第3章 整式及其加减 单元复习易错题重难点培优讲义（10大知识点总结+12大题型+易错警示+解题技巧）2026-2027学年北师大版数学七年级上册

第3章 整式及其加减 知识点1：代数式的概念与书写规范 　　1.用运算符号把数与字母连接起来的式子叫代数式，单独一个数或字母也是代数式。 　　2.书写规范：数字与字母相乘时数字写在前面，乘号省略；带分数化为假分数；除法写成分数形式。 　　3.代数式中不含"="、">"、"<"等关系符号。 知识点2：列代数式 常见情境 代数式 行程（速度v、时间t） 工程（效率a、时间t） 利润（售价a、成本b） 打折（原价a、打x折） 知识点3：代数式的值 　　1.用数值代替代数式中的字母，按运算顺序算出的结果叫代数式的值。 　　2.步骤：代入→计算，代入负数时要加括号。 　　3.整体代入：把某个式子的值整体看作一个数代进去。 知识点4：单项式 　　1.由数与字母的乘积组成的式子叫单项式，单独一个数或字母也是单项式。 　　2.系数：单项式中的数字因数；次数：所有字母指数的和。 　　3.注意：不是单项式，因为分母含字母。 知识点5：多项式 　　1.几个单项式的和叫多项式，每个单项式叫它的项，不含字母的项叫常数项。 　　2.多项式的次数等于次数最高项的次数。 　　3.升幂/降幂排列：按某一字母的指数从小到大或从大到小排列。 知识点6：整式与同类项 概念 要点 整式 单项式与多项式统称整式 同类项 所含字母相同，且相同字母的指数也相同 合并同类项 系数相加，字母和字母的指数不变 　　注意：同类项与系数无关，也与字母的排列顺序无关。 知识点7：去括号与添括号 情形 符号变化 括号前是"+" 去掉括号，各项符号都不变 括号前是"-" 去掉括号，各项符号都改变 括号前有系数 先用乘法分配律乘遍括号内每一项 知识点8：整式的加减 　　1.一般步骤：去括号→合并同类项。 　　2.结果要求：化到最简，不再有同类项可合并。 　　3.化简求值时，先化简再代值，能减少计算量。 知识点9：探索规律 　　1.数字规律：观察相邻项的差或比，归纳出含n的式子。 　　2.图形规律：先数前几个图形对应的数量，把数量列成数列，再找通项。 　　3.结论要用含n的代数式表示，并注明n为正整数。 知识点10：易错警示 易错点 错误做法 正确做法 去括号 只变第一项符号 括号前是"-"时每一项都变号 合并同类项 把指数也相加 只加系数，指数不变 单项式次数 把系数也算进次数 次数只算字母指数之和 代入求值 负数直接代入不加括号 负数、分数代入要加括号 【易错题型】 【题型1】去括号与合并同类项的符号错误 　　1.易错点总结 　　去括号时最容易只把第一项变号，后面的项照抄；括号前有系数时忘记把系数乘遍每一项；合并同类项时把字母的指数也相加，或者把不是同类项的项强行合并。 　　2.纠错技巧 　　去括号前先在括号前标出"+"还是"-"，是"-"就把括号内每一项逐个变号，可以用"先写一遍、再逐项改符号"的办法防止遗漏；括号前有数字，先用分配律把数字乘到每一项上再合并。判断同类项只看字母和对应指数，与系数、字母顺序无关，合并时只把系数相加、字母部分照写。 【例题1】.（26-27七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）先去括号再合并同类项 (1) (2) 【变式题1-1】.（26-27七年级上·吉林长春·期中）化简： (1)； (2)． 【变式题1-2】.（26-27七年级上·重庆九龙坡·期中）化简： (1) (2) 【变式题1-3】.（26-27七年级上·四川成都·阶段检测）计算 (1)； (2)； (3)． 【基础题型】 【题型2】代数式的概念与书写规范 　　解题技巧： 先看式子是否只由数、字母和运算符号组成，含"="、">"、"<"的一律不是代数式。检查书写规范时逐条核对：数字是否写在字母前、乘号是否省略、带分数是否化成假分数、除法是否写成分数线；单独的一个数或字母也符合代数式的定义，不要漏判。 【例题2】.（26-27七年级上·四川德阳·期中）下列各式中，不是代数式的是（     ） A． B． C． D． 【变式题2-1】.（26-27七年级上·湖南长沙·期中）下列式子不是代数式的是（     ） A．3 B． C． D． 【变式题2-2】.（26-27七年级上·内蒙古巴彦淖尔·期中）下列式子中，符合代数式书写要求的是（     ） A． B． C． D． 【变式题2-3】.（26-27七年级上·重庆·期中）下列式子中符合代数式书写规范的是（     ） A． B． C． D． 【题型3】列代数式表示数量关系 　　解题技巧： 先把题目中的关键量用字母表示出来，再按"多、少、倍、几分之几"等词语确定运算：多则加、少则减、几倍则乘、几分之几则乘分数。行程问题抓，工程问题抓，利润问题抓。列完后检查字母是否代表题中指定的量、单位是否统一。 【例题3】.（天津市西青区2026～2027学年度第一学期学业质量中期监测七年级数学试卷）甲、乙两地相距．李明原计划骑车从甲地到乙地，需用时，后因天气原因，改乘公交车前往，结果提前到达乙地，公交车的速度可以表示为______． 【变式题3-1】.（26-27七年级上·黑龙江牡丹江·期中）一次知识竞赛共有24道选择题，规定：答对1道得3分，答错1道扣1分，如果某位学生所有题目都答了，其中答对了道题，则他的成绩为________分． 【变式题3-2】.（26-27七年级上·重庆·期中）学校为丰富图书角，计划购买一批科普读物．第一次采购价为每本a元，共花费300元，很快借阅一空；第二次又花费300元采购，因为商家促销，每本价格比第一次降低5元，则第二次购进的读物数量比第一次多了（     ）本． A． B． C． D． 【变式题3-3】.（26-27七年级上·安徽合肥·期中）若x表示一个两位数，y也表示一个两位数，小明想用x、y来组成一个四位数，且把x放在y的右边，你认为下列表达式中哪一个是正确的（     ） A． B． C． D． 【题型4】单项式与多项式的相关概念 　　解题技巧： 找单项式的系数时，把数字因数和符号一起拿出来，字母部分留着；次数只把各字母的指数相加，不要把系数算进去。多项式的项要带符号看，常数项是不含字母的那一项；多项式次数取次数最高的那一项，升降幂排列时按指定字母的指数排序，其他字母当作常数。 【例题4】.（26-27七年级上·天津和平·期中）下列说法正确的是(     )． A．的次数为 B．和不是单项式 C．的系数是 D．是次单项式 【变式题4-1】.（26-27七年级上·陕西榆林·期中）已知是六次三项式，且的次数与这个多项式的次数相同． (1)求m、n的值； (2)当，时，求的值． 【变式题4-2】.（26-27七年级上·吉林·期中）若多项式是关于、的四次多项式，则_______． 【变式题4-3】.（26-27七年级上·陕西西安·期中）若关于，的多项式为一个三次二项式，则的值是（    ） A． B． C．1 D．2 【题型5】同类项的定义与参数求解 　　解题技巧： 判断两个单项式是不是同类项，只看两条：所含字母相同，且相同字母的指数也相同。 求参数时，先按字母一一对照指数列方程，解完后回代检验：确认两个式子确实字母相同、指数相同，并注意指数应为非负整数、系数不为0等隐含条件。 【例题5】.（26-27七年级上·重庆九龙坡·期中）下列式子中互为同类项的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【变式题5-1】.（26-27七年级上·天津北辰·期中）若单项式与单项式是同类项，则________． 【变式题5-2】.（26-27七年级上·广东佛山·期中）若单项式与是同类项，则________． 【变式题5-3】.（26-27七年级上·辽宁大连·期中）如果和是同类项，那么的值是（    ） A． B．2 C． D．1 【提升题型】 【题型6】整式的加减运算与化简求值 　　解题技巧： 按"先去括号、再合并同类项"的顺序做，多个多项式相加减时，把每个多项式先用括号括起来再连写，避免符号串位。化简到没有同类项可合并为止，然后代值；代值前观察是否可以先算出一个整体的值，能整体代入就不逐个代。 【例题6】.（26-27七年级上·广东深圳·期中）先化简再求值：，其中． 【变式题6-1】.（26-27七年级上·重庆九龙坡·期中）先化简再求值，其中． 【变式题6-2】.（26-27七年级上·内蒙古包头·期中）计算： (1)先化简，再求值：，其中：，． (2)已知多项式，． ①化简：． ②当，时，求的值． 【变式题6-3】.（26-27七年级上·天津红桥·期中）某同学做一道题：“已知两个多项式，，计算”，他误将“”看成“”，求得的结果为，已知． (1)求这道题的正确答案； (2)若，，求此时的值． 【题型7】整体代入求代数式的值 　　解题技巧： 先观察待求式子与已知条件之间的倍数或加减关系，把已知式子整体看作一个字母。例如已知，求，就把整体换成3，得。关键是凑出已知的整体，必要时对已知式或待求式变形（提公因式、乘系数）。 【例题7】.（26-27七年级上·北京西城·期中）已知，则的值是（     ） A． B． C． D． 【变式题7-1】.（26-27七年级上·重庆·期中）若，则代数式的值为（     ） A．7 B．13 C． D． 【变式题7-2】.（26-27七年级上·重庆·期中）已知，且． (1)求的值； (2)若，互为相反数，，互为倒数，求的值． 【变式题7-3】.（26-27七年级上·广西防城港·期中）计算 (1)当时，求代数式的值； (2)已知，，求代数式的值． 【题型8】根据字母的指数升降幂排列 　　解题技巧： 升降幂排列时先确定按哪个字母排，再把这个字母的指数从大到小（降幂）或从小到大（升幂）依次写，缺项的位置可以空着，其他字母的项按常数处理。 【例题8】.（26-27七年级上·上海浦东新·期中）把多项式按照字母升幂排列为________． 【变式题8-1】.（26-27七年级上·上海·阶段检测）将多项式按字母的降幂排列为___________． 【变式题8-2】.（26-27七年级上·吉林长春·期中）已知多项式． (1)按x的降幂排列； (2)当，时，求该多项式的值． 【变式题8-3】.（26-27七年级上·吉林长春·期中）已知多项式，按要求解答下列问题： (1)该多项式的次数是___________，三次项的系数是___________，常数项是___________； (2)按x的降幂排列为：___________． 【题型9】程序框图与规律求值 　　解题技巧： 按箭头方向逐步代入，把每一步的输出写在旁边，直到满足"输出条件"为止；若题目要求"结果不大于某数就再次输入"，就把上一次结果作为新的输入继续循环，注意循环终止的条件不要提前或延后。算完后回看每一步是否符合框内的运算符号（尤其是乘方和绝对值）。 【例题9】.（26-27七年级上·天津和平·期中）如图是一个数值计算程序： (1)用含x的代数式表示输出的结果为_________； (2)当时，输出的值为m，当时，输出的值为n，求． 【变式题9-1】.（2026·江西上饶·模拟预测）按下列程序计算，把答案填写在表格里，然后看看有什么规律，想想为什么会有这个规律？ (1)填写表内空格； 输入x 5 4 … 输出答案 … (2)你发现的规律是______，并证明该规律的正确性． 输入x 5 4 … 输出答案 0 0 0 0 … 【变式题9-2】.（24-25七年级上·上海黄浦·期末）已知字母n代表某一个数，按图所示程序输入计算，当第一次输入n为30时，那么第8次输出的结果应为 _____． 【变式题9-3】.（25-26七年级上·江苏南通·期中）在学习完有理数的混合运算后，小明和同学一起编制了如下一个运算程序：按上述法则继续运算，并不断重复这个运算程序m次，直到运算的结果第一次为1时，终止此程序，我们就称m是自然数n的熵．例如自然数时，则这样经过3次运算后结果第一次为1，则称8的熵．若输入自然数，则自然数3的熵_________；若一个自然数n的熵，则满足条件的所有可能的自然数n的取值之和为_________； 【培优题型】 【题型10】整式加减中的"无关项"与"错看"问题 　　解题技巧： 遇到"结果与某字母无关"，先把式子化简，再令该字母的同类项系数为0，列方程求参数；遇到"不含某项"，同样令该项系数为0。处理"错看"问题时，把看错的式子按错误方式算一遍得到错误结果，再与正确结果比较，反推出原多项式的系数，最后按正确方式重算。 【例题10】.（26-27七年级上·黑龙江佳木斯·期中）已知，． (1)化简结果按的降幂排列； (2)若的值与字母的取值无关，求、的值； (3)在(2)的条件下，当时，求的值． 【变式题10-1】.（21-22七年级上·广东云浮·期中）小张同学在计算时，将“”错看成了，得出的结果是． (1)请问题目中的___________，的正确结果为____________； (2)试探索：当字母b、c满足什么关系时，（1）中的结果与字母a的取值无关． 【变式题10-2】.（24-25七年级上·四川成都·期中）（1）小刚在做“计算的值，其中，”这道题时，把，错看成“，”，但他计算的结果也是正确的，请你说明这是怎么回事． （2）李兵同学在计算时，由于马虎，将“”错看成了“”，求得的结果为，请你帮助李兵同学求出这道题的正确结果． 【变式题10-3】.（26-27七年级上·辽宁大连·期中）阅读： 已知，若A的值与字母x的取值无关，求a的值． 化简得， ∵A的值与字母x的取值无关 ∴，解得． ∴当时，A的值与字母x的取值无关． 利用以上信息完成以下问题： (1)已知，． ①用含m，x的式子表示； ②若的值与字母x的取值无关，求m的值． (2)如图1的小长方形，长为a，宽为2，现把6个这样的小长方形按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），左上角的面积为，右下角的面积为，设，无论x为何值时，发现的值始终保持不变，请求出a的值． 【题型11】整式与几何图形的周长、面积 　　解题技巧： 先用含字母的式子表示各条边长，再按周长、面积公式列式：长方形、，三角形。图形由几个部分拼成时，把各部分面积相加或相减，注意重叠部分要减去一次。列完后代值计算，结果要化简，并检验是否符合"边长大于0"等实际限制。 【例题11】.（26-27七年级上·北京东城·期中）三个完全相同的小长方形不重叠地放入大长方形中，将图中的两个空白小长方形分别记为，，大长方形的长与宽数据如图所示．以下结论正确的是（     ） A． B．小长方形的周长为 C．与的周长和恰好等于长方形的周长 D．只需知道和的值，即可求出与的周长和 【变式题11-1】.（26-27七年级上·湖北鄂州·期中）如图是由长方形、正方形、直角三角形组成的图形（单位：） (1)用式子表示图形阴影部分的面积； (2)当，时，求阴影部分的面积． 【变式题11-2】.（26-27七年级上·甘肃武威·期中）如图．某地计划在一块长方形公园空地上修建两个长方形戏台（阴影部分）． (1)用含m，n的代数式表示戏台的面积： ______平方米，______平方米； (2)如果修建戏台的费用为200元/平方米，当米，米时，求修建戏台需要的总费用． 【变式题11-3】.（26-27七年级上·山东青岛·期中）综合与实践 【问题情境】在一次数学探究活动课上，同学们利用一张边长为20cm的正方形纸板开展了“长方体纸盒的制作”实践活动． (1)图1中，是无盖正方体的表面展开图的是______．（填序号） 【操作探究】如图2，广学小组的同学先在纸板四角剪去边长为5cm的小正方形，再沿虚线折合起来，制成了一个无盖的长方体纸盒，如图3，至精小组的同学先在纸板四角剪去两个边长为3cm的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来，制成了一个有盖的长方体纸盒． 【计算分析】 (2)①求图2中的长方体纸盒的底面周长和体积． ②若在纸板四角剪去边长为的小正方形，制成无盖长方体的体积是多少？（列出代数式） ③求图3中的长方体纸盒的体积． 【问题解决】 (3)请你利用边长为30cm的正方形纸板制作一个有盖长方体纸盒，画出设计图并计算其体积． 【题型12】含绝对值的整式化简与分类讨论 　　解题技巧： 先由数轴或已知条件判断各字母及差式的正负，再逐个去掉绝对值：正的就照写，负的取相反数。含多个绝对值时按零点把取值范围分段，逐段化简并检验结果是否落在该段内。若题目只给"a<b<0"这类关系，就先确定、等式子的符号再化简，避免直接去掉绝对值导致符号错误。 【例题12】.（25-26七年级上·山东聊城·阶段检测）在学习一个数的绝对值过程中，化简时，可以这样分类：当时， ；当时，；当时，．请用这种方法解决下列问题． (1)当时，则___________；当时，则___________． (2)已知是有理数，当时，试求的值． 【变式题12-1】.（26-27七年级上·重庆·期中）当时，；当时，，利用这个结论解决下列问题： 如图所示，数轴上点A，B，C表示的数分别为a，b，c， (1)求的值； (2)化简 【变式题12-2】.（上海市金山区2026-2027学年六年级数学第一学期期中考试）【阅读材料】对于不为零的有理数a，把a的绝对值除以a，所得的商叫做a的“符号值”．例如：当时，符号值为；当时，符号值为． 【问题解决】2026年汛期，某水库管理处在库区设置水位监测站，以警戒水位为基准：高于警戒水位的部分记为正数，低于警戒水位的部分记为负数（单位：米）．某日上午水位记作a米，下午水位记作b米，a、b都不为0． (1)当且时，求的值． (2)当a、b一正一负时，的值为__________，的值为__________； (3)当天夜里又观测了一次，水位记作c米（），且，则这一天水位高于警戒水位的观测次数是__________次． (4)该周某一天，监测站共进行了5次观测，每次水位都不为0，且这5次观测值的符号值之和恰好等于其中某一次观测的符号值．水位高于警戒水位的观测可能有__________次（写出所有可能的结果）． 【变式题12-3】.（26-27七年级上·山西大同·期中）阅读与思考 请认真阅读下面材料，并完成相应的任务． 我们知道，有理数包括正有理数、0、负有理数，而绝对值的代数意义是对于任意有理数， ．由于绝对值会“掩盖”数的正负性，因此解决含绝对值的问题时，需根据数的正负（或零）进行分类讨论，避免漏解． 例如：若，则或；若，则或． 任务： 已知有理数，，，请按要求解答． (1)若，，且，异号，则______； (2)若，，求的值； (3)若，直接写出的值． 同步练习 一、单选题 1．下列各式中，符合代数式书写规范要求的是（     ） A． B． C． D． 2．关于多项式的说法正确的是（     ）． A．是按的升幂排列的 B．最高次项是 C．是七次三项式 D．当，时，多项式的值为 3．下列各组式子是同类项的一组是（     ） A．与 B．与 C．与 D．与 二、填空题 4．规定一种新运算：，例如．则__________． 5．已知：，求代数式的值____________． 6．已知，那么______________． 三、解答题 7．化简： (1) (2) 8．【阅读材料】整体思想就是在研究和解决有关数学问题时，发现问题的整体结构特征，用“整体”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，进行有目的、有意识的整体处理的解题思路． 例如：已知，求代数式的值． 明明同学在做作业时采用整体代入的方法如下： 解：由得，， 所以代数式的值为5． 【学以致用】 (1)若，则代数式的值为__________； (2)若，，则代数式的值为__________； (3)【拓展延伸】已知当时，，求当时，代数式的值． 9．已知代数式，，． (1)当，时，求代数式M的值； (2)若代数式M的值与x的取值无关，求y的值． 10．现在有边长分别为的两种正方形卡片若干（如图1），还有一个长宽分别为13，9的长方形． (1)如图2，将两种正方形卡片各一张放入长方形中，计算出阴影部分的周长，并用含的代数式表示阴影部分的面积； (2)如图3，将两张边长为的正方形卡片放置在长方形中，用含的代数式表示阴影部分的周长； (3)如图4，将两张边长为的正方形卡片与四张边长为的正方形卡片放置在长方形中，用含的代数式表示阴影部分的周长，并求当时阴影部分的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章 整式及其加减 知识点1：代数式的概念与书写规范 　　1.用运算符号把数与字母连接起来的式子叫代数式，单独一个数或字母也是代数式。 　　2.书写规范：数字与字母相乘时数字写在前面，乘号省略；带分数化为假分数；除法写成分数形式。 　　3.代数式中不含"="、">"、"<"等关系符号。 知识点2：列代数式 常见情境 代数式 行程（速度v、时间t） 工程（效率a、时间t） 利润（售价a、成本b） 打折（原价a、打x折） 知识点3：代数式的值 　　1.用数值代替代数式中的字母，按运算顺序算出的结果叫代数式的值。 　　2.步骤：代入→计算，代入负数时要加括号。 　　3.整体代入：把某个式子的值整体看作一个数代进去。 知识点4：单项式 　　1.由数与字母的乘积组成的式子叫单项式，单独一个数或字母也是单项式。 　　2.系数：单项式中的数字因数；次数：所有字母指数的和。 　　3.注意：不是单项式，因为分母含字母。 知识点5：多项式 　　1.几个单项式的和叫多项式，每个单项式叫它的项，不含字母的项叫常数项。 　　2.多项式的次数等于次数最高项的次数。 　　3.升幂/降幂排列：按某一字母的指数从小到大或从大到小排列。 知识点6：整式与同类项 概念 要点 整式 单项式与多项式统称整式 同类项 所含字母相同，且相同字母的指数也相同 合并同类项 系数相加，字母和字母的指数不变 　　注意：同类项与系数无关，也与字母的排列顺序无关。 知识点7：去括号与添括号 情形 符号变化 括号前是"+" 去掉括号，各项符号都不变 括号前是"-" 去掉括号，各项符号都改变 括号前有系数 先用乘法分配律乘遍括号内每一项 知识点8：整式的加减 　　1.一般步骤：去括号→合并同类项。 　　2.结果要求：化到最简，不再有同类项可合并。 　　3.化简求值时，先化简再代值，能减少计算量。 知识点9：探索规律 　　1.数字规律：观察相邻项的差或比，归纳出含n的式子。 　　2.图形规律：先数前几个图形对应的数量，把数量列成数列，再找通项。 　　3.结论要用含n的代数式表示，并注明n为正整数。 知识点10：易错警示 易错点 错误做法 正确做法 去括号 只变第一项符号 括号前是"-"时每一项都变号 合并同类项 把指数也相加 只加系数，指数不变 单项式次数 把系数也算进次数 次数只算字母指数之和 代入求值 负数直接代入不加括号 负数、分数代入要加括号 【易错题型】 【题型1】去括号与合并同类项的符号错误 　　1.易错点总结 　　去括号时最容易只把第一项变号，后面的项照抄；括号前有系数时忘记把系数乘遍每一项；合并同类项时把字母的指数也相加，或者把不是同类项的项强行合并。 　　2.纠错技巧 　　去括号前先在括号前标出"+"还是"-"，是"-"就把括号内每一项逐个变号，可以用"先写一遍、再逐项改符号"的办法防止遗漏；括号前有数字，先用分配律把数字乘到每一项上再合并。判断同类项只看字母和对应指数，与系数、字母顺序无关，合并时只把系数相加、字母部分照写。 【例题1】.（26-27七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）先去括号再合并同类项 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式题1-1】.（26-27七年级上·吉林长春·期中）化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据合并同类项法则合并同类项即可； （2）先去括号，再合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式题1-2】.（26-27七年级上·重庆九龙坡·期中）化简： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式题1-3】.（26-27七年级上·四川成都·阶段检测）计算 (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【基础题型】 【题型2】代数式的概念与书写规范 　　解题技巧： 先看式子是否只由数、字母和运算符号组成，含"="、">"、"<"的一律不是代数式。检查书写规范时逐条核对：数字是否写在字母前、乘号是否省略、带分数是否化成假分数、除法是否写成分数线；单独的一个数或字母也符合代数式的定义，不要漏判。 【例题2】.（26-27七年级上·四川德阳·期中）下列各式中，不是代数式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】明确代数式不含不等号、等号等关系符号，以此为依据判断各选项． 【详解】解：选项A，B，C中的式子均由运算符号连接数与字母，是代数式； 选项D中的含不等号，不是代数式． 【变式题2-1】.（26-27七年级上·湖南长沙·期中）下列式子不是代数式的是（     ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【详解】解：，，均为代数式，含有等号，不是代数式． 【变式题2-2】.（26-27七年级上·内蒙古巴彦淖尔·期中）下列式子中，符合代数式书写要求的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据代数式的书写要求判断即可． 【详解】解：A选项符合代数式书写规范． B选项中带分数应化为假分数，不符合书写规范． C选项中除法运算应写成分数形式，不符合书写规范． D选项中字母与字母相乘时乘号应省略，不符合书写规范． 【变式题2-3】.（26-27七年级上·重庆·期中）下列式子中符合代数式书写规范的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A选项应写成分数形式，应为，不符合规范； B选项，带分数应化为假分数，应为，不符合规范； C选项，书写符合规范； D选项的数字应写在字母前且省略乘号，应为，不符合规范. 【题型3】列代数式表示数量关系 　　解题技巧： 先把题目中的关键量用字母表示出来，再按"多、少、倍、几分之几"等词语确定运算：多则加、少则减、几倍则乘、几分之几则乘分数。行程问题抓，工程问题抓，利润问题抓。列完后检查字母是否代表题中指定的量、单位是否统一。 【例题3】.（天津市西青区2026～2027学年度第一学期学业质量中期监测七年级数学试卷）甲、乙两地相距．李明原计划骑车从甲地到乙地，需用时，后因天气原因，改乘公交车前往，结果提前到达乙地，公交车的速度可以表示为______． 【答案】/ 【分析】已知甲乙两地全程为，原计划用时，实际乘公交比原计划少用，先算出实际乘车时间，再结合速度公式列式即可． 【详解】解：∵ 原计划从甲地到乙地用时，乘公交车提前到达， ∴ 乘公交车行驶全程的实际用时为， ∵ 速度路程时间，甲乙两地全程为， ∴ 公交车的速度为． 【变式题3-1】.（26-27七年级上·黑龙江牡丹江·期中）一次知识竞赛共有24道选择题，规定：答对1道得3分，答错1道扣1分，如果某位学生所有题目都答了，其中答对了道题，则他的成绩为________分． 【答案】 / 【分析】根据题意列代数式即可． 【详解】解：由题意知， 答错的题数为道， ∴ 学生的成绩为（分）． 【变式题3-2】.（26-27七年级上·重庆·期中）学校为丰富图书角，计划购买一批科普读物．第一次采购价为每本a元，共花费300元，很快借阅一空；第二次又花费300元采购，因为商家促销，每本价格比第一次降低5元，则第二次购进的读物数量比第一次多了（     ）本． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先分别求出两次购买的书本数量，再用第二次数量减去第一次数量，得到多出来的本数． 【详解】解：∵第一次采购单价为每本元，总花费为元， ∴第一次购进读物的数量为本． ∵第二次每本价格比第一次降低元，总花费为元， ∴第二次采购单价为每本元，购进读物的数量为本． ∴第二次购进的读物数量比第一次多本． 【变式题3-3】.（26-27七年级上·安徽合肥·期中）若x表示一个两位数，y也表示一个两位数，小明想用x、y来组成一个四位数，且把x放在y的右边，你认为下列表达式中哪一个是正确的（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】明确左侧两位数需扩大100倍是解题关键． 【详解】解：∵x表示一个两位数，y也表示一个两位数，小明想用x、y来组成一个四位数，且把x放在y的右边， ∴此时y为四位数的前两位，需扩大100倍，x作为四位数的后两位，大小不变， ∴该四位数为． 【题型4】单项式与多项式的相关概念 　　解题技巧： 找单项式的系数时，把数字因数和符号一起拿出来，字母部分留着；次数只把各字母的指数相加，不要把系数算进去。多项式的项要带符号看，常数项是不含字母的那一项；多项式次数取次数最高的那一项，升降幂排列时按指定字母的指数排序，其他字母当作常数。 【例题4】.（26-27七年级上·天津和平·期中）下列说法正确的是(     )． A．的次数为 B．和不是单项式 C．的系数是 D．是次单项式 【答案】D 【分析】判断时注意为常数，单项式系数包含符号，单独的数或字母均为单项式． 【详解】解：A选项，的次数为，故A错误． B选项，和都是单项式，故B错误． C选项，的系数是，故C错误． D选项，的次数为，是次单项式，故D正确． 【变式题4-1】.（26-27七年级上·陕西榆林·期中）已知是六次三项式，且的次数与这个多项式的次数相同． (1)求m、n的值； (2)当，时，求的值． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）解：∵是六次三项式， ∴， ∴；     的次数与这个多项式的次数相同， ．     （2）解：由（1）知，， ∴多项式为， 当，时， 原式     ． 【变式题4-2】.（26-27七年级上·吉林·期中）若多项式是关于、的四次多项式，则_______． 【答案】1 【详解】解：∵多项式中的次数为，高于四次多项式的最高次数4， ∴该次项的系数必须为0，即，解得； ∵多项式为四次多项式，因此剩余含x、y的项的次数为4， ∴该单项式的次数满足， 将代入上式，得； 整理得，解得. 【变式题4-3】.（26-27七年级上·陕西西安·期中）若关于，的多项式为一个三次二项式，则的值是（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】先合并同类项化简多项式，根据三次二项式的定义，令二次项系数为0求解． 【详解】解： ∵该多项式为三次二项式， ∴． 解得． 【题型5】同类项的定义与参数求解 　　解题技巧： 判断两个单项式是不是同类项，只看两条：所含字母相同，且相同字母的指数也相同。 求参数时，先按字母一一对照指数列方程，解完后回代检验：确认两个式子确实字母相同、指数相同，并注意指数应为非负整数、系数不为0等隐含条件。 【例题5】.（26-27七年级上·重庆九龙坡·期中）下列式子中互为同类项的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【详解】解：A中与所含相同字母的指数不同，不是同类项； B、D中两项所含字母不同，不是同类项； C中与所含字母相同，且相同字母的指数也相同，是同类项． 【变式题5-1】.（26-27七年级上·天津北辰·期中）若单项式与单项式是同类项，则________． 【答案】 【分析】利用同类项的定义建立关于、的方程，求解后代入计算的值． 【详解】解：∵ 单项式与是同类项， ∴ ，， 解得 ，， ∴ ． 【变式题5-2】.（26-27七年级上·广东佛山·期中）若单项式与是同类项，则________． 【答案】 【详解】解：∵两个单项式是同类项 ∴所含相同字母的指数分别相等 可得， 解得 ∴ 【变式题5-3】.（26-27七年级上·辽宁大连·期中）如果和是同类项，那么的值是（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】D 【详解】解：∵与是同类项， ∴，， ∴． 【提升题型】 【题型6】整式的加减运算与化简求值 　　解题技巧： 按"先去括号、再合并同类项"的顺序做，多个多项式相加减时，把每个多项式先用括号括起来再连写，避免符号串位。化简到没有同类项可合并为止，然后代值；代值前观察是否可以先算出一个整体的值，能整体代入就不逐个代。 【例题6】.（26-27七年级上·广东深圳·期中）先化简再求值：，其中． 【答案】 化简结果为，求值结果为 【详解】解：原式 ， ∵， 其中，， ∴， 解得， ∴原式． 【变式题6-1】.（26-27七年级上·重庆九龙坡·期中）先化简再求值，其中． 【答案】， 【详解】解：原式， ∵，， ∴， 解得． 将代入化简后的式子，得 原式． 【变式题6-2】.（26-27七年级上·内蒙古包头·期中）计算： (1)先化简，再求值：，其中：，． (2)已知多项式，． ①化简：． ②当，时，求的值． 【答案】(1)，2 (2)①；②1 【分析】（1）先去括号，再合并同类项，最后代入求值即可； （2）①先去括号，再合并同类项即可； ②整体代入计算即可． 【详解】（1）解： ， 当，时，原式； （2）解：①∵， ∴ ； ②当，时， . 【变式题6-3】.（26-27七年级上·天津红桥·期中）某同学做一道题：“已知两个多项式，，计算”，他误将“”看成“”，求得的结果为，已知． (1)求这道题的正确答案； (2)若，，求此时的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据误操作“”的结果和已知，先求出，再计算正确的； （2）将，，代入（1）中结果计算即可； 【详解】（1）解：，， ∴ ， ∴； （2）解：当，时，． 【题型7】整体代入求代数式的值 　　解题技巧： 先观察待求式子与已知条件之间的倍数或加减关系，把已知式子整体看作一个字母。例如已知，求，就把整体换成3，得。关键是凑出已知的整体，必要时对已知式或待求式变形（提公因式、乘系数）。 【例题7】.（26-27七年级上·北京西城·期中）已知，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】观察到所求代数式前两项是已知等式左边的3倍，可通过整体代入法求解 【详解】解：∵ ， ∴ 【变式题7-1】.（26-27七年级上·重庆·期中）若，则代数式的值为（     ） A．7 B．13 C． D． 【答案】D 【分析】将待求代数式变形为含的形式，整体代入计算． 【详解】解：， ∵， ∴原式． 【变式题7-2】.（26-27七年级上·重庆·期中）已知，且． (1)求的值； (2)若，互为相反数，，互为倒数，求的值． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）利用绝对值、平方的性质求出a，b的取值，结合说明a，b同号，分情况计算； （2）根据相反数、倒数的定义得到、的值，再代入求值． 【详解】（1）解：， ． ， ． ， 同号． 当，时，； 当，时，． 综上，的值为或． （2）解：，互为相反数， ． ，互为倒数， ． 由（1）知， ． 【变式题7-3】.（26-27七年级上·广西防城港·期中）计算 (1)当时，求代数式的值； (2)已知，，求代数式的值． 【答案】(1)11 (2)1 【分析】（1）将给定的值直接代入目标代数式，按有理数运算法则计算． （2）将已知的、的整体值直接代入目标代数式，按有理数运算法则计算． 【详解】（1）解：将代入 （2）解：将，代入 【题型8】根据字母的指数升降幂排列 　　解题技巧： 升降幂排列时先确定按哪个字母排，再把这个字母的指数从大到小（降幂）或从小到大（升幂）依次写，缺项的位置可以空着，其他字母的项按常数处理。 【例题8】.（26-27七年级上·上海浦东新·期中）把多项式按照字母升幂排列为________． 【答案】 【详解】解：把多项式按照字母升幂排列为． 【变式题8-1】.（26-27七年级上·上海·阶段检测）将多项式按字母的降幂排列为___________． 【答案】 【分析】拆分多项式的所有单项式，确定每个单项式中字母的指数，按照的指数从大到小的顺序排列各项，排列过程中需保留每一项的原有符号． 【详解】解：∵ 多项式的各项为、、、． ∵ 各项中的次数分别为2、1、3、0． ∴ 按字母的降幂排列为． 【变式题8-2】.（26-27七年级上·吉林长春·期中）已知多项式． (1)按x的降幂排列； (2)当，时，求该多项式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）明确各单项式中x的指数，按指数从大到小的顺序排列即可． （2）将给定的x、y取值代入多项式，按照有理数混合运算规则计算即可． 【详解】（1）解：拆分原多项式的所有单项式为，，，． 确定各单项式中x的次数：的x次数为3，的x次数为2，的x次数为1，常数项的x次数为0． 按x的次数从高到低排列，得到． （2）解：将，代入原多项式， 原式 ． 【变式题8-3】.（26-27七年级上·吉林长春·期中）已知多项式，按要求解答下列问题： (1)该多项式的次数是___________，三次项的系数是___________，常数项是___________； (2)按x的降幂排列为：___________． 【答案】(1)，， (2) 【详解】（1）解： 该多项式的次数是，三次项的系数是，常数项是； （2）解：按x的降幂排列为． 【题型9】程序框图与规律求值 　　解题技巧： 按箭头方向逐步代入，把每一步的输出写在旁边，直到满足"输出条件"为止；若题目要求"结果不大于某数就再次输入"，就把上一次结果作为新的输入继续循环，注意循环终止的条件不要提前或延后。算完后回看每一步是否符合框内的运算符号（尤其是乘方和绝对值）。 【例题9】.（26-27七年级上·天津和平·期中）如图是一个数值计算程序： (1)用含x的代数式表示输出的结果为_________； (2)当时，输出的值为m，当时，输出的值为n，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据程序图列代数式即可； （2）分别将、代入（1）中代数式求出m、n的值，进而代入计算即可． 【详解】（1）解：由程序图可知，当输入的值为x时，输出结果为； （2）解：当时，， 当时，， ∴． 【变式题9-1】.（2026·江西上饶·模拟预测）按下列程序计算，把答案填写在表格里，然后看看有什么规律，想想为什么会有这个规律？ (1)填写表内空格； 输入x 5 4 … 输出答案 … (2)你发现的规律是______，并证明该规律的正确性． 【答案】(1) 输入x 5 4 … 输出答案 0 0 0 0 … (2)输入的x为任何数结果都为0． 证明：∵， ∴无论x取任何值，结果都为0，即结果与字母x的取值无关． 【分析】（1）把各数值代入程序中计算出结果即可，特别要注意运算顺序； （2）由前几项都为0可得出规律：输入任何数结果都为0．然后根据程序写出关于x的方程式，求得此方程式的值为0，所以无论x取任何值，结果都为0． 【详解】（1）略 （2）略 【变式题9-2】.（24-25七年级上·上海黄浦·期末）已知字母n代表某一个数，按图所示程序输入计算，当第一次输入n为30时，那么第8次输出的结果应为 _____． 【答案】4 【分析】本题主要考查代数式求值，输入的n是30，是偶数，代入，即即可得到第一次输出的数值15，同时是第二次输入的数，15是奇数应该代入进行解答，依次进行计算即可，解答的关键是理解清楚题意． 【详解】解：把30代入得到第一次输出是， 把15代入得到第二次输出， 把22代入得到第三次输出是， 把11代入得到第四次输出， 把18代入得到第五次输出是， 把9代入得到第六次输出， 把16代入得到第七次输出是， 把8代入得到第八次输出， 故答案为：4． 【变式题9-3】.（25-26七年级上·江苏南通·期中）在学习完有理数的混合运算后，小明和同学一起编制了如下一个运算程序：按上述法则继续运算，并不断重复这个运算程序m次，直到运算的结果第一次为1时，终止此程序，我们就称m是自然数n的熵．例如自然数时，则这样经过3次运算后结果第一次为1，则称8的熵．若输入自然数，则自然数3的熵_________；若一个自然数n的熵，则满足条件的所有可能的自然数n的取值之和为_________； 【答案】 7 1572 【分析】本题考查程序流程图与有理数的计算，根据程序流程图代值计算，求出时的熵，根据n为自然数，得到最后结果为1时，一定是，进而推出熵时，输入的所有可能的自然数，再求和即可． 【详解】解：当时， 第一次运算：， 第二次运算：， 第三次运算：， 第四次运算：， 第五次运算， 第六次运算， 第七次运算， 故自然数3的熵； 当时： 第十次运算时输入为：， 第九次运算时输入为：， 第八次运算时输入为：， 第七次运算时输入为：， 第六次运算时输入为：，或， 第五次运算时输入为：或， 第四次运算时输入为：或或或， 第三次运算时输入为：或或或， 第二次运算时输入为：或或或或或， 第一次运算时输入为：或或或或或， ∴当时，满足题意， ∴； 故答案为：7，1572． 【培优题型】 【题型10】整式加减中的"无关项"与"错看"问题 　　解题技巧： 遇到"结果与某字母无关"，先把式子化简，再令该字母的同类项系数为0，列方程求参数；遇到"不含某项"，同样令该项系数为0。处理"错看"问题时，把看错的式子按错误方式算一遍得到错误结果，再与正确结果比较，反推出原多项式的系数，最后按正确方式重算。 【例题10】.（26-27七年级上·黑龙江佳木斯·期中）已知，． (1)化简结果按的降幂排列； (2)若的值与字母的取值无关，求、的值； (3)在(2)的条件下，当时，求的值． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）将、代入，去括号合并同类项后按的降幂排列． （2）多项式的值与取值无关，则含的各次项系数为0，列方程求解． （3）将、的值和代入化简后的式子计算． 【详解】（1）解：由题意得，． （2）∵的值与字母的取值无关． ∴含的二次项和一次项的系数均为0． 即，． 解得， （3）在（2）的条件下，． 当时，． 【变式题10-1】.（21-22七年级上·广东云浮·期中）小张同学在计算时，将“”错看成了，得出的结果是． (1)请问题目中的___________，的正确结果为____________； (2)试探索：当字母b、c满足什么关系时，（1）中的结果与字母a的取值无关． 【答案】(1)， (2)当b=5c时，正确的计算结果与字母a的取值无关 【分析】（1）先根据题意列出，利用整式相加减求出A，再求正确式子的结果即可； （2）将ab﹣5ac+2写成（b﹣5c）a+2，即可得到当b=5c时，正确的计算结果与字母a的取值无关． 【详解】（1）由题意得：， ， ， 故答案为：，． （2）ab﹣5ac+2= a（b﹣5c）+2， 由题意可得：b﹣5c=0， ∴b=5c， ∴当b=5c时，正确的计算结果与字母a的取值无关． 【点睛】本题考查了整式的加减，熟知整式的加减实质上就是合并同类项是解答此题的关键． 【变式题10-2】.（24-25七年级上·四川成都·期中）（1）小刚在做“计算的值，其中，”这道题时，把，错看成“，”，但他计算的结果也是正确的，请你说明这是怎么回事． （2）李兵同学在计算时，由于马虎，将“”错看成了“”，求得的结果为，请你帮助李兵同学求出这道题的正确结果． 【答案】 （1）证明： ， ∵a取正负2时，的结果相等，b取正负1时，的结果相等， ∴把，错看成“，”，最后计算的结果相同，都是正确的； （2） 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，整式的加减计算： （1）先把原式去括号，然后合并同类项化简得到，再根据绝对值相同的两个数的平方的结果相等即可得到结论； （2）先根据题意求出，再计算出即可． 【详解】解：（1）略 （2）由题意得，， ∴ ， ∴ ． 【变式题10-3】.（26-27七年级上·辽宁大连·期中）阅读： 已知，若A的值与字母x的取值无关，求a的值． 化简得， ∵A的值与字母x的取值无关 ∴，解得． ∴当时，A的值与字母x的取值无关． 利用以上信息完成以下问题： (1)已知，． ①用含m，x的式子表示； ②若的值与字母x的取值无关，求m的值． (2)如图1的小长方形，长为a，宽为2，现把6个这样的小长方形按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），左上角的面积为，右下角的面积为，设，无论x为何值时，发现的值始终保持不变，请求出a的值． 【答案】(1) ； (2) 【分析】（1）①去括号，合并同类项即可；②根据的值与无关，合并同类项后，使的系数为0，进行求解即可； （2）分别表示出，，求出的值，根据的值始终保持不变，得到的值与无关，进行求解即可． 【详解】（1）解：①∵，， ∴ ； ②； ∵的值与字母x的取值无关， ∴， ∴； （2）解：由题意得： ， ∴ ∵的值始终保持不变， ∴的值与x无关， ∴， ∴． 【题型11】整式与几何图形的周长、面积 　　解题技巧： 先用含字母的式子表示各条边长，再按周长、面积公式列式：长方形、，三角形。图形由几个部分拼成时，把各部分面积相加或相减，注意重叠部分要减去一次。列完后代值计算，结果要化简，并检验是否符合"边长大于0"等实际限制。 【例题11】.（26-27七年级上·北京东城·期中）三个完全相同的小长方形不重叠地放入大长方形中，将图中的两个空白小长方形分别记为，，大长方形的长与宽数据如图所示．以下结论正确的是（     ） A． B．小长方形的周长为 C．与的周长和恰好等于长方形的周长 D．只需知道和的值，即可求出与的周长和 【答案】D 【分析】根据图形边长关系表示出和的长与宽，分别判断各选项即可． 【详解】解：由图可知：，故，故A不正确； 小长方形的周长为：，故B不正确； 与的周长和为： ， 长方形的周长为：， 故与的周长和不等于长方形的周长，故C不正确， 故只需知道和的值，即可求出与的周长和，故D正确， 【变式题11-1】.（26-27七年级上·湖北鄂州·期中）如图是由长方形、正方形、直角三角形组成的图形（单位：） (1)用式子表示图形阴影部分的面积； (2)当，时，求阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据长方形、正方形、直角三角形的面积表示阴影面积即可； （2）将，代入阴影部分面积的表达式中求解即可． 【详解】（1）解：， ， 则阴影部分的面积为； （2）解：由（1）可知，阴影部分的面积为， 当，时，阴影部分的面积为． 【变式题11-2】.（26-27七年级上·甘肃武威·期中）如图．某地计划在一块长方形公园空地上修建两个长方形戏台（阴影部分）． (1)用含m，n的代数式表示戏台的面积： ______平方米，______平方米； (2)如果修建戏台的费用为200元/平方米，当米，米时，求修建戏台需要的总费用． 【答案】(1)； (2)96000元 【分析】（1）根据长方形的面积公式计算即可得出结果； （2）先求出修建戏台的总面积，再结合修建戏台的费用为200元/平方米，计算即可得出结果． 【详解】（1）解：由题意可得平方米， 平方米； （2）解：修建戏台的总面积为： （平方米）， ∵修建戏台的费用为200元/平方米， ∴当米，米时，修建戏台需要的总费用为： （元）． 【变式题11-3】.（26-27七年级上·山东青岛·期中）综合与实践 【问题情境】在一次数学探究活动课上，同学们利用一张边长为20cm的正方形纸板开展了“长方体纸盒的制作”实践活动． (1)图1中，是无盖正方体的表面展开图的是______．（填序号） 【操作探究】如图2，广学小组的同学先在纸板四角剪去边长为5cm的小正方形，再沿虚线折合起来，制成了一个无盖的长方体纸盒，如图3，至精小组的同学先在纸板四角剪去两个边长为3cm的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来，制成了一个有盖的长方体纸盒． 【计算分析】 (2)①求图2中的长方体纸盒的底面周长和体积． ②若在纸板四角剪去边长为的小正方形，制成无盖长方体的体积是多少？（列出代数式） ③求图3中的长方体纸盒的体积． 【问题解决】 (3)请你利用边长为30cm的正方形纸板制作一个有盖长方体纸盒，画出设计图并计算其体积． 【答案】(1)①③ (2) ①底面周长为，体积为②体积为，其中 ③ (3)设计图 体积为． 【分析】（1）无盖正方体共有5个面，逐一按折叠情况判断：①与③折合后能围成无盖正方体，②折合时有两面重合，不能． （2）①剪去边长的四个角后，底面是边长的正方形，高为，再用侧面积公式与体积公式计算． ②设剪去的小正方形边长为 ，则底面边长为 、高为 ，由体积底面积高列出代数式并写明取值范围． ③竖直方向依次为前面、底面、后面、盖子，前面与后面各占，盖子与底面同样大，故宽为；水平方向左右两个面各占，长为，高为，代入体积公式． （3）按“上方两角剪边长的正方形、下方两角剪长宽的长方形”设计，折合后得长、宽、高的有盖长方体，再求体积． 【详解】（1）解：无盖正方体共有5个面， 图①折合后能围成无盖的正方体， 图③折合后能围成无盖的正方体， 图②折合时有两个面重合，缺少一个面，不能围成无盖的正方体， ∴无盖正方体的表面展开图是①③． （2）①解：∵在纸板四角各剪去一个边长为的小正方形， ∴折合后无盖长方体的高为， 底面是边长为的正方形， ∴底面周长， 体积． ②解：设剪去的小正方形的边长为 ， 则折合后无盖长方体的高为 ， 底面是边长为的正方形， ∴体积， 其中． ③解：由图3的剪折方法可知， 水平方向上，左右两个面各宽， ∴长方体的长为， 竖直方向上，依次是前面、底面、后面、盖子， ∵前面与后面各占，盖子与底面大小相同， ∴长方体的宽为， 高为， ∴体积． （3）解：设计方法：在边长为的正方形纸板的上方两角各剪去一个边长为的小正方形，下方两角各剪去一个长、宽的小长方形，再沿虚线折合，即得到一个有盖长方体纸盒。 设计图为： 长方体的长为，宽为，高为 ， ∴ 体积． 【题型12】含绝对值的整式化简与分类讨论 　　解题技巧： 先由数轴或已知条件判断各字母及差式的正负，再逐个去掉绝对值：正的就照写，负的取相反数。含多个绝对值时按零点把取值范围分段，逐段化简并检验结果是否落在该段内。若题目只给"a<b<0"这类关系，就先确定、等式子的符号再化简，避免直接去掉绝对值导致符号错误。 【例题12】.（25-26七年级上·山东聊城·阶段检测）在学习一个数的绝对值过程中，化简时，可以这样分类：当时， ；当时，；当时，．请用这种方法解决下列问题． (1)当时，则___________；当时，则___________． (2)已知是有理数，当时，试求的值． 【答案】(1)1， (2)2或 【分析】本题考查了有理数的绝对值和有理数的运算，正确理解题意、熟练掌握有理数的相关知识是解题的关键； （1）先化简绝对值，再计算除法即可； （2）由可得或，再分两种情况结合绝对值的性质求解即可． 【详解】（1）解：当时，则； 当时，则， 故答案为：1，． （2）解：当，则或， 当时，； 当时，； 综上，的值是2或． 【变式题12-1】.（26-27七年级上·重庆·期中）当时，；当时，，利用这个结论解决下列问题： 如图所示，数轴上点A，B，C表示的数分别为a，b，c， (1)求的值； (2)化简 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据数轴判断a，b，c的正负，再利用的结论算出结果； （2）先判断绝对值内式子的正负，再去绝对值符号合并化简式子． 【详解】（1）解：由数轴可知， 所以． （2）解：由数轴可知，， 所以， 则 ． 【变式题12-2】.（上海市金山区2026-2027学年六年级数学第一学期期中考试）【阅读材料】对于不为零的有理数a，把a的绝对值除以a，所得的商叫做a的“符号值”．例如：当时，符号值为；当时，符号值为． 【问题解决】2026年汛期，某水库管理处在库区设置水位监测站，以警戒水位为基准：高于警戒水位的部分记为正数，低于警戒水位的部分记为负数（单位：米）．某日上午水位记作a米，下午水位记作b米，a、b都不为0． (1)当且时，求的值． (2)当a、b一正一负时，的值为__________，的值为__________； (3)当天夜里又观测了一次，水位记作c米（），且，则这一天水位高于警戒水位的观测次数是__________次． (4)该周某一天，监测站共进行了5次观测，每次水位都不为0，且这5次观测值的符号值之和恰好等于其中某一次观测的符号值．水位高于警戒水位的观测可能有__________次（写出所有可能的结果）． 【答案】(1)2 (2)0， (3)2 (4)2或3 【分析】（1）根据绝对值的意义和有理数的除法、加法法则计算即可； （2）分，；，讨论即可； （3）设三个符号值中等于1的数量为k，则等于的数量为，根据列出关于k的方程，解方程即可； （4）设5次观察中符号值中等于1的数量为k，则等于的数量为，求出5次观测的符号值总和为，根据这5次观测值的符号值之和恰好等于其中某一次观测的符号值列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴； （2）解：当，时， ，； 当，时， ，； 综上，的值为0，的值为； （3）解：设三个符号值中等于1的数量为k，则等于的数量为， 根据题意，得， 解得， 即这一天水位高于警戒水位的观测次数是2次 （4）解：设5次观测符号值中等于1的数量为k，则等于的数量为， ∴5次观测的符号值总和为， ∵这5次观测值的符号值之和恰好等于其中某一次观测的符号值， ∴或， 解得或， ∴水位高于警戒水位的观测可能有2次或3次． 【变式题12-3】.（26-27七年级上·山西大同·期中）阅读与思考 请认真阅读下面材料，并完成相应的任务． 我们知道，有理数包括正有理数、0、负有理数，而绝对值的代数意义是对于任意有理数， ．由于绝对值会“掩盖”数的正负性，因此解决含绝对值的问题时，需根据数的正负（或零）进行分类讨论，避免漏解． 例如：若，则或；若，则或． 任务： 已知有理数，，，请按要求解答． (1)若，，且，异号，则______； (2)若，，求的值； (3)若，直接写出的值． 【答案】(1) (2)，，， (3)或 【分析】（1）根据绝对值定义求的可能值，结合异号条件确定的取值，再计算． （2）由绝对值定义得到、的所有可能取值，分类讨论计算的值． （3）根据确定三个数中负数的个数，分类计算代数式的值． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，异号，， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， 当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，； 综上所述，的值为，，，； （3）解：∵， ∴，，均不为，且负数的个数为个或个， 当，，均为正数时，，，， ∴原式， 当，，中有个负数，个正数时，不妨设，，，则，，， ∴原式， 综上所述，的值为或． 同步练习 一、单选题 1．下列各式中，符合代数式书写规范要求的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据代数式的书写规则，数字应在字母前面，分数不能为带分数，不能出现除号，对各项的代数式进行判定，即可求出答案． 【详解】解：A. 符合书写规范，本选项符合题意； B. 带分数未化为假分数，书写不规范，本选项不符合题意； C. 使用除号，书写不规范，本选项不符合题意； D. 数字未写在字母前，书写不规范，本选项不符合题意． 2．关于多项式的说法正确的是（     ）． A．是按的升幂排列的 B．最高次项是 C．是七次三项式 D．当，时，多项式的值为 【答案】B 【分析】先确定多项式各项的次数，再依次判断幂排列、最高次项、多项式次数与项数，最后代入求值验证选项． 【详解】解：多项式的各项中，的指数依次为，，， A．该多项式当前是按的降幂排列，原说法错误，故此选项不符合题意； B．该多项式的最高次项为，原说法正确，故此选项符合题意； C．该多项式是三次三项式，原说法错误，故此选项不符合题意； D．当，时， ， ∴当，时，多项式的值为，原说法错误，故此选项不符合题意． 3．下列各组式子是同类项的一组是（     ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【详解】解：A选项，与所含字母不同，不是同类项； B选项，与所含字母相同，且相同字母的指数均相同，是同类项； C选项，与相同字母的指数不同，不是同类项； D选项，与中的指数不同，不是同类项. 二、填空题 4．规定一种新运算：，例如．则__________． 【答案】 【分析】按照给定的新运算规则，先依次计算两个括号内的运算结果，再将所得结果代入规则完成最终运算． 【详解】解：由题可知新运算规则为 先计算第一个括号内的 代入规则得 再计算第二个括号内的 此时原式转化为 代入新运算规则得 ． 5．已知：，求代数式的值____________． 【答案】 30 【分析】利用绝对值与平方的非负性求出、的取值，再代入代数式计算求值. 【详解】解：∵ ，，且. ∴，. 解得，. 将，代入代数式. 原式 . 6．已知，那么______________． 【答案】 【分析】对比已知等式与所求代数式的结构，可通过提公因式将所求代数式转化为含的整体形式，利用已知条件整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 三、解答题 7．化简： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接识别原式中的同类项，通过系数加减完成化简； （2）先依据乘法分配律去掉原式中的括号，再识别同类项通过系数加减完成化简． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 8．【阅读材料】整体思想就是在研究和解决有关数学问题时，发现问题的整体结构特征，用“整体”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，进行有目的、有意识的整体处理的解题思路． 例如：已知，求代数式的值． 明明同学在做作业时采用整体代入的方法如下： 解：由得，， 所以代数式的值为5． 【学以致用】 (1)若，则代数式的值为__________； (2)若，，则代数式的值为__________； (3)【拓展延伸】已知当时，，求当时，代数式的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）整体代入，计算即可； （2）将拆开为，问题得解； （3）将代入，可得，问题随之得解． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）∵当时，， ∴，即， 当时，代数式：． 9．已知代数式，，． (1)当，时，求代数式M的值； (2)若代数式M的值与x的取值无关，求y的值． 【答案】(1)１ (2)２ 【分析】（1）先对M的表达式进行化简，因为，所以先去括号合并同类项，将M转化为用A、B表示的最简形式，再代入A、B的代数式，进一步合并同类项得到M关于x、y的整式表达式．因为已知x、y的具体取值，所以将代入化简后的M的整式表达式，计算得到M的值． （2）因为M的值与x的取值无关，所以化简后的M的整式中，含x的项的系数必须为0，由此建立关于y的方程，求解得到y的值． 【详解】（1）解：先对M的代数式化简，简化计算： ， 把、代入： ， 将，代入化简后的式子： ． （2）解：把M中含x的项提取公因式x，整理得：， 当代数式的值与x取值无关时，说明含x的项的系数为0（x取任何数都不影响结果）， 因此： ， 解得． 10．现在有边长分别为的两种正方形卡片若干（如图1），还有一个长宽分别为13，9的长方形． (1)如图2，将两种正方形卡片各一张放入长方形中，计算出阴影部分的周长，并用含的代数式表示阴影部分的面积； (2)如图3，将两张边长为的正方形卡片放置在长方形中，用含的代数式表示阴影部分的周长； (3)如图4，将两张边长为的正方形卡片与四张边长为的正方形卡片放置在长方形中，用含的代数式表示阴影部分的周长，并求当时阴影部分的面积． 【答案】(1)， (2) (3)， 【分析】本题考查了图形的拼接，正方形与长方形的性质，通过图形的分割与平移表示出阴影部分的周长和面积是解题的关键． （1）根据正方形的四边相等，通过平移即可得出阴影部分的周长；用长方形的面积去掉两个正方形的面积即可求出阴影部分的面积； （2）阴影部分的图形是长方形，根据长方形的周长公式求解即可； （3）先通过图形的分割与平移可直接表示阴影部分的周长与面积，然后将值代入阴影部分的面积表达式即可求解． 【详解】（1）解：根据正方形四边相等，可知阴影部分的周长长方形的周长， 阴影部分的周长； 阴影部分的面积； （2）解：， 阴影部分是两个正方形的重叠部分， ； （3）解：， ， ， 当时， ． 学科网（北京）股份有限公司 $