，再把这些绝对值相加，即可求解； ②根据每行驶千米耗油升，乘以总路程即可求出总耗油量； ③根据向东为正，向西为负，把每次行驶的路程相加，再判断巡查结束后，会停在什么位置即可． 【详解】（1）解：由绝对值的定义可得，，，，， 由绝对值计算结果规律可得，绝对值永远不会是负数． （2）解：① 次序 第一次 第二次 第三次 第四次 绝对值 总路程（千米）． ②总耗油量（升）． ③∵， ∴道路巡护车巡查结束后，会停在市政府（原点）． 12．（1）同学们知道，正数的绝对值是它本身，零的绝对值是零，负数的绝对值是它的相反数，在这一学习过程中，主要体现的数学思想有________________ A． 数形结合思想 B． 转化思想 C． 方程思想 D． 分类讨论思想 回答下列问题： （2）若，求x的值． （3）若，求y的值． （4）当__________时，有最小值，最小值为__________． （5）当取最小值时，求x，y的值． 【答案】（1）D （2）（3）1（4）1，0 （5） 【分析】（1）按照正数，负数，零三种情形解答，体现了分类的思想，解答即可． （2）根据题意，分类解答即可． （3）根据，解答即可． （4）根据，得到最小值为0，此时解答即可． （5）根据，得到，得到时，取得最小值，解答即可． 本题考查了分类思想，绝对值的非负性，应用非负性求最小值，一元一次方程的应用，熟练掌握非负性是解题的关键． 【详解】（1）解：按照正数，负数，零三种情形解答，体现了分类的思想， 故选：D． （2）解：∵， ∴时，； 时，，解得； 故x的值为． （3）解：根据，得，， 解得， 故y的值为1． （4）解：根据，得到时，取得最小值，且最小值为0， 故， 解得； 故当x的值为1,取得最小值，且最小值为0． （5）解：根据题意，得， 故， 故时，取得最小值， 此时， 解得， 故． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02认识有理数期中复习讲义 ✵复习目标 · 会用正负数表示具有相反意义的量，掌握有理数两种分类方式，辨析整数、分数。 · 掌握数轴三要素，能利用数轴表示有理数、比较大小。 · 理解相反数、绝对值的代数与几何意义，会求一个数的相反数、绝对值。 · 掌握有理数大小比较方法，能结合数轴化简简单绝对值式子；掌握绝对值非负性模型。 ✵高频题型梳理 题型1.正负数的定义及实际应用 题型2.相反意义的量 题型3.有理数的定义、分类及0的意义 题型4.数轴三要素及用数轴上的点表示有理数 题型5.有理数大小比较 题型6.相反数的定义，多重符号化简、相反数的应用 题型7.求一个数的绝对值及绝对值的几何意义、非负性 题型8.数轴上点的平移问题 题型9.绝对值的综合应用 题型10.数轴动点综合、整点覆盖、规律探究问题 题型11.分层专项训练 ✵核心知识梳理 知识点一、正数与负数 正数：大于0的数，“+” 可以省略。 负数：在正数前面添上负号 “-” 的数，负数小于 0。 0既不是正数，也不是负数，是正数与负数的分界。 相反意义的量：规定其中一类量为正，则与之意义相反的量记为负。 知识点二、有理数及其分类 有理数定义：整数和分数统称为有理数。 整数：正整数、0、负整数统称为整数。 分数：正分数、负分数统称为分数。有限小数、无限循环小数都可以化为分数，属于有理数；无限不循环小数不能化为分数，不属于有理数（如π）。 分类方式：（1）按正负性分类：有理数分为正有理数、0、负有理数。其中正有理数包含正整数、正分数；负有理数包含负整数、负分数。（2）按定义分类：有理数分为整数、分数。 知识点三、数轴 定义：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。 三要素：原点、正方向、单位长度，三者缺一不可。 性质：任何一个有理数都可以用数轴上唯一的一个点表示；数轴上右边的点表示的数总比左边的大。 知识点四、相反数 定义：只有符号不同的两个数互为相反数。特别地，0的相反数是0。 几何意义：在数轴上，互为相反数的两个点位于原点两侧，且到原点的距离相等；0的相反数是0，对应点就是原点。 代数性质：a的相反数是-a；a+b=0 ⟺ a,b互为相反数。 知识点五、绝对值 定义：数轴上一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值，记作|a|。 代数法则：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。 性质：绝对值具有非负性，|a|≥0；互为相反数的两个数绝对值相等。 补充：若几个非负数的和为0，则每一个非负数都为0；常见模型：|a|+|b|=0 ⟹ a=0,b=0。 知识点六、有理数大小比较 数轴比较法：右边的数大于左边的数。 符号比较：正数>0>负数。 负数比较：两个负数比较大小，绝对值大的反而小。 ✵易错提醒 1. 0 是整数，但 0 既不是正数，也不是负数。 2. 数轴三要素缺一不可，单位长度必须统一。 3. 相反数成对出现；0 的相反数是它本身。 4. 绝对值表示距离，结果一定是非负数；去绝对值前先判断内部式子正负。 5. 两个负数比较大小，绝对值大的反而小，容易写反。 6. 有限小数、无限循环小数属于分数，是有理数；π不是有理数。 ✵典例精讲 题型1.正负数的定义及实际应用 1．在，，，，，，这些数中，正数有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 2．在﹣3、+（﹣3）、﹣|﹣4|、﹣（+2）、-a中，负数的个数有____________个. 3．小光一边吃零食一边看风景日历，这时妈妈凑了过来，说：“小光，我们一起来研究日历好吗？日历中可是充满了奥秘呀！”小光一听要探索奥秘，立刻来了精神，因为小光最喜欢探究性的问题了，可是从哪儿入手研究呢？ 星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 小光任意翻开了一张日历，如表所示．经过一番观察，小光发现：日历中每一横行相邻的数字都相差1，而每一竖列相邻的数字都相差7．同学们，你们发现了吗？妈妈告诉小光，有了这个发现，就可以解决日历中的所有问题了． 同学们，小光的妈妈说得对吗？解决有关日历中的问题，还需要哪些数学知识呢？ 题型2.相反意义的量 1．中国是最早采用正负数表示相反意义的量，并进行负数运算的国家．若冰箱保鲜室的温度零上记作，则冷冻室的温度零下记作（    ） A． B． C． D． 2．中国是最早采用正负数表示相反意义的量的国家．成都实行的“新中考”中“引体向上”项目男生满分标准为次，若在平时训练时小成把次记为，则应把次记为______． 3．如图，数轴上的一个点从原点出发沿着数轴先向左移动个单位长度，再向右移动个单位长度，到达原点左边个单位长度处． (1)根据图示你能写出怎样的算式？这个算式的结果与根据运算法则计算得到的结果一致吗？ (2)请你设计一种合适的情境解释的结果． 题型3.有理数的定义、分类及0的意义 1．下列说法错误的有（ ） ①非负数就是正整数和零；               ②整数和分数统称为有理数； ③0既不是正数，也不是负数；           ④相反数等于本身的数只有0． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．下列对“0”的说法中，正确的是________．（填序号） ①0是正数与负数的分界；②0只表示“什么也没有”；③0可以表示特定的意义，如；④0是正数． 3．把下列各数分别填入相应的括号里： ，，，，，，，，，． 正有理数：{__________________…}； 负有理数：{__________________…}； 整数：{______________________…}； 负分数：{______________________…}． 题型4.数轴三要素及用数轴上的点表示有理数 1．给出下列结论：一个有理数的倍大于这个有理数；绝对值最小的整数是；规定了原点和单位长度的直线叫数轴；如果，那么；不是正数的数一定是负数．其中正确结论的个数为（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．在数轴上，点A、B分别表示数a、b，且，，若点A在点B的左侧，则的值为______． 3．在下面数轴上表示下列各数，并用“<”号把这些数按从小到大的顺序连接起来． ，，，． 题型5.有理数大小比较 1．、是有理数，且，，，则下图符合条件的是（     ） A． B． C． D． 2．若，则中最小的是_______． 3．如图，数轴上的相邻两个刻度之间的距离为1个单位长度，点．表示的数互为相反数． (1)点表示的数是__________． (2)在数轴上标出原点的位置，并将，，在数轴上表示出来． (3)将（2）中的各数按由小到大的顺序用“”连接起来． 题型6.相反数的定义，多重符号化简、相反数的应用 1．化简_______． 2．（1）已知|x5| + | y4|=0，求x，y的值.     （2）已知a、b互为相反数，| c2021|=0，求a+b+c的值． 3．下列各组数中，互为相反数的是（     ） A．与 B．与 C．与 D．与 题型7.求一个数的绝对值及绝对值的几何意义、非负性 1．已知，则的值是（    ） A． B． C． D． 2．如果，那么=_______． 3．已知：与互为相反数，求x和y的值． 题型8.数轴上点的平移问题 1．在数轴上点表示，将点向右移动个单位长度得到点，则点表示的数是（     ） A． B． C． D． 2．如图所示，已知正方形的边长为1，在数轴上的位置如图所示，点表示的数为0，点表示的数为． （1）将正方形从如图所示的位置沿数轴向左滚动一圈（滚动一圈指线段再次落在数轴上），则点表示的数是______； （2）将正方形从如图所示位置沿数轴向右滚动，则数2025表示的点与点______重合． 3．如图，在数轴上有三个点，，，请回答下列问题： (1)点，，表示的数分别为 ， ， ； (2)点，，表示的数的相反数分别为 ， ， ； (3)将点向左移动个单位长度后，其对应点所表示的数的相反数是 ； (4)将点向某个方向移动个单位长度后，其对应点所表示的数的绝对值是 ． 题型9.绝对值的综合应用 1．绝对值小于但不小于的整数有（     ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 2．的最小值为______ 3．检查5个篮球的质量，把超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，检查的结果如下表： 篮球编号 1 2 3 4 5 与标准质量的差/g (1)最接近标准质量的是几号篮球； (2)如果对两个篮球作上述检查，检查的结果分别为和，请利用学过的绝对值的知识指出哪个篮球的质量好一些？ 题型10.数轴动点综合、整点覆盖、规律探究问题 1．数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长为厘米的线段，则线段盖住的整点的个数是（     ） A． B． C．或 D．或 2．如图，已知四个有理数在数轴上的对应点、、、，若点、表示的有理数互为相反数，则、、、四个点中所表示的数的绝对值最小的是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 3．综合与探究 数轴是初中数学的一个重要工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础． 【定义】 一个点（不是原点）在数轴上运动，第一次跳到的位置（点与点表示的数互为相反数），点称为点的一次跳跃点，紧接着从跳到的位置（点与点位于点的两侧，且，则点称为点关于点的二次跳跃点． 【初步理解】 (1)如图1，若点表示的数是，点表示的数是6，则点的一次跳跃点表示的数是________，点关于点的二次跳跃点表示的数是________，线段的长度为________． 【深入探究】 (2)如图2，若点是数轴正半轴上的一个点，点是数轴负半轴上的一个点，点为点关于点的二次跳跃点．若点，点表示的数分别是，，当变化时，探究线段的值是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由． 【归纳总结】 (3)若在数轴上点，分别表示有理数，（其中，，点为点关于点的二次跳跃点，直接写出线段的长度． ✵分层专项训练 一、单选题 1．下列说法正确的有（    ） ①不仅是有理数，而且是分数； ②互为相反数，则； ③如果一个数的绝对值是它本身，那么这个数一定是正数． A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 2．如图，点表示的有理数是，则，，的大小顺序为（     ） A． B． C． D． 3．已知，是有理数，，，且，若把，，，按照从大到小的顺序排列，正确的是（     ） A．B． C． D． 4．下列说法中正确的个数为（     ） ①若，则；        ②如果，则； ③若，则；    ④若，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 5．武汉冬季某一天的最高气温为零上，记作，那么这天的最低气温零下可以记作______． 6．下列对“0”的说法中，正确的是________．（填序号） ①0是正数与负数的分界；②0只表示“什么也没有”；③0可以表示特定的意义，如；④0是正数． 7．比较大小（填“”、“”、“”）： ________；________；________． 8．下面说法正确的有______（填序号） （1）正整数和负整数统称有理数；（2）0既不是正数，又不是负数；（3）正数和负数统称有理数；（4）相反数等于它本身的数是不存在的；（5）互为相反数的两个数在数轴上对应的两个点到原点的距离相等；（6）若一个数是有理数，则这个数不是分数就是整数． 三、解答题 9．已知一列数：，0，． (1)请将上面各数填入大括号内． 负有理数：{                  …}； (2)请在如图所示的数轴上标出表示题干中的整数的点，并用“”将这些整数连接起来． 10．如下图，在数轴上有三个点A，B，C，请回答下列问题： (1)将点B向左平移3个单位长度后，三个点所表示的数谁最小？是多少？ (2)怎样移动A，B两点中的一个点，才能使这两个点所表示的数互为相反数？请列举出所有移动方式． (3)怎样移动A，B，C三点中的两个点，才能使三个点所表示的数都相同？请列举出所有移动方式． 11．阅读与思考：认识绝对值 【阅读理解】如下图：两辆巡护车从长治市太行街中点同时出发，一辆向东行驶千米，另一辆向西行驶千米．规定向东为正方向，向西为负方向，则向东记作千米，向西记作千米．我们发现：它们的行驶方向不同，行驶的路程不同，离出发点的距离也不同，分别是千米和千米． 数轴上表示一个数的点到原点的距离，叫做这个数的绝对值，记作“”． 例如：，， 【思考提升】 (1)填空： ①________②________③________④________ 我们发现：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是去掉负号后的数；的绝对值是． 绝对值永远不会是_____________．（填“正数”“”“负数”） (2)长治市太行街道路巡护车从市政府（原点）出发巡查，向东为正方向，向西为负方向，当天行驶记录如下：，，，（单位：千米） ①请你先填写每次行驶路程的绝对值，再求出巡护车当天总共行驶了多少千米？ 次序 第一次 第二次 第三次 第四次 路程（千米） 绝对值 ②如果巡护车每行驶千米耗油升，当天巡护车耗油多少升？ ③道路巡护车巡查结束后，会停在什么位置？ 12．（1）同学们知道，正数的绝对值是它本身，零的绝对值是零，负数的绝对值是它的相反数，在这一学习过程中，主要体现的数学思想有________________ A． 数形结合思想 B． 转化思想 C． 方程思想 D． 分类讨论思想 回答下列问题： （2）若，求x的值． （3）若，求y的值． （4）当__________时，有最小值，最小值为__________． （5）当取最小值时，求x，y的值． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $