第2章 有理数及其运算 单元复习（15大知识点+13大分层题型+易错重难点+巩固练习）培优讲义2026-2027学年北师大版七年级数学上册

第2章 有理数及其运算 知识点1：正数和负数 　　1.　正数：大于0的数叫做正数；负数：在正数前面加上""号的数叫做负数；0既不是正数，也不是负数。 　　2.　0的意义：0是正负数的分界；0可以表示"没有"；0可以用来表示基准，一般地，高于基准的量用正数表示，低于基准的量用负数表示。 知识点2：具有相反意义的量 　　1.　定义：在日常生活中，常用正数、负数来表示一对具有相反意义的量。 　　2.　表示方法：把其中一种意义的量规定为正的并用正数表示，把与它意义相反的量规定为负的并用负数表示，如规定海平面为0，珠穆朗玛峰高于海平面记作米。 知识点3：有理数 　　1.　定义：正整数、0、负整数统称为整数；正分数和负分数统称为分数；可以写成分数形式的数称为有理数。 　　2.　有理数的分类：按定义分为整数和分数；按符号分为正有理数、0、负有理数，具体见下表。 按定义分类 按符号分类 整数（正整数、0、负整数） 分数（正分数、负分数） 正有理数（正整数、正分数） 0 负有理数（负整数、负分数） 知识点4：数轴 　　1.　定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴，三要素为原点、正方向、单位长度，三者缺一不可。 　　2.　数轴上的点与有理数的关系：每个有理数都可以用数轴上的一点来表示，数轴上右边的数总比左边的数大。 知识点5：相反数 　　1.　定义：只有符号不同的两个数互为相反数，如和；特别地，0的相反数是0。 　　2.　几何意义：到数轴原点距离相等的两个点表示的两个数互为相反数；求一个数的相反数就是在它前面添上""号。 　　3.　多重符号化简：与""号个数无关，奇数个""号结果为负，偶数个""号结果为正。 知识点6：绝对值 　　1.　定义：数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作。 2.　绝对值的判断：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0， 即。 　　3.　绝对值的非负性：任何有理数的绝对值都是非负数，即；若几个非负数的和为0，则每个非负数都为0。 知识点7：有理数的大小比较 　　1.　利用数轴比较：在水平的数轴上表示有理数，它们从左到右的顺序就是从小到大的顺序，左边的数小于右边的数。 　　2.　利用分类比较：正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小。 　　3.　作差法：若，则；若，则；若，则。 知识点8：有理数的加法 　　1.　加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得0；一个数与0相加，仍得这个数。 　　2.　加法运算律：交换律；结合律。 知识点9：有理数的减法 　　1.　减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数，即。 　　2.　加减混合运算：先将加减法统一成加法，再运用加法交换律和结合律简化运算；运用交换律交换加数位置时，要连同前面的符号一起交换。 知识点10：有理数的乘法与除法 　　1.　乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与0相乘都得0。 　　2.　多个有理数相乘的符号法则：几个不为0的数相乘，负因数个数是偶数时积为正，是奇数时积为负；几个数相乘若其中有因数为0，则积为0。 　　3.　除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即（）；两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0除以任何一个不等于0的数，都得0。 知识点11：倒数 　　1.　定义：乘积是1的两个数互为倒数，若与互为倒数，则；0没有倒数。 　　2.　求法：非零整数的倒数是；分数的倒数是分子分母交换位置；小数的倒数先化成分数再求。 知识点12：有理数的乘方 　　1.　定义：求个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂，记作，其中叫做底数，叫做指数。 　　2.　乘方的符号规律：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0。 知识点13：有理数的混合运算 　　1.　运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；同级运算，从左到右进行；如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。 　　2.　运算分级：加减是第一级运算，乘除是第二级运算，乘方是第三级运算，先算高级再算低级。 知识点14：科学记数法 　　1.　定义：把一个大于10的数表示成的形式（其中，是正整数），这种记数方法叫做科学记数法。 　　2.　的确定方法：等于原数的整数位数减1，或等于小数点向左移动的位数。 知识点15：近似数 　　1.　定义：接近实际数值的数叫做近似数；近似数与准确数的接近程度用精确度表示。 　　2.　四舍五入法：一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个数精确到哪一位，如精确到0.01（精确到百分位）。 【基础必考题型】 【题型1】正数和负数、相反意义的量 1.核心知识点 　正数与负数的概念；相反意义的量的表示；0的特殊意义 2.解题方法技巧 　① 先确定"基准"（如海平面、0、收支平衡点），再根据基准判断正负 　② 相反意义的量：成对出现、意义相反、数量关系明确，抓住关键词"相反" 　③ 注意0既不是正数也不是负数，是正负数的分界 　④ 实际情境（温度、海拔、收支、方向等）中正确用正负数表示，注意基准的位置 【例题1】.（26-27七年级上·新疆昌吉·阶段检测）如果盈利80元记作元，亏损60元记作______元． 【变式题1-1】.（26-27七年级上·北京·阶段检测）小戴同学的微信钱包账单如图所示，表示收入5.20元，下列说法正确的是（    ） A．表示收入1.00元 B．表示支出1.00元 C．表示支出元 D．收支总和为6.20元 【变式题1-2】.（25-26七年级上·山西朔州·期末）下表是年月某日朔州市部分县区的最低气温（单位：）： 县区 朔城区 平鲁区 怀仁市 应县 最低气温/ 其中气温最低的县区是（     ） A．朔城区 B．平鲁区 C．怀仁市 D．应县 【变式题1-3】.（26-27七年级上·新疆昌吉·阶段检测）下列说法正确的是（     ） A．整数分为正整数和负整数 B．分数包含正分数、负分数 C．有理数不是正数就是负数 D．0是最小的整数 【题型2】有理数的概念与分类 1.核心知识点 　有理数的定义；整数与分数的分类；有理数的两种分类方法 2.解题方法技巧 　① 按"定义"或"符号"两种分类标准逐一判断，注意0的归属 　② 整数包括正整数、0、负整数；分数包括正分数、负分数 　③ 分类时做到不重不漏，每个数属于且只属于一类 　④ 概念判断类题目，逐个检查定义、个数、取值范围，避免主观臆断 【例题2】.（26-27七年级上·湖南长沙·开学考试）在、、、、、、（相邻两个1之间依次多一个0）中，有理数的个数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式题2-1】.（26-27七年级上·新疆昌吉·阶段检测）把下面各数填入对应集合：，，，，，， 整数集合：{             … } 分数集合：{             … } 正数集合：{             … } 负数集合：{             … } 【变式题2-2】.（26-27七年级上·江苏泰州·阶段检测）把下列各数填在相应的集合里： ，，3.14，，，0，，，． 负有理数集合：{___________________…}； 整数集合：{___________________…}； 非负整数集合：{___________________…}． 正分数集合：{___________________…}． 【变式题2-3】.（26-27七年级上·新疆和田·阶段检测）已知数轴上两点分别表示和4，则两点之间的整数有_________个． 【题型3】数轴上的点与有理数 1.核心知识点 　数轴的三要素；有理数与数轴上点的对应；数轴上点的移动与表示 2.解题方法技巧 　① 确定原点位置，根据单位长度找点，正数在原点右，负数在原点左 　② 数轴上点的移动：向右移动加单位长度，向左移动减单位长度 　③ 点关于原点对称表示相反数，到原点的距离表示绝对值 　④ 数形结合，通过数轴直观比较大小、求距离 【例题3】.（24-25六年级上·山东威海·期中）数轴上的点表示，将点向右平移个单位后，再向左平移个单位到点，那么点表示的数是（   ）． A． B． C． D． 【变式题3-1】.（26-27七年级上·内蒙古乌兰察布·阶段检测）如图，数轴上的某数，被墨水遮盖，则该数可能是（     ） A． B． C． D． 【变式题3-2】.（26-27七年级上·河南信阳·开学考试）在数轴上表示下列各数：，，， 【变式题3-3】.（2026·山东淄博·中考真题）如图，数轴上的点表示的数是（     ） A． B． C． D． 【题型4】相反数 1.核心知识点 　相反数的定义；相反数的几何意义；多重符号的化简 2.解题方法技巧 　① 求一个数的相反数：在数前加""号，再化简多重符号 　② 若与互为相反数，则 　③ 多重符号化简：只数""号的个数，奇数个为负，偶数个为正 　④ 结合数轴理解相反数的几何意义，位于原点两侧且到原点距离相等 【例题4】.（26-27七年级上·新疆和田·阶段检测）的相反数是（    ） A． B． C． D． 【变式题4-1】.（26-27七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）若为，则的相反数是（     ） A． B． C． D． 【变式题4-2】.（26-27七年级上·云南临沧·阶段检测）下列各组数中，互为相反数的是（     ） A．和 B．和 C．和 D．和 【变式题4-3】.（26-27七年级上·浙江·期中）如图，数轴的单位长度为1，如果点B和点C表示的数互为相反数，则点A表示的数是（     ） A． B． C． D． 【题型5】绝对值 1.核心知识点 　绝对值的定义；绝对值的判断；绝对值的非负性 2.解题方法技巧 　① 求绝对值：先判断正负，正数绝对值是本身，负数绝对值是相反数，0的绝对值是0 　② 绝对值是非负数，恒成立 　③ 已知求时，注意两种情况，不要漏解 　④ 比较两个负数的大小，先求绝对值再比较，绝对值大的反而小 【例题5】.（26-27七年级上·河北唐山·阶段检测）若是有理数，则下列叙述正确的是（     ） A．一定是正数 B．一定是正数 C．可能是0 D．一定是负数 【变式题5-1】.（26-27七年级上·新疆昌吉·阶段检测）化简：____；____． 【变式题5-2】.（26-27七年级上·北京·阶段检测）当_________时，式子有最小值． 【变式题5-3】.（26-27七年级上·江苏泰州·阶段检测）已知，a、b是不为0的有理数，且，，，那么用数轴上的点来表示a，正确的是（     ） A． B． C． D． 【培优高频题型】 【题型6】有理数的乘方 1.核心知识点 　乘方的定义；底数、指数、幂的概念；乘方的符号规律 2.解题方法技巧 　① 区分与：前者底数是，后者底数是 　② 负数的奇次幂为负，偶次幂为正；正数的任何次幂为正 　③ 乘方是特殊的乘法，先算乘方再算乘除最后算加减 　④ 观察末位数字循环规律，求大指数的乘方末位数字 【例题6】.（26-27七年级上·云南·期中）表示的意义是（     ） A．与相乘 B．个相乘 C．个相乘的相反数 D．个相乘的相反数 【变式题6-1】.（26-27七年级上·湖北武汉·开学考试）下列各组数中，结果相等的是（     ） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式题6-2】.（26-27七年级上·江苏南通·阶段检测）计算机内部采用二进位制，即“逢二进一”．在二进位制中，从右向左每一位的权依次是、、、……（即1、2、4、8……）．请把二进位制数10110（二）改写成十进位制数，结果是__________． 【变式题6-3】.（2026七年级上·江苏·专题练习）小明有5张写着不同的数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题：    （1）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最大，最大值是________； （2）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，最小值是________； （3）从中取出4张卡片，用学过的运算方法，使结果为24．写出运算式子：________． 【题型7】有理数的混合运算与巧算 1.核心知识点 　混合运算顺序；运算律的应用；拆项、凑整、逆用分配律 2.解题方法技巧 　① 运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内的 　② 凑整法：将能凑成整数的数结合，简化计算 　③ 拆项法：将带分数拆成整数与分数的和，分别计算 　④ 逆用分配律：提取公因数，将复杂运算转化为简单运算 　⑤ 注意运算符号和括号，同级运算按从左到右的顺序进行 【例题7】.（26-27七年级上·安徽·期中）计算： (1)． (2) 【变式题7-1】.（25-26六年级上·山东泰安·期中）计算（能用简便方法计算的，尽量用简便方法计算） (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【变式题7-2】.（2026七年级上·全国·专题练习）用较为简便的方法计算下列各题： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式题7-3】.（24-25七年级上·安徽安庆·期中）计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【题型8】科学记数法与近似数 1.核心知识点 　科学记数法的表示形式；近似数的精确度；有效数字 2.解题方法技巧 　① 科学记数法：中，为整数位数减1 　② 带单位的数先还原再判断精确度，看的末位数字在原数中的位置 　③ 近似数由四舍五入得到，精确到哪一位看该位的下一位 　④ 比较两个科学记数法表示的数，先看指数再看的大小 【例题8】.（25-26七年级上·河南信阳·阶段检测）《海岛算经》是魏晋时期刘徽所著的一部测量数学著作，所用的长度单位有里、丈、步、尺、寸，里寸，将“”用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【变式题8-1】.（25-26七年级上·河南信阳·阶段检测）若，处覆盖的数字都是0，若，则这个数中被覆盖的0有 ________个． 【变式题8-2】.（26-27七年级上·云南·期中）下列各数精确到的是（     ） A． B． C． D． 【变式题8-3】.（26-27七年级上·河南郑州·开学考试）【近似数】一个三位小数保留两位小数是，这个三位小数最大是________，最小是________． 【题型9】绝对值中的分类讨论 1.核心知识点 　绝对值的代数意义；分类讨论思想；符号的判断 2.解题方法技巧 　① 去绝对值时，按绝对值内式子的正负分类讨论 　② 型问题：分和两种情况，结果为 　③ 已知求时，两种情况都要考虑 　④ 注意分类的完整性与互斥性，做到不重不漏 【例题9】.（25-26七年级上·四川成都·期中）已知，，的值为______． 【变式题9-1】.（25-26七年级上·云南昆明·阶段检测）在学习一个数的绝对值过程中，化简时，可以这样分类：当时，，当时，；当时，．请用这种方法解决下列问题． (1)当时，则 ；当时，则 ． (2)已知，是有理数，当时，试求的值． (3)已知，，都不等于零，且的最大值是，最小值为，求的值． 【变式题9-2】.（25-26七年级上·安徽淮北·期末）我们在学习绝对值时知道了． (1)若，则________； (2)若，都不为0，求的值； (3)若，，求的值． 【变式题9-3】.（25-26七年级上·湖南湘西·阶段检测）已知：，且，，求m可能的值． 【压轴素养题型】 【题型10】绝对值的最值问题 1.核心知识点 　绝对值的几何意义表示数轴上点到点的距离；多个绝对值和的最值 2.解题方法技巧 　① 的最小值：当在、之间（含端点）时，最小值为 　② 奇数个绝对值和的最小值：取中间点时取得最小值 　③ 偶数个绝对值和的最小值：在中间两点之间（含端点）时取得最小值 　④ 利用几何意义将代数问题转化为几何问题，直观求解 【例题10】.（26-27七年级上·内蒙古巴彦淖尔·阶段检测）如图，数轴上两点 A，B 分别表示有理数和 5，我们用来表示 A，B 两点之间的距离． (1) ； (2)若数轴上一点 C 表示有理数，且，则的值可以为 ； (3)已知为有理数． ①已知可表示数轴上有理数到 5 的距离，则可表示数轴上有理数到 的距离； ②对于任何有理数，是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由． 【变式题10-1】.（26-27七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）数轴上表示数的点与原点的距离叫作数的绝对值，记作．数轴上表示数的点与表示数的点的距离记作，如表示数轴上表示数3的点与表示数5的点的距离，表示数轴上表示数3的点与表示数的点的距离，表示数轴上表示数的点与表示数3的点的距离． 根据以上材料回答下列问题（将结果直接填写在相应位置，不写过程）： (1)若，则_________；若，则_________； (2)若，则能取到的最小值是_________，最大值是_________； (3)的最小值是_________； 【变式题10-2】.（26-27七年级上·天津和平·阶段检测）【阅读】数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．例如表示与的差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以转化为，表示与的差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【探索】 (1)________． (2)利用数轴，解决下列问题： ①若，则________． ②若，请直接写出符合条件的所有的整数的值：________． ③是否存在有理数，使得式子有最大值？如果存在，写出一个符合条件的的值及式子的最大值；如果不存在，说明理由． ④当为何值时，，请求出符合条件的的值． 【变式题10-3】.（26-27七年级上·江苏南通·阶段检测）阅读下面的材料，完成有关问题． 材料： 在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何含义，如表示5和3在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示5在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，那么A，B之间的距离可表示为． 应用： (1)点A，B，C在数轴上分别表示有理数，那么A到B的距离是______，A到C的距离是______．（直接填最后结果）； (2)点A，B，C在数轴上分别表示有理数，那么A到B的距离与A到C的距离之和可表示为______．（用含绝对值的式子表示）； (3)拓展：利用数轴探究： ①满足的x的所有值是______； ②设，当时，m的值是不变的，而且这个不变的值是m的最小值，这个最小值是______； (4)试求的最小值． 【题型11】有理数运算中的规律探究 1.核心知识点 　数字规律；从特殊到一般的思想；乘方的末位数字规律；归纳推理 2.解题方法技巧 　① 观察前几项，计算相邻项的差或比，判断是等差、等比还是其他规律 　② 观察末位数字的循环规律，找出循环周期，再求指定项 　③ 拆项分析：将每一项拆成符号、系数、字母部分分别找规律 　④ 验证：代入等特殊值，检验归纳的规律是否正确 【例题11】.（2026七年级上·河北·专题练习）观察是数学抽象的基础，在数学探究学习中，我们要善于通过观察发现规律，进而解决问题，请你仔细观察，开动脑筋，解答下列问题： ①； ②； ③； …… (1)按以上规律，第④个等式为：_____； (2)按此规律，计算的值； (3)探究计算：的值． 【变式题11-1】.（25-26八年级上·河南许昌·阶段检测）观察下列等式： ①； ②； ③； …… (1)根据规律写出第④个等式： (2)利用规律计算：　　　　　　 (3)计算：（结果用幂的形式表示）． 【变式题11-2】.（25-26七年级上·安徽淮南·期中）阅读下面的文字，完成后面的问题． 我们知道，，，，… (1) （根据规律写算式，不要直接写结果）； (2)用含有n（n为正整数）的式子表示你发现的规律 ； (3)求式子的值． 【变式题11-3】.（25-26七年级上·江西赣州·期中）观察下列各式： ；；；；…… (1)根据你发现的规律，计算算式的值：； (2)请用一个含的算式表示这个规律：； (3)根据发现的规律，请计算算式：的值（写出必要的解题过程）． 【题型12】有理数运算的实际应用 1.核心知识点 　正负数的实际意义；有理数运算的应用；数学建模思想；跨学科融合 2.解题方法技巧 　① 物理情境：温度、位移、速度、水位等，注意方向和基准 　② 生活情境：收支记录、质量误差、利润、分段计费等，抓住数量关系 　③ 地理情境：海拔高度、时区换算等，理解基准意义 　④ 先将实际问题转化为数学问题，再用有理数运算求解，最后回归实际检验 【例题12】.（26-27七年级上·江苏泰州·阶段检测）出租车司机小李某天上午营运都是在东西走向的大街上进行的，如果规定向东为正，向西为负，他这天上午六次营运行车记录（单位：千米）如下：，，，，，． (1)将最后一位乘客送到目的地时，小李距出发地多远？此时在出发地东边还是西边？ (2)若汽车耗油量为0.06升/千米，这天上午小李共耗油________升． (3)若出租车起步价为11元，起步里程为3千米（不超过3千米均按起步价收费），超过3千米的部分每千米3元．则小李今天上午共得车款________元． 【变式题12-1】.（26-27七年级上·重庆·阶段检测）小红爸爸上星期五买进某公司股票1000股，每股25元，下表为本周内每日该股票的涨跌情况．（单位：元） 星期 一 二 三 四 五 每股涨跌 (1)通过上表你认为星期三收盘时，每股是多少元？ (2)本周内每股最高是多少元？最低是多少元？ (3)已知小红爸爸买进股票时付了的手续费，卖出时还需付成交额的手续费和的交易税，如果小红爸爸在星期五收盘时将全部股票卖出，你对他的收益情况怎样评价？ 【变式题12-2】.（26-27七年级上·新疆和田·阶段检测）某公路养护小组乘车沿一条东西向公路巡视养护，某天早晨他们从A地出发，晚上最终到达B地．约定向东为正方向，当天汽车的行驶记录（单位：）如下： +，，+，，，+，， 假设汽车在每次行驶记录下是单向行驶 (1)B地在A地的哪个方向？它们相距多少千米？ (2)如果汽车行驶平均耗油，那么这天汽车共耗油多少升？ 【变式题12-3】.（25-26七年级上·河南信阳·阶段检测）冷藏车可以将海鲜经过保温和保鲜处理后，快速运往各地．活海鲜的运输要将冷藏箱的温度调整至到之间，冻海鲜的运输要将冷藏箱的温度调整至零下至零下之间． (1)计算和零下之间的温差； (2)将一辆刚运输完冻海鲜的冷藏车(车厢内温度为零下)改运输活海鲜，需要将温度调至，若冷藏车的温度每小时升高，几小时后冷藏车才能达到所要求的温度? 【题型13】新定义运算与阅读理解 1.核心知识点 　新定义运算的理解；有理数的运算；阅读理解与知识迁移能力 2.解题方法技巧 　① 读懂新定义，圈出限定条件，理解新运算的规则和运算顺序 　② 将新定义转化为熟悉的有理数运算，严格按照定义计算 　③ 新定义常与倒数、相反数、绝对值、乘方结合，先转化再计算 　④ 可先代入特殊值验证对定义的理解是否正确 【例题13】.（2026七年级上·河北·专题练习）我们给出如下定义：数轴上给出不重合的两点、，若数轴上存在一点，且点到点的距离等于点到点的距离，则称点为点与点的“雅中点”．根据上述定义，解答下列问题： (1)若数轴上点表示的数为，点表示的数为1，点为点与点的“雅中点”，则点表示的数为______； (2)若数轴上点与点的“雅中点”表示的数为2，、两点的距离为9（点在点的左侧），求点和点表示的数； (3)已知数轴上点、、表示的数分别是，，，点在点、之间运动（点可与点、重合）．设点表示的数为，且点为点与点的“雅中点”，求可取的整数． 【变式题13-1】.（25-26七年级上·河南周口·阶段检测）综合与实践 在学习数轴与线段的过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有经验，对“优点”进行研究． 定义：点在线段上，若或，则称点是线段的“优点”，线段，称作互为“优点”伴侣线段． (1)观察判断 如图1，点为线段的“优点”． ①若，则__________________； ②若点也是线段的“优点”（不同于点），则________________（填“=”或“”）； (2)性质探究 如图2，在原点为的数轴上有E，F两点，其中点表示的数为1，F点表示的数为4．若点在点的左侧，且M，N均为线段的“优点”，求线段的长； (3)拓展应用 在（2）的探究中，若点在线段的延长线上，且线段与互为“优点”伴侣线段，请直接写出点表示的数． 【变式题13-2】.（2026·河北沧州·模拟预测）【阅读材料】用“割尾法”判断一个三位数能否被7整除． 方法：三位数割掉末位数字c得两位数，再用减去c的2倍所得的差为．若是7的倍数，则能被7整除． 举例：对于三位数364，割掉末位数字4得36，，因为28是7的倍数，所以364能被7整除． 【类比解决】 (1)试用“割尾法”判断：735_____被7整除（填“能”或“不能”）； 【推理验证】 (2)已知三位数，现在对材料中的判断方法“若是7的倍数，则能被7整除”进行验证． 【变式题13-3】.（25-26七年级上·广西南宁·期中）先阅读两则材料，然后解决问题： 材料一：【数学家故事】高斯7岁时进入学校学习数学，有一天，他的老师布特纳布置了一道题目，要求学生计算从1加到100的总和．这个问题对于当时的孩子们来说相当困难，但高斯很快就给出了正确答案：．他使用了一种巧妙的方法，展示了非凡的数学天赋．这个方法可以这样理解： 令① 则② ①+②得：， 即． 材料二：对有理数，，定义的计算方式为：当时，；当时，．例如：；． 【解决问题】 (1)填空：_____；_____；_____； (2)已知，且，求的值： (3)设代数式，已知，是数轴上的两个点，分别表示有理数和，且线段的长为4．若数满足关系式，求的值． 易错点 1.　误认为带""号的数就是负数，如不一定是负数，要根据的正负判断。 2.　混淆有理数的分类标准，认为0是正数或负数，或认为整数不是有理数。 3.　减法转化为加法时，减数的符号容易出错，如。 4.　乘方运算中底数判断错误，如与的结果不同。 5.　已知求时漏掉的情况，导致丢解。 重点 1.　正数、负数、0的意义，相反意义的量，有理数的概念与分类。 2.　数轴、相反数、绝对值、倒数的概念与几何意义。 3.　有理数的加、减、乘、除、乘方运算法则及混合运算顺序。 4.　有理数的大小比较方法，特别是两个负数比较的特殊法则。 5.　科学记数法与近似数的表示，以及实际应用问题的建模求解。 难点 1.　绝对值的综合应用，包括非负性、分类讨论、几何意义与最值问题。 2.　数轴上的动点、距离与中点问题，数形结合思想的运用。 3.　有理数混合运算的巧算与速算，运算律的灵活运用。 4.　新定义、规律探究、跨学科等创新题型，需要阅读理解与知识迁移能力。 5.　多结论判断与分类讨论问题，分类的完整性与全面性。 【对应练习题】 一、单选题 1．在，5，，，，中，负有理数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．数轴上表示数，的点如图所示，下列判断正确的是（     ） A． B． C． D． 3．现有四种说法：①表示负数；②若，则；③若，则；④若，则．其中正确的个数是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 4．把下列各数填在相应的表示集合的大括号里． ，，，，． 整数集合：{_______________________…}； 分数集合：{_______________________…}； 非负数集合：{_______________________…}； 负有理数集合：{_______________________…}． 5．若，则________． 6．在一条可以折叠的数轴上，点，表示的数分别是，7，点在线段上，沿点将数轴向右折叠，使点落在点的左侧点处，且，则点表示的数是________． 三、解答题 7．计算： (1) (2) (3) (4) 8．在数轴上表示下列各数：，，，，，，并用 “” 号连接． 9．已知规定一种新运算：，，例如：；． (1)计算_____，_____． (2)若的值为16，求的值． 10．重庆高速公路养护小组，乘车沿南北向公路巡视维护，如果约定向北为正，向南为负，当天的行驶记录如下（单位：千米），，，，，，，，， (1)养护小组最后到达的地方在出发点的哪个方向？距出发点多远？ (2)养护过程中，最远处离出发点有多远？ (3)若汽车耗油量为0.5升，则这次养护共耗油多少升？ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章 有理数及其运算 知识点1：正数和负数 　　1.　正数：大于0的数叫做正数；负数：在正数前面加上""号的数叫做负数；0既不是正数，也不是负数。 　　2.　0的意义：0是正负数的分界；0可以表示"没有"；0可以用来表示基准，一般地，高于基准的量用正数表示，低于基准的量用负数表示。 知识点2：具有相反意义的量 　　1.　定义：在日常生活中，常用正数、负数来表示一对具有相反意义的量。 　　2.　表示方法：把其中一种意义的量规定为正的并用正数表示，把与它意义相反的量规定为负的并用负数表示，如规定海平面为0，珠穆朗玛峰高于海平面记作米。 知识点3：有理数 　　1.　定义：正整数、0、负整数统称为整数；正分数和负分数统称为分数；可以写成分数形式的数称为有理数。 　　2.　有理数的分类：按定义分为整数和分数；按符号分为正有理数、0、负有理数，具体见下表。 按定义分类 按符号分类 整数（正整数、0、负整数） 分数（正分数、负分数） 正有理数（正整数、正分数） 0 负有理数（负整数、负分数） 知识点4：数轴 　　1.　定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴，三要素为原点、正方向、单位长度，三者缺一不可。 　　2.　数轴上的点与有理数的关系：每个有理数都可以用数轴上的一点来表示，数轴上右边的数总比左边的数大。 知识点5：相反数 　　1.　定义：只有符号不同的两个数互为相反数，如和；特别地，0的相反数是0。 　　2.　几何意义：到数轴原点距离相等的两个点表示的两个数互为相反数；求一个数的相反数就是在它前面添上""号。 　　3.　多重符号化简：与""号个数无关，奇数个""号结果为负，偶数个""号结果为正。 知识点6：绝对值 　　1.　定义：数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作。 2.　绝对值的判断：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0， 即。 　　3.　绝对值的非负性：任何有理数的绝对值都是非负数，即；若几个非负数的和为0，则每个非负数都为0。 知识点7：有理数的大小比较 　　1.　利用数轴比较：在水平的数轴上表示有理数，它们从左到右的顺序就是从小到大的顺序，左边的数小于右边的数。 　　2.　利用分类比较：正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小。 　　3.　作差法：若，则；若，则；若，则。 知识点8：有理数的加法 　　1.　加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得0；一个数与0相加，仍得这个数。 　　2.　加法运算律：交换律；结合律。 知识点9：有理数的减法 　　1.　减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数，即。 　　2.　加减混合运算：先将加减法统一成加法，再运用加法交换律和结合律简化运算；运用交换律交换加数位置时，要连同前面的符号一起交换。 知识点10：有理数的乘法与除法 　　1.　乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与0相乘都得0。 　　2.　多个有理数相乘的符号法则：几个不为0的数相乘，负因数个数是偶数时积为正，是奇数时积为负；几个数相乘若其中有因数为0，则积为0。 　　3.　除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即（）；两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0除以任何一个不等于0的数，都得0。 知识点11：倒数 　　1.　定义：乘积是1的两个数互为倒数，若与互为倒数，则；0没有倒数。 　　2.　求法：非零整数的倒数是；分数的倒数是分子分母交换位置；小数的倒数先化成分数再求。 知识点12：有理数的乘方 　　1.　定义：求个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂，记作，其中叫做底数，叫做指数。 　　2.　乘方的符号规律：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0。 知识点13：有理数的混合运算 　　1.　运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；同级运算，从左到右进行；如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。 　　2.　运算分级：加减是第一级运算，乘除是第二级运算，乘方是第三级运算，先算高级再算低级。 知识点14：科学记数法 　　1.　定义：把一个大于10的数表示成的形式（其中，是正整数），这种记数方法叫做科学记数法。 　　2.　的确定方法：等于原数的整数位数减1，或等于小数点向左移动的位数。 知识点15：近似数 　　1.　定义：接近实际数值的数叫做近似数；近似数与准确数的接近程度用精确度表示。 　　2.　四舍五入法：一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个数精确到哪一位，如精确到0.01（精确到百分位）。 【基础必考题型】 【题型1】正数和负数、相反意义的量 1.核心知识点 　正数与负数的概念；相反意义的量的表示；0的特殊意义 2.解题方法技巧 　① 先确定"基准"（如海平面、0、收支平衡点），再根据基准判断正负 　② 相反意义的量：成对出现、意义相反、数量关系明确，抓住关键词"相反" 　③ 注意0既不是正数也不是负数，是正负数的分界 　④ 实际情境（温度、海拔、收支、方向等）中正确用正负数表示，注意基准的位置 【例题1】.（26-27七年级上·新疆昌吉·阶段检测）如果盈利80元记作元，亏损60元记作______元． 【答案】 【分析】盈利和亏损是相反意义的量，已知盈利记为正，可得亏损应记为负． 【详解】解：∵盈利80元记作元，即盈利用正数表示， ∴和盈利意义相反的亏损用负数表示，因此亏损60元记作元． 【变式题1-1】.（26-27七年级上·北京·阶段检测）小戴同学的微信钱包账单如图所示，表示收入5.20元，下列说法正确的是（    ） A．表示收入1.00元 B．表示支出1.00元 C．表示支出元 D．收支总和为6.20元 【答案】B 【分析】根据表示收入元，确定正数表示收入，则负数表示支出作答即可． 【详解】解：表示收入元， 收入记为正数，支出记为负数， 表示支出元． 【变式题1-2】.（25-26七年级上·山西朔州·期末）下表是年月某日朔州市部分县区的最低气温（单位：）： 县区 朔城区 平鲁区 怀仁市 应县 最低气温/ 其中气温最低的县区是（     ） A．朔城区 B．平鲁区 C．怀仁市 D．应县 【答案】A 【分析】气温最低即气温数值最小，比较四个数的大小即可． 【详解】解：比较四个最低气温的大小，得，故朔城区气温最低． 【变式题1-3】.（26-27七年级上·新疆昌吉·阶段检测）下列说法正确的是（     ） A．整数分为正整数和负整数 B．分数包含正分数、负分数 C．有理数不是正数就是负数 D．0是最小的整数 【答案】B 【分析】根据整数、分数、有理数的分类标准，逐一判断四个选项的正误． 【详解】解：整数分为正整数，，负整数．故A错误； 分数包含正分数，负分数，故B正确； 有理数包含正有理数，，负有理数，既不是正数也不是负数．故C错误； 负整数属于整数且小于，故不是最小的整数，D错误． 【题型2】有理数的概念与分类 1.核心知识点 　有理数的定义；整数与分数的分类；有理数的两种分类方法 2.解题方法技巧 　① 按"定义"或"符号"两种分类标准逐一判断，注意0的归属 　② 整数包括正整数、0、负整数；分数包括正分数、负分数 　③ 分类时做到不重不漏，每个数属于且只属于一类 　④ 概念判断类题目，逐个检查定义、个数、取值范围，避免主观臆断 【例题2】.（26-27七年级上·湖南长沙·开学考试）在、、、、、、（相邻两个1之间依次多一个0）中，有理数的个数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【详解】解：有理数有，，，，，共个． 【变式题2-1】.（26-27七年级上·新疆昌吉·阶段检测）把下面各数填入对应集合：，，，，，， 整数集合：{             … } 分数集合：{             … } 正数集合：{             … } 负数集合：{             … } 【答案】，，，；，，；，，；，， 【分析】根据整数，分数，正数，负数的定义，把各数填入相应的集合里面即可． 【详解】解：整数集合：{，，，，…}； 分数集合：{，，，…}； 正数集合：{，，，…}； 负数集合：{，，，…}． 【变式题2-2】.（26-27七年级上·江苏泰州·阶段检测）把下列各数填在相应的集合里： ，，3.14，，，0，，，． 负有理数集合：{___________________…}； 整数集合：{___________________…}； 非负整数集合：{___________________…}． 正分数集合：{___________________…}． 【答案】、、、， 负有理数集合：{，，，…}； 整数集合：{，，0，…}； 非负整数集合：{，0，…}． 正分数集合：{3.14，…}． 【分析】先化简题干中含绝对值、多重符号的数：因为绝对值的性质是正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，多重符号化简遵循“负号个数奇负偶正”，所以先算出、、、的最简形式．明确各集合的定义：负有理数是小于0的有理数；整数包括正整数、0、负整数；非负整数是大于等于0的整数；正分数是大于0的分数，有限小数和百分数都属于分数范畴．对照化简后的数，逐一判断每个数所属的集合，分别填入对应的集合中． 【详解】略． 【变式题2-3】.（26-27七年级上·新疆和田·阶段检测）已知数轴上两点分别表示和4，则两点之间的整数有_________个． 【答案】6 【分析】找出大于且小于的所有整数，统计个数即可得到结果． 【详解】解：根据题意，所求整数是位于和之间的整数， 即满足的整数， 逐个列举满足条件的整数：； 统计可得，共有个满足条件的整数． 【题型3】数轴上的点与有理数 1.核心知识点 　数轴的三要素；有理数与数轴上点的对应；数轴上点的移动与表示 2.解题方法技巧 　① 确定原点位置，根据单位长度找点，正数在原点右，负数在原点左 　② 数轴上点的移动：向右移动加单位长度，向左移动减单位长度 　③ 点关于原点对称表示相反数，到原点的距离表示绝对值 　④ 数形结合，通过数轴直观比较大小、求距离 【例题3】.（24-25六年级上·山东威海·期中）数轴上的点表示，将点向右平移个单位后，再向左平移个单位到点，那么点表示的数是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了数轴上的点表示有理数，数轴上的动点问题，根据数轴上向右平移加，向左平移减，计算即可得出答案，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：∵点表示，向右平移个单位得，再向左平移个单位得， ∴点表示的数为． 故选：A． 【变式题3-1】.（26-27七年级上·内蒙古乌兰察布·阶段检测）如图，数轴上的某数，被墨水遮盖，则该数可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据被墨水遮盖住的数字在和之间，且接近中间的位置，可知被墨水遮盖住的数字可能是． 【详解】解：由图可知，被墨水遮盖住的数字在和之间，且接近中间的位置， 被墨水遮盖住的数字可能是． 【变式题3-2】.（26-27七年级上·河南信阳·开学考试）在数轴上表示下列各数：，，， 【答案】 【详解】略 【变式题3-3】.（2026·山东淄博·中考真题）如图，数轴上的点表示的数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由数轴可知，数轴上的点表示的数是1． 【题型4】相反数 1.核心知识点 　相反数的定义；相反数的几何意义；多重符号的化简 2.解题方法技巧 　① 求一个数的相反数：在数前加""号，再化简多重符号 　② 若与互为相反数，则 　③ 多重符号化简：只数""号的个数，奇数个为负，偶数个为正 　④ 结合数轴理解相反数的几何意义，位于原点两侧且到原点距离相等 【例题4】.（26-27七年级上·新疆和田·阶段检测）的相反数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：的相反数为． 【变式题4-1】.（26-27七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）若为，则的相反数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵， ∴的相反数为． 【变式题4-2】.（26-27七年级上·云南临沧·阶段检测）下列各组数中，互为相反数的是（     ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】把每一选项中带括号的数去掉括号，与剩下的数比较即可． 【详解】解：A选项：，与相等，不是相反数，不符合题意； B选项：，与相等，不是相反数，不符合题意； C选项：，与互为相反数，符合题意； D选项：，与相等，不是相反数，不符合题意． 【变式题4-3】.（26-27七年级上·浙江·期中）如图，数轴的单位长度为1，如果点B和点C表示的数互为相反数，则点A表示的数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先确定原点位置，进而可得点A对应的数． 【详解】解：如图， ∵点B和点C表示的数互为相反数， ∴原点在线段的中点处， ∵数轴的单位长度为1， ∴点A对应的数是． 【题型5】绝对值 1.核心知识点 　绝对值的定义；绝对值的判断；绝对值的非负性 2.解题方法技巧 　① 求绝对值：先判断正负，正数绝对值是本身，负数绝对值是相反数，0的绝对值是0 　② 绝对值是非负数，恒成立 　③ 已知求时，注意两种情况，不要漏解 　④ 比较两个负数的大小，先求绝对值再比较，绝对值大的反而小 【例题5】.（26-27七年级上·河北唐山·阶段检测）若是有理数，则下列叙述正确的是（     ） A．一定是正数 B．一定是正数 C．可能是0 D．一定是负数 【答案】C 【分析】考虑的特殊情况，通过举反例判断各选项． 【详解】解：当时，，均不是正数，故、错误． ，即可能是0，故正确，D错误． 【变式题5-1】.（26-27七年级上·新疆昌吉·阶段检测）化简：____；____． 【答案】 【分析】分别根据去括号法则和绝对值的性质化简即可． 【详解】解：； ． 【变式题5-2】.（26-27七年级上·北京·阶段检测）当_________时，式子有最小值． 【答案】 【分析】由绝对值的非负性可知，当取最小值时，原式取得最小值，由此计算的值． 【详解】解：∵， ∴当时，取得最小值，此时取得最小值， ∴． 【变式题5-3】.（26-27七年级上·江苏泰州·阶段检测）已知，a、b是不为0的有理数，且，，，那么用数轴上的点来表示a，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】用数轴上的点表示有理数，根据，，，得到a为负数，在原点的左侧，b为正数，在原点的右侧，且a到原点的距离大于b到原点的距离，进行判断即可． 【详解】解：，b是不为0的有理数，且，，， 为负数，在原点的左侧，b为正数，在原点的右侧，且a到原点的距离大于b到原点的距离， 故选：C． 【培优高频题型】 【题型6】有理数的乘方 1.核心知识点 　乘方的定义；底数、指数、幂的概念；乘方的符号规律 2.解题方法技巧 　① 区分与：前者底数是，后者底数是 　② 负数的奇次幂为负，偶次幂为正；正数的任何次幂为正 　③ 乘方是特殊的乘法，先算乘方再算乘除最后算加减 　④ 观察末位数字循环规律，求大指数的乘方末位数字 【例题6】.（26-27七年级上·云南·期中）表示的意义是（     ） A．与相乘 B．个相乘 C．个相乘的相反数 D．个相乘的相反数 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数幂的意义，表示的是个相乘的相反数（为正整数），据此可得答案． 【详解】解：表示的意义是个相乘的相反数， 故选：D． 【变式题6-1】.（26-27七年级上·湖北武汉·开学考试）下列各组数中，结果相等的是（     ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【详解】解：A．，，结果不相等，不符合题意； B．，，结果不相等，不符合题意； C．，，结果相等，符合题意； D．，与结果不相等． 【变式题6-2】.（26-27七年级上·江苏南通·阶段检测）计算机内部采用二进位制，即“逢二进一”．在二进位制中，从右向左每一位的权依次是、、、……（即1、2、4、8……）．请把二进位制数10110（二）改写成十进位制数，结果是__________． 【答案】22 【分析】二进制转十进制需将每一位数字乘以其对应位的权值，再将所有结果相加． 【详解】解：二进位制的数位从右向左依次表示、、、、……， 按位求值再相加：． 【变式题6-3】.（2026七年级上·江苏·专题练习）小明有5张写着不同的数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题：    （1）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最大，最大值是________； （2）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，最小值是________； （3）从中取出4张卡片，用学过的运算方法，使结果为24．写出运算式子：________． 【答案】 （或，，，答案不唯一） 【分析】（1）根据有理数乘法的法则和乘积最大，计算即可求解； （2）根据有理数除法的法则和商最小，计算即可求解； （3）根据有理数的混合运算法则，计算即可求解． 【详解】解：（1）要使这2张卡片上数字乘积最大， 取出的2张卡片上的数字分别为，时，乘积最大， 即； （2）这2张卡片上数字相除的商最小， 取出的2张卡片上的数字分别为，时，商最小， 即； （3）若取出的4张卡片上的数字分别为，，，，则； 若取出的4张卡片上的数字分别为，，，，无法得到24； 若取出的4张卡片上的数字分别为，，，，则或； 若取出的4张卡片上的数字分别为，0，，，则； 若取出的4张卡片上的数字分别为，0，，，无法得到24． 【题型7】有理数的混合运算与巧算 1.核心知识点 　混合运算顺序；运算律的应用；拆项、凑整、逆用分配律 2.解题方法技巧 　① 运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内的 　② 凑整法：将能凑成整数的数结合，简化计算 　③ 拆项法：将带分数拆成整数与分数的和，分别计算 　④ 逆用分配律：提取公因数，将复杂运算转化为简单运算 　⑤ 注意运算符号和括号，同级运算按从左到右的顺序进行 【例题7】.（26-27七年级上·安徽·期中）计算： (1)． (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先把除法变成乘法，再根据乘法计算法则求解即可； （2）先计算乘方，再计算乘除法，最后计算加减法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式题7-1】.（25-26六年级上·山东泰安·期中）计算（能用简便方法计算的，尽量用简便方法计算） (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1)45 (2) (3) (4)137 (5)0 (6) 【分析】本题考查有理数混合运算，涉及乘方运算、去绝对值、有理数加减乘除运算、有理数加法运算律、有理数乘法分配律等知识，熟练掌握有理数混合运算法则及运算顺序是解决问题的关键． （1）利用有理数加法运算的交换律与结合律恒等变形，再由有理数加减运算法则求解即可得到答案； （2）先计算乘方、去绝对值运算，再计算乘除法，最后由有理数减法运算求解即可得到答案； （3）按照有理数混合运算法则，先计算括号里的，再计算乘方运算，再计算乘除运算，最后由有理数减法运算求解即可得到答案； （4）先计算括号里的，再计算乘方运算，再计算乘法运算，最后由有理数加减运算求解即可得到答案； （5）利用有理数加法运算的交换律与结合律恒等变形，再由有理数加减运算法则求解即可得到答案； （6）利用有理数乘法分配律计算即可得到答案． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 （3）解：原式 （4）解：原式 （5）解：原式 （6）解：原式 【变式题7-2】.（2026七年级上·全国·专题练习）用较为简便的方法计算下列各题： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)49 【分析】（1）先化简，再根据加法结合律简便计算； （2）根据加法交换律和结合律简便计算； （3）先算乘方，再算乘除，最后算加减； （4）先算乘方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，要先做括号内的运算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． ． 【变式题7-3】.（24-25七年级上·安徽安庆·期中）计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查有理数的乘方及其逆运算． 按照运算法则，将原式转化为，计算即可． 【详解】解： ． 故选：C． 【题型8】科学记数法与近似数 1.核心知识点 　科学记数法的表示形式；近似数的精确度；有效数字 2.解题方法技巧 　① 科学记数法：中，为整数位数减1 　② 带单位的数先还原再判断精确度，看的末位数字在原数中的位置 　③ 近似数由四舍五入得到，精确到哪一位看该位的下一位 　④ 比较两个科学记数法表示的数，先看指数再看的大小 【例题8】.（25-26七年级上·河南信阳·阶段检测）《海岛算经》是魏晋时期刘徽所著的一部测量数学著作，所用的长度单位有里、丈、步、尺、寸，里寸，将“”用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】用科学记数法表示绝对值较大的数，形式为，其中，为整数． 【详解】解：． 【变式题8-1】.（25-26七年级上·河南信阳·阶段检测）若，处覆盖的数字都是0，若，则这个数中被覆盖的0有 ________个． 【答案】5 【分析】由题意得，求出，再结合科学记数法的规则计算即可得出结果． 【详解】解：由题意得， ∵， ∴， ∴， ∴这个数中被覆盖的0有5个． 【变式题8-2】.（26-27七年级上·云南·期中）下列各数精确到的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】精确到即保留两位小数，根据第三位小数进行四舍五入即可． 【详解】解：选项，，结果精确到，错误； 选项，，结果精确到，错误； 选项，，结果精确到，符合要求，正确； 选项，，结果精确到，错误． 【变式题8-3】.（26-27七年级上·河南郑州·开学考试）【近似数】一个三位小数保留两位小数是，这个三位小数最大是________，最小是________． 【答案】 【分析】分两种情况讨论得到近似数的原数，四舍得到近似数时原数更大，五入得到近似数时原数更小，分别确定最大和最小的三位小数即可． 【详解】解：求保留两位小数得到的三位小数，分“四舍”和“五入”两种情况讨论： 若为“四舍”得到，说明千分位上的数小于，舍去后得到，千分位最大取， 因此最大的三位小数是， 若为“五入”得到，说明千分位上的数大于或等于，进后得到，原来的百分位为，千分位最小取， 因此最小的三位小数是． 【题型9】绝对值中的分类讨论 1.核心知识点 　绝对值的代数意义；分类讨论思想；符号的判断 2.解题方法技巧 　① 去绝对值时，按绝对值内式子的正负分类讨论 　② 型问题：分和两种情况，结果为 　③ 已知求时，两种情况都要考虑 　④ 注意分类的完整性与互斥性，做到不重不漏 【例题9】.（25-26七年级上·四川成都·期中）已知，，的值为______． 【答案】1或或 【分析】依据有理数的乘法法则、加法法则确定a、b、c的正负情况，运用分类讨论思想求解，关键是全面分析不同的正负组合情形． 【详解】解：∵， ∴a、b、c中负因数的个数为1个或3个， ∵， 当a、b、c中有1个负数，2个正数时， 若，，， ∴； 若，，， ∴； 若，，， ∴； 当a、b、c均为负数时， ∴． 综上，的值为1或或． 【变式题9-1】.（25-26七年级上·云南昆明·阶段检测）在学习一个数的绝对值过程中，化简时，可以这样分类：当时，，当时，；当时，．请用这种方法解决下列问题． (1)当时，则 ；当时，则 ． (2)已知，是有理数，当时，试求的值． (3)已知，，都不等于零，且的最大值是，最小值为，求的值． 【答案】(1)1； (2)2或 (3) 【分析】此题主要考查了绝对值的意义和有理数的混合运算， （1）直接将，代入求出答案； （2）分或两种情况求解即可； （3）分类讨论求出的值，从而得出，然后代入计算即可． 【详解】（1）解：当时，则； 当时，则． 故答案为：；； （2）解：因为， 所以，异号． 当时，， 所以． 当时，， 所以． 综上可知，的值为2或； （3）解：a，b，c同正，原式； a，b，c同负，原式； a，b，c两正一负，不妨设， 原式； a，b，c两负一正，不妨设，原式． 因为的最大值是，最小值为， 所以， 所以． 【变式题9-2】.（25-26七年级上·安徽淮北·期末）我们在学习绝对值时知道了． (1)若，则________； (2)若，都不为0，求的值； (3)若，，求的值． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题考查了绝对值的化简求值，代数式求值，有理数的混合运算，分情况求出a，b的值是解题的关键． （1）根据绝对值的性质化简即可； （2）分三种情况：，都为正或，都为负或，一正一负，即可求解； （3）根据题意可得，，，，，两正一负，再化简即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴； 故答案为：； （2）解：因为，都不为0， 所以，都为正或，都为负或，一正一负， 当，都为正时，， 当，都为负时，， 当，一正一负时，， 综上，的值为0或； （3）解：因为，． 所以，，，，，两正一负， 不妨假设， 所以 . 【变式题9-3】.（25-26七年级上·湖南湘西·阶段检测）已知：，且，，求m可能的值． 【答案】m的值可能为0或或． 【分析】本题考查了绝对值，有理数的运算．首先根据题意得到、、三数中只有2负1正，然后由得到，，，得到，然后分三种情况讨论求解即可． 【详解】解：∵，， 、、三数中只有2负1正， ， ，，， ∴， ∴当，，时，； 当，，时，； 当，，时，； ∴m的值可能为0或或． 【压轴素养题型】 【题型10】绝对值的最值问题 1.核心知识点 　绝对值的几何意义表示数轴上点到点的距离；多个绝对值和的最值 2.解题方法技巧 　① 的最小值：当在、之间（含端点）时，最小值为 　② 奇数个绝对值和的最小值：取中间点时取得最小值 　③ 偶数个绝对值和的最小值：在中间两点之间（含端点）时取得最小值 　④ 利用几何意义将代数问题转化为几何问题，直观求解 【例题10】.（26-27七年级上·内蒙古巴彦淖尔·阶段检测）如图，数轴上两点 A，B 分别表示有理数和 5，我们用来表示 A，B 两点之间的距离． (1) ； (2)若数轴上一点 C 表示有理数，且，则的值可以为 ； (3)已知为有理数． ①已知可表示数轴上有理数到 5 的距离，则可表示数轴上有理数到 的距离； ②对于任何有理数，是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)① ；② 有最小值，最小值为 【分析】（1）观察数轴直接计算； （2）根据距离列出算式，由绝对值的意义得出结果； （3）①将化为即可解答； ②由①可知表示到的距离与到 5 的距离之和，根据数轴上两点间的距离即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：， ， ， 或， 或， 即的值为或； （3）解：① 可表示数轴上有理数到的距离； ②即到的距离与到 5 的距离之和， 距离之和最小则在和之间（包括和）， 此时最小距离和即为和之间的距离， ， 故距离之和最小为7． 【变式题10-1】.（26-27七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）数轴上表示数的点与原点的距离叫作数的绝对值，记作．数轴上表示数的点与表示数的点的距离记作，如表示数轴上表示数3的点与表示数5的点的距离，表示数轴上表示数3的点与表示数的点的距离，表示数轴上表示数的点与表示数3的点的距离． 根据以上材料回答下列问题（将结果直接填写在相应位置，不写过程）： (1)若，则_________；若，则_________； (2)若，则能取到的最小值是_________，最大值是_________； (3)的最小值是_________； 【答案】(1)0； (2)； (3)5 【分析】（1）根据数轴上与表示1的点和表示的点距离相等的点所表示的数为0，数轴上与表示2的点和表示的点距离相等的点所表示的数为，即可求解； （2）数轴上表示2的点和表示的点的距离是3，故在此范围内x的最小取值是，最大取值是2，即可求解； （3）数轴上表示2的点和表示的点的距离是5，故当时，，再根据在的范围内，即可求解． 【详解】（1）解： ，即数轴上表示数x的点与表示数1的点的距离和表示数x的点与表示数的点的距离相等， ； ，即数轴上表示数x的点与表示数2的点的距离和表示数x的点与表示数的点的距离相等， ； （2）解： ，即表示数轴上表示数x的点与表示数2的点的距离和表示数x的点与表示数的点的距离的和为3， 在数轴上表示数x的点在表示数2的点和表示数的点之间（包含端点），即， 能取到的最小值是，最大值是2； （3）解： 表示数轴上表示数x的点与表示数2的点的距离和表示数x的点与表示数的点的距离的和， ，即当时，取得最小值为5， 表示数轴上表示数x的点与表示数的点的距离， 当时，取得最小值为0， 在的范围内， 当时，的最小值是5． 【变式题10-2】.（26-27七年级上·天津和平·阶段检测）【阅读】数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．例如表示与的差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以转化为，表示与的差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【探索】 (1)________． (2)利用数轴，解决下列问题： ①若，则________． ②若，请直接写出符合条件的所有的整数的值：________． ③是否存在有理数，使得式子有最大值？如果存在，写出一个符合条件的的值及式子的最大值；如果不存在，说明理由． ④当为何值时，，请求出符合条件的的值． 【答案】(1) (2)①或； ②，，，，，；③存在有理数，使得式子有最大值，最大值为，的值可以是（大于或等于的所有值均可）；④符合条件的的值为和 【分析】（1）根据两点间距离的定义解答即可； （2）①根据两点间距离的定义解答即可；②根据两点间距离的定义解答即可；③根据绝对值的性质，分，，三种情况讨论；④根据绝对值的性质，分，，三种情况讨论，再进行解方程即可． 【详解】（1）解：表示数轴上点和点的距离，即为， ∴； （2）解：①，可转化为，表示数轴上到点的距离为的数， ∴或； ②，可转化为，表示数轴上到点和点的距离和为的数， ∴在和之间（包括和）， ∴符合条件的所有的整数的值为：，，，，，； ③存在， 当时，原式可变为； 当时，原式可变为； 当时，原式可变为， 此时； ∴存在有理数，使得式子有最大值，最大值为，的值可以是（大于或等于的所有值均可）； ④当时，原方程可变为， 解得，与条件矛盾，舍去； 当时，原方程可变为， 解得，符合条件； 当时，原方程可变为， 解得，符合条件； 综上，符合条件的的值为和． 【变式题10-3】.（26-27七年级上·江苏南通·阶段检测）阅读下面的材料，完成有关问题． 材料： 在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何含义，如表示5和3在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示5在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，那么A，B之间的距离可表示为． 应用： (1)点A，B，C在数轴上分别表示有理数，那么A到B的距离是______，A到C的距离是______．（直接填最后结果）； (2)点A，B，C在数轴上分别表示有理数，那么A到B的距离与A到C的距离之和可表示为______．（用含绝对值的式子表示）； (3)拓展：利用数轴探究： ①满足的x的所有值是______； ②设，当时，m的值是不变的，而且这个不变的值是m的最小值，这个最小值是______； (4)试求的最小值． 【答案】(1)4，8 (2) (3)①5或；②4 (4)的最小值为1025156 【分析】（1）根据两点间的距离公式进行求解即可； （2）根据两点间的距离公式列出代数式即可； （3）①分三种情况进行讨论求解，即可；②化简绝对值求出m的值即可，根据绝对值的意义，求最小值即可； （4）根据绝对值的意义，进行求解即可． 【详解】（1）解：根据题意可得A到B的距离是， A到C的距离是； （2）解：A到B的距离与A到C的距离之和可以表示为； （3）解：①∵， 当时，， ∴； 当时，； 当时，， ∴． 综上：或； ②， 当时，. （4）解：∵表示在数轴上表示x的点到表示1，2，3，……，2025共2025个点的距离之和， ∴当取中间那个数1013时，取到最小值， 把代入得： ． 即的最小值为1025156． 【题型11】有理数运算中的规律探究 1.核心知识点 　数字规律；从特殊到一般的思想；乘方的末位数字规律；归纳推理 2.解题方法技巧 　① 观察前几项，计算相邻项的差或比，判断是等差、等比还是其他规律 　② 观察末位数字的循环规律，找出循环周期，再求指定项 　③ 拆项分析：将每一项拆成符号、系数、字母部分分别找规律 　④ 验证：代入等特殊值，检验归纳的规律是否正确 【例题11】.（2026七年级上·河北·专题练习）观察是数学抽象的基础，在数学探究学习中，我们要善于通过观察发现规律，进而解决问题，请你仔细观察，开动脑筋，解答下列问题： ①； ②； ③； …… (1)按以上规律，第④个等式为：_____； (2)按此规律，计算的值； (3)探究计算：的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）观察已知的等式，可以发现：等式左边是两个连续偶数乘积的倒数，等式右边是这两个连续偶数倒数差的，按照此规律，可得第④个等式； （2）根据前面发现的规律，将原式中的每一项进行转化后代入原式，可以发现括号内很多项可以相互抵消，最后可计算得出结果； （3）把每一项提公因数，就变成第二问的规律，利用第二问的规律可求出本题的答案． 【详解】（1）解：根据第①②③个等式规律可知： 第④个等式为：． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 【变式题11-1】.（25-26八年级上·河南许昌·阶段检测）观察下列等式： ①； ②； ③； …… (1)根据规律写出第④个等式： (2)利用规律计算：　　　　　　 (3)计算：（结果用幂的形式表示）． 【答案】(1) (2) 31 (3) 【分析】（1）根据题目已给出的式子判断出规律得到第4个等式即可； （2）根据（1）中的规律写出答案即可； （3）根据规律得求解即可． 本题主要考查了数字的变化类，有理数的乘方运算，解决本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，求出所求式子的值． 【详解】（1）解：根据规律得第④个等式：． （2）由（1）得． （3） ． 【变式题11-2】.（25-26七年级上·安徽淮南·期中）阅读下面的文字，完成后面的问题． 我们知道，，，，… (1) （根据规律写算式，不要直接写结果）； (2)用含有n（n为正整数）的式子表示你发现的规律 ； (3)求式子的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，找到式子的规律，裂项相减是解题的关键． （1）根据规律拆为两个分数的差即可求解； （2）根据（1）的运算，总结规律即可求解； （3）根据规律化简式子，然后根据有理数的加减进行计算即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：； （2）解：由（1）归纳可得：， 故答案为：； （3）解： ． 【变式题11-3】.（25-26七年级上·江西赣州·期中）观察下列各式： ；；；；…… (1)根据你发现的规律，计算算式的值：； (2)请用一个含的算式表示这个规律：； (3)根据发现的规律，请计算算式：的值（写出必要的解题过程）． 【答案】(1)91 (2) (3)2485 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算、数字的变化规律等知识点，熟练掌握有理数混合运算顺序是解题的关键． （1）根据所给的4个算式进行类比即可解答； （2）根据所给的4个算式进行类比即可解答； （3）用的值减去的值，再类比所给的4个算式进行求解即可． 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解： ． 【题型12】有理数运算的实际应用 1.核心知识点 　正负数的实际意义；有理数运算的应用；数学建模思想；跨学科融合 2.解题方法技巧 　① 物理情境：温度、位移、速度、水位等，注意方向和基准 　② 生活情境：收支记录、质量误差、利润、分段计费等，抓住数量关系 　③ 地理情境：海拔高度、时区换算等，理解基准意义 　④ 先将实际问题转化为数学问题，再用有理数运算求解，最后回归实际检验 【例题12】.（26-27七年级上·江苏泰州·阶段检测）出租车司机小李某天上午营运都是在东西走向的大街上进行的，如果规定向东为正，向西为负，他这天上午六次营运行车记录（单位：千米）如下：，，，，，． (1)将最后一位乘客送到目的地时，小李距出发地多远？此时在出发地东边还是西边？ (2)若汽车耗油量为0.06升/千米，这天上午小李共耗油________升． (3)若出租车起步价为11元，起步里程为3千米（不超过3千米均按起步价收费），超过3千米的部分每千米3元．则小李今天上午共得车款________元． 【答案】(1)小李距出发地5千米，此时在出发地西边 (2)2.22 (3)132 【分析】（1）依次把他这天上午行车记录相加得小李与出发地的距离，由正负判定是在东边还是西边； （2）先计算出小李这天上午共行进的里程，再乘以汽车耗油量0.06升/千米，得到这天上午小李的耗油量； （3）由这天上午每次的行车里程计算出每次所得车租款，再相加，即可得出小李共得的车款． 【详解】（1）解： ， ∴小李距出发地5千米，此时在出发地西边； （2）解：（千米）， （升）， 答：这天上午小李共耗油2.22升； （3）解：由题意得，每次行车里程所得车款分别为：11元，元，11元，元，元，11元， （元） 答：小李今天上午共得车款132元． 【变式题12-1】.（26-27七年级上·重庆·阶段检测）小红爸爸上星期五买进某公司股票1000股，每股25元，下表为本周内每日该股票的涨跌情况．（单位：元） 星期 一 二 三 四 五 每股涨跌 (1)通过上表你认为星期三收盘时，每股是多少元？ (2)本周内每股最高是多少元？最低是多少元？ (3)已知小红爸爸买进股票时付了的手续费，卖出时还需付成交额的手续费和的交易税，如果小红爸爸在星期五收盘时将全部股票卖出，你对他的收益情况怎样评价？ 【答案】(1)星期三收盘时每股是元； (2)本周内每股最高为元，最低为元； (3)小红爸爸本次交易盈利元． 【分析】（1）根据前三天的股票涨跌情况进行加减计算即可； （2）分别计算出本周五天的收盘股价求解即可； （3）分别求出小红爸爸买进股票总花费以及卖出股票最后所得，即可得解． 【详解】（1）解：（元）， 答：星期三收盘时每股是元； （2）解：周一收盘股价为（元）， 周二收盘股价为（元）， 周三收盘股价为（元）， 周四收盘股价为（元）， 周五收盘股价为（元）， ， 即本周内每股最高为元，最低为元； （3）解：小红爸爸买进股票花费（元），手续费为（元）， 则小红爸爸买进股票总花费（元）， 由（2）可知，周五收盘股价为元， 则小红爸爸卖出股票（元），其中，手续费（元），交易税（元）， 所以小红爸爸卖出股票最后所得（元）， 所以他的收益情况为（元）， 即小红爸爸本次交易盈利元． 【变式题12-2】.（26-27七年级上·新疆和田·阶段检测）某公路养护小组乘车沿一条东西向公路巡视养护，某天早晨他们从A地出发，晚上最终到达B地．约定向东为正方向，当天汽车的行驶记录（单位：）如下： +，，+，，，+，， 假设汽车在每次行驶记录下是单向行驶 (1)B地在A地的哪个方向？它们相距多少千米？ (2)如果汽车行驶平均耗油，那么这天汽车共耗油多少升？ 【答案】(1)B地在A地西边，相距 (2) 【分析】（1）把当天的行驶记录相加，然后根据正、负数的意义，判断出B地在A地的哪个方向，它们相距多少千米即可； （2）先求出当天行驶记录的绝对值的和，用汽车行驶的路程乘以行驶每千米耗油量，求出这天共耗油多少升即可． 【详解】（1）解：由题意得， ， 答：B地在A地西边，相距； （2）解：由题意得，总路程为 ， ∴耗油量为． 【变式题12-3】.（25-26七年级上·河南信阳·阶段检测）冷藏车可以将海鲜经过保温和保鲜处理后，快速运往各地．活海鲜的运输要将冷藏箱的温度调整至到之间，冻海鲜的运输要将冷藏箱的温度调整至零下至零下之间． (1)计算和零下之间的温差； (2)将一辆刚运输完冻海鲜的冷藏车(车厢内温度为零下)改运输活海鲜，需要将温度调至，若冷藏车的温度每小时升高，几小时后冷藏车才能达到所要求的温度? 【答案】(1)和零下 之间的温差是 (2)小时后冷藏车才能达到所要求的温度 【分析】（1）较高温度减去较低温度即可； （2）首先算出总共需要升高的温度，再根据每小时升温，所需时间为总升温幅度除以每小时升温值解答即可． 【详解】（1）解： ， 答：和零下之间的温差是； （2）解：共需要升高的温度： ， （小时）， 答：小时后冷藏车才能达到所要求的温度． 【题型13】新定义运算与阅读理解 1.核心知识点 　新定义运算的理解；有理数的运算；阅读理解与知识迁移能力 2.解题方法技巧 　① 读懂新定义，圈出限定条件，理解新运算的规则和运算顺序 　② 将新定义转化为熟悉的有理数运算，严格按照定义计算 　③ 新定义常与倒数、相反数、绝对值、乘方结合，先转化再计算 　④ 可先代入特殊值验证对定义的理解是否正确 【例题13】.（2026七年级上·河北·专题练习）我们给出如下定义：数轴上给出不重合的两点、，若数轴上存在一点，且点到点的距离等于点到点的距离，则称点为点与点的“雅中点”．根据上述定义，解答下列问题： (1)若数轴上点表示的数为，点表示的数为1，点为点与点的“雅中点”，则点表示的数为______； (2)若数轴上点与点的“雅中点”表示的数为2，、两点的距离为9（点在点的左侧），求点和点表示的数； (3)已知数轴上点、、表示的数分别是，，，点在点、之间运动（点可与点、重合）．设点表示的数为，且点为点与点的“雅中点”，求可取的整数． 【答案】(1) (2)点表示的数为，点表示的数为 (3)或 【分析】（1）根据新定义，进行求解即可； （2）根据新定义得到点M到点A，点B的距离均为，根据两点间的距离进行求解即可； （3）分两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：由题意，点表示的数为 （2）解：依题意，得点到点，点的距离均为：， 因为点表示的数为2，点在点的左侧， 所以点表示的数为， 点表示的数为； （3）解：根据题意知，当点运动到点处时，如图1， 则点表示的数为， 此时取得最小值，为， 当点运动到点处时，如图2， 则点表示的数为， 此时取得最大值，为， 所以可取的整数为或． 【变式题13-1】.（25-26七年级上·河南周口·阶段检测）综合与实践 在学习数轴与线段的过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有经验，对“优点”进行研究． 定义：点在线段上，若或，则称点是线段的“优点”，线段，称作互为“优点”伴侣线段． (1)观察判断 如图1，点为线段的“优点”． ①若，则__________________； ②若点也是线段的“优点”（不同于点），则________________（填“=”或“”）； (2)性质探究 如图2，在原点为的数轴上有E，F两点，其中点表示的数为1，F点表示的数为4．若点在点的左侧，且M，N均为线段的“优点”，求线段的长； (3)拓展应用 在（2）的探究中，若点在线段的延长线上，且线段与互为“优点”伴侣线段，请直接写出点表示的数． 【答案】(1)①18；② (2) (3)5.5或10 【分析】本题考查数轴相关知识点，线段之间的数量关系，用数轴上点表示有理数，解答本题需要分类讨论多种情况，解题的关键是读懂题中“优点”，“优点”伴侣线段的定义． （1）①由即可求解；②利用“优点”定义求出即可； （2）根据点M在N左侧，再由“优点”定义求解即可； （3）根据点G在线段的延长线上，可得出或，求解即可． 【详解】（1）解：①∵点C为线段的“优点”，， ∴， ∴， 故答案为：18； ②如图， ∵点D是线段的“优点”（不同于点）， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）解：∵点表示的数为4， ∴， 当点在点左侧时，则，， ∴， ∵， ∴； （3）解：∵点E表示的数为1，点F表示的数为4， ∴， 线段互为“优点”伴侣线段时，有或， 当时，， ∴点表示的数为， 当时，， ∴点表示的数为10， 综上，点表示的数为或10． 【变式题13-2】.（2026·河北沧州·模拟预测）【阅读材料】用“割尾法”判断一个三位数能否被7整除． 方法：三位数割掉末位数字c得两位数，再用减去c的2倍所得的差为．若是7的倍数，则能被7整除． 举例：对于三位数364，割掉末位数字4得36，，因为28是7的倍数，所以364能被7整除． 【类比解决】 (1)试用“割尾法”判断：735_____被7整除（填“能”或“不能”）； 【推理验证】 (2)已知三位数，现在对材料中的判断方法“若是7的倍数，则能被7整除”进行验证． 【答案】(1)能 (2) 证明：对于三位数，割掉末位数字c得， 若是7的倍数，则设（k为整数）， 即：， ∴， ∴， ∵k、c为整数， ∴为整数， ∴能被7整除， ∴能被7整除． 【分析】（1）根据题干举例进行解答即可； （2）先设，将表示成即可证明． 【详解】（1）解：对于三位数735，割掉末位数字5得73，， ∵63是7的倍数， ∴735能被7整除． （2）略 【变式题13-3】.（25-26七年级上·广西南宁·期中）先阅读两则材料，然后解决问题： 材料一：【数学家故事】高斯7岁时进入学校学习数学，有一天，他的老师布特纳布置了一道题目，要求学生计算从1加到100的总和．这个问题对于当时的孩子们来说相当困难，但高斯很快就给出了正确答案：．他使用了一种巧妙的方法，展示了非凡的数学天赋．这个方法可以这样理解： 令① 则② ①+②得：， 即． 材料二：对有理数，，定义的计算方式为：当时，；当时，．例如：；． 【解决问题】 (1)填空：_____；_____；_____； (2)已知，且，求的值： (3)设代数式，已知，是数轴上的两个点，分别表示有理数和，且线段的长为4．若数满足关系式，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了新定义下的有理数的运算，数轴上两点之间的距离，代数式的求值，理解新定义，分类讨论思想的应用是解题的关键； （1）根据新定义直接计算即可； （2）先判断y的范围，再根据新定义化简并整体代入求值即可； （3）根据非负性可得，根据新定义可得，即可求出a，再根据数轴上两点之间的距离求出b，再分类讨论，根据新定义和材料一的求和求解即可． 【详解】（1）解：，，， 故答案为：； （2）解：，且， ， ； （3）解：， ， ， ， 线段的长为4， ， ， 当时， ， 当时， ， 综上所述，M的值为． 易错点 1.　误认为带""号的数就是负数，如不一定是负数，要根据的正负判断。 2.　混淆有理数的分类标准，认为0是正数或负数，或认为整数不是有理数。 3.　减法转化为加法时，减数的符号容易出错，如。 4.　乘方运算中底数判断错误，如与的结果不同。 5.　已知求时漏掉的情况，导致丢解。 重点 1.　正数、负数、0的意义，相反意义的量，有理数的概念与分类。 2.　数轴、相反数、绝对值、倒数的概念与几何意义。 3.　有理数的加、减、乘、除、乘方运算法则及混合运算顺序。 4.　有理数的大小比较方法，特别是两个负数比较的特殊法则。 5.　科学记数法与近似数的表示，以及实际应用问题的建模求解。 难点 1.　绝对值的综合应用，包括非负性、分类讨论、几何意义与最值问题。 2.　数轴上的动点、距离与中点问题，数形结合思想的运用。 3.　有理数混合运算的巧算与速算，运算律的灵活运用。 4.　新定义、规律探究、跨学科等创新题型，需要阅读理解与知识迁移能力。 5.　多结论判断与分类讨论问题，分类的完整性与全面性。 【对应练习题】 一、单选题 1．在，5，，，，中，负有理数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查了负有理数的定义，判断每个数是否为负有理数，负有理数需满足两个条件：负数和有理数（可表示为整数之比），由此即可得出结果，熟练掌握负有理数的定义是解此题的关键． 【详解】解：是负有限小数，属于负有理数； 5是正数，不属于负有理数； 是负分数，属于负有理数； 是负无限循环小数，属于负有理数； 是正分数，不属于负有理数； 是负整数，属于负有理数； 综上所述，负有理数有4个， 故选：C． 2．数轴上表示数，的点如图所示，下列判断正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数轴上点的位置可确定，，由此逐项判断即可． 【详解】解：由数轴可知，， A．如图所示， ， ， 故该选项判断错误，不符合题意； B．根据加法法则，异号两数相加，取绝对值较大的数的符号， 由可知， 故该选项判断错误，不符合题意； C．， ， 故该选项判断正确，符合题意； D．，， ， 故该选项判断错误，不符合题意． 3．现有四种说法：①表示负数；②若，则；③若，则；④若，则．其中正确的个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合相反数、绝对值的定义，考虑字母的所有可能取值，逐一判断各说法，即可得出答案． 【详解】解：∵当时，， ∴不一定表示负数，故①错误， ∵， ∴，故②错误， ∵， ∴相反数等于本身， ∴，故③正确， ∵， ∴或，故④错误， 综上，正确的说法共个． 二、填空题 4．把下列各数填在相应的表示集合的大括号里． ，，，，． 整数集合：{_______________________…}； 分数集合：{_______________________…}； 非负数集合：{_______________________…}； 负有理数集合：{_______________________…}． 【答案】，；，，，；，，；，， 【分析】本题考查有理数的定义和分类，掌握相关知识是解决问题的关键．根据相关定义逐一判断即可． 【详解】解：整数有，； 分数有，，，； 非负数有，，； 负有理数有，，． 故答案为：，；，，，；，，；，，． 5．若，则________． 【答案】1 【分析】根据绝对值的非负性，两个非负数的和为，则每个绝对值都为，分别求出和的值，再计算． 【详解】解：任意实数的绝对值都是非负数， ，， ， 只有两个绝对值都为时，它们的和才能为， ， 解得，， ． 6．在一条可以折叠的数轴上，点，表示的数分别是，7，点在线段上，沿点将数轴向右折叠，使点落在点的左侧点处，且，则点表示的数是________． 【答案】 【分析】先求出点表示的数为，然后根据点在线段上，沿点将数轴向右折叠，使点落在点的左侧点处，得出点C为的中点，最后求出点C表示的数即可． 【详解】解：∵表示的数为7，点落在点的左侧点处，且， ∴点表示的数为， ∵点在线段上，沿点将数轴向右折叠，使点落在点的左侧点处， ∴点C为的中点， ∵点表示的数是， ∴点表示的数是． 三、解答题 7．计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 （3）解：原式 （4）解：原式 8．在数轴上表示下列各数：，，，，，，并用 “” 号连接． 【答案】 在数轴上表示各数如图所示： 【分析】先确定各数在数轴上的对应位置并标注，再利用“数轴上右边的点表示的数总大于左边的点表示的数”的规律比较大小即可． 【详解】略 9．已知规定一种新运算：，，例如：；． (1)计算_____，_____． (2)若的值为16，求的值． 【答案】(1)； (2)的值为． 【分析】（1）根据新运算的法则，计算即可； （2）根据题意，可得，即可求解． 【详解】（1）解：； ； （2）解： 的值为16， ，， 则的值为． 10．重庆高速公路养护小组，乘车沿南北向公路巡视维护，如果约定向北为正，向南为负，当天的行驶记录如下（单位：千米），，，，，，，，， (1)养护小组最后到达的地方在出发点的哪个方向？距出发点多远？ (2)养护过程中，最远处离出发点有多远？ (3)若汽车耗油量为0.5升，则这次养护共耗油多少升？ 【答案】(1)养护小组最后到达的地方在出发点的正北方向，距出发点15千米. (2)养护过程中最远处离出发点17千米. (3)这次养护共耗油升. 【分析】（1）计算各里程的和，正表示在北，负表示在南，绝对值表示距离． （2）计算每次运动的里程，比较绝对值的大小即可． （3）计算各里程的绝对值的和，用和乘以单位千米的耗油量，计算出总耗油量即可． 【详解】（1）解：∵， ∴养护小组最后到达的地方在出发点的正北方向，距出发点地有15千米． （2）解：∵第一次， 第二次：， 第三次：， 第四次：， 第五次：； 第六次：； 第七次：； 第八次：， 第九次：； 第十次：， 的绝对值最大，故最远处离出发点17千米． （3）解：∵千米， ∴耗油量为：（升）． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $