第二章《有理数及其运算》知识点及考点总结练习——考点2《数轴、相反数、绝对值》2026-2027学年北师大版数学七年级上册

北师大版七上数学 · 考点讲义系列 北师大版新版数学 · 七年级上册 · 期中知识点及考点讲义系列 第二章 考点 2｜数轴、相反数、绝对值 ——第 2 章〈有理数及其运算〉考点 2—— 讲义定位 内容构成 难度层级 建议使用 期中必考 选择·填空·解答 知识点总结 → 考点分析 → 例题 7 · 变式 12 · 拔高 9 ★☆☆★★★ 阶梯递进 课前预习 / 课后精练 / 考前逐一过关 使用说明 本资料全部 28 道题目均为期末真题或教材经典模型改编。每题均按【答案】【解析】【详解】三段编写，填空题的答案已直接嵌在题目空格中（如 ___±4___），便于边读边核对。 可供课前预习（只读知识点与例题）、课后精练（先做变式再看答案）、考前逐一过关（对照附录自查表打勾）三种方式使用。 本考点为核心概念层考点（★★★），期中必考概念 + 计算小题，是全章运算的图形地基——数轴、相反数、绝对值三者的几何意义必须一图打通。 PART 01 本考点知识点总结（与考点要点保持一致） 考点范围：数轴的三要素与画法（原点、正方向、单位长度），用数轴上的点表示有理数；相反数的定义与表示（a 与 −a 互为相反数，0 的相反数是 0）；绝对值的定义与化简（数轴上表示数 a 的点到原点的距离，|a| ≥ 0）；利用数轴或绝对值比较有理数的大小（两个负数比较：绝对值大的反而小）。 一、数轴 ◆ 数轴三要素：原点、正方向、单位长度——三者缺一不可；规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴； ◆ 任何有理数都可以用数轴上的点表示：正数对应的点在原点右边，负数对应的点在原点左边；同一条数轴上单位长度必须统一。 二、相反数 ◆ 只有符号不同的两个数互为相反数；a 的相反数是 −a，0 的相反数是 0；互为相反数的两个数表示的点关于原点对称； ◆ 多重符号化简：数“−”号的个数——偶数个负号相消为正，奇数个负号为负，如 −(−7) = 7，−[−(−5)] = −5。 三、绝对值 ◆ 数轴上表示数 a 的点到原点的距离叫做 a 的绝对值，记作 |a|；|a| ≥ 0；正数的绝对值是它本身，0 的绝对值是 0，负数的绝对值是它的相反数； 数轴·相反数·绝对值对照速记表 类型 核心内容 常见例子 易错点 数轴 原点、正方向、单位长度三要素 画数轴并表示 −3，0，2，− 三要素缺一不可；单位长度不统一 相反数 只有符号不同的两个数；0 的相反数是 0 3 与 −3 互为相反数；−(−7) = 7 −0 就是 0；多重符号数负号个数 绝对值 点到原点的距离；|a| ≥ 0 |−4| = 4；|+3.5| = 3.5 −|−2| = −2，先定号再定值 比较大小 右边大于左边；负数绝对值大的反而小 −3 < −1；− > − 两个负数直接比数字大小是错的 隐含性质 |a| ≥ 0；|a|+|b|=0 ⇒ a、b 都为 0 |m−3|+|n+2|=0 ⇒ m=3，n=−2 漏“每个都为 0”是中档题失分点 ◆ 绝对值等于它本身的数是非负数；绝对值等于它的相反数的数是非正数；|−a| = |a|——绝对值只看距离、不看方向。 四、用数轴比较大小与隐含性质 ◆ 数轴上右边的点表示的数总比左边的大——正数 > 0 > 负数；两个负数比较，绝对值大的反而小；◆ 隐含性质：|a| ≥ 0，因此 |a| + |b| = 0 当且仅当 a = 0 且 b = 0（非负数性质求参，按考纲取舍，常见中档题）。 PART 02 考点分析：特点 · 答题方法 · 注意事项 考点特点 概念 + 计算双线考查：数轴三要素、相反数、绝对值的定义属于概念线，|a| 的化简、多重符号化简属于计算线，期中卷两条线各占 1~2 道； 几何意义是灵魂：相反数是“关于原点对称”，绝对值是“到原点的距离”——凡涉及 a、−a、|a| 的抽象题，先在数轴上定位置再下结论； 0 依然是高频陷阱：0 的相反数是 0、|0| = 0；绝对值等于它本身的数是“非负数”而非“正数”。 答题方法（三步法） 第一步·定位置：能画数轴就画数轴——把题中涉及的数（或 a、b 的位置）先标到数轴上，位置一清，正负、距离、对称全部现形； 第二步·定符号：化简 |±a|、−(−a) 时先判断符号内数的正负（或 a 的正负），再按“正数是本身、0 是 0、负数是相反数”处理； 第三步·验双解：凡问“距离等于 r 的点”“|x| = k 的值”，默认检查左右两个解——r > 0 时必有两解，漏负解是最常见失分。 注意事项（易错警示） “绝对值等于它本身的数”是“非负数”而非“正数”——0 也算；同理“绝对值等于它的相反数的数”是“非正数”； 两个负数比较大小，误按绝对值直接比较——正确口径是“绝对值大的反而小”； −|−a| 与 |−a| 不同：先算绝对值，再添外面的负号；多重符号化简一律先算内层再算外层； 数轴上两点间的距离是“大数减小数”（结果非负），距离没有负数。 期中常见考法速览 题型 考什么 常见设问 难度 数轴判读 三要素、点与数的对应 “数轴上表示 −3 的点在原点的____侧” ★☆☆ 相反数 求相反数、多重符号化简 “−(−6) = ______” ★☆☆ 绝对值化简 |±a| 的化简（嵌套不超过一层） “−|−2| = ______” ★★☆ 比较大小 数轴或绝对值法比较有理数大小 “比较 − 与 − 的大小” ★★☆ 非负数求参 |a|+|b|=0 型隐含条件（按考纲取舍） “|m−3|+|n+2|=0，则 m+n = ______” ★★★ 命题边界：本考点考数轴三要素与点数对应、相反数与多重符号化简、绝对值的化简与性质、利用数轴或绝对值比较有理数的大小；绝对值符号嵌套不超过一层；非负数性质求参（|a|+|b|=0 型）属考纲常见中档题型，本讲义仅安排 2 道并给出完整推理——全部题目均未使用任何七上未学内容。 PART 03 例题精讲（7题） 例题覆盖：数轴的识别 → 数轴三要素与点数对应 → 相反数 → 绝对值化简 → 数轴比较大小 → 数轴动点 → 绝对值与相反数的关系 → 绝对值求值综合 例题组方法提要（先读再做） ◆ 例 1、变 2 教数轴的识别与定位：紧扣“原点、正方向、单位长度”三要素，能画图就画图； ◆ 例 2、变 1 教点数对应：“到原点距离为 r 的点”必有左右两个（r > 0 时），别漏负解； ◆ 例 3、变 3 教相反数：多重符号化简数“−”号个数——偶数个为正、奇数个为负； ◆ 例 4、变 5 教绝对值化简：先定号（正、0、负）再定值（距离）； ◆ 例 5、变 6 教比较大小：两个负数比较，绝对值大的反而小；涉及 a、b 的抽象比较先画数轴； ◆ 例 6、变 7 教数轴动点：向右移动数加、向左移动数减（数格数），距离用大数减小数； ◆ 例 7、例 8 教性质与求值：绝对值与相反数的关系要含 0；|x| = k 配合大小条件筛选。 例 1　选择题　　2024-2025 期末·改编 下列关于数轴的说法中，正确的是（　　） A．数轴上的点只能表示整数 B．任何有理数都可以用数轴上的点表示 C．数轴是一条射线，有一个起点 D．同一条数轴上，每 1 格可以有时表示 1、有时表示 2 例 2　填空题　　教材经典·改编 (1) 数轴的三要素是______、______和______； (2) 数轴上表示 −3 的点在原点的______侧，到原点的距离是______个单位长度； (3) 到原点的距离等于 4 的点表示的数是_____。 例 3　选择题　　2024-2025 期末·改编 −2026 的相反数是（　　） A．2026　　　B．−2026　　　C．±2026　　　D．2025 例 4　填空题　　同步精练·改编 化简：(1) |+7| = ______；(2) |−4| = ______； (3) −|−2| = ______；(4) |0| = ______。 例 5　选择题　　2024-2025 期末·改编 下列比较大小中，正确的是（　　） A．−3 > −1　　　B．− > 0　　　C．|−3| > |−1|　　　D．0 > 例 6　填空题　　教材经典·改编 数轴上点 A 表示 −2。将点 A 向右移动 5 个单位长度，得到点 B，则点 B 表示的数是______； 若将点 A 向左移动 5 个单位长度，得到点 C，则点 C 表示的数是______； 点 B 与点 C 之间的距离是______个单位长度。 例 8　解答题　　同步精练·原创 已知 |x| = 3，|y| = 2，且 x > y，求 x 和 y 的值。 例 7　选择题　　2024-2025 期末·改编 如图，数轴上的点A，B，C分别表示数a，b，c给出下列结论：①；②；③；④.其中正确的是（ ） A.①② B.①③ C.②③ D.②③④ PART 04 变式练习（12题） 与例题同考点、同方法，换数字换情境，供学生独立限时完成；填空题答案已嵌在空格中，建议先遮住答案自测 变式组训练要点 ◆ 变 1~变 3 对应例 2、例 3：距离计数、定向定位与多重符号化简； ◆ 变 4~变 6 对应例 5、例 7：性质说法判断与抽象比较，重点盯 0 与“非负数”口径； ◆ 变 7~变 9 对应例 6：动点往返与绝对值条件求值； ◆ 变 10~变 12 对应例 2、例 8：两点距离、特殊数归属、数轴标点排序综合。 变式 1　填空题　　教材经典·改编 (1) 数轴上到原点的距离小于 3 个单位长度的整数点共有______个； (2) 其中表示负数的点有______个，它们表示的数是______。 变式 2　选择题　　2024-2025 期末·改编 点 M 表示的数是 −1，点 N 在点 M 的右侧，且 M、N 两点间的距离为 3 个单位长度，则点 N 表示的数是（　　） A．−4　　　B．2　　　C．−2　　　D．4 变式 3　填空题　　同步精练·改编 (1) −(−6) = ______； (2) −(−6) 的相反数是______； (3) −|−(−6)| = ______。 变式 4　选择题　　2024-2025 期末·改编 下列说法：① 互为相反数的两个数的绝对值相等；② 绝对值等于它本身的数是正数； ③ 0 没有相反数；④ a 的相反数一定是负数。其中错误的有（　　）个 A．1　　　B．2　　　C．3　　　D．4 变式 5　填空题　　教材经典·改编 用“>”或“<”填空： (1) − ______ −；(2) −0.5 ______ |−0.5|；(3) −|−3| ______ 0。 变式 6　选择题　　同步精练·原创 A、B、C三点在数轴上的位置如图所示，则、b、c的大小关系________ 变式 7　填空题　　教材经典·改编 点 P 从表示 3 的点出发，向左移动 7 个单位长度到达点 Q，则点 Q 表示的数是______； 再向右移动 2 个单位长度到达点 R，则点 R 表示的数是______； 点 R 到原点的距离是_____个单位长度。 变式 8　选择题　　2024-2025 期末·改编 若 |a| = |b|，则（　　） A．a = b　　　B．a = −b　　　C．a = b 或 a = −b　　　D．a、b 都是正数 变式 9　填空题　　同步精练·改编 (1) 若 |x| = 5 且 x 是负数，则 x = ______； (2) 若 |y| = 0，则 y = ______； (3) 若 |m| = 且 m > 0，则 m = _____。 变式 10　选择题　　2024-2025 期末·改编 数轴上点 A 表示 −5，点 B 表示 3，则 A、B 两点间的距离是（　　） A．2　　　B．8　　　C．−8　　　D．13 变式 11　填空题　　同步精练·改编 (1) 相反数等于它本身的数是______； (2) 绝对值等于它本身的数是______； (3) 绝对值等于它的相反数的数是______。 变式 12　解答题　　同步精练·原创 画出数轴，并在数轴上表示 −4，0，+2.5，−，然后回答： (1) 写出这四个数的绝对值； (2) 写出 − 的相反数； (3) 将这四个数按从小到大用“<”连接起来。 PART 05 拔高巩固（9 题） 绝对值几何意义与隐含性质——期中卷压轴小题的来源题型 拔高组闯关要点 ◆ 拔高 1 的台阶在数轴位置与距离：两侧的点求距离，用“到原点距离相加”； ◆ 拔高 2 的台阶在多重符号与含参绝对值：|−x| = |x|，含参方程默认找双解； ◆ 拔高 3 的台阶在 |x−1| = 2 的几何意义：到表示 1 的点距离为 2，左右各一个点； ◆ 拔高 4 的台阶在数轴对称：关于原点对称改符号，关于普通点对称找“中点”； ◆ 拔高 5 的台阶在非负数性质：两个非负数之和为 0，则每一个都为 0（考纲中档题型）； ◆ 拔高 6 的台阶在四数排序：a、b、−a、−b 先分正负、再比到原点的距离； ◆ 拔高 7 的台阶在距离双解：到定点的距离等于定值的点一般有两个； ◆ 拔高 8 的台阶在中点模型：到原点与到定点距离相等——先画数轴，找两点的中点。 拔高 1　选择题　　2024-2025 期末·拔高 数轴上点 A、B 分别表示数 a、b，且 a < 0 < b，|a| = 3，|b| = 5，则 A、B 两点间的距离是（　　） A．2　　　B．8　　　C．2 或 8　　　D．15 拔高 2　填空题　　2024-2025 期末·拔高 (1) −[−(−5)] = ______； (2) 若 |−x| = 4，则 x = ______； (3) 若 |x| = |−6|，则 x = ______。 拔高 3　选择题　　2024-2025 期末·拔高 若 |x−1| = 2，则 x 的值有（　　） A．只有 1 个　　　B．恰有 2 个　　　C．恰有 3 个　　　D．无数个 拔高 4　填空题　　2024-2025 期末·拔高 (1) 数轴上点 A 表示 −6，则与点 A 关于原点对称的点 A′ 表示的数是___6___； (2) 若点 B 与点 A（表示 −6）关于表示 2 的点对称，则点 B 表示的数是___10___。 拔高 5　填空题　　2024-2025 期末·拔高 若 |m−3| + |n+2| = 0，则 m = ______，n = ______，m+n = ______。 （注：本题用到“两个非负数之和为 0，则每一个都为 0”的非负数性质，属考纲常见中档题型） 拔高 6　解答题　　2024-2025 期末·拔高 已知 a < 0 < b，|a| = 2，|b| = 5，请解答： (1) 写出 a、b 的值； (2) 写出 −a、−b 的值，并在数轴上表示 a、b、−a、−b； (3) 将 a、b、−a、−b 用“<”连接起来。 拔高 7　选择题　　期末试题·拔高 如图，在每个刻度为1个单位长度的数轴上，点A表示的数是． （1）在数轴上标出原点，并指出点B所表示的数是_____． （2）在数轴上找一点C，使它与点B的距离为2个单位长度，那么点C表示的数为______． （3）在数轴上表示下列各数，并用“<”把这些数按从小到大的顺序连接起来． 2.5，，， 拔高 8　解答题　　2024-2025 期末·拔高 阅读材料：数轴上，我们把点 M 表示的数 x 到原点的距离记作 |x|；同样地，点 M 到表示数 k 的点的距离，也可以用数轴直接数出来。 完成下列问题： (1) 若 |x| = 4，写出 x 的所有可能取值； (2) 若点 M 表示的数 x 满足：到原点的距离与到表示 3 的点的距离相等，求 x 的值（提示：先画数轴，找“中点”）。 拔高 9　解答题　　2024-2025 期末·拔高 如图，已知点A、B、C、D在数轴上对应的数分别是a、b、c、24，其中a、b满足，点C到原点距离是点B到原点距离的2倍． （1）填空：________，________，________； （2）如图，若点A、B、C分别同时以每秒3个单位长度、2个单位长度和个单位长度的速度匀速向左运动，假设经过t秒后，点A与点D之间的距离表示为． ①t为何值时，？ ②当时，A、C两点相距2个单位长度，求m． 附录 过关自查表（学生逐题归因，教师复核用） 题号 考点细目 若错，勾选错因 订正完成 例 1 数轴的说法判断 ✓ 例 2 数轴三要素与点数对应 ✓ 例 3 相反数 ✓ 例 4 绝对值化简 ✓ 例 5 数轴比较大小 ✓ 例 6 数轴动点 ✓ 例 7 绝对值与相反数的关系 ✓ 例 8 绝对值求值综合 ✓ 变式 1 距离内整数点计数 ✓ 变式 2 定向定位（右侧） ✓ 变式 3 多重符号化简 ✓ 变式 4 性质说法判断 ✓ 变式 5 比较大小（填不等号） ✓ 变式 6 数轴位置关系判断 ✓ 变式 7 动点往返 ✓ 变式 8 |a|=|b| 的含义 ✓ 变式 9 绝对值条件求值 ✓ 变式 10 两点间距离 ✓ 变式 11 三类特殊数 ✓ 变式 12 数轴标点与排序 ✓ 拔高 1 两侧点求距离 ✓ 拔高 2 多重符号与含参绝对值 ✓ 拔高 3 |x−1|=2 双解 ✓ 拔高 4 数轴对称 ✓ 拔高 5 非负数性质求参 ✓ 拔高 6 四数综合排序 ✓ 拔高 7 距离双解 ✓ 拔高 8 中点模型阅读理解 ✓ 使用建议：订正后让学生在订正完成栏打勾，并保留本表至考前——期中前只重做打不了勾的题。 1 学科网（北京）股份有限公司 $北师大版七上数学 · 考点讲义系列 北师大版新版数学 · 七年级上册 · 期中知识点及考点讲义系列 第二章 考点 2｜数轴、相反数、绝对值 ——第 2 章〈有理数及其运算〉考点 2—— 讲义定位 内容构成 难度层级 建议使用 期中必考 选择·填空·解答 知识点总结 → 考点分析 → 例题 7 · 变式 12 · 拔高 9 ★☆☆★★★ 阶梯递进 课前预习 / 课后精练 / 考前逐一过关 使用说明 本资料全部 28 道题目均为期末真题或教材经典模型改编。每题均按【答案】【解析】【详解】三段编写，填空题的答案已直接嵌在题目空格中（如 ___±4___），便于边读边核对。 可供课前预习（只读知识点与例题）、课后精练（先做变式再看答案）、考前逐一过关（对照附录自查表打勾）三种方式使用。 本考点为核心概念层考点（★★★），期中必考概念 + 计算小题，是全章运算的图形地基——数轴、相反数、绝对值三者的几何意义必须一图打通。 PART 01 本考点知识点总结（与考点要点保持一致） 考点范围：数轴的三要素与画法（原点、正方向、单位长度），用数轴上的点表示有理数；相反数的定义与表示（a 与 −a 互为相反数，0 的相反数是 0）；绝对值的定义与化简（数轴上表示数 a 的点到原点的距离，|a| ≥ 0）；利用数轴或绝对值比较有理数的大小（两个负数比较：绝对值大的反而小）。 一、数轴 ◆ 数轴三要素：原点、正方向、单位长度——三者缺一不可；规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴； ◆ 任何有理数都可以用数轴上的点表示：正数对应的点在原点右边，负数对应的点在原点左边；同一条数轴上单位长度必须统一。 二、相反数 ◆ 只有符号不同的两个数互为相反数；a 的相反数是 −a，0 的相反数是 0；互为相反数的两个数表示的点关于原点对称； ◆ 多重符号化简：数“−”号的个数——偶数个负号相消为正，奇数个负号为负，如 −(−7) = 7，−[−(−5)] = −5。 三、绝对值 ◆ 数轴上表示数 a 的点到原点的距离叫做 a 的绝对值，记作 |a|；|a| ≥ 0；正数的绝对值是它本身，0 的绝对值是 0，负数的绝对值是它的相反数； 数轴·相反数·绝对值对照速记表 类型 核心内容 常见例子 易错点 数轴 原点、正方向、单位长度三要素 画数轴并表示 −3，0，2，− 三要素缺一不可；单位长度不统一 相反数 只有符号不同的两个数；0 的相反数是 0 3 与 −3 互为相反数；−(−7) = 7 −0 就是 0；多重符号数负号个数 绝对值 点到原点的距离；|a| ≥ 0 |−4| = 4；|+3.5| = 3.5 −|−2| = −2，先定号再定值 比较大小 右边大于左边；负数绝对值大的反而小 −3 < −1；− > − 两个负数直接比数字大小是错的 隐含性质 |a| ≥ 0；|a|+|b|=0 ⇒ a、b 都为 0 |m−3|+|n+2|=0 ⇒ m=3，n=−2 漏“每个都为 0”是中档题失分点 ◆ 绝对值等于它本身的数是非负数；绝对值等于它的相反数的数是非正数；|−a| = |a|——绝对值只看距离、不看方向。 四、用数轴比较大小与隐含性质 ◆ 数轴上右边的点表示的数总比左边的大——正数 > 0 > 负数；两个负数比较，绝对值大的反而小；◆ 隐含性质：|a| ≥ 0，因此 |a| + |b| = 0 当且仅当 a = 0 且 b = 0（非负数性质求参，按考纲取舍，常见中档题）。 PART 02 考点分析：特点 · 答题方法 · 注意事项 考点特点 概念 + 计算双线考查：数轴三要素、相反数、绝对值的定义属于概念线，|a| 的化简、多重符号化简属于计算线，期中卷两条线各占 1~2 道； 几何意义是灵魂：相反数是“关于原点对称”，绝对值是“到原点的距离”——凡涉及 a、−a、|a| 的抽象题，先在数轴上定位置再下结论； 0 依然是高频陷阱：0 的相反数是 0、|0| = 0；绝对值等于它本身的数是“非负数”而非“正数”。 答题方法（三步法） 第一步·定位置：能画数轴就画数轴——把题中涉及的数（或 a、b 的位置）先标到数轴上，位置一清，正负、距离、对称全部现形； 第二步·定符号：化简 |±a|、−(−a) 时先判断符号内数的正负（或 a 的正负），再按“正数是本身、0 是 0、负数是相反数”处理； 第三步·验双解：凡问“距离等于 r 的点”“|x| = k 的值”，默认检查左右两个解——r > 0 时必有两解，漏负解是最常见失分。 注意事项（易错警示） “绝对值等于它本身的数”是“非负数”而非“正数”——0 也算；同理“绝对值等于它的相反数的数”是“非正数”； 两个负数比较大小，误按绝对值直接比较——正确口径是“绝对值大的反而小”； −|−a| 与 |−a| 不同：先算绝对值，再添外面的负号；多重符号化简一律先算内层再算外层； 数轴上两点间的距离是“大数减小数”（结果非负），距离没有负数。 期中常见考法速览 题型 考什么 常见设问 难度 数轴判读 三要素、点与数的对应 “数轴上表示 −3 的点在原点的____侧” ★☆☆ 相反数 求相反数、多重符号化简 “−(−6) = ______” ★☆☆ 绝对值化简 |±a| 的化简（嵌套不超过一层） “−|−2| = ______” ★★☆ 比较大小 数轴或绝对值法比较有理数大小 “比较 − 与 − 的大小” ★★☆ 非负数求参 |a|+|b|=0 型隐含条件（按考纲取舍） “|m−3|+|n+2|=0，则 m+n = ______” ★★★ 命题边界：本考点考数轴三要素与点数对应、相反数与多重符号化简、绝对值的化简与性质、利用数轴或绝对值比较有理数的大小；绝对值符号嵌套不超过一层；非负数性质求参（|a|+|b|=0 型）属考纲常见中档题型，本讲义仅安排 2 道并给出完整推理——全部题目均未使用任何七上未学内容。 PART 03 例题精讲（7题） 例题覆盖：数轴的识别 → 数轴三要素与点数对应 → 相反数 → 绝对值化简 → 数轴比较大小 → 数轴动点 → 绝对值与相反数的关系 → 绝对值求值综合 例题组方法提要（先读再做） ◆ 例 1、变 2 教数轴的识别与定位：紧扣“原点、正方向、单位长度”三要素，能画图就画图； ◆ 例 2、变 1 教点数对应：“到原点距离为 r 的点”必有左右两个（r > 0 时），别漏负解； ◆ 例 3、变 3 教相反数：多重符号化简数“−”号个数——偶数个为正、奇数个为负； ◆ 例 4、变 5 教绝对值化简：先定号（正、0、负）再定值（距离）； ◆ 例 5、变 6 教比较大小：两个负数比较，绝对值大的反而小；涉及 a、b 的抽象比较先画数轴； ◆ 例 6、变 7 教数轴动点：向右移动数加、向左移动数减（数格数），距离用大数减小数； ◆ 例 7、例 8 教性质与求值：绝对值与相反数的关系要含 0；|x| = k 配合大小条件筛选。 例 1　选择题　　2024-2025 期末·改编 下列关于数轴的说法中，正确的是（　　） A．数轴上的点只能表示整数 B．任何有理数都可以用数轴上的点表示 C．数轴是一条射线，有一个起点 D．同一条数轴上，每 1 格可以有时表示 1、有时表示 2 【答案】B 【解析】逐项核对数轴的定义与三要素，重点盯“点数对应”与“单位长度统一”。 【详解】A 错：分数、小数也能用数轴上的点表示； B 对：这是“点数对应”的基本结论； C 错：数轴是一条直线，可以向两端无限延伸，不是射线； D 错：同一条数轴上单位长度必须统一。故选 B。 例 2　填空题　　教材经典·改编 (1) 数轴的三要素是___原点___、___正方向___和___单位长度___； (2) 数轴上表示 −3 的点在原点的___左___侧，到原点的距离是___3___个单位长度； (3) 到原点的距离等于 4 的点表示的数是___±4___。 【答案】(1) 原点、正方向、单位长度；(2) 左侧，3 个单位长度；(3) 4 或 −4。 【解析】(3) 距离等于 4 的点有两个——原点右边表示 4，原点左边表示 −4，负解最容易漏。 【详解】(1) 三要素缺一不可；(2) 负数对应的点在原点左侧，距离即绝对值 |−3| = 3； (3) 到原点距离相等的两个点关于原点对称，分别表示 4 和 −4。 例 3　选择题　　2024-2025 期末·改编 −2026 的相反数是（　　） A．2026　　　B．−2026　　　C．±2026　　　D．2025 【答案】A 【解析】只有符号不同的两个数互为相反数；负数的相反数是正数——写成式子就是 −(−2026)。 【详解】−2026 的相反数 = −(−2026) = 2026，故选 A； B 没变号；C 混淆了“绝对值”与“相反数”的记法；D 与 2026 只是数值接近，与相反数无关。 例 4　填空题　　同步精练·改编 化简：(1) |+7| = ___7___；(2) |−4| = ___4___； (3) −|−2| = ___−2___；(4) |0| = ___0___。 【答案】(1) 7；(2) 4；(3) −2；(4) 0。 【解析】先判断绝对值符号内数的正负，按“正数是本身、0 是 0、负数是相反数”化简；符号外的“−”最后处理。 【详解】(1) 正数的绝对值是它本身，|+7| = 7； (2) 负数的绝对值是它的相反数，|−4| = 4； (3) 先算 |−2| = 2，再添上外面的负号，得 −2； (4) 0 的绝对值是 0。 【易错警示】−|−2| ≠ |2|：外层负号是最后才加的，先里后外不能颠倒。 例 5　选择题　　2024-2025 期末·改编 下列比较大小中，正确的是（　　） A．−3 > −1　　　B．− > 0　　　C．|−3| > |−1|　　　D．0 > 【答案】C 【解析】正数都大于 0，负数都小于 0；两个负数比较，绝对值大的反而小；绝对值之间比较则直接比大小。 【详解】A 错：|−3| = 3 > |−1| = 1，两个负数绝对值大的反而小，应是 −3 < −1； B 错：负数小于 0；C 对：|−3| = 3 > 1 = |−1|；D 错：0 小于一切正数。故选 C。 例 6　填空题　　教材经典·改编 数轴上点 A 表示 −2。将点 A 向右移动 5 个单位长度，得到点 B，则点 B 表示的数是___3___； 若将点 A 向左移动 5 个单位长度，得到点 C，则点 C 表示的数是___−7___； 点 B 与点 C 之间的距离是___10___个单位长度。 【答案】3；−7；10。 【解析】数轴上向右移动数增大、向左移动数减小，移动几个单位长度就数几格；两点间距离用大数减小数。 【详解】向右移 5：−2 再向右数 5 格，−1、0、1、2、3，得 3； 向左移 5：−3、−4、−5、−6、−7，得 −7； B、C 距离 = 3 − (−7) = 10（也可数格：从 −7 到 3 共 10 格）。 例 8　解答题　　同步精练·原创 已知 |x| = 3，|y| = 2，且 x > y，求 x 和 y 的值。 【答案】x = 3，y = 2 或 x = 3，y = −2。 【解析】|x| = 3 → x = 3 或 −3；|y| = 2 → y = 2 或 −2；再用条件 x > y 逐一筛选。 【详解】x = 3 时：3 > 2 成立，3 > −2 成立，两组都符合； x = −3 时：−3 > 2 不成立，−3 > −2 也不成立，全部舍去。 ∴ x = 3，y = 2 或 x = 3，y = −2。 【方法】绝对值定值 → 正负双解 → 大小条件筛选，三步走不跳步。 例 7　选择题　　2024-2025 期末·改编 如图，数轴上的点A，B，C分别表示数a，b，c给出下列结论：①；②；③；④.其中正确的是（ ） A.①② B.①③ C.②③ D.②③④ 【答案】C 【解析】本题主要考查了利用数轴比较有理数的大小，有理数混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键； 根据数轴可得b<0|a|，再根据有理数的加减乘除运算法则，可以逐项判断得出正确答案. 【详解】解：① ， 故①说法错误； ② ∴ 故②说法正确； ③ ∴ 故③说法正确； ④ ∴ 故④说法错误； ∴ 正确的有②③. 故选：C. PART 04 变式练习（12题） 与例题同考点、同方法，换数字换情境，供学生独立限时完成；填空题答案已嵌在空格中，建议先遮住答案自测 变式组训练要点 ◆ 变 1~变 3 对应例 2、例 3：距离计数、定向定位与多重符号化简； ◆ 变 4~变 6 对应例 5、例 7：性质说法判断与抽象比较，重点盯 0 与“非负数”口径； ◆ 变 7~变 9 对应例 6：动点往返与绝对值条件求值； ◆ 变 10~变 12 对应例 2、例 8：两点距离、特殊数归属、数轴标点排序综合。 变式 1　填空题　　教材经典·改编 (1) 数轴上到原点的距离小于 3 个单位长度的整数点共有___5___个； (2) 其中表示负数的点有___2___个，它们表示的数是___−2 和 −1___。 【答案】(1) 5；(2) 2 个，即 −2 和 −1。 【解析】“到原点距离小于 3”就是绝对值小于 3 的整数：先列 0，再列 ±1、±2。 【详解】满足条件的整数：−2，−1，0，1，2，共 5 个； 其中负数是 −2 和 −1（0 不算负数），共 2 个。 变式 2　选择题　　2024-2025 期末·改编 点 M 表示的数是 −1，点 N 在点 M 的右侧，且 M、N 两点间的距离为 3 个单位长度，则点 N 表示的数是（　　） A．−4　　　B．2　　　C．−2　　　D．4 【答案】B 【解析】“右侧”就是正方向一侧，从 −1 向右数 3 格。 【详解】−1 向右移动 3 个单位长度：0、1、2，点 N 表示 2。故选 B。 【易错警示】A 是向左移动的结果——“右侧”两个定方向，方向反了就选 A。 变式 3　填空题　　同步精练·改编 (1) −(−6) = ___6___； (2) −(−6) 的相反数是___−6___； (3) −|−(−6)| = ___−6___。 【答案】(1) 6；(2) −6；(3) −6。 【解析】多重符号化简先数“−”号个数：偶数个为正、奇数个为负；绝对值要先算最内层。 【详解】(1) 两个负号相消，得 6； (2) 6 的相反数是 −6； (3) 先算 −(−6) = 6，再算 |6| = 6，最后添负号得 −6。 变式 4　选择题　　2024-2025 期末·改编 下列说法：① 互为相反数的两个数的绝对值相等；② 绝对值等于它本身的数是正数； ③ 0 没有相反数；④ a 的相反数一定是负数。其中错误的有（　　）个 A．1　　　B．2　　　C．3　　　D．4 【答案】C 【解析】逐条核对定义，重点检查每一条是否漏了 0。 【详解】① 对：相反数关于原点对称，到原点距离相等； ② 错：0 的绝对值等于它本身，但 0 不是正数——应为“非负数”； ③ 错：0 的相反数是 0； ④ 错：a = 0 时相反数是 0，a 是负数时相反数是正数。 错误 3 条。故选 C。 变式 5　填空题　　教材经典·改编 用“>”或“<”填空： (1) − ___>___ −；(2) −0.5 ___<___ |−0.5|；(3) −|−3| ___<___ 0。 【答案】(1) >；(2) <；(3) <。 【解析】(1) 两个负数比较，绝对值大的反而小；(2) 负数小于它的绝对值（正数）；(3) −|−3| = −3 是负数，小于 0。 【详解】(1) |−| = ，|−| = ，通分（或化小数）得 < ， 两个负数绝对值大的反而小，所以 − > −； (2) |−0.5| = 0.5 > −0.5；(3) −|−3| = −3 < 0。 变式 6　选择题　　同步精练·原创 A、B、C三点在数轴上的位置如图所示，则、b、c的大小关系________ 【答案】 【解析】 本题考查了有理数的大小比较.根据“在数轴上表示的数，左边的数总是小于右边的数”即可得出答案. 【解答】 解：如图，-a、b、c在数轴上表示如下： 数轴左边的数总是小于右边的数， 由数轴可知： 故答案为： 变式 7　填空题　　教材经典·改编 点 P 从表示 3 的点出发，向左移动 7 个单位长度到达点 Q，则点 Q 表示的数是___−4___； 再向右移动 2 个单位长度到达点 R，则点 R 表示的数是___−2___； 点 R 到原点的距离是___2___个单位长度。 【答案】−4；−2；2。 【解析】向左数减、向右数加，一步一步数格；最后距离取绝对值。 【详解】3 向左移 7 格：2、1、0、−1、−2、−3、−4，得 −4； −4 向右移 2 格：−3、−2，得 −2； 点 R 表示 −2，到原点距离 = |−2| = 2。 变式 8　选择题　　2024-2025 期末·改编 若 |a| = |b|，则（　　） A．a = b　　　B．a = −b　　　C．a = b 或 a = −b　　　D．a、b 都是正数 【答案】C 【解析】绝对值相等 = 到原点的距离相等：两点重合（a = b）或关于原点对称（a = −b）。 【详解】当 a、b 表示同一个点时 a = b；当两点关于原点对称时 a = −b； 两种情况都可能，故选 C。D 只考虑了正数，漏了负数和 0。 变式 9　填空题　　同步精练·改编 (1) 若 |x| = 5 且 x 是负数，则 x = ___−5___； (2) 若 |y| = 0，则 y = ___0___； (3) 若 |m| = 且 m > 0，则 m = ______。 【答案】(1) −5；(2) 0；(3) 。 【解析】|y| = 0 只有唯一解 y = 0；其余两问先写双解再用符号条件筛选。 【详解】(1) |x| = 5 → x = 5 或 −5，x 是负数，取 −5； (2) 到原点距离为 0 的点只有原点，y = 0； (3) |m| = → m = ±，m > 0，取 。 【易错警示】(2) 最容易顺手写成“±0”——0 没有正负，只有一个解。 变式 10　选择题　　2024-2025 期末·改编 数轴上点 A 表示 −5，点 B 表示 3，则 A、B 两点间的距离是（　　） A．2　　　B．8　　　C．−8　　　D．13 【答案】B 【解析】两点间距离 = 大数减小数（或数格），结果不能为负。 【详解】从 −5 到 3：5 − (−5) = 8，也可数格共 8 格。故选 B。 A 是 3 与 5 的差，忘掉 −5 在负半轴；C 出现负距离，距离不可能为负。 变式 11　填空题　　同步精练·改编 (1) 相反数等于它本身的数是___0___； (2) 绝对值等于它本身的数是___非负数（正数和 0）___； (3) 绝对值等于它的相反数的数是___非正数（负数和 0）___。 【答案】(1) 0；(2) 非负数（正数和 0）；(3) 非正数（负数和 0）。 【解析】三条都是“性质归属”题——判断时 0 必须单独检查一遍。 【详解】(1) 只有 0 满足 −0 = 0； (2) 正数和 0 的绝对值都是本身，负数不是； (3) 负数和 0 的绝对值都是它的相反数，正数不是。 变式 12　解答题　　同步精练·原创 画出数轴，并在数轴上表示 −4，0，+2.5，−，然后回答： (1) 写出这四个数的绝对值； (2) 写出 − 的相反数； (3) 将这四个数按从小到大用“<”连接起来。 【答案】(1) |−4| = 4，|0| = 0，|+2.5| = 2.5，|−| = ； (2) − 的相反数是 ； (3) −4 < − < 0 < +2.5。 【解析】先在数轴上从左到右标点，绝对值按“负数取相反数”算；排序按“左小右大”。 【详解】数轴上四点从左到右：−4，−，0，+2.5； (1) 负数的绝对值是它的相反数：|−4| = 4，|−| = ；正数、0 的绝对值是本身； (2) −(−) = ；(3) 数轴上右边的点表示的数大，依次连接即可。 PART 05 拔高巩固（9 题） 绝对值几何意义与隐含性质——期中卷压轴小题的来源题型 拔高组闯关要点 ◆ 拔高 1 的台阶在数轴位置与距离：两侧的点求距离，用“到原点距离相加”； ◆ 拔高 2 的台阶在多重符号与含参绝对值：|−x| = |x|，含参方程默认找双解； ◆ 拔高 3 的台阶在 |x−1| = 2 的几何意义：到表示 1 的点距离为 2，左右各一个点； ◆ 拔高 4 的台阶在数轴对称：关于原点对称改符号，关于普通点对称找“中点”； ◆ 拔高 5 的台阶在非负数性质：两个非负数之和为 0，则每一个都为 0（考纲中档题型）； ◆ 拔高 6 的台阶在四数排序：a、b、−a、−b 先分正负、再比到原点的距离； ◆ 拔高 7 的台阶在距离双解：到定点的距离等于定值的点一般有两个； ◆ 拔高 8 的台阶在中点模型：到原点与到定点距离相等——先画数轴，找两点的中点。 拔高 1　选择题　　2024-2025 期末·拔高 数轴上点 A、B 分别表示数 a、b，且 a < 0 < b，|a| = 3，|b| = 5，则 A、B 两点间的距离是（　　） A．2　　　B．8　　　C．2 或 8　　　D．15 【答案】B 【解析】两点在原点两侧时，距离 = 两个点到原点的距离之和。 【详解】a < 0 < b → 点 A 在原点左侧 3 个单位处（a = −3），点 B 在原点右侧 5 个单位处（b = 5）； A、B 之间隔着原点，距离 = 3 + 5 = 8（即 5 − (−3) = 8）。故选 B。 【易错警示】别把距离拆成 5 − 3 = 2——两点不在原点同侧，距离要“穿过原点”相加。 拔高 2　填空题　　2024-2025 期末·拔高 (1) −[−(−5)] = ___−5___； (2) 若 |−x| = 4，则 x = ___±4___； (3) 若 |x| = |−6|，则 x = ___±6___。 【答案】(1) −5；(2) x = ±4；(3) x = ±6。 【解析】(1) 数负号个数：共 3 个负号，奇数个为负；(2)(3) |−x| = |x|——绝对值只看距离不看符号，默认找双解。 【详解】(1) −(−5) = 5，再取负号得 −5； (2) |−x| = |x| = 4，到原点距离为 4 的点有两个，x = 4 或 −4； (3) |−6| = 6，|x| = 6，x = 6 或 −6。 拔高 3　选择题　　2024-2025 期末·拔高 若 |x−1| = 2，则 x 的值有（　　） A．只有 1 个　　　B．恰有 2 个　　　C．恰有 3 个　　　D．无数个 【答案】B 【解析】把 x−1 看成一个整体：绝对值等于 2 的数是 2 或 −2——左右各一个。 【详解】几何意义：到表示 1 的点距离等于 2 的点，在 1 左边 2 格处（表示 −1）， 在 1 右边 2 格处（表示 3），恰有 2 个。 故选 B。 【易错警示】绝对值定值必查双解——只答 x = 3 漏掉 −1，是本类题最高频失分点。 拔高 4　填空题　　2024-2025 期末·拔高 (1) 数轴上点 A 表示 −6，则与点 A 关于原点对称的点 A′ 表示的数是___6___； (2) 若点 B 与点 A（表示 −6）关于表示 2 的点对称，则点 B 表示的数是___10___。 【答案】(1) 6；(2) 10。 【解析】关于原点对称 = 到原点距离相等、方向相反，只改符号；关于普通点对称要先算“半程”。 【详解】(1) −6 到原点 6 个单位，对称点在原点右侧 6 个单位处，表示 6； (2) 表示 2 的点是对称中心：−6 到 2 距离 2 − (−6) = 8 个单位， 点 B 应在 2 右侧 8 个单位处：2 + 8 = 10。 拔高 5　填空题　　2024-2025 期末·拔高 若 |m−3| + |n+2| = 0，则 m = ___3___，n = ___−2___，m+n = ___1___。 （注：本题用到“两个非负数之和为 0，则每一个都为 0”的非负数性质，属考纲常见中档题型） 【答案】m = 3，n = −2，m+n = 1。 【解析】|m−3| ≥ 0，|n+2| ≥ 0，两个非负数相加得 0，只能每一个都为 0。 【详解】|m−3| = 0 → m−3 = 0 → m = 3（到原点距离为 0 的数只有 0 本身）； |n+2| = 0 → n+2 = 0 → n = −2； ∴ m+n = 3 + (−2) = 1。 【易错警示】“和为 0”不能只让一个为 0——两个非负数，只要有一个大于 0，和就大于 0。 拔高 6　解答题　　2024-2025 期末·拔高 已知 a < 0 < b，|a| = 2，|b| = 5，请解答： (1) 写出 a、b 的值； (2) 写出 −a、−b 的值，并在数轴上表示 a、b、−a、−b； (3) 将 a、b、−a、−b 用“<”连接起来。 【答案】(1) a = −2，b = 5；(2) −a = 2，−b = −5； (3) −b < a < −a < b，即 −5 < −2 < 2 < 5。 【解析】先由符号条件和绝对值写出四个数，再全部标上数轴，按“左小右大”排序。 【详解】(1) a < 0 且 |a| = 2 → a = −2；b > 0 且 |b| = 5 → b = 5； (2) −a = 2，−b = −5；数轴上从左到右：−5，−2，2，5； (3) 左小右大，直接得 −b < a < −a < b。 【方法】四数排序题不硬背结论——全部画上数轴，位置一目了然。 拔高 7　选择题　　期末试题·拔高 如图，在每个刻度为1个单位长度的数轴上，点A表示的数是． （1）在数轴上标出原点，并指出点B所表示的数是__5___． （2）在数轴上找一点C，使它与点B的距离为2个单位长度，那么点C表示的数为___3或7___． （3）在数轴上表示下列各数，并用“<”把这些数按从小到大的顺序连接起来． 2.5，，， 【答案】 如图所示， 5 3或7 数轴表示如下： 【解析】 （1）根据点 表示的数是-2即可确定原点的位置，然后指出点B所表示的数即可； （2）根据题意分两种情况求解即可； （3）首先化简绝对值，然后在数轴上表示出各数，然后用“ ”把这些数按从小到大的顺序连接起来即可. 【解答】 （1）如图所示： 点B所表示的数是5. （2）点C与点B的距离为2个单位长度 点C表示的数为5-2=3或5+2=7； （3） 数轴表示如下： 拔高 8　解答题　　2024-2025 期末·拔高 阅读材料：数轴上，我们把点 M 表示的数 x 到原点的距离记作 |x|；同样地，点 M 到表示数 k 的点的距离，也可以用数轴直接数出来。 完成下列问题： (1) 若 |x| = 4，写出 x 的所有可能取值； (2) 若点 M 表示的数 x 满足：到原点的距离与到表示 3 的点的距离相等，求 x 的值（提示：先画数轴，找“中点”）。 【答案】(1) x = 4 或 −4；(2) x = 。 【解析】(1) 到原点距离为 4 的点左右各一个；(2) 两点距离相等 → M 在 0 与 3 的正中间。 【详解】(1) 原点左、右各 4 个单位处，表示 −4 和 4； (2) 原点 0 与表示 3 的点相距 3 个单位长度，到两点距离相等的点在正中间， 距 0 为 个单位，即 x = （画数轴：0 与 3 的中点刻度就是 1.5）。 【方法】“到两个定点距离相等”就是找线段中点——画图优于硬算。 拔高 9　解答题　　2024-2025 期末·拔高 如图，已知点A、B、C、D在数轴上对应的数分别是a、b、c、24，其中a、b满足，点C到原点距离是点B到原点距离的2倍． （1）填空：________，____8____，____16____； （2）如图，若点A、B、C分别同时以每秒3个单位长度、2个单位长度和个单位长度的速度匀速向左运动，假设经过t秒后，点A与点D之间的距离表示为． ①t为何值时，？ ②当时，A、C两点相距2个单位长度，求m． 【答案】 ，8，16 ① ； ② 或 【解析】 （1）根据非负数的性质可得a，b，根据点C到原点距离是点B到原点距离的2倍，可得c． （2）①用含t的式子表示出t秒后，点A、B、C对应的数，进而表示出AD和BD，列方程即可求解； ②表示出t=4时，点A、C对应的数，根据A、C两点相距2个单位长度，列方程求解． 【解答】 （1）解： ， , ， , 点C到原点距离是点B到原点距离的2倍， ， 故答案为： ，8，16； （2）解： ①由题意知，t秒后，点A、B、C对应的数分别为： ， ， ， ， ， 当AD=2BD时， ， 解得t=2； ②当t=4时，点A对应的数为： 点C对应的数为：16-4m， A、C两点相距2个单位长度， 或 ， 解得m=10或m=9。 附录 过关自查表（学生逐题归因，教师复核用） 题号 考点细目 若错，勾选错因 订正完成 例 1 数轴的说法判断 ✓ 例 2 数轴三要素与点数对应 ✓ 例 3 相反数 ✓ 例 4 绝对值化简 ✓ 例 5 数轴比较大小 ✓ 例 6 数轴动点 ✓ 例 7 绝对值与相反数的关系 ✓ 例 8 绝对值求值综合 ✓ 变式 1 距离内整数点计数 ✓ 变式 2 定向定位（右侧） ✓ 变式 3 多重符号化简 ✓ 变式 4 性质说法判断 ✓ 变式 5 比较大小（填不等号） ✓ 变式 6 数轴位置关系判断 ✓ 变式 7 动点往返 ✓ 变式 8 |a|=|b| 的含义 ✓ 变式 9 绝对值条件求值 ✓ 变式 10 两点间距离 ✓ 变式 11 三类特殊数 ✓ 变式 12 数轴标点与排序 ✓ 拔高 1 两侧点求距离 ✓ 拔高 2 多重符号与含参绝对值 ✓ 拔高 3 |x−1|=2 双解 ✓ 拔高 4 数轴对称 ✓ 拔高 5 非负数性质求参 ✓ 拔高 6 四数综合排序 ✓ 拔高 7 距离双解 ✓ 拔高 8 中点模型阅读理解 ✓ 使用建议：订正后让学生在订正完成栏打勾，并保留本表至考前——期中前只重做打不了勾的题。 1 学科网（北京）股份有限公司 $