第2章 有理数及其运算 单元复习（10大知识点总结+12大题型+易错警示+解题技巧）2026-2027学年北师大版数学七年级上册易错题重难点培优讲义

第2章 有理数及其运算 知识点1：正数、负数与相反意义的量 　　1.像3、1.5、这样大于0的数叫正数；像-3、-1.5这样在正数前加"-"的数叫负数。 　　2.0既不是正数也不是负数，是正数与负数的分界。 　　3.用正负数表示具有相反意义的量时，先规定一种意义为正，则另一种为负。 知识点2：有理数的分类 分类标准 类别 举例 按符号 正有理数、0、负有理数 3、0、-3 按整数与分数 整数、分数 -2、 　　注意：整数包括正整数、0、负整数；分数包括正分数、负分数。 知识点3：数轴 　　1.三要素：原点、正方向、单位长度，缺一不可。 　　2.数轴上的点与有理数一一对应，右边的点表示的数总比左边的大。 3.数轴上两点间距离：。 知识点4：相反数 　　1.只有符号不同的两个数互为相反数，如3与-3。 　　2.0的相反数是0；数轴上关于原点对称的两点表示相反数。 　　3.若a、b互为相反数，则。 知识点5：绝对值 　　1.定义：数轴上表示数a的点与原点的距离叫a的绝对值，记作。 　　2.，绝对值具有非负性。 　　3.化简：当时；当时。 知识点6：有理数的大小比较 方法 要点 数轴法 右边的数大于左边的数 法则法 正数>0>负数；两个负数，绝对值大的反而小 作差法 则 知识点7：有理数的加减法 　　1.加法：同号相加取相同符号，绝对值相加；异号相加取绝对值大的符号，绝对值相减；互为相反数的两数相加得0。 　　2.减法：减去一个数等于加上这个数的相反数，即。 　　3.运算律：加法交换律、结合律。 知识点8：有理数的乘除法与倒数 　　1.乘法：两数相乘同号得正、异号得负，绝对值相乘；任何数与0相乘得0。 　　2.除法：除以一个数等于乘这个数的倒数，即。 　　3.倒数：乘积为1的两个数互为倒数，0没有倒数。 知识点9：乘方、科学记数法与近似数 内容 要点 乘方 表示n个a相乘；负数的偶次幂为正、奇次幂为负 科学记数法 ，其中，n为整数 近似数 精确到哪一位，就看这一位后面的一位四舍五入 知识点10：易错警示 易错点 错误做法 正确做法 绝对值 认为 ，需分类讨论 乘方 把算成4 底数是2，结果为-4 减法 减去负数仍按减正数算 减去负数等于加正数 倒数 认为0的倒数是0 0没有倒数 【易错题型】 【题型1】有理数运算中的符号与顺序错误 　　1.易错点总结 　　最典型的是把与混为一谈，前者底数是2、结果是-4，后者底数是-2、结果是4；其次是运算顺序出错，把"先乘除后加减"做反；还有去掉绝对值符号时不分正负，直接写成去掉符号后的数。 　　2.纠错技巧 　　动笔前先用笔圈出底数，看清负号是否在括号内，凡"-"在括号外的乘方一律先算乘方再加负号；混合运算按"先乘方、再乘除、后加减，有括号先算括号"的顺序，每算一步都在草稿上写出中间结果；遇到绝对值，先判断绝对值内式子的正负，再决定去掉后是否变号。 【例题1】.（上海市金山区2026-2027学年六年级数学第一学期期中考试）计算： 【答案】 【详解】解： ． 【变式题1-1】.（26-27七年级上·浙江嘉兴·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用有理数减法法则将减法转化为加法，再按加法法则逐步计算； （2）按照有理数混合运算顺序，先计算乘方与绝对值，再完成乘除运算，最后计算加法． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式题1-2】.（26-27七年级上·广东佛山·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式题1-3】.（26-27七年级上·辽宁大连·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】根据有理数的混合运算法则（先乘方，后乘除，最后加减，有括号的先算括号内的）求解（1）（2）即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【基础题型】 【题型2】正负数的意义与相反意义的量 　　解题技巧： 先找出题干中规定为"正"的量，再把与它意义相反的量记为负：进记为正则出记为负，上升记为正则下降记为负。判断正负数时牢记0既不是正数也不是负数。实际问题中要注意单位的统一，答案既要带符号也要带单位。 【例题2】.（26-27七年级上·黑龙江牡丹江·期中）在，15，，0，，，，中，负分数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：∵负分数属于负数． ∴先筛选负数：，，，． ∵是负整数，不是负分数． ∴符合条件的负分数共个． 【变式题2-1】.（26-27七年级上·全国·课后作业）把下列各数填入相应的圈内： ，，，，，， 【答案】 【分析】根据有理数的分类，即可求解． 【详解】解：正有理数有，，；负有理数有，，， 填写到相应的圈内略. 【变式题2-2】.（26-27六年级上·上海松江·期中）如果米表示向北走6米，那么米表示_______________． 【答案】 向南走3米 【详解】解：∵题目规定米表示向北走6米，即向北走的距离用正数表示， ∴负数表示与向北方向相反方向的移动距离， ∵与北相反的方向为南，对应的移动距离为3米， ∴米表示向南走3米． 【变式题2-3】.（26-27七年级上·安徽合肥·期中）如果盈利10元记作元，那么亏损20元记作__________元． 【答案】 【分析】正负数用于表示意义相反的两类量，题干已明确盈利的记法，可直接对应推导亏损的记法． 【详解】解：∵盈利与亏损是意义相反的两个量， ∴当盈利10元被记作元时，与盈利相反的亏损就对应记为负， ∴亏损20元记作元． 【题型3】有理数的分类与数集 　　解题技巧： 先看数的形式再归类：含"-"的是负数，含"+"或本身为正的是正数，能写成整数（包括带分数化为假分数后分子整除分母）的是整数，其余是分数。特别注意先化简为3再归类，先算得-4再归类；0属于整数，既不在正数集也不在负数集。 【例题3】.（天津市西青区2026～2027学年度第一学期学业质量中期监测七年级数学试卷）在5，4.3，，0，，20，中，正整数的个数是（     ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】根据正整数的定义分析判断即可． 【详解】解：∵ 正整数是大于0的整数， ∴在5，4.3，，0，，20，中，符合条件的数有5，20，共2个． 【变式题3-1】.（26-27七年级上·吉林·期中）把下列各数的序号填在相应的集合里． ①0.3，②，③，④2，⑤，⑥0，⑦． 分数集合：{____________________…}； 负有理数集合：{____________________…}； 非负整数集合：{____________________…}． 【答案】①③⑤⑦；②⑤；④⑥ 【详解】略 【变式题3-2】.（26-27七年级上·广东珠海·期中）在，，，，，，中，非负有理数有（     ）个． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【详解】解：∵题中所给数均为有理数，非负有理数是指的有理数， ∴筛选得符合条件的数有，，，，共个． 【变式题3-3】.（26-27七年级上·陕西汉中·阶段检测）把下列各数分别填入相应的集合里． ，6，，，0，，， (1)正数集合：（      ）； (2)负分数集合：（      ）； (3)整数集合：（      ）； (4)非负整数集合：（     ）． 【答案】(1)6，，， (2) (3)，6，，0， (4)6，，0 【分析】先化简，再根据正数、负分数、整数、非负整数的定义即可解答． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 （4）略 【题型4】数轴上点的移动与两点间距离 　　解题技巧： 点沿数轴向右移动加、向左移动减，移动后的数直接用原数加减移动单位长度。求两点间距离用，已知距离反求点时要注意左右两个方向都可能，通常有两解；若题目限定"在原点右侧"等条件，再按条件取舍。 【例题4】.（黑龙江大庆市肇源县西北联考2026-2027学年七年级上学期10月阶段检测数学试题）数轴上点表示的数是，将点先向右移动5个单位长度，再向左移动3个单位长度得到点，则点表示的数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：点表示的数是， 向右移动5个单位长度后对应的数为， 再向左移动3个单位长度得到点， 则点表示的数为． 【变式题4-1】.（25-26七年级上·辽宁鞍山·期中）点在数轴上表示的数是，将点沿数轴移动5个单位长度后得到点，则点所表示的数是（   ） A．4 B． C．4或 D．4或 【答案】C 【分析】本题主要考查数轴上的动点问题，理解题意，分两种情况分析是解题关键． 点A在数轴上移动5个单位长度，方向不确定，可能向左或向右，因此点B有两个可能的值，即可求解． 【详解】解：∵点A表示的数是， ∵沿数轴移动5个单位长度，方向不确定， ∴可能向右移动：B所表示的数是， 或向左移动：B所表示的数是， ∴点B表示的数是4或， 故选：C． 【变式题4-2】.（26-27七年级上·江苏连云港·阶段检测）数轴上与表示的点距离4个单位长度的点所表示的数为：_________． 【答案】 或 【分析】数轴上与已知点距离固定长度的点分位于已知点左侧和右侧两种情况，进行讨论即可得解． 【详解】解：∵ 数轴上与表示的点距离为个单位长度的点，可在该点的左侧或右侧， ∴ 分两类计算： 当点在表示的点的左侧时，该点表示的数为， 当点在表示的点的右侧时，该点表示的数为， ∴ 满足条件的数为或． 【变式题4-3】.（26-27七年级上·甘肃陇南·期中）在数轴上，若点C到点A的距离刚好是2027，则点C叫作点A的“2027和谐点”．如图，点A表示的数为，则点A的“2027和谐点”C所表示的数应该是________． 【答案】或 【详解】解：根据题意，点到点的距离为2027，已知点表示的数为． 当点在点的左侧时，点表示的数为． 当点在点的右侧时，点表示的数为． 综上所述，点的“2027和谐点”所表示的数应该是或． 【题型5】相反数与绝对值的概念辨析 　　解题技巧： 相反数看符号：只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0，若a、b互为相反数则。绝对值看距离：表示数轴上a到原点的距离，永远非负。遇到""这类条件，要写成或两解，不能只取正数。 【例题5】.（天津市西青区2026～2027学年度第一学期学业质量中期监测七年级数学试卷）下列说法正确的是（     ） A．绝对值等于它本身的数只有0 B．不带“”的数一定是正数 C．相反数大于它本身的数一定是负数 D．符号不同的两个数一定互为相反数 【答案】C 【分析】根据绝对值的性质、有理数的定义和分类、相反数的定义和性质，逐项分析判断即可． 【详解】解：A. 绝对值等于它本身的数是正数和0，故A错误，不符合题意； B. 0不带“”，但0不是正数，故B错误，不符合题意； C. 负数的相反数是正数，正数大于负数，故相反数大于它本身的数一定是负数，C正确，符合题意； D.只有符号不同的两个数才互为相反数，例如和符号不同但不互为相反数，故D错误，不符合题意． 【变式题5-1】.（26-27六年级上·上海奉贤·期中）下列说法中正确的是（     ） A．一个数的绝对值越大，在数轴上表示这个数的点离原点越远 B．绝对值等于它的相反数的数一定是负数 C．数轴上离原点越远的点所表示的数越大 D．绝对值相等的两个数一定相等 【答案】A 【详解】解：A、一个数的绝对值越大，在数轴上表示这个数的点离原点越远，说法正确； B、绝对值等于它的相反数的数一定是负数和0，原说法错误； C、数轴上离原点越远的点所表示的数的绝对值越大，原说法错误； D、绝对值相等的两个数相等或互为相反数，原说法错误． 【变式题5-2】.（26-27七年级上·湖南长沙·期中）下列对于绝对值的认识中，错误的是（     ） A．如果，那么为正数 B．绝对值小于2的整数有，0，1 C．一个数的绝对值是非负数 D．绝对值表示的是数轴上的点到原点的距离 【答案】A 【分析】从的取值范围入手判断各选项． 【详解】解：A选项：当时，成立，但不是正数，则该选项错误，符合题意； B、绝对值小于2的整数有，0，1，则该选项正确，不符合题意； C、一个数的绝对值是非负数，则该选项正确，不符合题意； D、绝对值表示的是数轴上的点到原点的距离，则该选项正确，不符合题意； 【变式题5-3】.（26-27七年级上·福建龙岩·阶段检测）下列说法正确的是（     ） A．有理数就是正有理数和负有理数的统称 B．最小的有理数是 C．数轴上原点两侧的数互为相反数 D．绝对值等于它本身的数是非负数 【答案】D 【详解】解：∵有理数包括正有理数、负有理数和，∴A错误. ∵有理数没有最小值，负有理数均小于，∴B错误. ∵只有符号不同且绝对值相等的两个数互为相反数，数轴上原点两侧的数到原点的距离不一定相等，∴C错误. ∵当时，，即非负数的绝对值等于它本身，∴D正确. 【题型6】有理数的大小比较 　　解题技巧： 先分正负：正数大于0、0大于一切负数，两组异号的数直接比较符号即可。两个负数比较大小时，先算绝对值，绝对值大的反而小。若给出数轴，直接按"右边的数大"读图；若含字母，可借助数轴上字母的位置判断大小关系。 【例题6】.（26-27七年级上·辽宁大连·期中）比较大小：_____（填“＞”或“＜”）． 【答案】 【分析】先化简两数，再根据负数比较大小的规则判断两数的大小关系． 【详解】解： ， ∵ ， 又∵ 两个负数比较大小，绝对值大的数反而小，且， ∴ ， 即． 【变式题6-1】.（26-27七年级上·海南海口·期中）写出大于且小于1的整数______________． 【答案】 【详解】解：由题意，符合条件的整数为，，. 【变式题6-2】.（26-27七年级上·陕西汉中·阶段检测）画出数轴，把下列各数表示在数轴上，然后把这些数按从大到小的顺序用“>”连接起来． 1，，，，， 【答案】在数轴上表示如图所示： ． 【分析】先对多重符号、绝对值的数进行化简，得到各数的最终值．画出标准数轴，确定原点、正方向和单位长度．将化简后的各数对应标注在数轴的相应位置上．根据数轴上“右边的数总比左边的数大”的规则，将各数按从大到小的顺序排列并用“>”连接． 【详解】解：∵ ∴把1，表示在数轴上． 根据各点在数轴上的左右顺序比较大小， ． 【变式题6-3】.（26-27七年级上·青海西宁·期中）已知有理数：，，，． (1)把上面的有理数在如图所示数轴上表示出来； (2)用“”把上述各数连接起来． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在数轴的对应位置描点即可； （2）利用数轴上左边的数小于右边的数的性质解答即可． 【详解】（1）略 （2）略 【提升题型】 【题型7】有理数的加减运算 　　解题技巧： 同号相加时符号照抄、绝对值相加；异号相加时取绝对值较大者的符号、再用大绝对值减小绝对值。减法先"变减为加、变号为相反"，再按加法法则算。多个数相加时，把正数、负数分别归组相加，或把互为相反数的先配对，能明显减少出错。 【例题7】.（26-27六年级上·上海松江·期中）计算： 【答案】 【详解】解： ． 【变式题7-1】.（26-27七年级上·北京延庆·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式题7-2】.（26-27七年级上·重庆九龙坡·期中）计算题 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式题7-3】.（26-27七年级上·吉林·期中）计算： (1)； (2)； (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】将有理数减法转化为加法运算，再按有理数加法规则计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： 【题型8】有理数的乘除运算与倒数 　　解题技巧： 先定符号再算绝对值：两数相乘同号得正、异号得负；多个数相乘时，数负因数的个数，奇数个为负、偶数个为正。除法一律"除以一个数等于乘它的倒数"，遇到分数除法先取倒数再约分，注意0不能作除数、0没有倒数。 【例题8】.（天津市西青区2026～2027学年度第一学期学业质量中期监测七年级数学试卷）有理数的倒数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据倒数的定义分析判断即可． 【详解】解：， ∵， ∴的倒数为． 【变式题8-1】.（26-27六年级上·上海松江·期中）计算： 【答案】 【详解】解：原式 ． 【变式题8-2】.（26-27七年级上·山西大同·期中）计算：． 【答案】 【分析】按照有理数四则运算顺序，先计算乘除部分，再计算加减部分得到最终结果． 【详解】解： ． 【变式题8-3】.（26-27六年级上·黑龙江哈尔滨·期中）计算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 【题型9】有理数的乘方与科学记数法 　　解题技巧： 乘方先分清底数：的底数是-a，的底数是a；再按"负数的偶次幂为正、奇次幂为负"定符号，最后算绝对值的幂。科学记数法写成，其中，n等于小数点移动的位数；比较两个科学记数法表示的数，先比10的指数，指数相同再比前面的系数。 【例题9】.（天津市西青区2026～2027学年度第一学期学业质量中期监测七年级数学试卷）下列各数中互为相反数的是（     ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】分别对每个选项的两个数进行计算，然后根据相反数的定义分析判断即可． 【详解】解：A. ，，两数相等，不是相反数，本选项不符合题意； B. ，，两数互为相反数，本选项符合题意； C. ，，两数相等，不是相反数，本选项不符合题意； D. ，，两数相等，不是相反数，本选项不符合题意． 【变式题9-1】.（26-27七年级上·浙江嘉兴·期中）某市去年接待游客约3100000人次．把数据3100000用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，n为整数，解答即可． 【详解】解：． 【变式题9-2】.（26-27七年级上·江西·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先计算的除法，再计算加法即可得答案. （2）先计算的绝对值、乘方，再计算乘法，最后计算减法即可得答案. 【详解】（1）（1）解： （2） 【变式题9-3】.（25-26七年级上·湖南湘潭·期中）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数加减混合运算和有理数加减乘除乘方混合运算，按照有理数的计算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【题型10】含绝对值的化简与求值 　　解题技巧： 化简的关键是判断a的正负：a≥0时等于a，a<0时等于-a。题目给出数轴上字母的位置时，先由位置读出各字母的正负与大小关系，再逐个去掉绝对值符号；遇到型，先比较a与b的大小确定符号，再化简。含绝对值的式子求值，常常需要分类讨论。 【例题10】.（25-26七年级上·福建南平·阶段检测）有理数a、b、c在数轴上的位置如图，化简得（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查数轴、绝对值，根据数轴可以得到a、b、c的大小关系，从而可以将所求式子的绝对值去掉，并将所求式子化到最简． 【详解】解：由数轴可得：，， ∴，， ∴ ． 故选：D． 【变式题10-1】.（2025七年级上·全国·专题练习）数轴上，有理数、、、的位置如图，则化简的结果为（   ） A． B． C． D．0 【答案】C 【分析】本题考查了数轴、绝对值、整式的加减，利用数轴正确判断式子的正负是解题的关键． 根据数轴可得，，则有，，，再利用绝对值的性质化简式子即可． 【详解】解：由数轴得，，， ∴，，， ∴ ． 故选：C． 【变式题10-2】.（25-26七年级上·全国·期末）如图，在数轴上A、B、C、O四点对应的数分别表示为a、b、c、0． (1)化简：； (2)若点M，N分别是线段的中点，在数轴上对应的数分别为m，n，且，，求的长． 【答案】(1) (2)8 【分析】本题考查数轴上的绝对值化简与线段中点的应用，解题的关键是根据数轴判断数的正负、利用中点公式求坐标． （1）根据数轴判断的大小关系，去掉绝对值符号后化简； （2）利用线段中点公式分别求出，再计算的长． 【详解】（1）解：由数轴可知：，且， ， ， ， ， ， ． ； （2）解：点M，N分别是线段的中点，，， ，， ， ． 故的长为8． 【变式题10-3】.（25-26七年级上·四川成都·期中）有理数a、b、c在数轴上的位置如图： (1)请用“<”比较 a、b、、四个数的大小为______； (2)______0，______0，______0（请用“<”“>”填空）； (3)化简： 【答案】(1) (2)，， (3) 【分析】本题考查数轴，绝对值以及有理数大小比较，知道数轴上的数右边的比左边的大是解本题的关键． （1）根据a、b、c在数轴上的位置，可得且，据此判断出a、b、、的大小关系即可； （2）首先判断出、、的正负 （3）根据（2）的结论去绝对值符号，再化简即可． 【详解】（1）解：由数轴可知：且， ； 故答案为：； （2）解：且， ，，， 故答案为：，，； （3）解：，，， ． 【培优题型】 【题型11】有理数运算的实际情境应用 　　解题技巧： 先把情境中的"基准量"找出来（如9月30日人数、初始温度、标准水位），把表格或文字中的正负数理解为相对基准的增减，再逐日累加得到实际值。求"最多""最少"时把所有变化量按顺序相加，边加边比较；涉及总量时用"基准×天数+变化量总和"。答案要回到情境中检验，注意单位与正负的实际含义。 【例题11】.（天津市西青区2026～2027学年度第一学期学业质量中期监测七年级数学试卷）有筐白菜，以每筐为质量标准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称后的记录（单位：）如下： ，，，，，，，． (1)这筐白菜的总质量比标准质量多还是少？多或少几千克？ (2)求这筐白菜平均每筐的质量是多少千克？ 【答案】(1)这筐白菜的总质量比标准质量少，少； (2)这筐白菜平均每筐的质量是． 【分析】列出算式，求出结果即可； 求出筐白菜实际总质量，然后除以即可求解． 【详解】（1）解：， ∵计算结果为负数， ∴总质量比标准质量少，少； （2）解：筐白菜实际总质量为， ∴平均每筐质量为． 【变式题11-1】.（26-27七年级上·黑龙江牡丹江·期中）近年来，直播带货火爆网络，某学习小组调查了某网络直播一周的带货情况，规定每天销量超过400单（卖出一件称为一单）的部分记为“＋”，低于400单的部分记为“－”，下表是该网络直播一周的销售量： 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日 销量（单） 15 18 24 11 (1)求该网络直播这一周平均每天销售多少单？ (2)该网络直播每天的工资由底薪300元加上销售提成构成，方案如下：每天销量不超过400单，则每少一单罚款3元；超过400单，则超过的部分每单提成2元，求该网络直播这一周工资的总收入． 【答案】(1)单 (2)元 【分析】（1）根据平均的意义，列式计算即可． （2）根据收入方案，计算求和即可． 【详解】（1）解：根据题意，得 （单）． 答：该网络直播这一周平均每天销售405单． （2）解：根据题意，得 （元）； 答：该网络直播这一周工资的总收入为2137元． 【变式题11-2】.（26-27七年级上·安徽合肥·期中）外卖送餐为我们生活带来了许多便利，某学习小组调查了一名外卖小哥一周的送餐情况，规定送餐量超过50单（送一次外卖称为一单）的部分记为＋，低于50单的部分记为－，如表是该外卖小哥一周送餐量与50单的差值： 星期 一 二 三 四 五 六 日 送餐量与50单的差值（单位：单） (1)该外卖小哥这一周送餐量最多一天比最少一天多送_______单； (2)求该外卖小哥这一周平均每天送餐多少单？ (3)外卖小哥每天的工资由底薪元加上送单补贴构成，送单每单补贴元．求该外卖小哥这一周工资收入多少元？ 【答案】(1) (2)该外卖小哥这一周平均每天送餐单 (3)该外卖小哥这一周工资收入元 【分析】（1）先找出表格里最大、最小的偏差数，算出对应天数的送餐量，再做差得到差值． （2）先算出一周偏差量的平均数，再加上基准50单，得到平均每天送餐量． （3）分别算出一周底薪总和、一周送单补贴总和，相加得到一周工资总收入． 【详解】（1）解： （单）， 故该外卖小哥这一周送餐量最多一天比最少一天多送单； （2）解： （单）， 答：该外卖小哥这一周平均每天送餐53单． （3）解：这一周底薪为：（元）， 这一周的送单补贴为：元， 总收入：元， 答：该外卖小哥这一周工资收入元． 【变式题11-3】.（26-27七年级上·广东深圳·期中）广绣和潮绣并称为粤绣，是中国四大名绣之一，某传统手工刺绣坊安排绣工绣制广绣手帕，计划每名绣工每天绣制20条手帕，但实际每天完成量与计划量相比有出入，下表是陈绣工某一周（星期一至星期五）的绣制情况（超过计划量记为正，不足记为负）： 星期 一 二 三 四 五 变化量情况 (1)陈绣工这周绣制手帕最多的一天是星期______，绣制手帕最多的一天比最少的一天多绣制______条； (2)陈绣工这周绣制手帕的完成量与计划量相比多了还是少了？差值是多少？ (3)若该刺绣坊实行两种工资结算制度，每周计件工资制和每日计件工资制，每绣制一条手帕可得8元，若超额完成计划工作量，则超过部分每条额外奖励4元，若完不成计划量，则每少绣制一条扣2元，从这周工作量来看，陈绣工选择哪一种工资结算制度工资会更高？ 【答案】(1)四； (2)比计划多了，差值为条 (3)选择每日计件工资制工资更高，每周计件工资为元，每日计件工资为元 【分析】（1）比较每日变化量的大小确定绣制最多和最少的日期，再计算两天的数量差； （2）将每日变化量求和，根据和的正负判断完成量与计划的多少关系，和的绝对值为差值； （3）分别按两种工资制度的规则计算总工资，比较大小得出结论． 【详解】（1）解：∵每日变化量分别为，，，，， ∴最大变化量为，对应星期四，最小变化量为，对应星期五， ∴最多的一天比最少的一天多绣制（条）； （2）解：总变化量为， ∵， ∴ 这周绣制手帕的完成量比计划多了，差值是条； （3）解：这周总绣制数量为（条）， 每周计件工资制： ∵总完成量超过周计划条， ∴ 总工资为（元）， 每日计件工资制： 星期一工资：（元）， 星期二工资：（元）， 星期三工资：（元）， 星期四工资：（元）， 星期五工资：（元）， 总工资为（元）， ∵， ∴每日计件工资制工资更高； 答：陈绣工选择每日计件工资制工资会更高． 【题型12】数轴上的新定义与探究 　　解题技巧： 　　先把新定义翻译成"距离关系"：如"关联点"指某点到另两点的距离成2倍关系，就设未知点表示数为x，用写出两个距离并列方程。解方程时要去绝对值，按点在不同位置分段讨论，得到多组解后逐一检验是否符合"点在指定方向"等附加条件。最后把结果代回定义验证，避免漏解或多解。 【例题12】.（26-27七年级上·山东烟台·期中）对于任意有理数a和b，定义一种新运算“★”：，例如：，． (1)计算和，并根据计算结果判断这种运算是否满足交换律； (2)求的值． 【答案】(1)，，这种运算不满足交换律． (2) 【分析】（1）根据所给定义计算出和的结果，看二者是否相等即可得到结论； （2）遵循先算括号内的运算顺序，分两次代入新运算公式计算求值． 【详解】（1）解：由题意得，， ， ∴， ∴这种运算不满足交换律； （2）解：∵， ∴ ． 【变式题12-1】.（26-27七年级上·江苏连云港·阶段检测）对有理数，定义了一种新的运算，叫“乘加法”，记作“”，并按照此运算写出了一些式子：，，，，，， (1)根据以上式子特点将“乘加法”法则补充完整： 同号得_______，异号得_______，并把绝对值_______． (2)根据法则计算：_______；_______； 【答案】(1)正，负，相加 (2)， 【分析】（1）根据新的运算，对照式子直接写出答案即可； （2）根据“乘加法”运算法则，计算出结果即可． 【详解】（1）解：“乘加法”法则：同号得正，异号得负，并把绝对值相加． （2）解：， ． 【变式题12-2】.（26-27七年级上·广东佛山·阶段检测）【定义新知】 数轴上有三个点，给出如下定义：若其中一个点与其他两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其他两个点的“关联点”．例如：如图，数轴上点A，B，C，D所表示的数依次为1，2，3，4，点B到点D的距离等于点B到点A距离的2倍，此时点B是点A，D的“关联点”；点C到点A的距离等于点C到点D距离的2倍，点C也是点A，D的“关联点”． (1)【尝试应用】 若数轴上点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为1，请判断点A是否为点B，C的“关联点”，并说明理由． (2)【拓展探索】 若数轴上点A表示的数为，点B表示的数为1，P为数轴上一个动点： ①当点P在点A的右侧，且点P是点A，B的“关联点”，求此时点P所表示的数； ②当点P在点A的左侧，点P，A，B中，有一个点恰好是其他两个点的“关联点”，请直接写出此时点P所表示的数． 【答案】(1)解：点A是点B，C的“关联点”，理由如下， ∵点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， ∴， ∴点A到点C的距离等于点A到点B距离的2倍，点A是点B，C的“关联点”． (2)①点P所表示的数为，0或4； ②点P所表示的数为，或 【分析】（1）根据“关联点”的定义进行判断即可； （2）①先求出两点之间的距离，分类讨论：第一种情况：点与点B之间的距离等于点与点A之间的距离的2倍时，即点与点A之间的距离为，第二种情况：点与点A之间的距离等于点与点B之间的距离的2倍时，即点与点B之间的距离为，第三种情况：当点在点B的右侧时，有点与点A之间的距离等于点与点B之间距离的2倍，分别求解即可； ②分类讨论：第一种情况：当点为点A，B的“关联点”时，点与点B之间的距离等于点与点A之间距离的2倍， 第二种情况：当点A与点之间的距离等于点与点P之间的距离的2倍时，即点与点P之间的距离为，第三种情况：当点A与点P之间的距离等于点与点B之间的距离的2倍时，即点与点P之间的距离为，分别求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：①由点A、B所表示的数可知， 点与点之间的距离为． 当点在点与点之间时： 第一种情况：点与点B之间的距离等于点与点A之间的距离的2倍时，即点与点A之间的距离为，如图 ∴此时点表示的数为， 第二种情况：点与点A之间的距离等于点与点B之间的距离的2倍时，即点与点B之间的距离为，如图 ∴此时点表示的数为； 第三种情况：当点在点B的右侧时，有点与点A之间的距离等于点与点B之间距离的2倍，如图 ∴点与点之间的距离等于点P与点之间的距离，即点与点B之间的距离为3， ∴此时点表示的数为． 综上可知，点所表示的数为，0或4． ②第一种情况：当点为点A，B的“关联点”时： ∵点在点的左侧， ∴点与点B之间的距离等于点与点A之间距离的2倍，如图 ∴点与点A之间的距离等于点与点之间的距离，即点与点之间的距离为3， ∴此时点所表示的数为； 当点为点P，B的“关联点”时：点在点A的左侧，点B在点A的右侧， 第二种情况：当点A与点之间的距离等于点与点P之间的距离的2倍时，即点与点P之间的距离为，如图 ∴此时点所表示的数为； 第三种情况：当点A与点P之间的距离等于点与点B之间的距离的2倍时，即点与点P之间的距离为，如图 ∴此时点所表示的数为， 综上可知，点P所表示的数为，或． 【变式题12-3】.（26-27七年级上·全国·课后作业）探究规律，完成下列题目． 小明说：“我定义了一种新的运算，叫*（加乘）运算．”然后他写出了一些按照*（加乘）运算的法则进行运算的算式： ； ； ； ； ； ． 小颖看了这些算式后说：“我知道你定义的*（加乘）运算的运算法则了．” 聪明的你也看明白了吗？ (1)归纳*（加乘）运算的运算法则： ①两数进行*（加乘）运算时，________________________； ②特别地，0和任何数进行*（加乘）运算，或任何数和0进行*（加乘）运算，________________________； (2)计算：______；（括号的作用同在有理数运算中的作用） (3)我们知道加法有交换律和结合律，请你判断加法交换律和结合律在*（加乘）运算中是否适用，并举例验证．（各举一个例子即可） 【答案】(1)①同号得正，异号得负，并把绝对值相加；②等于这个数的绝对值 (2) (3)交换律在加乘运算中仍适用，结合律在加乘运算中不适用，理由如下： 加法交换律，则加乘交换律，举例： 因为， 所以， 所以加乘交换律成立； 加法结合律，则加乘结合律．举例： 因为，， 所以， 所以加乘结合律不成立． 【分析】（1）①根据题中的式子可知，两数进行*（加乘）运算时，同号得正，异号得负，并把绝对值相加；②根据题中的式子可知，0和任何数进行*（加乘）运算，或任何数和0进行*（加乘）运算，等于这个数的绝对值； （2）根据有理数的运算法则先算括号里面的，再计算括号外面的即可； （3）根据交换律和结合律的公式代入数字验证，注意结合律要考虑数字为0的情况． 【详解】（1）略 （2） ； （3）略 同步练习 一、单选题 1．2025年9月3日，纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵式上，东风—5C液体洲际战略核导弹首次公开亮相，其凭借全球覆盖射程、多弹头突防能力成为我国战略核威慑的核心支柱．该导弹末端突防阶段速度极快，可达约25000千米/小时，能有效压缩反导系统拦截窗口．将25000用科学记数法表示，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：将25000用科学记数法表示为． 2．下列比较大小的式子中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵选项A中，，，， ∴，A错误． ∵选项B中，，，， ∴，B错误． ∵选项C中，，，， ∴，C正确． ∵选项D中，，，， ∴，D错误． 3．程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》，如图所示的程序框图，若输出的结果为，则输入的数据不可能是（    ） A．3 B．1 C．2 D． 【答案】D 【详解】解：A、当时，，故A不符合题意； B、当时，， 当时，，故B不符合题意； C、当时，， 当时，， 当时，，故C不符合题意； D、当时，， 当时，，故D符合题意． 二、填空题 4．的相反数是________，的绝对值是________，的倒数是________． 【答案】 【分析】依据相反数、绝对值、倒数的定义，分别计算三个给定有理数对应的结果即可． 【详解】解：根据相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数． ∴ 的相反数是． 根据绝对值的定义，数轴上表示数的点到原点的距离为该数的绝对值，负数的绝对值是它的相反数． ∴ ． 根据倒数的定义，乘积为1的两个数互为倒数． 将化为分数形式为． ∵ ， ∴ 的倒数是． 5．已知与互为相反数，且，那么________． 【答案】 【分析】根据相反数的性质可得，结合的条件推出a、b均不为0，进而得到的取值，代入代数式计算即可． 【详解】解：∵a与b互为相反数 ∴，即， 又∵， ∴，， ∴， 将上述结果代入原式， 得． 6．小明认为：若，则．小明的观点是否正确？__________（填“是”或“否”），理由是__________． 【答案】 否 存在反例，例如当，时，，但，不满足 【分析】要判断“若，则”是否成立，需考虑的正负取值，通过构造符合条件的反例验证命题是否正确． 【详解】解：我们通过举反例验证小明的观点是否正确， ∵ 取，， ∴ 计算得，，满足的前提条件， 比较和的大小， ∴ ，即，不满足的结论， 因此小明的观点不正确． 三、解答题 7．计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 8．将下列各数填入相应的集合中： ，，6，0，，，0.01001，，，， 整数集合：{_____________________________…}； 分数集合：{_____________________________…}； 非正整数集合：{_____________________________…}； 负有理数集合：{_____________________________…}； 正数集合：{_____________________________…}． 【答案】整数集合：； 分数集合：； 非正整数集合：； 负有理数集合：； 正数集合：. 【详解】略 9．2026年国庆节期间，国家高速公路实行免费通行政策，松江新城高速公路路口收费站统计7天假期中的车流量变化如下表．（“”表示今天的车流量比昨天的多，“”表示今天的车流量比昨天的少）（单位：万辆） 日期 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 10月7日 车流量变化 已知9月30日的车流量为3万辆． (1)10月2日的车流量为多少万辆？ (2)七天内车流量最大的是几日？最小的是几日？车流量最大的一天比最小的一天多多少万辆？ (3)10月1日到7日平均每天的车流量为多少万辆？ (4)松江新城高速公路收费站作了统计，10月1日到10月7日期间驶出高速的车辆占车流总量的．高速公路不免费通行时，汽车驶出高速公路收费站要收取高速公路通行费，按以往统计数据，每辆车平均要收取120元，请结合以上数据估测国庆放假期间松江新城高速公路收费站共免收高速公路通行费多少万元． 【答案】(1)万辆 (2)车流量最大的是10月4日，最小的是10月7日，最大的一天比最小的一天多万辆 (3)万辆 (4)万元 【分析】（1）用9月30日的车流量加上前两天的车流量变化即可求出答案； （2）分别求出每天的车流量即可得到答案； （3）用7天的总车流量除以7即可得到答案； （4）用总的总车流量乘以再乘以每辆车平均要收取的费用即可求出答案． 【详解】（1）解：由题意可得，（万辆） 即10月2日的车流量为万辆； （2）解：10月1日的车流量为（万辆） 10月2日的车流量为（万辆） 10月3日的车流量为（万辆） 10月4日的车流量为（万辆） 10月5日的车流量为（万辆） 10月6日的车流量为（万辆） 10月7日的车流量为（万辆） （万辆） 综上可知，车流量最大的是10月4日，最小的是10月7日，最大的一天比最小的一天多万辆； （3）解：由题意可得， （万辆） 即10月1日到7日平均每天的车流量为万辆； （4）解：由题意可得，（万元） 即估测国庆放假期间松江新城高速公路收费站共免收高速公路通行费万元． 10．如图，在数轴上点表示数，点表示数． (1)，两点之间的距离等于 ； (2)在数轴上有一个动点，它表示的数是，则的最小值是 ； (3)若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，请在数轴上找一点，使，则点表示的数是 ； (4)若在原点的左边个单位长度处放一挡板，一小球从点处以个单位长度/秒的速度向右运动，同时另一小球从点处以个单位长度/秒的速度向左运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）两球分别以原来的速度向相反的方向运动；设运动时间为秒，求为何值时的长为． 【答案】(1) (2)8 (3)2或14 (4)1或 【分析】（1）根据数轴上两点之间的距离公式计算即可求解． （2）根据在数轴上两点之间的距离即可判断当时，的值是最小的，由此计算即可求解． （3）由题意可知，点C距离点B较近，设点C所表示的数为x，根据数轴上两点之间的距离公式可得，再根据等式，去绝对值即可求解． （4）根据题意分类讨论：当时；当时；当时，分别求解，即可获得答案． 【详解】（1）解：∵在数轴上点表示数，点表示数，且 ∴，两点之间的距离等于16， （2）∵的意义是数轴上表示的点到表示的点、表示的点、表示5的点的距离之和， 只有当表示的点与表示的点重合时，距离之和才能最小， 即时，距离之和最小， 当时，， 即的最小值为8． （3）设点表示的数是， ∵在数轴上点表示数，点表示数， ∴， ∵， ∴， ∴或， 解得或， ∴点表示的数是2或14． （4）分三种情况讨论： ①当时，如图， 点表示的数是，点表示的数是， ∴， 若，则， 解得； ②当时，如图， 点表示的数是，点表示的数是， ∴， 若，则， 解得，不合题意，舍去； ③当时，如图， 点表示的数是，点表示的数是， ∴， 若，则， 解得 综上，为1或时，的长为． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章 有理数及其运算 知识点1：正数、负数与相反意义的量 　　1.像3、1.5、这样大于0的数叫正数；像-3、-1.5这样在正数前加"-"的数叫负数。 　　2.0既不是正数也不是负数，是正数与负数的分界。 　　3.用正负数表示具有相反意义的量时，先规定一种意义为正，则另一种为负。 知识点2：有理数的分类 分类标准 类别 举例 按符号 正有理数、0、负有理数 3、0、-3 按整数与分数 整数、分数 -2、 　　注意：整数包括正整数、0、负整数；分数包括正分数、负分数。 知识点3：数轴 　　1.三要素：原点、正方向、单位长度，缺一不可。 　　2.数轴上的点与有理数一一对应，右边的点表示的数总比左边的大。 3.数轴上两点间距离：。 知识点4：相反数 　　1.只有符号不同的两个数互为相反数，如3与-3。 　　2.0的相反数是0；数轴上关于原点对称的两点表示相反数。 　　3.若a、b互为相反数，则。 知识点5：绝对值 　　1.定义：数轴上表示数a的点与原点的距离叫a的绝对值，记作。 　　2.，绝对值具有非负性。 　　3.化简：当时；当时。 知识点6：有理数的大小比较 方法 要点 数轴法 右边的数大于左边的数 法则法 正数>0>负数；两个负数，绝对值大的反而小 作差法 则 知识点7：有理数的加减法 　　1.加法：同号相加取相同符号，绝对值相加；异号相加取绝对值大的符号，绝对值相减；互为相反数的两数相加得0。 　　2.减法：减去一个数等于加上这个数的相反数，即。 　　3.运算律：加法交换律、结合律。 知识点8：有理数的乘除法与倒数 　　1.乘法：两数相乘同号得正、异号得负，绝对值相乘；任何数与0相乘得0。 　　2.除法：除以一个数等于乘这个数的倒数，即。 　　3.倒数：乘积为1的两个数互为倒数，0没有倒数。 知识点9：乘方、科学记数法与近似数 内容 要点 乘方 表示n个a相乘；负数的偶次幂为正、奇次幂为负 科学记数法 ，其中，n为整数 近似数 精确到哪一位，就看这一位后面的一位四舍五入 知识点10：易错警示 易错点 错误做法 正确做法 绝对值 认为 ，需分类讨论 乘方 把算成4 底数是2，结果为-4 减法 减去负数仍按减正数算 减去负数等于加正数 倒数 认为0的倒数是0 0没有倒数 【易错题型】 【题型1】有理数运算中的符号与顺序错误 　　1.易错点总结 　　最典型的是把与混为一谈，前者底数是2、结果是-4，后者底数是-2、结果是4；其次是运算顺序出错，把"先乘除后加减"做反；还有去掉绝对值符号时不分正负，直接写成去掉符号后的数。 　　2.纠错技巧 　　动笔前先用笔圈出底数，看清负号是否在括号内，凡"-"在括号外的乘方一律先算乘方再加负号；混合运算按"先乘方、再乘除、后加减，有括号先算括号"的顺序，每算一步都在草稿上写出中间结果；遇到绝对值，先判断绝对值内式子的正负，再决定去掉后是否变号。 【例题1】.（上海市金山区2026-2027学年六年级数学第一学期期中考试）计算： 【答案】 【详解】解： ． 【变式题1-1】.（26-27七年级上·浙江嘉兴·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用有理数减法法则将减法转化为加法，再按加法法则逐步计算； （2）按照有理数混合运算顺序，先计算乘方与绝对值，再完成乘除运算，最后计算加法． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式题1-2】.（26-27七年级上·广东佛山·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式题1-3】.（26-27七年级上·辽宁大连·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】根据有理数的混合运算法则（先乘方，后乘除，最后加减，有括号的先算括号内的）求解（1）（2）即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【基础题型】 【题型2】正负数的意义与相反意义的量 　　解题技巧： 先找出题干中规定为"正"的量，再把与它意义相反的量记为负：进记为正则出记为负，上升记为正则下降记为负。判断正负数时牢记0既不是正数也不是负数。实际问题中要注意单位的统一，答案既要带符号也要带单位。 【例题2】.（26-27七年级上·黑龙江牡丹江·期中）在，15，，0，，，，中，负分数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：∵负分数属于负数． ∴先筛选负数：，，，． ∵是负整数，不是负分数． ∴符合条件的负分数共个． 【变式题2-1】.（26-27七年级上·全国·课后作业）把下列各数填入相应的圈内： ，，，，，， 【答案】 【分析】根据有理数的分类，即可求解． 【详解】解：正有理数有，，；负有理数有，，， 填写到相应的圈内略. 【变式题2-2】.（26-27六年级上·上海松江·期中）如果米表示向北走6米，那么米表示_______________． 【答案】 向南走3米 【详解】解：∵题目规定米表示向北走6米，即向北走的距离用正数表示， ∴负数表示与向北方向相反方向的移动距离， ∵与北相反的方向为南，对应的移动距离为3米， ∴米表示向南走3米． 【变式题2-3】.（26-27七年级上·安徽合肥·期中）如果盈利10元记作元，那么亏损20元记作__________元． 【答案】 【分析】正负数用于表示意义相反的两类量，题干已明确盈利的记法，可直接对应推导亏损的记法． 【详解】解：∵盈利与亏损是意义相反的两个量， ∴当盈利10元被记作元时，与盈利相反的亏损就对应记为负， ∴亏损20元记作元． 【题型3】有理数的分类与数集 　　解题技巧： 先看数的形式再归类：含"-"的是负数，含"+"或本身为正的是正数，能写成整数（包括带分数化为假分数后分子整除分母）的是整数，其余是分数。特别注意先化简为3再归类，先算得-4再归类；0属于整数，既不在正数集也不在负数集。 【例题3】.（天津市西青区2026～2027学年度第一学期学业质量中期监测七年级数学试卷）在5，4.3，，0，，20，中，正整数的个数是（     ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】根据正整数的定义分析判断即可． 【详解】解：∵ 正整数是大于0的整数， ∴在5，4.3，，0，，20，中，符合条件的数有5，20，共2个． 【变式题3-1】.（26-27七年级上·吉林·期中）把下列各数的序号填在相应的集合里． ①0.3，②，③，④2，⑤，⑥0，⑦． 分数集合：{____________________…}； 负有理数集合：{____________________…}； 非负整数集合：{____________________…}． 【答案】①③⑤⑦；②⑤；④⑥ 【详解】略 【变式题3-2】.（26-27七年级上·广东珠海·期中）在，，，，，，中，非负有理数有（     ）个． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【详解】解：∵题中所给数均为有理数，非负有理数是指的有理数， ∴筛选得符合条件的数有，，，，共个． 【变式题3-3】.（26-27七年级上·陕西汉中·阶段检测）把下列各数分别填入相应的集合里． ，6，，，0，，， (1)正数集合：（      ）； (2)负分数集合：（      ）； (3)整数集合：（      ）； (4)非负整数集合：（     ）． 【答案】(1)6，，， (2) (3)，6，，0， (4)6，，0 【分析】先化简，再根据正数、负分数、整数、非负整数的定义即可解答． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 （4）略 【题型4】数轴上点的移动与两点间距离 　　解题技巧： 点沿数轴向右移动加、向左移动减，移动后的数直接用原数加减移动单位长度。求两点间距离用，已知距离反求点时要注意左右两个方向都可能，通常有两解；若题目限定"在原点右侧"等条件，再按条件取舍。 【例题4】.（黑龙江大庆市肇源县西北联考2026-2027学年七年级上学期10月阶段检测数学试题）数轴上点表示的数是，将点先向右移动5个单位长度，再向左移动3个单位长度得到点，则点表示的数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：点表示的数是， 向右移动5个单位长度后对应的数为， 再向左移动3个单位长度得到点， 则点表示的数为． 【变式题4-1】.（25-26七年级上·辽宁鞍山·期中）点在数轴上表示的数是，将点沿数轴移动5个单位长度后得到点，则点所表示的数是（   ） A．4 B． C．4或 D．4或 【答案】C 【分析】本题主要考查数轴上的动点问题，理解题意，分两种情况分析是解题关键． 点A在数轴上移动5个单位长度，方向不确定，可能向左或向右，因此点B有两个可能的值，即可求解． 【详解】解：∵点A表示的数是， ∵沿数轴移动5个单位长度，方向不确定， ∴可能向右移动：B所表示的数是， 或向左移动：B所表示的数是， ∴点B表示的数是4或， 故选：C． 【变式题4-2】.（26-27七年级上·江苏连云港·阶段检测）数轴上与表示的点距离4个单位长度的点所表示的数为：_________． 【答案】 或 【分析】数轴上与已知点距离固定长度的点分位于已知点左侧和右侧两种情况，进行讨论即可得解． 【详解】解：∵ 数轴上与表示的点距离为个单位长度的点，可在该点的左侧或右侧， ∴ 分两类计算： 当点在表示的点的左侧时，该点表示的数为， 当点在表示的点的右侧时，该点表示的数为， ∴ 满足条件的数为或． 【变式题4-3】.（26-27七年级上·甘肃陇南·期中）在数轴上，若点C到点A的距离刚好是2027，则点C叫作点A的“2027和谐点”．如图，点A表示的数为，则点A的“2027和谐点”C所表示的数应该是________． 【答案】或 【详解】解：根据题意，点到点的距离为2027，已知点表示的数为． 当点在点的左侧时，点表示的数为． 当点在点的右侧时，点表示的数为． 综上所述，点的“2027和谐点”所表示的数应该是或． 【题型5】相反数与绝对值的概念辨析 　　解题技巧： 相反数看符号：只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0，若a、b互为相反数则。绝对值看距离：表示数轴上a到原点的距离，永远非负。遇到""这类条件，要写成或两解，不能只取正数。 【例题5】.（天津市西青区2026～2027学年度第一学期学业质量中期监测七年级数学试卷）下列说法正确的是（     ） A．绝对值等于它本身的数只有0 B．不带“”的数一定是正数 C．相反数大于它本身的数一定是负数 D．符号不同的两个数一定互为相反数 【答案】C 【分析】根据绝对值的性质、有理数的定义和分类、相反数的定义和性质，逐项分析判断即可． 【详解】解：A. 绝对值等于它本身的数是正数和0，故A错误，不符合题意； B. 0不带“”，但0不是正数，故B错误，不符合题意； C. 负数的相反数是正数，正数大于负数，故相反数大于它本身的数一定是负数，C正确，符合题意； D.只有符号不同的两个数才互为相反数，例如和符号不同但不互为相反数，故D错误，不符合题意． 【变式题5-1】.（26-27六年级上·上海奉贤·期中）下列说法中正确的是（     ） A．一个数的绝对值越大，在数轴上表示这个数的点离原点越远 B．绝对值等于它的相反数的数一定是负数 C．数轴上离原点越远的点所表示的数越大 D．绝对值相等的两个数一定相等 【答案】A 【详解】解：A、一个数的绝对值越大，在数轴上表示这个数的点离原点越远，说法正确； B、绝对值等于它的相反数的数一定是负数和0，原说法错误； C、数轴上离原点越远的点所表示的数的绝对值越大，原说法错误； D、绝对值相等的两个数相等或互为相反数，原说法错误． 【变式题5-2】.（26-27七年级上·湖南长沙·期中）下列对于绝对值的认识中，错误的是（     ） A．如果，那么为正数 B．绝对值小于2的整数有，0，1 C．一个数的绝对值是非负数 D．绝对值表示的是数轴上的点到原点的距离 【答案】A 【分析】从的取值范围入手判断各选项． 【详解】解：A选项：当时，成立，但不是正数，则该选项错误，符合题意； B、绝对值小于2的整数有，0，1，则该选项正确，不符合题意； C、一个数的绝对值是非负数，则该选项正确，不符合题意； D、绝对值表示的是数轴上的点到原点的距离，则该选项正确，不符合题意； 【变式题5-3】.（26-27七年级上·福建龙岩·阶段检测）下列说法正确的是（     ） A．有理数就是正有理数和负有理数的统称 B．最小的有理数是 C．数轴上原点两侧的数互为相反数 D．绝对值等于它本身的数是非负数 【答案】D 【详解】解：∵有理数包括正有理数、负有理数和，∴A错误. ∵有理数没有最小值，负有理数均小于，∴B错误. ∵只有符号不同且绝对值相等的两个数互为相反数，数轴上原点两侧的数到原点的距离不一定相等，∴C错误. ∵当时，，即非负数的绝对值等于它本身，∴D正确. 【题型6】有理数的大小比较 　　解题技巧： 先分正负：正数大于0、0大于一切负数，两组异号的数直接比较符号即可。两个负数比较大小时，先算绝对值，绝对值大的反而小。若给出数轴，直接按"右边的数大"读图；若含字母，可借助数轴上字母的位置判断大小关系。 【例题6】.（26-27七年级上·辽宁大连·期中）比较大小：_____（填“＞”或“＜”）． 【答案】 【分析】先化简两数，再根据负数比较大小的规则判断两数的大小关系． 【详解】解： ， ∵ ， 又∵ 两个负数比较大小，绝对值大的数反而小，且， ∴ ， 即． 【变式题6-1】.（26-27七年级上·海南海口·期中）写出大于且小于1的整数______________． 【答案】 【详解】解：由题意，符合条件的整数为，，. 【变式题6-2】.（26-27七年级上·陕西汉中·阶段检测）画出数轴，把下列各数表示在数轴上，然后把这些数按从大到小的顺序用“>”连接起来． 1，，，，， 【答案】在数轴上表示如图所示： ． 【分析】先对多重符号、绝对值的数进行化简，得到各数的最终值．画出标准数轴，确定原点、正方向和单位长度．将化简后的各数对应标注在数轴的相应位置上．根据数轴上“右边的数总比左边的数大”的规则，将各数按从大到小的顺序排列并用“>”连接． 【详解】解：∵ ∴把1，表示在数轴上． 根据各点在数轴上的左右顺序比较大小， ． 【变式题6-3】.（26-27七年级上·青海西宁·期中）已知有理数：，，，． (1)把上面的有理数在如图所示数轴上表示出来； (2)用“”把上述各数连接起来． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在数轴的对应位置描点即可； （2）利用数轴上左边的数小于右边的数的性质解答即可． 【详解】（1）略 （2）略 【提升题型】 【题型7】有理数的加减运算 　　解题技巧： 同号相加时符号照抄、绝对值相加；异号相加时取绝对值较大者的符号、再用大绝对值减小绝对值。减法先"变减为加、变号为相反"，再按加法法则算。多个数相加时，把正数、负数分别归组相加，或把互为相反数的先配对，能明显减少出错。 【例题7】.（26-27六年级上·上海松江·期中）计算： 【答案】 【详解】解： ． 【变式题7-1】.（26-27七年级上·北京延庆·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式题7-2】.（26-27七年级上·重庆九龙坡·期中）计算题 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式题7-3】.（26-27七年级上·吉林·期中）计算： (1)； (2)； (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】将有理数减法转化为加法运算，再按有理数加法规则计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： 【题型8】有理数的乘除运算与倒数 　　解题技巧： 先定符号再算绝对值：两数相乘同号得正、异号得负；多个数相乘时，数负因数的个数，奇数个为负、偶数个为正。除法一律"除以一个数等于乘它的倒数"，遇到分数除法先取倒数再约分，注意0不能作除数、0没有倒数。 【例题8】.（天津市西青区2026～2027学年度第一学期学业质量中期监测七年级数学试卷）有理数的倒数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据倒数的定义分析判断即可． 【详解】解：， ∵， ∴的倒数为． 【变式题8-1】.（26-27六年级上·上海松江·期中）计算： 【答案】 【详解】解：原式 ． 【变式题8-2】.（26-27七年级上·山西大同·期中）计算：． 【答案】 【分析】按照有理数四则运算顺序，先计算乘除部分，再计算加减部分得到最终结果． 【详解】解： ． 【变式题8-3】.（26-27六年级上·黑龙江哈尔滨·期中）计算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 【题型9】有理数的乘方与科学记数法 　　解题技巧： 乘方先分清底数：的底数是-a，的底数是a；再按"负数的偶次幂为正、奇次幂为负"定符号，最后算绝对值的幂。科学记数法写成，其中，n等于小数点移动的位数；比较两个科学记数法表示的数，先比10的指数，指数相同再比前面的系数。 【例题9】.（天津市西青区2026～2027学年度第一学期学业质量中期监测七年级数学试卷）下列各数中互为相反数的是（     ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】分别对每个选项的两个数进行计算，然后根据相反数的定义分析判断即可． 【详解】解：A. ，，两数相等，不是相反数，本选项不符合题意； B. ，，两数互为相反数，本选项符合题意； C. ，，两数相等，不是相反数，本选项不符合题意； D. ，，两数相等，不是相反数，本选项不符合题意． 【变式题9-1】.（26-27七年级上·浙江嘉兴·期中）某市去年接待游客约3100000人次．把数据3100000用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，n为整数，解答即可． 【详解】解：． 【变式题9-2】.（26-27七年级上·江西·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先计算的除法，再计算加法即可得答案. （2）先计算的绝对值、乘方，再计算乘法，最后计算减法即可得答案. 【详解】（1）（1）解： （2） 【变式题9-3】.（25-26七年级上·湖南湘潭·期中）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数加减混合运算和有理数加减乘除乘方混合运算，按照有理数的计算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【题型10】含绝对值的化简与求值 　　解题技巧： 化简的关键是判断a的正负：a≥0时等于a，a<0时等于-a。题目给出数轴上字母的位置时，先由位置读出各字母的正负与大小关系，再逐个去掉绝对值符号；遇到型，先比较a与b的大小确定符号，再化简。含绝对值的式子求值，常常需要分类讨论。 【例题10】.（25-26七年级上·福建南平·阶段检测）有理数a、b、c在数轴上的位置如图，化简得（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查数轴、绝对值，根据数轴可以得到a、b、c的大小关系，从而可以将所求式子的绝对值去掉，并将所求式子化到最简． 【详解】解：由数轴可得：，， ∴，， ∴ ． 故选：D． 【变式题10-1】.（2025七年级上·全国·专题练习）数轴上，有理数、、、的位置如图，则化简的结果为（   ） A． B． C． D．0 【答案】C 【分析】本题考查了数轴、绝对值、整式的加减，利用数轴正确判断式子的正负是解题的关键． 根据数轴可得，，则有，，，再利用绝对值的性质化简式子即可． 【详解】解：由数轴得，，， ∴，，， ∴ ． 故选：C． 【变式题10-2】.（25-26七年级上·全国·期末）如图，在数轴上A、B、C、O四点对应的数分别表示为a、b、c、0． (1)化简：； (2)若点M，N分别是线段的中点，在数轴上对应的数分别为m，n，且，，求的长． 【答案】(1) (2)8 【分析】本题考查数轴上的绝对值化简与线段中点的应用，解题的关键是根据数轴判断数的正负、利用中点公式求坐标． （1）根据数轴判断的大小关系，去掉绝对值符号后化简； （2）利用线段中点公式分别求出，再计算的长． 【详解】（1）解：由数轴可知：，且， ， ， ， ， ， ． ； （2）解：点M，N分别是线段的中点，，， ，， ， ． 故的长为8． 【变式题10-3】.（25-26七年级上·四川成都·期中）有理数a、b、c在数轴上的位置如图： (1)请用“<”比较 a、b、、四个数的大小为______； (2)______0，______0，______0（请用“<”“>”填空）； (3)化简： 【答案】(1) (2)，， (3) 【分析】本题考查数轴，绝对值以及有理数大小比较，知道数轴上的数右边的比左边的大是解本题的关键． （1）根据a、b、c在数轴上的位置，可得且，据此判断出a、b、、的大小关系即可； （2）首先判断出、、的正负 （3）根据（2）的结论去绝对值符号，再化简即可． 【详解】（1）解：由数轴可知：且， ； 故答案为：； （2）解：且， ，，， 故答案为：，，； （3）解：，，， ． 【培优题型】 【题型11】有理数运算的实际情境应用 　　解题技巧： 先把情境中的"基准量"找出来（如9月30日人数、初始温度、标准水位），把表格或文字中的正负数理解为相对基准的增减，再逐日累加得到实际值。求"最多""最少"时把所有变化量按顺序相加，边加边比较；涉及总量时用"基准×天数+变化量总和"。答案要回到情境中检验，注意单位与正负的实际含义。 【例题11】.（天津市西青区2026～2027学年度第一学期学业质量中期监测七年级数学试卷）有筐白菜，以每筐为质量标准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称后的记录（单位：）如下： ，，，，，，，． (1)这筐白菜的总质量比标准质量多还是少？多或少几千克？ (2)求这筐白菜平均每筐的质量是多少千克？ 【答案】(1)这筐白菜的总质量比标准质量少，少； (2)这筐白菜平均每筐的质量是． 【分析】列出算式，求出结果即可； 求出筐白菜实际总质量，然后除以即可求解． 【详解】（1）解：， ∵计算结果为负数， ∴总质量比标准质量少，少； （2）解：筐白菜实际总质量为， ∴平均每筐质量为． 【变式题11-1】.（26-27七年级上·黑龙江牡丹江·期中）近年来，直播带货火爆网络，某学习小组调查了某网络直播一周的带货情况，规定每天销量超过400单（卖出一件称为一单）的部分记为“＋”，低于400单的部分记为“－”，下表是该网络直播一周的销售量： 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日 销量（单） 15 18 24 11 (1)求该网络直播这一周平均每天销售多少单？ (2)该网络直播每天的工资由底薪300元加上销售提成构成，方案如下：每天销量不超过400单，则每少一单罚款3元；超过400单，则超过的部分每单提成2元，求该网络直播这一周工资的总收入． 【答案】(1)单 (2)元 【分析】（1）根据平均的意义，列式计算即可． （2）根据收入方案，计算求和即可． 【详解】（1）解：根据题意，得 （单）． 答：该网络直播这一周平均每天销售405单． （2）解：根据题意，得 （元）； 答：该网络直播这一周工资的总收入为2137元． 【变式题11-2】.（26-27七年级上·安徽合肥·期中）外卖送餐为我们生活带来了许多便利，某学习小组调查了一名外卖小哥一周的送餐情况，规定送餐量超过50单（送一次外卖称为一单）的部分记为＋，低于50单的部分记为－，如表是该外卖小哥一周送餐量与50单的差值： 星期 一 二 三 四 五 六 日 送餐量与50单的差值（单位：单） (1)该外卖小哥这一周送餐量最多一天比最少一天多送_______单； (2)求该外卖小哥这一周平均每天送餐多少单？ (3)外卖小哥每天的工资由底薪元加上送单补贴构成，送单每单补贴元．求该外卖小哥这一周工资收入多少元？ 【答案】(1) (2)该外卖小哥这一周平均每天送餐单 (3)该外卖小哥这一周工资收入元 【分析】（1）先找出表格里最大、最小的偏差数，算出对应天数的送餐量，再做差得到差值． （2）先算出一周偏差量的平均数，再加上基准50单，得到平均每天送餐量． （3）分别算出一周底薪总和、一周送单补贴总和，相加得到一周工资总收入． 【详解】（1）解： （单）， 故该外卖小哥这一周送餐量最多一天比最少一天多送单； （2）解： （单）， 答：该外卖小哥这一周平均每天送餐53单． （3）解：这一周底薪为：（元）， 这一周的送单补贴为：元， 总收入：元， 答：该外卖小哥这一周工资收入元． 【变式题11-3】.（26-27七年级上·广东深圳·期中）广绣和潮绣并称为粤绣，是中国四大名绣之一，某传统手工刺绣坊安排绣工绣制广绣手帕，计划每名绣工每天绣制20条手帕，但实际每天完成量与计划量相比有出入，下表是陈绣工某一周（星期一至星期五）的绣制情况（超过计划量记为正，不足记为负）： 星期 一 二 三 四 五 变化量情况 (1)陈绣工这周绣制手帕最多的一天是星期______，绣制手帕最多的一天比最少的一天多绣制______条； (2)陈绣工这周绣制手帕的完成量与计划量相比多了还是少了？差值是多少？ (3)若该刺绣坊实行两种工资结算制度，每周计件工资制和每日计件工资制，每绣制一条手帕可得8元，若超额完成计划工作量，则超过部分每条额外奖励4元，若完不成计划量，则每少绣制一条扣2元，从这周工作量来看，陈绣工选择哪一种工资结算制度工资会更高？ 【答案】(1)四； (2)比计划多了，差值为条 (3)选择每日计件工资制工资更高，每周计件工资为元，每日计件工资为元 【分析】（1）比较每日变化量的大小确定绣制最多和最少的日期，再计算两天的数量差； （2）将每日变化量求和，根据和的正负判断完成量与计划的多少关系，和的绝对值为差值； （3）分别按两种工资制度的规则计算总工资，比较大小得出结论． 【详解】（1）解：∵每日变化量分别为，，，，， ∴最大变化量为，对应星期四，最小变化量为，对应星期五， ∴最多的一天比最少的一天多绣制（条）； （2）解：总变化量为， ∵， ∴ 这周绣制手帕的完成量比计划多了，差值是条； （3）解：这周总绣制数量为（条）， 每周计件工资制： ∵总完成量超过周计划条， ∴ 总工资为（元）， 每日计件工资制： 星期一工资：（元）， 星期二工资：（元）， 星期三工资：（元）， 星期四工资：（元）， 星期五工资：（元）， 总工资为（元）， ∵， ∴每日计件工资制工资更高； 答：陈绣工选择每日计件工资制工资会更高． 【题型12】数轴上的新定义与探究 　　解题技巧： 　　先把新定义翻译成"距离关系"：如"关联点"指某点到另两点的距离成2倍关系，就设未知点表示数为x，用写出两个距离并列方程。解方程时要去绝对值，按点在不同位置分段讨论，得到多组解后逐一检验是否符合"点在指定方向"等附加条件。最后把结果代回定义验证，避免漏解或多解。 【例题12】.（26-27七年级上·山东烟台·期中）对于任意有理数a和b，定义一种新运算“★”：，例如：，． (1)计算和，并根据计算结果判断这种运算是否满足交换律； (2)求的值． 【答案】(1)，，这种运算不满足交换律． (2) 【分析】（1）根据所给定义计算出和的结果，看二者是否相等即可得到结论； （2）遵循先算括号内的运算顺序，分两次代入新运算公式计算求值． 【详解】（1）解：由题意得，， ， ∴， ∴这种运算不满足交换律； （2）解：∵， ∴ ． 【变式题12-1】.（26-27七年级上·江苏连云港·阶段检测）对有理数，定义了一种新的运算，叫“乘加法”，记作“”，并按照此运算写出了一些式子：，，，，，， (1)根据以上式子特点将“乘加法”法则补充完整： 同号得_______，异号得_______，并把绝对值_______． (2)根据法则计算：_______；_______； 【答案】(1)正，负，相加 (2)， 【分析】（1）根据新的运算，对照式子直接写出答案即可； （2）根据“乘加法”运算法则，计算出结果即可． 【详解】（1）解：“乘加法”法则：同号得正，异号得负，并把绝对值相加． （2）解：， ． 【变式题12-2】.（26-27七年级上·广东佛山·阶段检测）【定义新知】 数轴上有三个点，给出如下定义：若其中一个点与其他两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其他两个点的“关联点”．例如：如图，数轴上点A，B，C，D所表示的数依次为1，2，3，4，点B到点D的距离等于点B到点A距离的2倍，此时点B是点A，D的“关联点”；点C到点A的距离等于点C到点D距离的2倍，点C也是点A，D的“关联点”． (1)【尝试应用】 若数轴上点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为1，请判断点A是否为点B，C的“关联点”，并说明理由． (2)【拓展探索】 若数轴上点A表示的数为，点B表示的数为1，P为数轴上一个动点： ①当点P在点A的右侧，且点P是点A，B的“关联点”，求此时点P所表示的数； ②当点P在点A的左侧，点P，A，B中，有一个点恰好是其他两个点的“关联点”，请直接写出此时点P所表示的数． 【答案】(1)解：点A是点B，C的“关联点”，理由如下， ∵点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， ∴， ∴点A到点C的距离等于点A到点B距离的2倍，点A是点B，C的“关联点”． (2)①点P所表示的数为，0或4； ②点P所表示的数为，或 【分析】（1）根据“关联点”的定义进行判断即可； （2）①先求出两点之间的距离，分类讨论：第一种情况：点与点B之间的距离等于点与点A之间的距离的2倍时，即点与点A之间的距离为，第二种情况：点与点A之间的距离等于点与点B之间的距离的2倍时，即点与点B之间的距离为，第三种情况：当点在点B的右侧时，有点与点A之间的距离等于点与点B之间距离的2倍，分别求解即可； ②分类讨论：第一种情况：当点为点A，B的“关联点”时，点与点B之间的距离等于点与点A之间距离的2倍， 第二种情况：当点A与点之间的距离等于点与点P之间的距离的2倍时，即点与点P之间的距离为，第三种情况：当点A与点P之间的距离等于点与点B之间的距离的2倍时，即点与点P之间的距离为，分别求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：①由点A、B所表示的数可知， 点与点之间的距离为． 当点在点与点之间时： 第一种情况：点与点B之间的距离等于点与点A之间的距离的2倍时，即点与点A之间的距离为，如图 ∴此时点表示的数为， 第二种情况：点与点A之间的距离等于点与点B之间的距离的2倍时，即点与点B之间的距离为，如图 ∴此时点表示的数为； 第三种情况：当点在点B的右侧时，有点与点A之间的距离等于点与点B之间距离的2倍，如图 ∴点与点之间的距离等于点P与点之间的距离，即点与点B之间的距离为3， ∴此时点表示的数为． 综上可知，点所表示的数为，0或4． ②第一种情况：当点为点A，B的“关联点”时： ∵点在点的左侧， ∴点与点B之间的距离等于点与点A之间距离的2倍，如图 ∴点与点A之间的距离等于点与点之间的距离，即点与点之间的距离为3， ∴此时点所表示的数为； 当点为点P，B的“关联点”时：点在点A的左侧，点B在点A的右侧， 第二种情况：当点A与点之间的距离等于点与点P之间的距离的2倍时，即点与点P之间的距离为，如图 ∴此时点所表示的数为； 第三种情况：当点A与点P之间的距离等于点与点B之间的距离的2倍时，即点与点P之间的距离为，如图 ∴此时点所表示的数为， 综上可知，点P所表示的数为，或． 【变式题12-3】.（26-27七年级上·全国·课后作业）探究规律，完成下列题目． 小明说：“我定义了一种新的运算，叫*（加乘）运算．”然后他写出了一些按照*（加乘）运算的法则进行运算的算式： ； ； ； ； ； ． 小颖看了这些算式后说：“我知道你定义的*（加乘）运算的运算法则了．” 聪明的你也看明白了吗？ (1)归纳*（加乘）运算的运算法则： ①两数进行*（加乘）运算时，________________________； ②特别地，0和任何数进行*（加乘）运算，或任何数和0进行*（加乘）运算，________________________； (2)计算：______；（括号的作用同在有理数运算中的作用） (3)我们知道加法有交换律和结合律，请你判断加法交换律和结合律在*（加乘）运算中是否适用，并举例验证．（各举一个例子即可） 【答案】(1)①同号得正，异号得负，并把绝对值相加；②等于这个数的绝对值 (2) (3)交换律在加乘运算中仍适用，结合律在加乘运算中不适用，理由如下： 加法交换律，则加乘交换律，举例： 因为， 所以， 所以加乘交换律成立； 加法结合律，则加乘结合律．举例： 因为，， 所以， 所以加乘结合律不成立． 【分析】（1）①根据题中的式子可知，两数进行*（加乘）运算时，同号得正，异号得负，并把绝对值相加；②根据题中的式子可知，0和任何数进行*（加乘）运算，或任何数和0进行*（加乘）运算，等于这个数的绝对值； （2）根据有理数的运算法则先算括号里面的，再计算括号外面的即可； （3）根据交换律和结合律的公式代入数字验证，注意结合律要考虑数字为0的情况． 【详解】（1）略 （2） ； （3）略 同步练习 一、单选题 1．2025年9月3日，纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵式上，东风—5C液体洲际战略核导弹首次公开亮相，其凭借全球覆盖射程、多弹头突防能力成为我国战略核威慑的核心支柱．该导弹末端突防阶段速度极快，可达约25000千米/小时，能有效压缩反导系统拦截窗口．将25000用科学记数法表示，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：将25000用科学记数法表示为． 2．下列比较大小的式子中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵选项A中，，，， ∴，A错误． ∵选项B中，，，， ∴，B错误． ∵选项C中，，，， ∴，C正确． ∵选项D中，，，， ∴，D错误． 3．程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》，如图所示的程序框图，若输出的结果为，则输入的数据不可能是（    ） A．3 B．1 C．2 D． 【答案】D 【详解】解：A、当时，，故A不符合题意； B、当时，， 当时，，故B不符合题意； C、当时，， 当时，， 当时，，故C不符合题意； D、当时，， 当时，，故D符合题意． 二、填空题 4．的相反数是________，的绝对值是________，的倒数是________． 【答案】 【分析】依据相反数、绝对值、倒数的定义，分别计算三个给定有理数对应的结果即可． 【详解】解：根据相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数． ∴ 的相反数是． 根据绝对值的定义，数轴上表示数的点到原点的距离为该数的绝对值，负数的绝对值是它的相反数． ∴ ． 根据倒数的定义，乘积为1的两个数互为倒数． 将化为分数形式为． ∵ ， ∴ 的倒数是． 5．已知与互为相反数，且，那么________． 【答案】 【分析】根据相反数的性质可得，结合的条件推出a、b均不为0，进而得到的取值，代入代数式计算即可． 【详解】解：∵a与b互为相反数 ∴，即， 又∵， ∴，， ∴， 将上述结果代入原式， 得． 6．小明认为：若，则．小明的观点是否正确？__________（填“是”或“否”），理由是__________． 【答案】 否 存在反例，例如当，时，，但，不满足 【分析】要判断“若，则”是否成立，需考虑的正负取值，通过构造符合条件的反例验证命题是否正确． 【详解】解：我们通过举反例验证小明的观点是否正确， ∵ 取，， ∴ 计算得，，满足的前提条件， 比较和的大小， ∴ ，即，不满足的结论， 因此小明的观点不正确． 三、解答题 7．计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 8．将下列各数填入相应的集合中： ，，6，0，，，0.01001，，，， 整数集合：{_____________________________…}； 分数集合：{_____________________________…}； 非正整数集合：{_____________________________…}； 负有理数集合：{_____________________________…}； 正数集合：{_____________________________…}． 【答案】整数集合：； 分数集合：； 非正整数集合：； 负有理数集合：； 正数集合：. 【详解】略 9．2026年国庆节期间，国家高速公路实行免费通行政策，松江新城高速公路路口收费站统计7天假期中的车流量变化如下表．（“”表示今天的车流量比昨天的多，“”表示今天的车流量比昨天的少）（单位：万辆） 日期 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 10月7日 车流量变化 已知9月30日的车流量为3万辆． (1)10月2日的车流量为多少万辆？ (2)七天内车流量最大的是几日？最小的是几日？车流量最大的一天比最小的一天多多少万辆？ (3)10月1日到7日平均每天的车流量为多少万辆？ (4)松江新城高速公路收费站作了统计，10月1日到10月7日期间驶出高速的车辆占车流总量的．高速公路不免费通行时，汽车驶出高速公路收费站要收取高速公路通行费，按以往统计数据，每辆车平均要收取120元，请结合以上数据估测国庆放假期间松江新城高速公路收费站共免收高速公路通行费多少万元． 【答案】(1)万辆 (2)车流量最大的是10月4日，最小的是10月7日，最大的一天比最小的一天多万辆 (3)万辆 (4)万元 【分析】（1）用9月30日的车流量加上前两天的车流量变化即可求出答案； （2）分别求出每天的车流量即可得到答案； （3）用7天的总车流量除以7即可得到答案； （4）用总的总车流量乘以再乘以每辆车平均要收取的费用即可求出答案． 【详解】（1）解：由题意可得，（万辆） 即10月2日的车流量为万辆； （2）解：10月1日的车流量为（万辆） 10月2日的车流量为（万辆） 10月3日的车流量为（万辆） 10月4日的车流量为（万辆） 10月5日的车流量为（万辆） 10月6日的车流量为（万辆） 10月7日的车流量为（万辆） （万辆） 综上可知，车流量最大的是10月4日，最小的是10月7日，最大的一天比最小的一天多万辆； （3）解：由题意可得， （万辆） 即10月1日到7日平均每天的车流量为万辆； （4）解：由题意可得，（万元） 即估测国庆放假期间松江新城高速公路收费站共免收高速公路通行费万元． 10．如图，在数轴上点表示数，点表示数． (1)，两点之间的距离等于 ； (2)在数轴上有一个动点，它表示的数是，则的最小值是 ； (3)若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，请在数轴上找一点，使，则点表示的数是 ； (4)若在原点的左边个单位长度处放一挡板，一小球从点处以个单位长度/秒的速度向右运动，同时另一小球从点处以个单位长度/秒的速度向左运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）两球分别以原来的速度向相反的方向运动；设运动时间为秒，求为何值时的长为． 【答案】(1) (2)8 (3)2或14 (4)1或 【分析】（1）根据数轴上两点之间的距离公式计算即可求解． （2）根据在数轴上两点之间的距离即可判断当时，的值是最小的，由此计算即可求解． （3）由题意可知，点C距离点B较近，设点C所表示的数为x，根据数轴上两点之间的距离公式可得，再根据等式，去绝对值即可求解． （4）根据题意分类讨论：当时；当时；当时，分别求解，即可获得答案． 【详解】（1）解：∵在数轴上点表示数，点表示数，且 ∴，两点之间的距离等于16， （2）∵的意义是数轴上表示的点到表示的点、表示的点、表示5的点的距离之和， 只有当表示的点与表示的点重合时，距离之和才能最小， 即时，距离之和最小， 当时，， 即的最小值为8． （3）设点表示的数是， ∵在数轴上点表示数，点表示数， ∴， ∵， ∴， ∴或， 解得或， ∴点表示的数是2或14． （4）分三种情况讨论： ①当时，如图， 点表示的数是，点表示的数是， ∴， 若，则， 解得； ②当时，如图， 点表示的数是，点表示的数是， ∴， 若，则， 解得，不合题意，舍去； ③当时，如图， 点表示的数是，点表示的数是， ∴， 若，则， 解得 综上，为1或时，的长为． 学科网（北京）股份有限公司 $