专题4.1 线段、射线、直线（4大知识点6大考点16类题型）（知识梳理与题型分类讲解）-2024-2025学年七年级数学上册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题4.1 线段、射线、直线（4大知识点6大考点16类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点1】直线 1．概念：直线是最简单、最基本的几何图形之一，是一个不作定义的原始概念，直线常用“一根拉得紧的细线”、“一张纸的折痕”等实际事物进行形象描述． 2. 表示方法：（1）可以用直线上的表示两个点的大写英文字母表示，如图1所示，可表示为直线AB(或直线BA)． （2）也可以用一个小写英文字母表示，如图2所示，可以表示为直线． 3.基本性质：经过两点有一条直线，并且只有一条直线．简单说成：两点确定一条直线． 要点提示：直线的特征： （1）直线没有长短，向两方无限延伸． （2）直线没有粗细． （3）两点确定一条直线． （4）两条直线相交有唯一一个交点． 4.点与直线的位置关系： （1）点在直线上，如图3所示，点A在直线m上，也可以说：直线m经过点A． （2）点在直线外，如图4，点B在直线n外，也可以说：直线n不经过点B． 【知识点2】线段 1.概念：直线上两点和它们之间的部分叫做线段． 2.表示方法： （1）线段可用表示它两个端点的两个大写英文字母来表示，如图所示，记作：线段AB或线段BA． （2）线段也可用一个小写英文字母来表示，如图5所示，记作：线段a． 3. “作一条线段等于已知线段”的两种方法： 法一：用圆规作一条线段等于已知线段．例如：下图所示，用圆规在射线AC上截取AB＝a． 法二：用刻度尺作一条线段等于已知线段．例如：可以先量出线段a的长度，再画一条等于这个长度的线段． 4.基本性质：两点的所有连线中，线段最短．简记为：两点之间，线段最短． 图6所示，在A，B两点所连的线中，线段AB的长度是最短的． 图6 要点提示： （1）线段是直的，它有两个端点，它的长度是有限的，可以度量，可以比较长短． （2）连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离． （3）线段的比较： ①度量法：用刻度尺量出两条线段的长度，再比较长短． ②叠合法：利用直尺和圆规把线段放在同一条直线上，使其中一个端点重合，另一个端点位于重合端点同侧，根据另一端点与重合端点的远近来比较长短． 5.线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如图7所示，点C是线段AB的中点，则，或AB＝2AC＝2BC． 图7 要点提示： 若点C是线段AB的中点，则点C一定在线段AB上． 【知识点3】射线 1.概念：直线上一点和它一侧的部分叫射线，这个点叫射线的端点． 如图8所示，直线l上点O和它一旁的部分是一条射线，点O是端点． 图8 2.特征：是直的，有一个端点，不可以度量，不可以比较长短，无限长． 3.表示方法：（1）可以用两个大写英文字母表示，其中一个是射线的端点，另一个是射线上除端点外的任意一点，端点写在前面，如图8所示，可记为射线OA． （2）也可以用一个小写英文字母表示，如图8所示，射线OA可记为射线l． 要点提示： (1)端点相同，而延伸方向不同，表示不同的射线．如图9中射线OA，射线OB是不同的射线． 图9 (2)端点相同且延伸方向也相同的射线，表示同一条射线．如图10中射线OA、射线OB、射线OC都表示同一条射线． 图10 【知识点4】直线、射线、线段的区别与联系 1.直线、射线、线段之间的联系 （1）射线和线段都是直线上的一部分，即整体与部分的关系．在直线上任取一点，则可将直线分成两条射线；在直线上取两点，则可将直线分为一条线段和四条射线． （2）将射线反向延伸就可得到直线；将线段一方延伸就得到射线；将线段向两方延伸就得到直线． 2．三者的区别如下表 要点提示： （1） 联系与区别可表示如下： 第二部分【题型展示与方法点拨】 【考点1】概念的辨析 【题型1】直线、射线、线段的联系与区别.......................................4 【题型2】线段中点...........................................................5 【题型3】两点之间距离.......................................................6 【考点2】尺规作图 【题型4】画出直线、射线、线段...............................................6 【题型5】作线段(尺规作图)...................................................7 【考点3】两个重要公理 【题型6】直线公理——两点确定一条直线.......................................7 【题型7】线段公理——两点之间线段最短.......................................8 【考点4】直线、线段、射线数量与直线交点个数及规律 【题型8】直线、线段、射线的数量问题.........................................9 【题型9】直线相交的交点个数问题............................................10 【考点5】与线段有关的运算问题 【题型10】线段的和与差.....................................................10 【题型11】线段中点的有关计算...............................................11 【题型12】线段n等分点的有关计算...........................................11 【题型13】线段之间的数量关系...............................................12 【题型14】与线段有关的动点问题.............................................12 【考点6】两点之间距离与最短路径 【题型15】两点之间距离.....................................................13 【题型16】最短路径.........................................................14 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】直线、射线、线段的联系与区别 【例1】（2024七年级上·全国·专题练习）如图，有下列结论：①以C为端点的射线共有4条；②射线和射线是同一条射线；③直线和直线是同一条直线；④射线的端点相同．其中正确的结论是 （填序号）． 【变式1】（2024七年级上·全国·专题练习）下列给出的直线、射线、线段，能相交的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24七年级上·河北保定·期末）下列说法：（）两点确定一条线段；（）画一条射线，使它的长度为；（）线段和线段是同一条线段；（）射线和射线是同一条射线；（）直线和直线是同一条直线．其中错误的有（    ）个 A．个 B．个 C．个 D．个 【变式3】（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，是直线l上的三个点． （1）图中共有 条线段； （2）图中以点B为端点的射线有 条，分别是 ； （3）直线l还可以表示为 ． 【题型2】线段中点 【例2】（2024七年级上·全国·专题练习）以下条件能确定点是线段的中点的条件是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2024七年级上·全国·专题练习）下列说法正确的是（    ） A．到线段两个端点距离相等的点叫作线段的中点 B．线段的中点到线段两个端点的距离相等 C．线段的中点可以有两个 D．线段的中点有若干个 【变式2】（23-24七年级上·河北沧州·期末）如图，为的中点，是的中点，则下列说法中错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（23-24六年级下·山东济南·开学考试）如图，已知是线段中点，延长线段至，使，则下列结论中①；②；③；④；⑤；⑥，正确的有（　　） A．①②④⑥ B．①②⑤⑥ C．①②③④ D．②③⑤⑥ 【题型3】两点之间距离 【例3】（23-24六年级下·全国·假期作业）下列说法正确的是（    ） A．连接两点的线段叫做两点间的距离 B．连接两点的射线的长度叫做两点间的距离 C．连接两点的直线的长度叫做两点间的距离 D．连接两点的线段的长度叫做两点间的距离 【变式】（21-22七年级上·河南平顶山·期末）下列四个语句中，正确的是（   ） A．如果，那么点是的中点 B．两点间的距离就是两点间的线段 C．经过两点有且只有一条直线 D．比较线段的长短只能用度量法 【题型4】画出直线、射线、线段 【例4】（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，平面上有四个点A、B、C、D．根据下列语句画图：    (1)画直线，射线交于点E； (2)画射线，射线交于点F； (3)连接，并反向延长线段． 【变式1】对于直线、射线、线段，在下列各图中能相交的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24七年级上·安徽·单元测试）下列作图语句中，正确的是（   ） A．画直线cm B．延长线段到 C．延长射线到 D．作直线使之经过，，三点 【题型5】作线段(尺规作图) 【例5】（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，已知线段a、b、c，用尺规作一条线段，使它等于．（保留作图痕迹，不写作法〉 【变式1】（21-22七年级上·山东聊城·期末）已知：线段a，b，求作：线段，使得，小明给出了五个步骤：①作一条射线；②则线段；③在射线上作线段；④在射线上作线段；⑤在射线上作线段；你认为正确的顺序是 ． 【变式2】（23-24七年级上·辽宁盘锦·期末）已知：线段a，b． 求作：线段，使得． 小明给出了四个步骤：①在射线上画线段； ②则线段． ③在射线上画线段； ④画射线； 你认为正确的顺序是（    ）． A．①②③④ B．④③①② C．④①③② D．④①②③ 【题型6】直线公理——两点确定一条直线 【例6】（2024七年级上·全国·专题练习）在下列现象中，体现了数学原理“两点确定一条直线”的是 （填序号）． 【变式1】（22-23七年级上·北京朝阳·期末）有下列一些生活中的现象： ①把原来弯曲的河道改直，河道长度变短； ②将两根细木条叠放在一起，两端恰好重合，如果中间存在缝隙，那么这两根细木条不可能都是直的； ③植树时，只要定出两个树坑的位置，就能使同一行的树坑在一条直线上； ④只用两颗钉子就能把一根细木条固定在墙上． 其原理能用基本事实“两点确定一条直线”解释的为 ．（只填序号） 【变式2】（24-25七年级上·辽宁沈阳·期中）下列现象中，能用“两点确定一条直线”来解释的是（    ） ①用两个钉子就可以把木条固定在墙上 ②从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段架设 ③植树时，只要确定两棵树的位置，就能确定同一行树所在直线 ④把弯曲的公路改道，就能缩短路程 A．①③ B．①② C．②③ D．③④ 【题型7】线段公理——两点之间线段最短 【例7】（23-24七年级上·广东佛山·期末）如图所示，平原上有A，B，C，D四个村庄，为解决当地缺水问题，政府准备投资建一个蓄水池，不考虑其他因素，请画图确定蓄水池H点位置，使它与四个村庄的距离之和最小． 【变式1】（23-24七年级上·四川成都·期末）如图，在平面内，为线段，射线上有一点到的距离为7，是平面内一点，且始终保持，则的最小值为 ．    【变式2】（23-24七年级上·山东济南·期末）知识是用来为人类服务的，我们应该把它们用于有意义的方面．下面就两个情境请你作出判断． 情境一：从教室到图书馆，总有少数同学不走校园道路而横穿草坪，这是为什么呢？试用所学数学知识来说明这个问题． 情境二：要整齐地栽一行树，只要确定了两端的树坑的位置，就能确定这一行树坑所在的直线，这里用到的数学知识是 ．你赞同以上哪种做法？ （填情境一或情境二） 【题型8】直线、线段、射线的数量问题 【例8】（24-25七年级上·全国·课后作业）【观察思考】 （1）如图，已知点A、B、C、D在直线l上．请你写出图中以A、B、C、D为左端点的线段； 【总结归纳】 （2）若一条线段上有m个点（包括两个端点），则该线段上共有多少条线段？请填写下表，并说明结论的正确性； 点个数 2 3 4 5 … m 线段条数 1 3 6 ___ … ____ 【解决问题】 （3）某班40名同学在一次跳绳比赛中，若每两人都要进行一场比赛，则共比赛多少次？请将这个问题转化为上述模型，并直接应用上述模型的结论解决问题． 【变式1】（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）如图，有下列结论： ①以点为端点的射线共有5条；    ②以点为端点的线段共有4条； ③射线和射线是同一条射线；    ④直线和直线是同一条直线． 以上结论正确的是 ．（填序号） 【变式2】（24-25七年级上·全国·单元测试）过2个点可以画出1条线段，过3个点可以画3条线段，过10个点可以画（    ）条线段． A．10 B．54 C．45 D．无数条 【题型9】直线相交的交点个数问题 【例9】（23-24七年级上·福建泉州·期末）我们知道，两条直线相交最多有一个交点，三条直线相交最多有三个交点，四条直线相交最多有6个交点，…，如图所示． (1)五条直线相交最多有______个交点，六条直线相交最多有______个交点； (2)若有条直线相交，求最多交点的个数．（用含的代数式表示） 【变式1】（23-24七年级上·河南新乡·阶段练习）平面内四条直线两两相交，交点有（    ） A．1个或4个 B．3个或4个 C．1个、4个或6个 D．1个、3个、4个或6个 【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）在同一平面内，三条直线两两相交，如果最多有a个交点，最少有b个交点，那么 ． 【题型10】线段的和与差 【例10】（24-25七年级上·全国·课后作业）在数轴上有A、B两点，点A在点B的左边，若点A表示的数为，线段． (1)点B表示的数为___________； (2)在线段上有一点M满足，数轴上有一动点N从点A出发向右运动，若某一时刻，求此时的长度． 【变式1】（23-24六年级下·全国·单元测试）如下图，线段，B、C是这条线段上两点，，且，则的长是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24七年级上·全国·期末）线段的长为，延长到，使，再反向延长到，使，则线段的长为 ． 【题型11】线段中点的有关计算 【例11】（2024七年级上·全国·专题练习）已知A，B，C三点在同一条直线上，若线段，线段，M，N分别为线段的中点． (1)求线段的长； (2)根据（1）中的计算过程和结果，设，且，其他条件都不变，直接写出的长度． 【变式1】（2024七年级上·全国·专题练习）如图，已知C是线段上的一点，分别是线段的中点，分别是线段的中点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知点，是线段上的两点，点、分别是线段，的中点，若，，则线段的长度是 ． 【题型12】线段n等分点的有关计算 【例12】（23-24七年级上·福建厦门·期末）如图，已知线段，点C是的中点，点D是的三等分点，且点D在点C的右边． (1)若，求的长； (2)在线段上是否存在一点E，使得点E是的中点，同时点C也是的中点？若存在，请用圆规找出点E的位置，并说明理由；若不存在，请说明理由． 【变式1】（23-24七年级上·甘肃武威·期末）已知线段，且点是线段的中点，点是线段的三等分点则线段的长为（    ） A．和 B．和 C．和 D． 【变式2】（22-23七年级上·湖北武汉·期末）在直线l上有A、B、C、D四点，其中点B是线段的三等分点，点C是线段的中点，点E是线段延长线上一点，且，则的值为 ． 【题型13】线段之间的数量关系 【例13】（23-24七年级上·江苏无锡·期末）已知A，B，C，D四点在同一直线上，点D在线段上． (1)如图，若线段，点C是线段的中点，，求线段的长度； (2)若线段，点C是线段上一点，且满足，，求线段的长度（用含a的式子表示）． 【变式1】（2024七年级·全国·竞赛）下列四种说法：①因为，所以点是线段的中点；②点是线段的延长线上一点，若，则点是线段的中点；③因为点是线段的中点，所以；④若三点共线，且，则点是线段的中点．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】（23-24七年级上·湖北随州·期末）如图，线段的长为，点为线段的中点，为线段上一点，且．图中共有 条线段；若为直线上一点，且，则的值为 ． 【题型14】与线段有关的动点问题 【例14】（22-23七年级上·河南郑州·阶段练习）如图①，已知点C在线段上，线段厘米，厘米，点M，N分别是，的中点． (1)求线段的长度； (2)根据第（1）题的计算过程和结果，设，其他条件不变，求的长度； (3)动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以2厘米/秒的速度沿向右运动，终点为B，点Q以1厘米/秒的速度沿向左运动，终点为A，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，求运动多少秒时： ①点P恰好为线段的中点？ ②直接写出C、P、Q三点中有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点？（除①外） 【变式1】（20-21七年级上·云南昆明·期末）如图所示，数轴上O，A两点的距离为8，一动点P从点A出发，按以下规律跳动：第1次跳动到AO的中点A1处，第2次从A1点跳动到A1O的中点A2处，第3次从A2点跳动到A2O的中点A3处，按照这样的规律继续跳动到点A4，A5，A6，…，An（n≥3，n是整数）处，问经过这样2023次跳动后的点与A1A的中点的距离是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）电子跳蚤游戏盘（如图）为三角形，，，，如果电子跳蚤开始时在边的点，，第一步跳蚤从到边上点，且；第二步跳蚤从跳到边上点，且；第三步跳蚤从跳回到边上点，且；…跳蚤按上述规则跳下去，第次落点为，则与之间的距离为 ． 【题型15】两点之间距离 【例15】（24-25七年级上·全国·期末）追本溯源 题（1）来自于课本中的定义，请你完成解答，利用定义完成题（2）． （1）如图1，点M把线段分成相等的两条线段与，点M叫做线段的 ， ． 拓展延伸 （2）如图2，线段上依次有D，B，E三点，，E是的中点，． ①求线段的长； ②求线段的长． 【变式1】（24-25七年级上·河北石家庄·期中）有两根木条，一根长为，另一根长为，在它们的中点处各有一个小圆孔、（圆孔直径忽略不计，、抽象成两个点），将它们的一端重合，放置在同一条直线上，此时两根木条的小圆孔之间的距离是（   ） A． B． C．或 D．以上都不对 【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）一根绳子长为，，是绳子上任意两点（在的左侧）．将，分别沿，两点翻折（翻折处长度不计），，两点分别落在上的点，处． （1）当时，，两点间的距离为 ． （2）当，两点间的距离为时，的长为 ． 【题型16】最短路径 【例16】（21-22六年级下·山东淄博·期中）直线m表示一条公路，公路两旁分别有两个村庄A和B，要在公路上建一个临时车站P，使它到两个村庄距离之和最小，车站P应建在什么位置？在图中画出车站的位置，并说明这样的理由． 【变式1】（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）如图，A、B、C是一条公路上的三个村庄，A、B间的路程为，A、C间的路程为，现要在A、B之间建一个车站P，若要使车站到三个村庄的路程之和最小，则车站应建在何处？（    ）    A．点C处 B．线段之间 C．线段的中点 D．线段之间 【变式2】（20-21七年级下·山东济宁·期中）如图，是一条笔直的公路，在公路的两侧各有一个村庄，，两个村庄准备集资修建一个公交车站，经过协商，要求车站到两个村庄的路程和最短，小聪帮助设计了公交车站修建点，则小聪设计的理由是 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题4.1 线段、射线、直线（4大知识点6大考点16类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点1】直线 1．概念：直线是最简单、最基本的几何图形之一，是一个不作定义的原始概念，直线常用“一根拉得紧的细线”、“一张纸的折痕”等实际事物进行形象描述． 2. 表示方法：（1）可以用直线上的表示两个点的大写英文字母表示，如图1所示，可表示为直线AB(或直线BA)． （2）也可以用一个小写英文字母表示，如图2所示，可以表示为直线． 3.基本性质：经过两点有一条直线，并且只有一条直线．简单说成：两点确定一条直线． 要点提示：直线的特征： （1）直线没有长短，向两方无限延伸． （2）直线没有粗细． （3）两点确定一条直线． （4）两条直线相交有唯一一个交点． 4.点与直线的位置关系： （1）点在直线上，如图3所示，点A在直线m上，也可以说：直线m经过点A． （2）点在直线外，如图4，点B在直线n外，也可以说：直线n不经过点B． 【知识点2】线段 1.概念：直线上两点和它们之间的部分叫做线段． 2.表示方法： （1）线段可用表示它两个端点的两个大写英文字母来表示，如图所示，记作：线段AB或线段BA． （2）线段也可用一个小写英文字母来表示，如图5所示，记作：线段a． 3. “作一条线段等于已知线段”的两种方法： 法一：用圆规作一条线段等于已知线段．例如：下图所示，用圆规在射线AC上截取AB＝a． 法二：用刻度尺作一条线段等于已知线段．例如：可以先量出线段a的长度，再画一条等于这个长度的线段． 4.基本性质：两点的所有连线中，线段最短．简记为：两点之间，线段最短． 图6所示，在A，B两点所连的线中，线段AB的长度是最短的． 图6 要点提示： （1）线段是直的，它有两个端点，它的长度是有限的，可以度量，可以比较长短． （2）连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离． （3）线段的比较： ①度量法：用刻度尺量出两条线段的长度，再比较长短． ②叠合法：利用直尺和圆规把线段放在同一条直线上，使其中一个端点重合，另一个端点位于重合端点同侧，根据另一端点与重合端点的远近来比较长短． 5.线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如图7所示，点C是线段AB的中点，则，或AB＝2AC＝2BC． 图7 要点提示： 若点C是线段AB的中点，则点C一定在线段AB上． 【知识点3】射线 1.概念：直线上一点和它一侧的部分叫射线，这个点叫射线的端点． 如图8所示，直线l上点O和它一旁的部分是一条射线，点O是端点． 图8 2.特征：是直的，有一个端点，不可以度量，不可以比较长短，无限长． 3.表示方法：（1）可以用两个大写英文字母表示，其中一个是射线的端点，另一个是射线上除端点外的任意一点，端点写在前面，如图8所示，可记为射线OA． （2）也可以用一个小写英文字母表示，如图8所示，射线OA可记为射线l． 要点提示： (1)端点相同，而延伸方向不同，表示不同的射线．如图9中射线OA，射线OB是不同的射线． 图9 (2)端点相同且延伸方向也相同的射线，表示同一条射线．如图10中射线OA、射线OB、射线OC都表示同一条射线． 图10 【知识点4】直线、射线、线段的区别与联系 1.直线、射线、线段之间的联系 （1）射线和线段都是直线上的一部分，即整体与部分的关系．在直线上任取一点，则可将直线分成两条射线；在直线上取两点，则可将直线分为一条线段和四条射线． （2）将射线反向延伸就可得到直线；将线段一方延伸就得到射线；将线段向两方延伸就得到直线． 2．三者的区别如下表 要点提示： （1） 联系与区别可表示如下： 第二部分【题型展示与方法点拨】 【考点1】概念的辨析 【题型1】直线、射线、线段的联系与区别.......................................4 【题型2】线段中点...........................................................6 【题型3】两点之间距离.......................................................9 【考点2】尺规作图 【题型4】画出直线、射线、线段..............................................10 【题型5】作线段(尺规作图)..................................................11 【考点3】两个重要公理 【题型6】直线公理——两点确定一条直线......................................13 【题型7】线段公理——两点之间线段最短......................................15 【考点4】直线、线段、射线数量与直线交点个数及规律 【题型8】直线、线段、射线的数量问题........................................17 【题型9】直线相交的交点个数问题............................................19 【考点5】与线段有关的运算问题 【题型10】线段的和与差.....................................................21 【题型11】线段中点的有关计算...............................................22 【题型12】线段n等分点的有关计算...........................................25 【题型13】线段之间的数量关系...............................................28 【题型14】与线段有关的动点问题.............................................30 【考点6】两点之间距离与最短路径 【题型15】两点之间距离.....................................................33 【题型16】最短路径.........................................................36 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】直线、射线、线段的联系与区别 【例1】（2024七年级上·全国·专题练习）如图，有下列结论：①以C为端点的射线共有4条；②射线和射线是同一条射线；③直线和直线是同一条直线；④射线的端点相同．其中正确的结论是 （填序号）． 【答案】③④ 【分析】本题考查了直线、射线、线段，熟记概念以及表示方法是解题的关键． 根据直线、射线、线段的定义，对结论分析判断即可得解． 解：以C为端点的射线共有3条，故①错误； 因为射线和射线的端点不同，方向也不同，所以不是同一条射线，故②错误； 直线和直线是同一条直线，故③正确； 射线的端点相同，都为点A，故④正确． 综上所述，其中正确的结论是：③④． 故答案为：③④． 【变式1】（2024七年级上·全国·专题练习）下列给出的直线、射线、线段，能相交的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了直线、射线和线段，根据射线可以向一方无限延伸，直线可以向两方无限延伸，线段不能延伸即可判断求解，掌握直线、射线和线段的特征是解题的关键． 解：∵射线可以向一方无限延伸，直线可以向两方无限延伸，线段不能延伸， ∴选项中不能相交，选项中能相交， 故选：． 【变式2】（23-24七年级上·河北保定·期末）下列说法：（）两点确定一条线段；（）画一条射线，使它的长度为；（）线段和线段是同一条线段；（）射线和射线是同一条射线；（）直线和直线是同一条直线．其中错误的有（    ）个 A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了直线、射线、线段，根据射线是不可度量的，以及直线、线段和射线的定义即可判断，解题的关键是掌握直线、线段和射线的定义． 解：（）两点确定一条直线，正确； （）射线是不可度量的，错误； （）线段和线段是同一条线段，正确； （）射线和射线是不同的射线，错误； （）直线和直线是同一条直线，正确； ∴错误的有个， 故选：． 【变式3】（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，是直线l上的三个点． （1）图中共有 条线段； （2）图中以点B为端点的射线有 条，分别是 ； （3）直线l还可以表示为 ． 【答案】 3 2 射线、射线 直线或直线或直线或直线或直线或直线 【分析】此题主要考查了线段、直线、射线，关键是掌握线段的定义． （1）（2）根据线段概念即可求得答案； （3）根据直线的概念即可求得答案． 解：（1）图中共有3条线段，线段、线段、线段； 故答案为：3； （2）图中以点B为端点的射线有2条，射线、射线； 故答案为：2，射线、射线； （3）直线l还可以表示为：直线或直线或直线或直线或直线或直线； 故答案为：直线或直线或直线或直线或直线或直线． 【题型2】线段中点 【例2】（2024七年级上·全国·专题练习）以下条件能确定点是线段的中点的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了线段中点的定义：如果点把线段分成相等的两条线段，那么点就是线段的中点，根据定义依次判断即可． 解：A、，当点不在直线上时，点不是线段的中点，该选项不符合题意； B、，当点在点的左侧时，点不是线段的中点，该选项不符合题意； C、，当点在点的右侧时，点不是线段的中点，该选项不符合题意； D、，此时三点共线且，所以，点是线段的中点，该选项符合题意； 故选：D． 【变式1】（2024七年级上·全国·专题练习）下列说法正确的是（    ） A．到线段两个端点距离相等的点叫作线段的中点 B．线段的中点到线段两个端点的距离相等 C．线段的中点可以有两个 D．线段的中点有若干个 【答案】B 【分析】本题考查了线段中点的定义与性质，掌握相关性质定理是解题的关键． 根据线段中点的定义与性质求解即可． 解：A．线段上到线段两个端点距离相等的点叫作线段的中点，原说法错误，不符合题意； B．线段的中点到线段两个端点的距离相等，正确，符合题意； C．线段的中点只有一个，原说法错误，不符合题意； D．线段的中点只有一个，原说法错误，不符合题意． 故选：B． 【变式2】（23-24七年级上·河北沧州·期末）如图，为的中点，是的中点，则下列说法中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了线段中点的定义，线段的和差，熟练掌握线段中点的定义及线段的和差是解答本题的关键．设，根据线段的中点定义可逐步求得，，，的长，进一步计算各选项中的式子，即可得到答案． 解：设， 为的中点， ， 是的中点， ， 选项D正确，不符合题意； ， ， 选项A正确，不符合题意； ， ， 选项B正确，不符合题意； 选项C错误，符合题意； 故选：C． 【变式3】（23-24六年级下·山东济南·开学考试）如图，已知是线段中点，延长线段至，使，则下列结论中①；②；③；④；⑤；⑥，正确的有（　　） A．①②④⑥ B．①②⑤⑥ C．①②③④ D．②③⑤⑥ 【答案】B 【分析】本题考查了两点间的距离，线段线段中点的定义．根据线段中点的定义以及线段的和差逐一判断即可得到结论． 解：是线段中点， ，故①正确； ， ，故②正确； ，，故③④错误； 是线段中点， ， ， ，故⑤正确； ，， ，故⑥正确； 故选：B． 【题型3】两点之间距离 【例3】（23-24六年级下·全国·假期作业）下列说法正确的是（    ） A．连接两点的线段叫做两点间的距离 B．连接两点的射线的长度叫做两点间的距离 C．连接两点的直线的长度叫做两点间的距离 D．连接两点的线段的长度叫做两点间的距离 【答案】D 【分析】本题考查了两点之间的距离．熟练掌握两点之间的距离的定义是解题的关键． 根据两点之间的距离的定义判断作答即可． 解：由题意知，连接两点的线段的长度叫做两点间的距离， D正确，故符合要求；A、B、C错误，故不符合要求； 故选：D． 【变式】（21-22七年级上·河南平顶山·期末）下列四个语句中，正确的是（   ） A．如果，那么点是的中点 B．两点间的距离就是两点间的线段 C．经过两点有且只有一条直线 D．比较线段的长短只能用度量法 【答案】C 【分析】根据线段的中点和线段的性质进行判断即可． 解：A、如果AP=BP，且AP+BP=AB，那么点P是AB的中点，故本选项不符合题意； B、两点间的距离就是两点间的线段的长度，故本选项不符合题意； C、经过两点有且只有一条直线，故本选项符合题意； D、比较线段的长短可以用度量法，但不是只能用度量法，故本选项不符合题意． 故选：C． 【点拨】本题考查的是两点之间的距离，根据线段的性质和线段的中点的定义是解答此题的关键． 【题型4】画出直线、射线、线段 【例4】（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，平面上有四个点A、B、C、D．根据下列语句画图：    (1)画直线，射线交于点E； (2)画射线，射线交于点F； (3)连接，并反向延长线段． 【分析】本题考查复杂作图−直线、射线、线段，（1）根据直线与射线的定义作图即可； （2）根据射线的定义作图即可； （3）根据线段的定义作图即可． 解：（1）如图，点F即为所求； （2）如图，点F即为所求； （3）如图，线段即为所求； 【变式1】对于直线、射线、线段，在下列各图中能相交的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线能向两方无限延伸，射线能向一方无限延伸，线段不能延伸，据此进行选择． 解：A．线段CD不能延伸，直线延伸方向，与线段无交点，直线和线段不能相交； B．射线可以无线延伸，这条射线与这条直线能相交； C．线段CD不能延伸，射线EF延伸的方向与线段无交点； D.直线和射线的延伸方向，得两者不能相交． 故选B． 【点拨】本题考查了相交线，理解直线、线段和射线的延伸性是关键． 【变式2】（23-24七年级上·安徽·单元测试）下列作图语句中，正确的是（   ） A．画直线cm B．延长线段到 C．延长射线到 D．作直线使之经过，，三点 【答案】B 【分析】本题考查作图---尺规作图的定义，解题的关键是明确尺规作图的方法，哪些图形可以测量，哪些不可以测量，根据各个选项中的语句，可以判断其是否正确，从而可以解答本题 解：∵直线无法测量，故选项A错误； 延长线段到C是正确的，故选项B正确； 射线本身是以点O为端点，向着方向延伸，故选项C错误； 如果点A、B、C三点不在同一直线上，则直线不能同时经过这三个点，故选项D错误； 故选：B 【题型5】作线段(尺规作图) 【例5】（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，已知线段a、b、c，用尺规作一条线段，使它等于．（保留作图痕迹，不写作法〉 【分析】本题考查尺规画线段以及线段的和差，利用尺规画线段的方法去作图． 解：①如答图，画射线． ②在射线上顺次作；再反向作． ③线段．线段即为所要求作的线段． 【变式1】（21-22七年级上·山东聊城·期末）已知：线段a，b，求作：线段，使得，小明给出了五个步骤：①作一条射线；②则线段；③在射线上作线段；④在射线上作线段；⑤在射线上作线段；你认为正确的顺序是 ． 【答案】①③⑤④② 【分析】先作射线AE，然后在射线AE上作线段AC=a，再在射线CE上作线段CD=a，最后在射线DE上作线段DB=b，则线段AB= 2a+b． 解：由题意知，正确的画图步骤为：①作一条射线AE；③在射线AE上作线段AC＝a，⑤在射线CE上作线段CD＝a；④在射线DE上作线段DB＝b；②则线段AB＝ 2a＋b； ∴正确的顺序是①③⑤④② 故答案为：①③⑤④②． 【点拨】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 【变式2】（23-24七年级上·辽宁盘锦·期末）已知：线段a，b． 求作：线段，使得． 小明给出了四个步骤：①在射线上画线段； ②则线段． ③在射线上画线段； ④画射线； 你认为正确的顺序是（    ）． A．①②③④ B．④③①② C．④①③② D．④①②③ 【答案】C 【分析】本题主要考查了作图-复杂作图，掌握运用尺规画线段的方法是解题的关键． 先作射线，再截取，然后截取，则线段的长为． 解：解如图所示： ④画射线； ①在射线上画线段； ③在射线上画线段； ②则线段． 所以正确顺序为④①③②． 故选C． 【题型6】直线公理——两点确定一条直线 【例6】（2024七年级上·全国·专题练习）在下列现象中，体现了数学原理“两点确定一条直线”的是 （填序号）． 【答案】①②③ 【分析】本题考查了直线的性质，根据直线的性质，逐一判断即可解答． 解：①平板弹墨线，体现了基本事实“两点确定一条直线”； ②建筑工人砌墙，体现了基本事实“两点确定一条直线”； ③会场摆直茶杯，体现了基本事实“两点确定一条直线”； ④弯河道改直，体现了基本事实“两点之间线段最短”； 所以，在上列现象中，体现了基本事实“两点确定一条直线”的有①②③， 故答案为：①②③． 【变式1】（22-23七年级上·北京朝阳·期末）有下列一些生活中的现象： ①把原来弯曲的河道改直，河道长度变短； ②将两根细木条叠放在一起，两端恰好重合，如果中间存在缝隙，那么这两根细木条不可能都是直的； ③植树时，只要定出两个树坑的位置，就能使同一行的树坑在一条直线上； ④只用两颗钉子就能把一根细木条固定在墙上． 其原理能用基本事实“两点确定一条直线”解释的为 ．（只填序号） 【答案】②③④ 【分析】根据“两点之间线段最短”和“两点确定一条直线”两个公理进行分析判断即可． 解：①把原来弯曲的河道改直，河道长度变短，其原理能用基本事实“两点之间线段最短”解释，故不符合题意； ②将两根细木条叠放在一起，两端恰好重合，如果中间存在缝隙，那么这两根细木条不可能都是直的，其原理能用基本事实“两点确定一条直线”解释，符合题意； ③植树时，只要定出两个树坑的位置，就能使同一行的树坑在一条直线上，其原理能用基本事实“两点确定一条直线”解释，符合题意； ④只用两颗钉子就能把一根细木条固定在墙上，其原理能用基本事实“两点确定一条直线”解释，符合题意． 故答案为：②③④． 【点拨】本题主要考查了两点之间线段最短和两点确定一条直线，理解并掌握两点之间线段最短和两点确定一条直线是解题关键． 【变式2】（24-25七年级上·辽宁沈阳·期中）下列现象中，能用“两点确定一条直线”来解释的是（    ） ①用两个钉子就可以把木条固定在墙上 ②从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段架设 ③植树时，只要确定两棵树的位置，就能确定同一行树所在直线 ④把弯曲的公路改道，就能缩短路程 A．①③ B．①② C．②③ D．③④ 【答案】A 【分析】根据直线的性质及线段的性质依次分析判断． 此题考查了两点确定一条直线及线段的性质：两点之间线段最短，理解线段的性质及直线的性质的区别是解题的关键． 解：①有两个钉子就可以把木条固定在墙上，是利用两点确定一条直线； ②A从地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段架设，是利用两点之间，线段最短； ③植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行所在的直线，利用两点确定一条直线； ④把弯曲的公路改直，就能缩短路程，利用两点之间，线段最短． 故选A． 【题型7】线段公理——两点之间线段最短 【例7】（23-24七年级上·广东佛山·期末）如图所示，平原上有A，B，C，D四个村庄，为解决当地缺水问题，政府准备投资建一个蓄水池，不考虑其他因素，请画图确定蓄水池H点位置，使它与四个村庄的距离之和最小． 【答案】答案见解析 【分析】本题属于最短路线问题，解决此类题目的关键是掌握最有关短路径的知识点． 依据“两点之间线段最短”直接连接线段和，其交点H即为所求的点． 解：如下图所示，连接线段和，应把蓄水池建在交点上，因为这样H点既在线段上，又在线段上，由“两点之间，线段最短"可知，此时蓄水池与四个村庄的距离之和最小． 【变式1】（23-24七年级上·四川成都·期末）如图，在平面内，为线段，射线上有一点到的距离为7，是平面内一点，且始终保持，则的最小值为 ．    【答案】 【分析】本题考查了两点之间线段最短，解题的关键是把． 解：如图，连接，则，    当N在A，C之间时，的最小值， 的最小值是， 故答案为：． 【变式2】（23-24七年级上·山东济南·期末）知识是用来为人类服务的，我们应该把它们用于有意义的方面．下面就两个情境请你作出判断． 情境一：从教室到图书馆，总有少数同学不走校园道路而横穿草坪，这是为什么呢？试用所学数学知识来说明这个问题． 情境二：要整齐地栽一行树，只要确定了两端的树坑的位置，就能确定这一行树坑所在的直线，这里用到的数学知识是 ．你赞同以上哪种做法？ （填情境一或情境二） 【答案】两点之间，线段最短；两点确定一条直线；情境二 【分析】此题考查两点之间线段最短的应用，两点确定一条直线，掌握线段的性质是解题的关键．教室和图书馆、两个树坑之间的路线可看做是一条线段，接下来，根据根据线段的性质来分析得出即可． 解：情景一：因为教学楼和图书馆处于同一条直线上，两点之间的所有连线中，线段最短； 情景二：两个树坑可以抽象成两个点，是根据两点确定一条直线的原理来做的；我们必须注意保护我们周围赖以生存的生态环境，所以赞同情景二． 故答案为：两点之间，线段最短；两点确定一条直线；情境二． 【题型8】直线、线段、射线的数量问题 【例8】（24-25七年级上·全国·课后作业）【观察思考】 （1）如图，已知点A、B、C、D在直线l上．请你写出图中以A、B、C、D为左端点的线段； 【总结归纳】 （2）若一条线段上有m个点（包括两个端点），则该线段上共有多少条线段？请填写下表，并说明结论的正确性； 点个数 2 3 4 5 … m 线段条数 1 3 6 ___ … ____ 【解决问题】 （3）某班40名同学在一次跳绳比赛中，若每两人都要进行一场比赛，则共比赛多少次？请将这个问题转化为上述模型，并直接应用上述模型的结论解决问题． 【答案】（1）以点A为左端点向右的线段有：线段；以点C为左端点，向右的线段有：线段；以点D为左端点向右的线段有：线段；没有以点B为左端点的线段；（2）10，，见解析；（3）780次 【分析】本题考查了线段数量问题及其应用，有条理思考问题是解题的关键； （1）按照两点确定一条线段，分别按A、C、D、B为左端点的线段进行即可； （2）完成表格填写，找出规律即可说明结论正确； （3）把问题转化为一条直线上的40个点，线段总条数的问题，直接代入（2）中的结论即可求解． 解：（1）以点A为左端点向右的线段有：线段；以点C为左端点，向右的线段有：线段；以点D为左端点向右的线段有：线段；没有以点B为左端点的线段； （2）表格完成如下 点个数 2 3 4 5 … m 线段条数 1 3 6 10 … 从左往右，以第一个点为左端点的线段有条，以第二个点为左端点的线段有条，以第三个点为左端点的线段有条，……，以第个点为左端点的线段有条，以第个点为左端点的线段有条，以第个点为左端点的线段没有，则共有条； 故答案为：10，； （3）问题转化为一条直线上的40个点，线段总条数的问题， 所以当时，（次）； 答：每两人都要进行一场比赛，则共比赛780次． 【变式1】（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）如图，有下列结论： ①以点为端点的射线共有5条；    ②以点为端点的线段共有4条； ③射线和射线是同一条射线；    ④直线和直线是同一条直线． 以上结论正确的是 ．（填序号） 【答案】①④/④① 【分析】本题考查了直线、射线、线段，根据直线、射线、线段的定义，对结论分析判断即可得解． 解：①以点A为端点的射线有射线，共有5条，故该结论正确，符合题意； ②以点D为端点的线段有线段，共有5条，故该结论错误，不符合题意； ③射线和射线不是是同一条射线，故该结论错误，不符合题意； ④直线和直线是同一条直线，故该结论正确，符合题意． 综上所述，其中正确的结论是：①④． 故答案为：①④． 【变式2】（24-25七年级上·全国·单元测试）过2个点可以画出1条线段，过3个点可以画3条线段，过10个点可以画（    ）条线段． A．10 B．54 C．45 D．无数条 【答案】C 【分析】本题主要考查线段的数量问题，根据题意已知条件找到对应的规律，将所求点代入即可； 解：过2个点可以画：； 过3个点可以画：； 过n个点可以画：； 则过10个点可以画； 故选：C． 【题型9】直线相交的交点个数问题 【例9】（23-24七年级上·福建泉州·期末）我们知道，两条直线相交最多有一个交点，三条直线相交最多有三个交点，四条直线相交最多有6个交点，…，如图所示． (1)五条直线相交最多有______个交点，六条直线相交最多有______个交点； (2)若有条直线相交，求最多交点的个数．（用含的代数式表示） 【答案】(1)10；15 (2)有条直线相交，最多交点的个数为． 【分析】此题考查图形规律的探究． （1）根据图形相邻两个图形的交点个数的差为从2开始的连续整数，然后列式计算即可得解； （2）根据（1）得到的规律，即可得解． 解：（1）三条直线交点最多为个， 四条直线交点最多为个， 五条直线交点最多为个， 六条直线交点最多为个； 故答案为：10；15； （2）n条直线交点最多为． 答：有条直线相交，最多交点的个数为． 【变式1】（23-24七年级上·河南新乡·阶段练习）平面内四条直线两两相交，交点有（    ） A．1个或4个 B．3个或4个 C．1个、4个或6个 D．1个、3个、4个或6个 【答案】C 【分析】本题主要考查了直线与直线的交点，理解两两相交的含义是解题的关键． 分三种情况讨论：当四条直线都交于一点；当三条直线交于一点；当两条直线两两相交，再结合图形得出答案即可． 解：分三种情况讨论：当四条直线都交于一点时，如图所示，有1个交点； 当三条直线交于一点时，如图所示，有4个交点； 当两条直线分别两两相交，如图所示，有6个交点． 综上所述，可以有1或4或6个交点． 故选：C． 【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）在同一平面内，三条直线两两相交，如果最多有a个交点，最少有b个交点，那么 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了直线相交的交点个数问题，代数式求值等知识点，熟练掌握直线的几何特性是解题的关键． 分析可得：平面内三条直线两两相交，最多有个交点，最少有个交点，于是可求得的值． 解：平面内三条直线两两相交，最多有个交点，最少有个交点， ，， ， 故答案为：． 【题型10】线段的和与差 【例10】（24-25七年级上·全国·课后作业）在数轴上有A、B两点，点A在点B的左边，若点A表示的数为，线段． (1)点B表示的数为___________； (2)在线段上有一点M满足，数轴上有一动点N从点A出发向右运动，若某一时刻，求此时的长度． 【答案】(1)5； (2)4或8 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，线段的和差，采用数形结合与分类讨论的思想是解此题的关键． （1）根据两点间的距离公式计算即可得解； （2）分两种情况：当点N在线段上时，当点N在线段的延长线上时，分别根据线段的和差计算即可得解． 解：（1）∵点A在点B的左边，点A表示的数为，线段， ∴点B表示的数为． （2）当点N在线段上时，如答图①， ∵，， ∴， ∴； 当点N在线段的延长线上时，如答图②， ∵，， ∴． 综上所述，的长度为4或8． 【变式1】（23-24六年级下·全国·单元测试）如下图，线段，B、C是这条线段上两点，，且，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查线段的和差以及线段中点的定义，利用线段和差作为等量关系列方程是解决问题的关键．根据线段的差求出，由，可得，再根据，即可求解． 解：，， ， ， ， ， 故选：C． 【变式2】（23-24七年级上·全国·期末）线段的长为，延长到，使，再反向延长到，使，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是两点间的距离，熟知各线段之间的和、差关系是解答此题的关键． 根据已知分别得出的长，即可得出线段的长． 解：∵线段，延长到C，使，再反向延长到D，使， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型11】线段中点的有关计算 【例11】（2024七年级上·全国·专题练习）已知A，B，C三点在同一条直线上，若线段，线段，M，N分别为线段的中点． (1)求线段的长； (2)根据（1）中的计算过程和结果，设，且，其他条件都不变，直接写出的长度． 【答案】(1)或； (2)或 【分析】本题考查与线段中点有关的计算，注意分类讨论： （1）分点在线段上和在线段的延长线上两种情况进行讨论求解即可； （2）同法（1）进行求解即可． 解：（1）当点在线段上时： ∵M，N分别为线段的中点， ∴，， ∴； 当点在线段的延长线上时： ∵M，N分别为线段的中点， ∴，， ∴； 综上：或； （2）当点在线段上时： ∵M，N分别为线段的中点， ∴，， ∴； 当点在线段的延长线上时： ∵M，N分别为线段的中点， ∴，， ∴； 综上：或． 【变式1】（2024七年级上·全国·专题练习）如图，已知C是线段上的一点，分别是线段的中点，分别是线段的中点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 解：因为分别是线段的中点，所以．因为，所以，所以．因为分别是线段的中点，所以，所以，所以，所以，所以的值为． 【变式2】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知点，是线段上的两点，点、分别是线段，的中点，若，，则线段的长度是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了线段的和差关系，分两种情况讨论，点在的左侧和右侧，分别画出图形，根据中点的性质求得，结合图形求得，即可求解． 解：如图所示， ∵，， ∴ ∵、分别是线段，的中点， ∴ ∴ 如图所示， ∵，， ∴ ∵、分别是线段，的中点， ∴ ∴ 故答案为：或． 【题型12】线段n等分点的有关计算 【例12】（23-24七年级上·福建厦门·期末）如图，已知线段，点C是的中点，点D是的三等分点，且点D在点C的右边． (1)若，求的长； (2)在线段上是否存在一点E，使得点E是的中点，同时点C也是的中点？若存在，请用圆规找出点E的位置，并说明理由；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)1； (2)存在，画图及理由见解析 【分析】（1）根据中点定义，三等分点定义，得到，，根据，，即得； （2）以点D为圆心， 长为半径画弧，交 于点E，E即为的中点，C为的中点．理由：根据，得到，得到，得到E是的中点，根据，得到，得到C是的中点． 解：（1）∵点C是的中点，点D是的三等分点， ∴，， ∴， ∵， ∴； （2）存在，理由如下， 以点D为圆心，以长为半径画弧，交 于点E，E即为所求作，如图． 理由：∵， ∴， ∴， ∴E是的中点， ∵， ∴， ∴， ∴C是的中点． 【变式1】（23-24七年级上·甘肃武威·期末）已知线段，且点是线段的中点，点是线段的三等分点则线段的长为（    ） A．和 B．和 C．和 D． 【答案】B 【分析】本题考查了两点间的距离，线段中点的定义，分类讨论的思想的运用是解题的关键． 解：∵C是线段的中点，， ∴， 点D是线段的三等分点， ①当时，如图， ； ②当时，如图， ． ∴线段的长为和， 故选：B． 【变式2】（22-23七年级上·湖北武汉·期末）在直线l上有A、B、C、D四点，其中点B是线段的三等分点，点C是线段的中点，点E是线段延长线上一点，且，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了线段的和差关系，中点的性质，线段n等分点的计算，设，根据题意可得，再根据点B的位置分情况讨论即可． 解：设， 点C是线段的中点， ， 如图，当点B是靠近A的线段的三等分点时， 则，， ， ， ， ； 如图，当点B是靠近D的线段的三等分点时， 则，， ， ， ， ， 故答案为：或． 【题型13】线段之间的数量关系 【例13】（23-24七年级上·江苏无锡·期末）已知A，B，C，D四点在同一直线上，点D在线段上． (1)如图，若线段，点C是线段的中点，，求线段的长度； (2)若线段，点C是线段上一点，且满足，，求线段的长度（用含a的式子表示）． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查线段和差倍分的计算，掌握线段中点、三等分点的概念是解题的关键． （1）根据线段中点的定义得到，于是得到； （2）根据，，得到，，求得，，于是得到结论． 解：（1） 线段，点是线段的中点， ， ， ； （2）点在线段上，，， ，， ，， ，， ． 【变式1】（2024七年级·全国·竞赛）下列四种说法：①因为，所以点是线段的中点；②点是线段的延长线上一点，若，则点是线段的中点；③因为点是线段的中点，所以；④若三点共线，且，则点是线段的中点．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了线段中点的判断，理解线段中点的定义是解题的关键．根据线段中点的定义可进行判断解答． 解：①当A、M、B不在同一条直线上时不成立，故①错误； ②因为点B在线段的延长线上，所以M是的中点，故②正确； ③因为M是的中点，所以，故③正确； ④因为A、M、B在同一条直线上，且，当M在之间时，点M是的中点，当M在的延长线上时，点M不是的中点，故④错误． 【变式2】（23-24七年级上·湖北随州·期末）如图，线段的长为，点为线段的中点，为线段上一点，且．图中共有 条线段；若为直线上一点，且，则的值为 ． 【答案】 6 或 【分析】本题主要考查了线段的数量问题、线段的中点的性质、线段的和差等知识点，明确各线段间的关系成为解题的关键． 先根据线段的定义写出所有的线段，然后统计条数即可解答；分点P在的延长线上和点P在的延长线上两种情况，分别运用线段的和差关系即可解答． 解：图中的线段有：共6条线段， 故答案为：6； ∵点为线段的中点，为线段上一点，且， ∴， ∵， ∴点P在的延长线上和点P在的延长线， 如图:当点P在的延长线上时，则， ∵， ∴，解得：， ∴, ∴， ∴； 如图:当点P在的延长线上时，则， ∵， ∴，解得：， ∴, ∴， ∴． 故答案为：或． 【题型14】与线段有关的动点问题 【例14】（22-23七年级上·河南郑州·阶段练习）如图①，已知点C在线段上，线段厘米，厘米，点M，N分别是，的中点． (1)求线段的长度； (2)根据第（1）题的计算过程和结果，设，其他条件不变，求的长度； (3)动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以2厘米/秒的速度沿向右运动，终点为B，点Q以1厘米/秒的速度沿向左运动，终点为A，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，求运动多少秒时： ①点P恰好为线段的中点？ ②直接写出C、P、Q三点中有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点？（除①外） 【答案】(1)厘米 (2) (3)①   ②或 【分析】本题考查了线段的中点和计算，利用线段中点的性质得出关于t的方程是解题关键，要分类讨论，以防遗漏． （1）根据中点的定义、线段的和差，可得答案； （2）根据中点的定义、线段的和差，可得答案； （3）①分为为线段的中点和为线段的中点，利用线段中点的定义，可得方程，根据解方程，可得答案； ②分为C为线段的中点和点为线段的中点，利用线段中点的定义，可得方程，根据解方程，可得答案． 解：（1）∵线段 厘米， 厘米，点, 分别是, 的中点, 厘米， 厘米， 厘米； （2）∵点, 分别是的中点, ， ； （3）①当 时，为线段的中点，， 解得； ②当时，是线段的中点，得 解得 当 时，为线段的中点， 解得 当时，为线段的中点， 解得(舍) , 综上所述：或 【变式1】（20-21七年级上·云南昆明·期末）如图所示，数轴上O，A两点的距离为8，一动点P从点A出发，按以下规律跳动：第1次跳动到AO的中点A1处，第2次从A1点跳动到A1O的中点A2处，第3次从A2点跳动到A2O的中点A3处，按照这样的规律继续跳动到点A4，A5，A6，…，An（n≥3，n是整数）处，问经过这样2023次跳动后的点与A1A的中点的距离是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，可以写出前几个点表示的数，从而可以发现数字的变化特点，然后即可得到2023次跳动后的点与A1A的中点的距离，本题得以解决． 解：由题意可得， 点A1表示的数为8×＝4， 点A2表示的数为8××＝2， 点A3表示的数为8××＝1， …， 点An表示的数为8×（）n， ∵A1A的中点表示的数为（8+4）÷2＝6， ∴2023次跳动后的点与A1A的中点的距离是：6﹣8×（）2023＝6﹣（）2020＝6﹣， 故选：D． 【点拨】本题考查数字的变化类、数轴，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点． 【变式2】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）电子跳蚤游戏盘（如图）为三角形，，，，如果电子跳蚤开始时在边的点，，第一步跳蚤从到边上点，且；第二步跳蚤从跳到边上点，且；第三步跳蚤从跳回到边上点，且；…跳蚤按上述规则跳下去，第次落点为，则与之间的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查了规律型：此题主要是能够根据题意利用线段的和差计算出有关线段的长，发现电子跳蚤的落点的循环规律，本题首先根据题意，分别计算电子跳骚的位置和三角形的顶点的距离，找到循环的规律：经过6次跳，电子跳蚤回到起跳点．根据这一规律确定第2025次落点的位置，可得答案． 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 此时与重合，即经过6次跳，电子跳蚤回到起跳点． ∵， 即与重合， ∴与C之间的距离为． 故答案为： 【题型15】两点之间距离 【例15】（24-25七年级上·全国·期末）追本溯源 题（1）来自于课本中的定义，请你完成解答，利用定义完成题（2）． （1）如图1，点M把线段分成相等的两条线段与，点M叫做线段的 ， ． 拓展延伸 （2）如图2，线段上依次有D，B，E三点，，E是的中点，． ①求线段的长； ②求线段的长． 【答案】（1）中点；；（2）①；② 【分析】本题主要考查了两点间的距离，线段的和与差运算，中点的定义等知识点，熟练利用线段的和差是解题关键． （1）根据线段中点的定义即可得到答案； （2）①根据与的关系可得的长度，再根据线段的中点定义可得答案；②根据线段的和差可得的长，利用线段的和差可得答案； 解：（1）∵点M把线段分成相等的两条线段与， ∴由中点定义知，点M叫做线段的中点， ∴， 故答案为：中点，； （2）①∵， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∴． 【变式1】（24-25七年级上·河北石家庄·期中）有两根木条，一根长为，另一根长为，在它们的中点处各有一个小圆孔、（圆孔直径忽略不计，、抽象成两个点），将它们的一端重合，放置在同一条直线上，此时两根木条的小圆孔之间的距离是（   ） A． B． C．或 D．以上都不对 【答案】C 【分析】此题考查了两点之间的距离问题，正确画图很重要，本题渗透了分类讨论的思想，体现了思维的严密性，在今后解决类似的问题时，要防止漏解． 分两种情况画出图形求解即可． 解：（1）当A、C（或B、D）重合，且剩余两端点在重合点同侧时， （厘米）； （2）当B、C（或A、C）重合，且剩余两端点在重合点两侧时， （厘米）． 所以两根木条的小圆孔之间的距离是或． 故选：C． 【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）一根绳子长为，，是绳子上任意两点（在的左侧）．将，分别沿，两点翻折（翻折处长度不计），，两点分别落在上的点，处． （1）当时，，两点间的距离为 ． （2）当，两点间的距离为时，的长为 ． 【答案】 或 【分析】本题考查了线段的和差，两点间距离，翻折，分类讨论思想； （1）由已知，翻折后，则，两点间的距离为，由此即可求解； （2）分两种情况：及，即可求解． 解：（1）∵， ∴， 由于翻折，如图，则， ∴， ∴，两点间的距离为； 故答案为：； （2）当时，如图， 由于翻折，则， 由图知，，即， ∴， ∴； 当时，如图， 则，即， ∴， ∴； 综上，的长为或． 故答案为：或． 【题型16】最短路径 【例16】（21-22六年级下·山东淄博·期中）直线m表示一条公路，公路两旁分别有两个村庄A和B，要在公路上建一个临时车站P，使它到两个村庄距离之和最小，车站P应建在什么位置？在图中画出车站的位置，并说明这样的理由． 【分析】连接AB，则AB与直线m的交点就是车站P的位置． 解：如图，连接AB，则AB与直线m的交点就是车站P的位置， 理由：两点之间线段最短． 【点拨】本题考查了两点之间线段最短的实际应用，掌握两点之间线段最短是解答本题的关键． 【变式1】（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）如图，A、B、C是一条公路上的三个村庄，A、B间的路程为，A、C间的路程为，现要在A、B之间建一个车站P，若要使车站到三个村庄的路程之和最小，则车站应建在何处？（    ）    A．点C处 B．线段之间 C．线段的中点 D．线段之间 【答案】A 【分析】设、间的路程为，分类讨论，当点在点的左侧和点在点的右侧，用含的代数式表示车站到三个村庄的路程之和，就可以得出结论． 解：∵，， ∴， 设、间的路程为， 如图，当点在点的左侧，    车站到三个村庄的路程之和为：； 如图，当点在点的右侧，    车站到三个村庄的路程之和为：； 综上所述：车站到三个村庄的路程之和为； ∴当时，路程之和最小为， ∴当车站建在村庄处，车站到三个村庄的路程之和最小． 故选： A． 【点拨】本题考查了分类讨论思想的运用，代数式的运用，解答时求得车站到三个村庄的路程之和是关键． 【变式2】（20-21七年级下·山东济宁·期中）如图，是一条笔直的公路，在公路的两侧各有一个村庄，，两个村庄准备集资修建一个公交车站，经过协商，要求车站到两个村庄的路程和最短，小聪帮助设计了公交车站修建点，则小聪设计的理由是 ． 【答案】两点之间线段最短 【分析】根据两点之间线段最短即可求解． 解：两点之间线段最短． 【点拨】本题主要考查线段的基本事实，理解线段的基本事实是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$