第1章 丰富的图形世界 单元复习（5大知识点+12大分层题型+易错重难点+巩固练习）培优讲义2026-2027学年北师大版七年级数学上册

该初中数学单元复习讲义通过表格分类、规律总结等工具系统构建了“丰富的图形世界”知识体系，梳理了立体图形分类、展开折叠、三视图等核心知识点，突出空间观念和几何直观，呈现重难点内在联系。 讲义亮点在于分层题型设计，基础题型如“正方体展开图找相对面”用“相间、Z端是对面”口诀培养空间观念，培优题型“由三视图还原几何体”通过“俯视图定底层，主左视图定层数”步骤发展推理意识，助力不同学生提升，教师可据此实施精准教学。

第1章 丰富的图形世界 知识点 1：立体图形的概念与分类   1. 立体图形定义：各部分不都在同一平面内的几何图形，常见有柱体、锥体、球体。   2. 立体图形分类 分类方式 类别 代表几何体 按柱、锥、球划分 柱体 棱柱、圆柱 锥体 棱锥、圆锥 球体 球 按是否含有曲面划分 含曲面 圆柱、圆锥、球 全平面 棱柱、棱锥 3. n 棱柱核心规律：底面为 n 边形；顶点数；棱数（侧棱条）；面数（侧面个）；所有侧棱长相等，上下底面全等，直棱柱侧面为长方形。 知识点 2：点、线、面、体的关系   1. 相交关系：体与体相交成面；面与面相交成线；线与线相交成点。   2. 运动关系：点动成线，线动成面，面动成体，生活中旋转现象可以用该规律解释。   3. 点、线、面、体是构成几何图形的基本元素。 知识点 3：几何体的展开与折叠   1. 一般几何体展开图   圆柱：2 个全等圆形 + 1 个长方形；圆锥：1 个圆形 + 1 个扇形；棱柱：2 个全等多边形底面 + 若干长方形侧面；球体没有平面展开图。   2. 正方体展开图（共 11 种）   ①四类：一四一型（6 种）、二三一型（3 种）、三三型（1 种）、二二二型（1 种）。   ②判定口诀：一线不过四，田凹应弃之；出现田字形、凹字形不能折成正方体。   ③相对面判断：相间、“Z” 端是对面；相对面折叠后永不相邻。 知识点 4：截一个几何体   1. 截面定义：用平面去截几何体，平面与几何体相交得到的平面图形叫截面。   2. 截面规律：平面与几何体个面相交，截面就是边形。正方体最多截出六边形；球体任意截面都是圆。 知识点 5：从三个方向看几何体   1. 从正面、左面、上面观察几何体得到平面形状图（三视图）。   2. 绘图原则：长对正、高平齐、宽相等。   3. 由形状图还原几何体：俯视图确定底层布局，主视图、左视图确定各位置小正方体层数。 【基础必考题型】 【题型 1】立体图形识别与分类 1.核心知识点:   立体图形概念；柱体、锥体、球体区分；按有无曲面分类。 2.解题方法技巧:   ①抓住几何体特征：柱体上下有两个全等底面；锥体只有 1 个底面；球全为曲面。   ②区分棱柱与圆柱：棱柱侧面为平面，圆柱侧面是曲面。 【例题1】.（2026·吉林长春·模拟预测）下面几何体中，是三棱锥的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A．几何体是圆锥，故此选项不符合题意； B． 几何体是三棱锥，故此选项符合题意； C． 几何体是三棱柱，故此选项不符合题意； D． 几何体是圆柱，故此选项不符合题意． 【变式题1-1】.（2026·河南信阳·一模）下列几何体中，属于柱体的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了几何体的分类．柱体分为圆柱和棱柱，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱，由此可选出答案． 【详解】解：正方体是四棱柱，棱柱和圆柱都是柱体，则属于柱体的有3个， 【变式题1-2】.（25-26七年级上·福建三明·阶段检测）把下面的几何体填在相应的横线上（友情提示：将各序号用逗号分开）． （1）柱体的是_____________________； （2）锥体的是_______________________； （3）球体的是____________________； （4）有曲面的是_____________________． 【答案】 ②，③，⑥ ①，④ ⑤ ①，③，⑤ 【分析】本题考查立体图形的判断，熟练掌握每种立体图形的特征是解题关键． 按照立体图形的特征逐一判断，然后填到适当的横线上即可． 【详解】根据立体图形的特征判断，①是圆锥，②是棱柱，③是圆柱，④是棱锥，⑤是球体，⑥是棱柱． ∴柱体包括②，③，⑥，锥体包括①，④，球体包括⑤，有曲面的是①，③，⑤． 【变式题1-3】.（25-26七年级上·全国·课后作业）在如图所示的立体图形中，柱体有 ______ ，锥体有 ____ ，球体有 ____ ． （填序号） 【答案】 ①②③⑦ ⑤⑥ ④ 【分析】本题考查了柱体，锥体，球体，熟练掌握柱体，锥体，球体的特点是解题的关键． 柱体的特点：有两个面互相平行且大小相同，余下的每个相邻两个面的交线互相平行； 锥体的特点：有1个顶点，一个底面，只有1条高； 球是由一个面所围成的几何体，据此可得答案． 【详解】解：在如图所示的立体图形中，柱体有①②③⑦，锥体有⑤⑥，球体有④， 故答案为：①②③⑦；⑤⑥；④． 【题型 2】n 棱柱顶点、棱、面数量计算 1.核心知识点:   n 棱柱顶点、棱、面数量公式；棱柱侧棱性质。 2.解题方法技巧:   ①已知底面边数，直接套用：顶点，棱，面。   ②已知总棱数求棱柱类型：总棱数 ÷3=，得到是几棱柱。 【例题2】.（25-26七年级上·江西吉安·期末）如果一个棱柱共有18条棱，那么它是_____棱柱． 【答案】六 【分析】本题考查棱柱的概念和棱数规律，关键是掌握“棱柱共有条棱”这一关系求解． 【详解】解：设该棱柱为棱柱， ∵棱柱共有条棱， ∴，解得， 故它是六棱柱； 答案为：六． 【变式题2-1】.（2025七年级上·江苏连云港·专题练习）若一个棱柱有七个面，则它是________棱柱，有________条棱． 【答案】 五 15 【分析】本题考查了棱柱的概念，根据棱柱的底面和侧面的关系求解是解题关键． 根据n棱柱的特点，n棱柱由n个侧面和两个底面构成，棱柱的棱数为，据此求解即可． 【详解】解：一个棱柱是由7个面围成的，则有2个底面，5个侧面， 因此此立体图形是五棱柱，五棱柱有条棱． 故答案为：五，15． 【变式题2-2】.（25-26七年级上·宁夏银川·期末）在一节实践探究课上，小凡同学用硬纸板制成了一个底面边长都是、侧棱长是的五棱柱几何体模型． (1)这个五棱柱共有 条棱， 个顶点． (2)这个棱柱的侧面积是多少？ (3)观察下列几何体模型，若一个棱柱有个面，则这个棱柱为 棱柱． 【答案】(1)， (2) (3)二十四 【分析】（）根据五棱柱的结构特征解答即可； （）求出一个侧面的面积，再乘以即可求解； （）根据已知棱柱找出规律，再解答即可求解； 本题考查了几何体，正确识图是解题的关键． 【详解】（1）解：这个五棱柱共有条棱，个顶点， 故答案为：，； （2）解：， 答：这个棱柱的侧面积之和是； （3）解：三棱柱有个面， 四棱柱有个面， 五棱柱有个面， 六棱柱有个面， ， ∴棱柱有个面， 当时，解得， ∴这个棱柱为二十四棱柱， 故答案为：二十四． 【变式题2-3】.（25-26七年级上·陕西西安·期中）已知一个直棱柱，它有个顶点，其中一条侧棱长为，底面各边长都为． (1)这个直棱柱是_________棱柱，有_________个面，有_________条棱； (2)求这个直棱柱的所有侧面的面积之和； (3)通过对棱柱的了解，请写出n棱柱的顶点数及棱的条数． 【答案】(1)八，10，24； (2) (3)n棱柱共有个顶点，共有条棱 【分析】本题考查了认识立体图形，解题的关键是掌握棱柱有个顶点，有个面，有条棱． （1）由棱柱有个顶点，有个面，条棱求解可得； （2）由八棱柱有个侧面求解可得； （3）由棱柱有个顶点，有个面，条棱求解可得答案． 【详解】（1）解：因为此直棱柱有个顶点， 所以由知，此棱柱是八棱柱，有个面，有条棱；． （2）八棱柱的所有侧面的面积之和是：； （3）n棱柱共有个顶点，共有条棱． 【题型 3】常见几何体展开图识别 1.核心知识点:   圆柱、圆锥、棱柱展开图构成；展开图折叠还原几何体。 2.解题方法技巧:   ①棱柱展开图：两个全等多边形分布在侧面两侧。   ②圆锥侧面为扇形，圆柱侧面为长方形。 【例题3】.（2026·河南平顶山·三模）如图是一个几何体的展开图，则该几何体为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】观察题干展开图的构成，确定图形包含一个长方形和两个等大的圆形，逐一对照选项中的几何体，筛选出符合上述展开图特征的选项即可． 【详解】解：观察题干展开图的构成，确定图形包含一个长方形和两个等大的圆形， 选项A是圆锥：圆锥展开图是1个扇形+1个圆，不符合题意； 选项B是三棱柱：三棱柱展开图是3个长方形+2个三角形，不符合题意； 选项C是圆柱：和展开图特征匹配，符合； 选项D是四棱柱（长方体/正方体）：展开图由6个四边形组成，不符合题意． 【变式题3-1】.（2026·江苏苏州·中考真题）下列硬纸片可以沿虚线折叠成长方体纸盒的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：选项A，C，D都不能折叠成长方体盒子，选项B可以折叠成长方体盒子． 【变式题3-2】.（26-27七年级上·全国·课后作业）下列图形都是由6个大小一样的正方形拼接而成的．你还能画出一些其他不同的拼接图形吗？这些图形中哪些可以折成正方体？ 【答案】解：其他拼接方法，如下，答案不唯一： 【分析】由平面图形折叠得到正方体，通过结合立体图形与平面图形的相互转化，去理解和掌握几何体的展开图，要注意多从实物出发，然后再从给定的图形中辨认它们能否折叠成给定的立体图形． 【详解】解：根据几何体的展开图，得（1）（2）（3）都可以折成正方体． 画图略． 【变式题3-3】.（26-27七年级上·全国·课后作业）下列图形是某些多面体的表面展开图，请说出这些多面体的名称， (1) (2) 【答案】(1)长方体（或四棱柱） (2)三棱柱 【分析】通过展开图各面的形状判断多面体即可． 【详解】（1）解：该展开图包含1个长方形，符合长方体展开图的特征，故该多面体是长方体，也称四棱柱． （2）解：该展开图包含2个三角形和3个长方形，符合三棱柱展开图的特征，故该多面体是三棱柱． 【题型 4】正方体展开图找相对面 1.核心知识点:   正方体展开图相间、Z 端是对面规则；相对面永不相邻。 2.解题方法技巧:   同行隔一个，异行隔一列；Z 字形两端正方形为相对面；相邻一定不是对面。 【例题4】.（25-26七年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图是一个正方体的展开图，把展开图折叠成正方体后，有“的”字一面的相对面上的字是（     ） A．我 B．中 C．国 D．梦 【答案】B 【分析】在正方体的表面展开图中，相对的面之间一定相隔一个正方形，由此即可得出结果． 【详解】解：由图形可得，有“的”字一面的相对面上的字是中． 【变式题4-1】.（26-27七年级上·上海·开学考试）下列图形不是左面的正方体的展开图的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正方体可知有圆点的面与有阴影部分的面是相邻的面，再逐项判断即可． 【详解】解：从原正方体知，带圆点的面与黑色的面是相邻的两个面， A选项：带圆点的面与黑色的面是相对的两个面，不是相邻的，所以图形不是； B、C、D选项：带圆点的面与黑色的面都是相邻的，都是原正方体的展开图． 【变式题4-2】.（25-26七年级下·四川泸州·期末）如图是一个正方体的展开图，把展开图折叠成正方体后，有“州”字一面的相对面上的字是（     ） A．中 B．国 C．酒 D．城 【答案】D 【分析】根据正方体表面展开图的特征进行判断即可． 【详解】解：由正方体表面展开图的“相间、端是对面”可知， “州”与“城”是对面． 【变式题4-3】.（2026·河北邯郸·模拟预测）“有志者，事竟成”出自《后汉书·耿弇传》，这句话的含义是有志向的人，做事终究会成功．如图是正方体的某个展开图，则这个正方体与“成”字所在面相对的面上的字为（     ） A．有 B．志 C．者 D．事 【答案】B 【分析】利用正方体展开图的特点，相对的面之间一定相隔一个正方形，或者通过“Z”字形两端判断相对面． 【详解】解：“者”与“竟”相对，“有”与“事”相对，“志”与“成”相对． 【题型 5】截面形状可能性判断 1.核心知识点:   截面定义；相交面数量决定截面边数；正方体、圆柱、球常见截面。 2.解题方法技巧:   ①平面与几个面相交就得到几边形。   ②球体无论怎么截，截面都是圆。 【例题5】.（2026·陕西渭南·二模）科技创新赋能强国建设，中国正以创新姿态领跑时代．已知某机器人的零部件呈圆柱形，如图，则该零部件的截面形状不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】用平面截取圆柱体，不同截取方式得到不同截面，求解即可； 【详解】解：当垂直于圆柱底面沿轴线方向截取，圆柱直径与高相等时可得正方形截面， 故A是可能的； 平行于圆柱底面截取，可得到圆形截面，故B是可能的； 当垂直于圆柱底面沿轴线方向截取，直径与高不相等时可得长方形截面，故C是可能的，无论怎么用平面截取圆柱，都不可能得到三角形截面，因此截面不可能是三角形； 【变式题5-1】.（25-26七年级上·河南·期末）按如图所示的方式将一个正方体截去一个角后．剩下的几何体的面和棱的数量为（    ） A．7个，13个 B．6个，12个 C．7个，12个 D．6个，11个 【答案】C 【分析】本题考查了正方体的面和棱，熟练掌握一定的空间想象能力是解题关键．按如图所示的方式将一个正方体截去一个角后，正方体增加1个面；棱减少3条，又增加3条，由此即可得． 【详解】解：正方体共有6个面，12条棱， 按如图所示的方式将一个正方体截去一个角后，正方体增加1个面；棱减少3条，又增加3条， 所以剩下的几何体的面的数量为（个）；棱的数量为（条）， 故选：C． 【变式题5-2】.（25-26六年级上·山东泰安·期末）如图，往一个密封的正方体容器持续注入一些水，注水的过程中，可将容器任意放置，会出现很多多边形，但水平面形状不可能出现的多边形是（    ） A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形 【答案】D 【分析】本题考查了几何体的截面，掌握正方体的截面形状是解题的关键．正方体有六个面，用一个平面去截正方体时最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得三角形，进而可得出所有可能的情况． 【详解】解：正方体有六个面，注水的过程中，可将容器任意放置，水平面形状最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得三角形，所得水平面形状可能是三角形、四边形、五边形和六边形， ∴不可能出现七边形． 故选：D． 【变式题5-3】.（25-26七年级上·江西景德镇·期末）某公司生产一种仿蜂巢形状的直立式储物箱，框架如图所示，它是一种常见的几何体，底面边长都是，侧面棱长是，观察这个框架，解答下列问题： (1)该几何体的名称是____________棱柱，共有____________个面； (2)用一个平面去截这个几何体，截面形状可能是____________；（填序号） ①六边形；②七边形；③八边形；④九边形． (3)若用丝带给这个几何体的每条棱上都缠上边，所需丝带的长度是多少？ 【答案】(1)六；8 (2)①②③ (3) 【分析】本题考查了几何体，认识几何体的底面和侧面是解题的关键． （1）根据几何体的底面边数确定几何体的名称，再数出底面个数和侧面个数，相加即可； （2）要判断棱柱截面的形状，核心依据是：平面切割棱柱时，切到几个面，截面就是几边形；且截面边数最少为3（三角形），最多等于棱柱的总面数（侧面+2个底面）； （3）棱长总和=底面棱总长+侧棱总长，分别计算两类棱的长度和再求和． 【详解】（1）解：该几何体的名称是六棱柱，共8个面； （2）解：用一个平面去截这个几何体，截面形状可能是六边形、七边形，八边形，不可能是九边形； 故答案为:①②③； （3）解：若用丝带给这个几何体的每条棱上都缠上边所需丝带的长为， ． 答:所需丝带的长为． 【培优高频题型】 【题型 6】三视图绘制（小正方体组合几何体） 1.核心知识点:   从正面、左面、上面看几何体；绘图 “长对正、高平齐、宽相等”。 2.解题方法技巧:   俯视图：看底层分布；主视图：看每一列最大层数；左视图：看每一行最大层数。 【例题6】.（25-26七年级上·陕西汉中·期中）一个几何体由若干个大小相同的小立方块搭成，从上面看到的几何体的形状如图所示．其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数．请画出从正面和左面看到的这个几何体的形状图． 【答案】 画图如下． 【分析】本题考查了从不同方向看几何体．根据题意可得，从正面看有3列，每列小正方体数目分别为4，2，3；从左面看有3列，每列小正方体数目分别为2，4，3，据此即可画出图形． 【详解】略 【变式题6-1】.（25-26七年级上·河南郑州·期末）几个大小相同的小正方体搭建的几何体如图所示．请按要求在方格内分别画出从这个几何体的正面、左面、上面看到的形状图． 【答案】 如图所示： 【分析】本题考查从不同方向看立体图形，根据从这个几何体的正面、左面、上面看到的形状画图即可． 【详解】略 【变式题6-2】.（25-26七年级上·陕西西安·期末）如图是由6个大小相同的小立方块搭建的几何体，请按要求在方格内分别画出从这个几何体的三个不同方向看到的形状图． 【答案】 如图所示，即为所求． 【分析】本题考查了从不同方向看几何体，良好的空间想象能力是解答本题的关键．根据从不同方向看到的形状画图即可． 【详解】略 【变式题6-3】.（25-26七年级上·陕西咸阳·期末）一个几何体由若干个大小相同的小立方块搭成，从上面看到的几何体的形状图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数．请画出从正面和从左面看到的这个几何体的形状图． 【答案】 根据图中所示的小正方体的个数，如图所示： 【分析】根据从正面看，从左面看的画图要求，画图解答即可． 本题考查了几何体的从不同方向看，熟练掌握几何体的画法是解题的关键． 【详解】略 【题型 7】由三视图还原几何体求小正方体个数 1.核心知识点:   三视图含义；俯视图定底层，主、左视图定层数。 2.解题方法技巧:   ①俯视图方格表示底层位置；方格内填写该位置最大层数。   ②求和得小正方体总数量。 【例题7】.（24-25七年级上·广东茂名·期末）如图，若干个大小相同的小立方块搭成的几何体． (1)这个几何体由________个小立方块搭成； (2)从正面、上面、左面观察该几何体，分别画出你所看到的几何体的形状图． 【答案】(1) (2)如图， 【分析】（1）分层数出几何体每层小立方块数量，相加得到总个数． （2）分别从正面、上面、左面观察几何体，确定每一行每一列正方形的分布，画出对应形状图． 【详解】（1）解：由图可得底层：4个，第二层：1个； 故构成这个几何体的小立方块的个数为：（个）； （2）略 【变式题7-1】.（25-26七年级下·河北保定·开学考试）一个几何体由若干大小相同的小立方块搭成，从上面看到的几何体的形状图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数．请你画出从正面和从左面看到的这个几何体的形状图． 【答案】 如图所示． 【分析】根据从上面看到的几何体的形状图得到从正面和从左面看到的形状即可 【详解】略 【变式题7-2】.（25-26七年级上·陕西宝鸡·期末）用几个相同的小立方块搭成的几何体从上面看到的几何体的形状图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数． (1)请在网格中分别画出从正面、左面看到的这个几何体的形状图． (2)如果保持从正面、左面看到的形状图都不变，最多可以再添加_____个小立方块． 【答案】(1) 如图，即为所求： (2)3 【分析】本题考查了从不同方向看几何体． （1）从正面看有三列，第一列有2个正方形，第二列有3个正方形，第三列有2个正方形；从左面看有两列，第一列有2个正方形，第二列有3个正方形； （2）根据从正面、左面看到的形状图分析即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图，可得最多可以再添加个小立方块 故答案为：． 【变式题7-3】.（25-26七年级上·广东梅州·期末）一个几何体由若干个大小相同的小立方块搭成，从上面看到的几何体的形状图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数． (1)请画出从正面和左面看到的这个几何体的形状图； (2)如果在这个几何体上再添加一些相同的小立方块，并保持从正面看、从上面看和从左面看到的形状图不变，最多可以再添加______个相同的小立方块． 【答案】(1) 从正面和左面看到的这个几何体的形状图如图所示； (2)3 【分析】本题考查作图−−从不同方向看几何体． （1）分别根据从正面和从左面所看到的这个几何体的形状，依次画出图形即可． （2）根据保持从正面看、从上面看和从左面看到的形状图不变，在从上面看到的图中写出可以添加的小立方块的数字即可． 【详解】（1）略 （2）解：保持这个几何体从上面，正面和左面看到的形状图不变，那么最多可以再添加3个小立方块（见从上面看到的图中的数字） 【题型 8】由展开图计算几何体表面积 1.核心知识点:   棱柱展开图；表面积等于各个面面积之和。 2.解题方法技巧:   ①展开图所有面面积相加得到表面积；底面为正方形的四棱柱注意底面边长匹配。   ②无盖几何体，少算一个底面面积。 【例题8】.（24-25七年级上·湖北武汉·阶段检测）将一个饮料包装盒剪开、铺平，纸样如图所示，设包装盒底面的长为 (1)用表示包装盒的体积和表面积； (2)如果，分别求包装盒的体积和表面积． 【答案】(1)； (2)体积为720，表面积为516 【分析】本题主要考查了列代数式，求代数式的值，熟练掌握长方体的体积与表面积公式是解题的关键． （1）利用长方体的体积公式和面积公式解答即可； （2）将的值代入（1）的代数式解答即可． 【详解】（1）解：由题意得：饮料包装盒的长，宽，高分别为：，6，15， 包装盒的体积为：； 包装盒的表面积为． （2）解：当时， 包装盒的体积为； 包装盒的表面积为． 【变式题8-1】.（25-26七年级上·福建漳州·期末）如图是某种几何体表面的展开图． (1)该几何体是：________（填写几何体名称）： (2)根据图中标注的数据，求该几何体的体积和表面积． 【答案】(1)长方体 (2)该几何体的体积为，表面积为 【分析】本题主要考查了长方体展开图识别以及长方体体积和表面积的计算． （1）通过展开图的特征，即可判定该几何体是长方体； （2）根据长方体的体积公式和表面积公式计算即可． 【详解】（1）解：通过展开图的特征，可知该几何体是长方体； （2）长方体的长为：， 体积为； 表面积为；   因此，该几何体的体积为，表面积为． 【变式题8-2】.（25-26七年级上·福建宁德·期中）如图，是某几何体从三个方向分别看到的图形． (1)该几何体名称是______； (2)根据图中给的信息，该几何体所有棱长的和是多少？它的表面积是多少？ 【答案】(1)长方体； (2)棱长的和是；表面积． 【分析】本题考查从不同方向看几何体，几何体的表面积等知识． （1）根据从不同方向看到的图形判定几何体的形状即可； （2）根据长方体棱长的和的计算公式和长方体的表面积公式进行求解即可． 【详解】（1）解：这个几何体是长方体， 故答案为：长方体； （2）解：所有棱长的和是； 表面积． 【变式题8-3】.（26-27七年级上·全国·课后作业）某种茶叶的包装盒为长方体，它的长、宽、高分别为，，，为了生产这种包装盒，需要先画出展开图纸样． (1)如图是给出的四种纸样①，②，③，④，其中正确的有________； (2)从已知正确的纸样中选出一种，在原图上标注上尺寸； (3)利用你所选的一种纸样，求出包装盒的侧面积和表面积． 【答案】(1)①，④ (2) 标注尺寸如答图． (3)， 【分析】本题考查了长方体的展开图和长方体表面积，解题的关键是掌握长方体的展开特点，以及长方体表面积的计算方法； (1)根据长方体的展开特点即可作出判断； (2)找到对应边，标注上尺寸即可； (3)根据长方体的侧面积，表面积的公式计算即可； 【详解】（1）解：①，④ （2）略 （3）； ； 【压轴素养题型】 【题型 9】三视图确定小正方体最多、最少数量 1.核心知识点:   主视图、左视图约束每个位置小正方体层数范围。 2.解题方法技巧:   ①俯视图确定位置；每个位置最大层数取主视图、左视图对应列最大值。   ②最少数量：每列至少有一处达到主视图高度，其余位置最少 1 块。 【例题9】.（24-25六年级上·山东烟台·期中）下图是由若干个小立方块所搭建几何体从正面看与从上面看的形状图． (1)搭建这个几何体最少、最多各需多少个小立方块？搭建这个几何体需小立方块最少、最多可能有多种搭建方式，请你各拿出一种在从上面看的形状图的小正方形中用数字表示该位置所放小立方块的个数； (2)搭建该几何体有多种搭建方式，请你画出其中三种从左面看的形状图． 【答案】(1)最少需要11个，最多需要17个， 最少时，如图， （答案不唯一）， 最多时，如图， （答案不唯一） (2) 如图， 搭建如图时， 从左边看的形状图为： 搭建如图时， 从左边看的形状图为： 搭建如图时， 从左边看的形状图为： （答案不唯一） 【分析】本题主要考查从不同方向看小正方体的搭建的图形，解题的关键是： （1）根据正面图和上面图可知，第一层有8个第二层最少有2个，最多有6个，第三层最少有1个，最多有3个，即可求解； （2）根据（1）的结论，在从上面看的形状图中标上搭建所需要小正方体的个数，然后画出其从左面看的形状图即可． 【详解】（1）解：根据题意，得第一层有8个第二层最少有2个，最多有6个，第三层最少有1个，最多有3个， ∴搭建这个几何体最少需要个、最多需要个． （2）略 【变式题9-1】.（25-26七年级上·陕西渭南·期末）一个几何体由若干个大小相同的小立方体搭成，从上面看到的几何体的形状如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方体的个数． (1)请在指定位置画出该几何体从正面、左面看到的形状图； (2)在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，使得从左面和上面看到的形状图不变，那么最多可以再添加______个小正方体． 【答案】(1) 如图，即为所求； (2) 【分析】本题考查从不同方向看几何体，解题的关键是数形结合． （1）分别根据从正面和从左面所看到的这个几何体的形状，依次画出图形即可． （2）根据保持从上面看和从左面看到的形状图不变，在从上面看到的图中写出可以添加的小立方体的数字即可． 【详解】（1）略 （2）在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，使得从左面和上面看到的形状图不变， 最多可在从上面看的图形中两个1所在的位置各加两个小立方体， 即最多可以再添加个小正方体， 故答案为：． 【变式题9-2】.（25-26七年级上·广东深圳·期中）用一些相同的小立方块搭一个几何体，使它从正面看和从上面看的形状图如图所示，从上面看的形状图中小正方形中的字母表示在该位置的小立方块的个数，解答下列问题． (1)____，____，____． (2)这个几何体最多由几个小立方块搭成？最少呢？请写出计算过程． (3)当，时，在图1中画出这个几何体从左面看到的形状图． 【答案】(1)1，1，3 (2)11，9 (3) 如图： 【分析】本题考查了由不同方向看简单组合体，解题的关键是发挥空间想象能力． （1）从正面看，第二列小立方块的个数为1，第3列小立方块的个数为3，据此可确定d、e、f的值； （2）从正面看，每一列上的小立方块个数是相应列中正方形数字中的最大数字，故可得第一列小立方块的个数最多为，最少为，那么加上其他两列小立方块的个数即可得到这个几何体的搭成情况； （3）从上面看，该几何体有3排，从前往后第三排最多有3层，第二排最多有1层，第一排有2层，因此从左面看，第1列能看到3个正方形，第2 列能看到1个正方形，第3列能看到2个正方形，由此可画出从左面看到的形状图． 【详解】（1）解：根据从正面看和从上面看到的形状可知 ；故答案为：1，1，3； （2）解：第一列小立方块的个数最多为个，最少为个， 这个几何体最多由个小立方块搭成， 最少由个小立方块搭成； （3）解：从左面看有3列，每列小正方形数目分别为3，1，2． 【变式题9-3】.（25-26七年级上·广东深圳·期中）用同样的小立方块搭一个几何体，从正面和上面看到的形状图如图所示，从上面看到的形状图中的小正方形中字母表示在该位置上小立方块的个数，请解答下列问题： (1)________，________； (2)这个几何体最少由________个小立方块搭成； (3)当时，在网格图中画出这个几何体从左面看到的形状图． 【答案】(1)， (2) (3) 左视图如下： 【分析】此题主要考查了从不同方向看几何体的知识，解题关键是掌握从不同方向看到的图形所含的组成的几何体的层数和列数的信息． （1）由从正面看到的图形可知，第二列小立方体的个数均为1，第三列的小立方体个数为3，即可求解； （2）根据从正面看，这个几何体最多由个小立方块搭成，再进一步即可求解； （3）根据从左面看到的图形有三列，每列小正方形数目分别为2，3，1，即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得： 解：从正面看，第二列有1层，第三列有3层， ∴． （2）解：如图， 这个几何体最多由个小立方块搭成， ∴把左边第一列第二层减少2个小正方体可得这个几何体最少由个小立方块搭成． （3）解：如图，当时， 【题型 10】截面最多边数探究（探究素养题） 1.核心知识点:   截面边数与几何体面数关系；n 棱柱截面最大边数。 2.解题方法技巧:   平面最多和几何体每一个面相交一次，截面最大边数等于几何体总面数。 【例题10】.（25-26七年级上·全国·课后作业）图①至图③是将正方体截去一部分后得到的多面体． (1)根据要求填写下面表格： 面数f 顶点数v 棱数e 图① 图② 图③ (2)直接写出f，v，e之间的数量关系． 【答案】(1) 填表如下 面数f 顶点数v 棱数e 图① 7 9 14 图② 6 8 12 图③ 7 10 15 (2) 【分析】本题考查了几何图形认知、多面体的面数、顶点数和棱数的计算，以及欧拉公式的应用．解题的关键在于准确数出每个图形的面数、顶点数和棱数，并通过计算归纳出这些数量之间的关系，即欧拉公式，从而验证并理解这一重要的几何定理．本题需先观察图①至图③中多面体的面数、顶点数、棱数，完成表格填写；再通过计算各图中的值，归纳出f、v、e之间的数量关系． 【详解】略 【变式题10-1】.（24-25七年级上·全国·期末）下列图形中，图（a）是正方体木块，把它切去一块，得到如图（b）（c）（d）（e）的木块． (1)我们知道，图（a）（b）的相关数据已经给出，请你将图（c），（d），（e）中木块的顶点数，棱数，面数填入表： 图号 顶点数x 棱数y 面数z （a） 8 12 6 （b） 6 9                   （c）                                                     （d）                                                     （e）                                                     (2)如表，各种木块的顶点数，棱数，面数之间的数量关系可以归纳出一定的规律，请你试写出顶点数，棱数，面数之间的数量关系式． 【答案】(1)5，8，12，6，8，13，7，10，15，7 (2) 【分析】本题考查了截一个几何体，规律型：数字变化类． （1）只要将图（b）、（c）、（d）、（e）各个木块的顶点数、棱数、面数数一下即可； （2）通过观察找出每个图中“顶点数、棱数、面数”之间隐藏着的数量关系，这个数量关系用公式表示出来即可． 【详解】（1）解：见表： 图号 顶点数x 棱数y 面数z （a） 8 12 6 （b） 6 9 5 （c） 8 12 6 （d） 8 13 7 （e） 10 15 7 故答案为：5，8，12，6，8，13，7，10，15，7； （2）解：观察上表可得： ， ， ， ， ， ∴， ∴顶点数x、棱数y、面数z之间的数量关系式为． 【变式题10-2】.（2025七年级上·全国·专题练习）把如图①所示的正方体切去一块，可得到如图②～⑤所示的几何体． (1)所得几何体各有多少个面？多少条棱？多少个顶点？ (2)举例说明把其他形状的几何体切去一块，得到的几何体的面数、棱数和顶点数各是多少； (3)若把几何体的面数记为，棱数记为，顶点数记为，则满足什么关系式？ 【答案】(1)题图②有7个面、15条棱、10个顶点；题图③有7个面、14条棱、9个顶点；题图④有7个面、13条棱、8个顶点；题图⑤有7个面、12条棱、7个顶点． (2)（答案不唯一，合理即可），得到的几何体有5个面、9条棱、6个顶点． (3) 【分析】本题主要考查几何体的面、棱、顶点的概念，以及欧拉公式的探索. 通过观察切割后的正方体，数出每个几何体的面数、棱数、顶点数； 选取其他几何体（如三棱柱）进行切割，分析其面、棱、顶点数量； 根据，的数据，归纳出面数、棱数、顶点数的关系式． 【详解】（1）解：分析图②～图⑤的几何体： 题图②有个面、条棱、个顶点； 题图③有个面、条棱、个顶点； 题图④有个面、条棱、个顶点； 题图⑤有个面、条棱、个顶点； 故答案为：题图②有个面、条棱、个顶点；题图③有个面、条棱、个顶点；题图④有个面、条棱、个顶点；题图⑤有个面、条棱、个顶点． （2）解：如图所示：得到的几何体有个面、条棱、个顶点． 故答案为：如图所示：得到的几何体有个面、条棱、个顶点． （3）解：根据中各几何体的面数、棱数、顶点数的关系式.计算： 题图②：； 题图③：； 题图④：； 题图⑤：． 结合的例子，归纳得关系式：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了几何体的面、棱、顶点的认识以及欧拉公式，解题关键是通过观察、计数，归纳出几何体的面数、顶点数、棱数之间的规律． 【变式题10-3】.（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，图①至图③都是将正方体截去一部分后得到的多面体． (1)根据要求填写表格： 图号 面数（f） 顶点数（v） 棱数（e） 图① ___________ ___________ ___________ 图② ___________ ___________ ___________ 图③ ___________ ___________ ___________ (2)猜想f，v，e之间的数量关系． (3)根据（2）中的猜想，若一个多面体的顶点数为2024，棱数为4043，试求出它的面数． 【答案】(1)7，9，14，6，8，12，7，10，15 (2) (3)2021 【分析】本题考查了截一个几何体，图形的变化类的应用，关键是能根据（1）中的结果得出规律． （1）根据图形数填写即可； （2）根据（1）中结果得出结论即可； （3）代入（2）中结论求出即可． 【详解】（1）解：根据要求填写表格： 图号 面数（f） 顶点数（v） 棱数（e） 图① 7 9 14 图② 6 8 12 图③ 7 10 15 （2）由（1）得：f，v，e之间的数量关系是； （3）把代入， ， ． 【题型 11】组合几何体表面积计算（挖去小正方体） 1.核心知识点:   组合体表面积；挖去小正方体后外露面变化。 2.解题方法技巧:   分别数出几何体前、后、左、右、上、下 6 个方向看到正方形数量，求和再乘单个面面积。 【例题11】.（25-26七年级上·山西太原·阶段检测）综合与实践： 提出问题：有两个相同的长方体纸盒，它们的长、宽、高分别是，现要用这两个纸盒搭成一个大长方体，怎样搭可使长方体的表面积最小？ 实践操作：我们发现，无论怎样放置这两个长方体纸盒，搭成的大长方体体积都不变，但是由于摆放位置的不同，它们的表面积会发生变化，经过操作，发现共有种不同的摆放方式，如图所示： 探究结论： （1）请计算图中的大长方体的长、宽、高及其表面积，并填充下表： 长（） 宽（） 高（） 表面积 图 _____ _____ 图 _____ 2 _____ 图 _____ 2 _____ 根据上表可知，表面积最小的是_____所示的长方体．（填“图”“图”“图”）． 解决问题： （2）现有个这样的小长方体纸盒，若将这个纸盒搭成一个大长方体，共有_____种不同的方式． （3）在（）题中搭成的大长方体的表面积最小为_____平方厘米． 【答案】（）如下表，； 长（） 宽（） 高（） 表面积 图 图 图 （） （）． 【分析】本题考查了几何体的表面积，找出各种不同搭法是解题的关键． （）根据长方体的表面积的计算方法分别计算即可； （）画出不同的搭法即可； （）利用长方体的表面积计算公式，求出各种搭法的表面积，取其中的最小值即可得出结论． 【详解】解：（） （）如图： ∴现有个这样的小长方体纸盒，若将这个纸盒搭成一个大长方体，共有种不同的方式， 故答案为：； （）表面积为：；， ， ， ， ∴在（）题中搭成的大长方体的表面积最小为平方厘米， 故答案为：． 【变式题11-1】.（24-25七年级上·重庆·阶段检测）综合与实践： 【提出问题】 有两个相同的长方体纸盒，它们的长、宽、高分别是，现要用这两个纸盒搭成一个大长方体，怎样搭可使长方体的表面积最小？ 实践操作：我们发现，无论怎样放置这两个长方体纸盒，搭成的大长方体体积都不变，但是由于摆放位置的不同，它们的表面积会发生变化，经过操作，发现共有3种不同的摆放方式，如图所示： 【探究结论】 （1）请计算图1、图2、图3中的大长方体的长、宽、高及其表面积，并填充下表： 长（） 宽（） 高（） 表面积（） 图1 16 6 图2 6 2 图3 16 2 完成上表，根据上表可知，表面积最小的是______所示的长方体．（填“图1”、“图2”、 “图3”）． 【解决问题】 （2）现在有4个小长方体纸盒，每个的长、宽、高都分别是，若用这4个长方体纸盒搭成一个大长方体，共有______种不同的方式，搭成的大长方体的表面积最小为_____． 【答案】（1） 长() 宽() 高() 表面积() 图1 16 6 4 368 图2 32 6 2 536 图3 16 12 2 496 图1； （2）共有6种不同的方式搭成的大长方体的表面积最小为 【分析】本题考查了几何体的表面积，找出各种不同搭法是解题的关键． （1）根据长方体的表面积的计算方法分别计算即； （2）先画出不同的搭法，再利用长方体的表面积计算公式，求出各种搭法的表面积，取其中的最小值即可得出结论 【详解】解：（1）图1中，长方体的高为4，表面积． 图2中，长为32，表面积． 图3中，宽为12，表面积． ∴图1的表面积最小． （2）解：共有6种搭法，可分为两类： 第一类有三种情况，表面积分别为：； ； 第二类有三种情况，表面积分别为：； ； ∴共有6种不同的方式搭成的大长方体的表面积最小为 【变式题11-2】.（25-26七年级上·山西太原·阶段检测）值得探究的“叠放”！ 问题提出：把八个一样大小的正方体（棱长为1）叠放在一起，形成一个长方体（或正方体），这样的长方体（或正方体）表面积最小是多少？ 方法探究： 第一步，取两个正方体叠放成一个长方体（如图①），由此可知，新长方体的长、宽、高分别为1，1，2． 第二步，将新长方体看成一个整体，六个面中面积最大的是2，取相同的长方体，紧挨最大面积的面进行“叠放”，可形成一个较大的长方体（如图②），该长方体的长、宽、高分别为2，1，2． 第三步，将较大的长方体看成一个整体，六个面中面积最大的是4，取相同的长方体，紧挨最大面积的面进行“叠放”，可形成一个大的正方体（如图③），该正方体的长、宽、高分别为2，2，2． 这样，八个大小一样的正方体所叠放成的大正方体的最小表面积为． 仔细阅读上述文字，利用其中思想方法解决下列问题： (1)取如图④的长方体四个进行叠放，形成一个新的长方体，那么，新的长方体的表面积最小是多少？ (2)取四个长、宽、高分别为2,3,c的长方体进行叠放如图⑤，此时，形成一个新的长方体表面积最小，则c的取值范围是______． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查长方体的表面积公式，考查学生审题能力，空间想象能力，理解题意是解题的关键． （1）根据题意得出重叠后新的长方体的长是4，宽是3，高是2，表面积最小，求解即可； （2）据图形得，小长方体的3个不同的面的面积分别为：，重叠的图形的四个面的面积分别为：，，然后得出不等式求解即可． 【详解】（1）解：要使长方体的表面积最小，使得面积最大的面重叠即可， ∴重叠后新的长方体的长是4，宽是3，高是2， 此时最小的表面积为：； （2）根据图形得，小长方体的3个不同的面的面积分别为：， ∵使得新长方体表面积最小， ∴重叠的四个面的面积要最大， 由图得：重叠的图形的四个面的面积分别为：，， ∴是最小的一个面， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式题11-3】.（23-24七年级上·江苏连云港·阶段检测）综合与实践： 【提出问题】 有两个相同的长方体纸盒，它们的长、宽、高分别是、、，现要用这两个纸盒搭成一个大长方体，怎样搭可使长方体的表面积最小？ 实践操作：我们发现，无论怎样放置这两个长方体纸盒，搭成的大长方体体积都不变，但是由于摆放位置的不同，它们的表面积会发生变化，经过操作，发现共有3种不同的摆放方式，如图所示： 【探究结论】 (1)请计算图1、图2、图3中的大长方体的长、宽、高及其表面积，并填充下表： 长 宽 高 表面积 图1 图2 图3 完成上表，根据上表可知，表面积最小的是______所示的长方体．(填“图1”、“图2”、“图3”)． 【解决问题】 (2)现在有4个小长方体纸盒，每个的长、宽、高都分别是、、、且，若用这4个长方体纸盒搭成一个大长方体，共有______种不同的方式，搭成的大长方体的表面积最小为______．(用含、、的代数式表示)．请简单说明理由． 【实践应用】 春节将至，小张在网上定制了若干个大小相同的长方体礼盒，商家准备将所有礼盒打成一个包裹寄走．下图是从三个方向看到的小张定制的礼盒的三个视图(阴影)，请帮忙计算打包用的包装纸最少要用多少平方米呢？(接头处忽略不计) 【答案】（1）图1，表格如下 长 宽 高 表面积 图1 图2 图3 （2）且或或或且，；理由如下： 当且时，共有种搭法，可分为两类： 第一类有三种情况，表面积分别为，，； 第二类有三种情况，表面积分别为，，． 第三类：当时，表面积为；当时，表面积为． 第三类：当时，表面积为；当时，表面积为． 共有且或或或且种不同的方式． 又且 搭成的大长方体的表面积最小为． 故答案为：且或或或且，； （3）最少需要平方米包装纸． 【分析】本题考查了几何体的表面积，三视图，找出各种不同搭法是解题的关键． （1）根据长方体的表面积的计算方法分别计算即； （2）根据（2）的方法，分且找出各种搭法，进而可得出共有且或或或且种不同的方式，利用长方体的表面积计算公式，找出各种搭法的表面积，取其中的最小值即可得出结论； （3）要使包装的纸最少，应该把长方体最大的面重合在一起，即把的面重合在一起，这样包装后的长方体，长是厘米，宽为厘米，高为厘米，根据长方体的表面积公式，求出包装后的长方体的表面积即可解答． 【详解】解：（1）图1中，长方体的高为4，表面积． 图2中，长为32，表面积． 图3中，宽为12，表面积． ∴图1的表面积最小． （2）略 （3）解：根据三视图可得礼盒的长宽高分别为，，，这要使包装的纸最少，应该把长方体最大的面重合在一起，即把的面重合在一起，这样包装后的长方体，长是厘米，宽为厘米，高为(厘米)， 依题意，  (平方米) 答：最少需要平方米包装纸． 【题型 12】纸盒制作实践探究题（跨学科情境） 1.核心知识点:   长方体展开折叠；长方体体积公式。 2.解题方法技巧:   根据裁剪方式，分析折叠后长、宽、高；区分有盖、无盖长方体盒子。 【例题12】.（24-25七年级上·福建龙岩·期末）【综合与实践】 “好学小组”和“乐学小组”开展了“长方体纸盒的制作”实践活动．他们利用边长为的正方形纸板设计成如图所示的甲、乙两种纸盒，甲种纸盒是无盖的纸盒，乙种纸盒是有盖的纸盒． 【动手操作】好学小组：根据图1方式制作一个甲种无盖的长方体盒子．方法是先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来．乙乐学小组：根据图2方式制作一个乙种有盖的长方体纸盒．方法是先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来． 【问题解决】 （1）①无盖长方体纸盒的底面积为________（用含和的代数式表示）； ②有盖长方体纸盒的底面周长为________（用含和的代数式表示）． 【拓展探究】 （2）两小组探究发现：按照上面的制作方案，甲种纸盒的体积和乙种纸盒的体积的比与、取值无关．请你写出的值，并说明理由． 【实际应用】 （3）春节临近，杭城某纸箱厂，接到一笔订单，需要赶制长、宽、高分别为、、的有盖长方体盒子若干．为了降低成本，提高效率，厂方决定购买大小合适的长方形纸板，采用乙种纸盒的制作方案，并且一张纸板制作一个纸盒． ①请分别在图3、图4虚线框内画出两种不同的设计图，并标上相应的尺寸； ②求厂方采购的长方形纸板的最小面积． 【答案】（1）①；②； （2）解：，理由如下 依题意，得 ∴ ∴ （3）①两种不同的设计图如下 ② 【分析】本题主要考查列代数式，几何体的展开与折叠； （1）①根据题意得底面是正方形，得到边长为，根据面积公式列出代数式即可；②先表示出底面长方形的宽，再根据周长的公式列出代数式即可； （2）依题意，得到，，再求出比值即可； （3）根据两种不同的设计图分别求出长方形纸板的面积，进行比较即可求出． 【详解】（1）①底面是正方形，边长为， ∴面积为：； ②底面长方形的宽为： 底面周长为：． （2）略； （3）①略； ②图3中长方形纸板的面积为： 图4中长方形纸板的面积为： ∵ ∴厂方采购的长方形纸板的最小面积． 【变式题12-1】.（25-26七年级上·山东济南·期中）【情境】数学活动课上，王老师开展了“制作长方体纸盒”的实践活动，王老师给每个小组分别发了一张边长为的正方形纸板． 【知识准备】 (1)如图①~⑥图形中，是正方体的表面展开图的有___________（只填写序号）； 【操作】 (2)①如图1，制作一个无盖的长方体盒子的方法：先在纸板四角剪去四个同样大小的边长为的小正方形，再沿虚线折合起来，则长方体纸盒的底面积为___________； ②如图2，制作一个有盖的长方体纸盒的方法：先在纸板四角剪去两个同样大小的边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来．如果，则该长方体纸盒的体积为___________； ③当，时，制作的无盖长方体纸盒的体积是有盖长方体纸盒的体积的多少倍？ 【探究】 (3)若一个无盖长方体的长、宽、高分别为6、4、3，它缺一个长为6、宽为4的长方形底面，将它的表面沿某些棱剪开，展开成一个平面图形，则该长方体表面展开图的最大外围周长为___________． 【答案】(1)①⑤⑥ (2)①；②36；③2倍 (3)58 【分析】本题考查展开图折叠成几何体，掌握正方体、长方体表面展开图的特征是正确解答的关键． （1）根据正方体表面展开图的特征进行判断即可； （2）①根据图1可折成的盒子的底面是边长为的正方形即可；②分别求出所折成的长方体的长、宽、高，再根据长方体体积的计算方法进行计算即可；③先求出无盖长方体的体积，再进行求解即可； （3）根据“没有剪开的棱越短越好，展开图的周长越大”画出相应的图形，再进行计算即可． 【详解】（1）解：根据正方体的表面展开图的特征可知，①⑤⑥可以折成正方体， 故答案为：①⑤⑥； （2）解：①图1所折成的盒子的底面是边长为的正方形， ∴长方体纸盒的底面面积为， 故答案为：； ②由题意可知，所作出的长方体的长为，宽为，高为， ∴体积为， 故答案为：； ③当，时，无盖长方体的体积为 ， 已知有盖长方体体积为， ∴， ∴无盖长方体纸盒的体积是有盖长方体纸盒的体积的2倍； （3）解：要使长方体表面展开图的外围周长最大，则剪开的棱越长越好，即没有剪开的棱越短越好，如图所示，其展开图的周长最大， 所以最大周长为，， 故答案为：58． 【变式题12-2】.（25-26七年级上·江苏连云港·阶段检测）创新综合实践小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动． 【知识准备】 （1）下列图形中，不是长方体的表面展开图的是________（填序号）； 【实践探索】 （2）创新综合实践小组利用边长为的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体纸盒（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒） ①图1是制作一个无盖长方体纸盒的方法：先在正方形纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来．则该长方体纸盒的底面积为________； ②图2是制作一个有盖长方体纸盒的方法：先在正方形纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来．则该长方体纸盒的体积为________； 【实践分析】 （3）若一个有盖长方体纸盒的长、宽、高分别是，如图3是该长方体的一种表面展开图，该长方体表面展开图的外围周长为，事实上，该长方体的表面展开图还有不少，请你画出该长方体外围周长最大的一种表面展开图，并求出这个最大外围周长． 【答案】（1）③；（2）①400；②1000； （3）解：观察下面展开图，此时外围周长最大，为， 【分析】本题考查几何体的展开图，解题的关键是熟练掌握几何体的展开图的特征，属于中考常考题型． （1）根据长方体的展开图得出结论即可． （2）①根据图形可得长方体纸盒的底面边长为大正方形的边长两个小正方形的边长求解即可； ②根据图2的裁剪，表示出长、宽、高进而求出体积． （3）画出图象，根据外围组成的定义计算即可 【详解】解：（1）由题意知，图形③不能折叠成长方体， 故答案为：③； （2）①根据题意，得：该长方体纸盒的底面小正方形的边长为， 该长方体纸盒的底面积为， 故答案为：400； ②根据题意，得裁剪后折叠成长方体的长为：， 裁剪后折叠成长方体的宽为：， 裁剪后折叠成长方体的高为：， 长方体纸盒的体积为 故答案为：1000； （3） 略 【变式题12-3】.（25-26七年级上·广东河源·阶段检测）【问题情境】某综合实践小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动． (1)【拓展探究】如图所示的图形中，是无盖正方体表面的展开图的是________（填序号） (2)综合实践小组利用边长为的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图①为无盖的长方体纸盒，图②为有盖的长方体纸盒）．    ①图①方式制作一个无盖的长方体盒子的方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来．若，，则长方体纸盒的底面周长为________cm； ②图②方式制作一个有盖的长方体纸盒的方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来．如果，.则该长方体纸盒的体积为________； (3)【问题进阶】若一个无盖长方体的长、宽、高分别为6，4，3，它缺一个长为6，宽为4的长方形底面，将它的表面沿某些棱剪开，展开成一个平面图形，则该长方体表面展开图的最大外围周长为多少？通过比较长方体表面展开图取得最大外围周长和最小外围周长的两个图形，你发现了什么规律？ 【答案】(1)①③④ (2)①16；②1000 (3)该长方体表面展开图的最大外围周长为58，规律是边长最短的剪得越少，长方体表面展开图的最大外围周长越大，边长最长的剪得越少，长方体表面展开图的最大外围周长越小． 【分析】（1）根据无盖正方体纸盒的面数和展开图的特征判断即可； （2）①由条件得底面是正方形，求出边长后根据正方形周长公式即可得解； ②分别求出长方体的长宽高后根据长方体的体积公式即可得解； （3）根据边长最长的都剪，边长最短的剪得最少，露出外围的边都是长边，边长最短的都剪，边长最长的不剪，露出外围的边都是短边，据此可得答案； 本题主要考查了简单几何体的展开图，熟练根据简单几何的展开图得出长方体的长宽高是解题的关键． 【详解】（1）解：根据展开图，②只能折成4个面，①③④才能折成一个无盖正方体纸盒， 故选：①③④； （2）①由题意得长方体纸盒的底面为正方形， ∴长方体纸盒的底面周长为， 故答案为：16； ②由题意可知，该长方体纸盒的长为， 高为， 宽为， ∴该长方体纸盒的体积为， 故答案为：1000； （3）边长最长的都剪，边长最短的剪得最少，露出外围的边都是长边，如图， 该长方体表面展开图的最大外围周长为， 边长最短的都剪，边长最长的不剪，露出外围的边都是短边，如图， 该长方体表面展开图的最小外围周长为， 则该长方体表面展开图的最大外围周长为58，规律是边长最短的剪得越少，长方体表面展开图的最大外围周长越大，边长最长的剪得越少，长方体表面展开图的最大外围周长越小． 易错点 1. 混淆 n 棱柱顶点、棱、面公式，记错对应含义，总棱数除以 3 得到棱柱的值容易算错。 2. 正方体展开图判断错误：把田字形、凹字形当成可折叠正方体；找相对面时，误将相邻面判断为对面。 3. 截面概念误区：误认为正方体可以截出直角三角形；混淆圆柱、圆锥不同截法对应的截面图形。 4. 三视图绘制：不遵守长对正、高平齐、宽相等；混淆左视图与主视图；还原几何体时小正方体最多、最少个数漏算。 5. 旋转体体积计算，旋转轴不同，与搞反，带入公式出错。 重点 1. n 棱柱顶点、棱、面数量关系；点、线、面、体运动关系。 2. 正方体 11 种展开图识别，相对面、相邻面判断。 3. 截面形状判断，掌握截面边数的判断方法。 4. 三视图识别与绘制，由三视图还原几何体，求小正方体个数。 难点 1. 空间想象能力：平面展开图折叠还原立体图形，判断折叠后点、边重合关系。 2. 根据三视图求搭建几何体最多、最少小正方体数量。 3. 挖切几何体后表面积、面数变化分析；组合几何体表面积计算。 4. 生活情境、实践探究类题目，把实际问题转化为立体图形几何模型。 【对应练习题】 一、单选题 1．将“弘扬五四精神”六个汉字分别写在某正方体的表面上，如图是它的一种展开图，则在原正方体的表面上，与“弘”字所在面相对的面上的汉字是（    ） A．扬 B．四 C．精 D．神 【答案】C 【分析】根据正方体相对面之间间隔一个正方形解答． 【详解】解：由题意得，与“弘”字所在面相对面上的汉字是“精”． 2．把一个长方体前、后、左、右四个面沿高展开后如图．则这个长方体的上、下两个面是两个如（    ）的图形． A． B． C． 【答案】A 【分析】根据题意，判断长方体的高，长为5和3；高，宽为5和3，于是可以判定长方体的上下面的长，宽相等，都等于3，解答即可； 【详解】解：根据题意，得长方体的高，长为5和3；高，宽为5和3， 故长方体的上，下面的长，宽相等，都等于3即为； 3．桌面上放着三个立体图形，小明从前面看到的是，他观察的三个立体图形可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 解：小明从前面看到的是， 他观察的三个立体图形可能是． 二、填空题 4．一个立体图形是由若干个小正方体拼成的，小军分别从前面、右面、上面观察看到的图形如下，这个立体图形是由( )个小正方体拼成的． 【答案】 【分析】从上面看确定底层小正方体的分布及数量，从前面看确定每一列的最大高度，从右边看确定每一行的最大高度，综合推断出每个位置的小正方体个数． 【详解】解：从上面看可知，该立体图形底层有个小正方体，分布在三行三列中， 从前面看可知，第列最高层，第列最高层，第列最高层， 第列的个位置高度均为，第列的个位置高度为， 从右边看可知，立体图形的前、中、后三行的最高层数分别为， 第列最高层，且只有第行（后）允许最高层， 第行第列位置有个小正方体， 第行（中）最高层，且该行第列高度为， 该行第列位置有个小正方体， 小正方体总数为． 5．七巧板是中国传统数学文化的重要载体，利用七巧板可以拼出许多有趣的图案，如图，用边长为1dm的正方形纸板，制成一副七巧板，将它拼成“小天鹅”图案，其中阴影部分的面积是_____dm2． 【答案】/ 【分析】阴影部分的面积等于边长为1的正方形面积减去一个直角边的长为1的等腰直角三角形的面积，再减去一个直角边的长为的等腰直角三角形的面积，据此列式求解即可 【详解】解：， ∴阴影部分的面积为． 6．一个圆柱形木块，底面直径是2厘米，高是9厘米，若沿虚线（如图）切开后得到若干个完全相同的小木块，小木块的表面积之和比原来圆柱的表面积增加了________平方厘米． 【答案】 【分析】本题主要考查了几何体的表面积．根据圆柱的切割特点可知，沿着它的底面直径平均切开成两个半圆柱后，表面积是增加了4个以圆柱的底面直径和高为边长的长方形的面的面积和4个圆柱的底面的面积，由此即可求出增加的表面积． 【详解】解：（平方厘米）， 故表面积增加了平方厘米． 故答案为：． 三、解答题 7．从正面、左面、上面观察如图所示的几何体，分别画出你所看到的几何体的形状图． 【答案】 如图所示： ． 【分析】本题考查了从不同方向看物体．根据从三个不同方向看到的小正方形相对位置画图即可． 【详解】略 8．【实践活动】 （1）如图所示的三个平面展开图中，折叠后一定能围成有盖的长方体纸盒的是___________．（填序号） （2）现有一个有盖的长方体纸盒，长为，宽为，高为．若沿着表面的某些棱剪开后压平，使得其平面展开图的外围周长取得最小值，请你根据下面线段长度，画出此时平面展开图，并计算其周长． （线段长度： 7     5      2 ） 【答案】（1）①③ （2）如图所示， 周长为 【分析】（1）根据有盖长方体纸盒的面数和构成求解即可； （2）要使外围周长最小，则尽量从棱长较小的边剪开，将棱长较大的边尽量多的保留在展开图内部参考图1的展开图样式，长方体的每个展开图中均有五条棱保留在内部，因此设计将边长为的棱保留3条，边长为的棱保留2条在展开图内部，此时外围周长最小，据此画图求解即可． 【详解】解：（1）能通过折叠围成有盖的长方体纸盒的是①③． （2）最小周长为cm． 9．某科技馆计划举办科技活动月和中小学生科技节活动，主办方想在展厅中央矗立一个巨型“航天育种成果”主题展示箱．它是一个长6米、宽4米、高3米的长方体，框架用金属条搭建而成，表面贴上航天育种作物的透明幕布，箱内搭建了体积为30立方米的模型景观．请解决以下问题： (1)搭建这个展示箱的框架，至少需要金属条多少米？（焊接处忽略不计） (2)给展示箱的表面贴上透明幕布（底面不贴），至少需要幕布多少平方米？（接头处忽略不计） (3)展示箱内剩余空间的体积是多少立方米？（展示箱的厚度忽略不计） 【答案】(1)52米 (2)84平方米 (3)42立方米 【分析】（1）计算长方体棱长的和即可； （2）利用长方体表面积计算公式计算即可； （3）利用长方体体积公式计算其体积，再减去30即可． 【详解】（1）解： ， （米）， 答：至少需要金属条52米； （2）解：， ， ， ， （平方米）， 答：至少需要幕布84平方米； （3）解：， ， ， （立方米）， 答：展示箱内剩余空间的体积是42立方米． 10．某公司生产一种仿蜂巢形状的直立式储物箱，如图所示，它是一种常见的几何体，底面边长都是，侧棱长是，请解答下列问题： (1)该几何体的名称是_____棱柱，共有_____个面； (2)用一个平面去截这个几何体，截面形状可能是_____，_____（写出你认为可能的两种形状）； (3)若要给这个储物箱的所有侧面都喷上红色的漆，需要喷漆的面积是多少？若用丝带给这个储物箱的每条棱上都包上边，所需丝带的长度是多少？ 【答案】(1)六，8 (2)三角形，四边形（答案不唯一） (3)需要喷漆的面积是，所需丝带的长为 【分析】本题考查了几何体，认识几何体的底面和侧面是解题的关键． （1）根据几何体的底面边数确定几何体的名称，再数出底面个数和侧面个数，相加即可； （2）要判断棱柱截面的形状，核心依据是：平面切割棱柱时，切到几个面，截面就是几边形；且截面边数最少为3（三角形），最多等于棱柱的总面数（侧面+2个底面）； （3）求出侧面积，即可求解喷漆的面积；棱长总和=底面棱总长+侧棱总长，分别计算两类棱的长度和再求和，即可求解所需丝带的长度． 【详解】（1）解：该几何体的名称是六棱柱，共有个面； （2）解：用一个平面去截这个几何体，截面形状可能是三角形、四边形、五边形、六边形、七边形，八边形，不可能是九边形； 故答案为：三角形，四边形（答案不唯一） （3）解：这个储物箱所有侧面的面积之和为： 若用丝带给这个几何体的每条棱上都缠上边所需丝带的长为： 答：需要喷漆的面积是，所需丝带的长为． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章 丰富的图形世界 知识点 1：立体图形的概念与分类   1. 立体图形定义：各部分不都在同一平面内的几何图形，常见有柱体、锥体、球体。   2. 立体图形分类 分类方式 类别 代表几何体 按柱、锥、球划分 柱体 棱柱、圆柱 锥体 棱锥、圆锥 球体 球 按是否含有曲面划分 含曲面 圆柱、圆锥、球 全平面 棱柱、棱锥 3. n 棱柱核心规律：底面为 n 边形；顶点数；棱数（侧棱条）；面数（侧面个）；所有侧棱长相等，上下底面全等，直棱柱侧面为长方形。 知识点 2：点、线、面、体的关系   1. 相交关系：体与体相交成面；面与面相交成线；线与线相交成点。   2. 运动关系：点动成线，线动成面，面动成体，生活中旋转现象可以用该规律解释。   3. 点、线、面、体是构成几何图形的基本元素。 知识点 3：几何体的展开与折叠   1. 一般几何体展开图   圆柱：2 个全等圆形 + 1 个长方形；圆锥：1 个圆形 + 1 个扇形；棱柱：2 个全等多边形底面 + 若干长方形侧面；球体没有平面展开图。   2. 正方体展开图（共 11 种）   ①四类：一四一型（6 种）、二三一型（3 种）、三三型（1 种）、二二二型（1 种）。   ②判定口诀：一线不过四，田凹应弃之；出现田字形、凹字形不能折成正方体。   ③相对面判断：相间、“Z” 端是对面；相对面折叠后永不相邻。 知识点 4：截一个几何体   1. 截面定义：用平面去截几何体，平面与几何体相交得到的平面图形叫截面。   2. 截面规律：平面与几何体个面相交，截面就是边形。正方体最多截出六边形；球体任意截面都是圆。 知识点 5：从三个方向看几何体   1. 从正面、左面、上面观察几何体得到平面形状图（三视图）。   2. 绘图原则：长对正、高平齐、宽相等。   3. 由形状图还原几何体：俯视图确定底层布局，主视图、左视图确定各位置小正方体层数。 【基础必考题型】 【题型 1】立体图形识别与分类 1.核心知识点:   立体图形概念；柱体、锥体、球体区分；按有无曲面分类。 2.解题方法技巧:   ①抓住几何体特征：柱体上下有两个全等底面；锥体只有 1 个底面；球全为曲面。   ②区分棱柱与圆柱：棱柱侧面为平面，圆柱侧面是曲面。 【例题1】.（2026·吉林长春·模拟预测）下面几何体中，是三棱锥的是（     ） A． B． C． D． 【变式题1-1】.（2026·河南信阳·一模）下列几何体中，属于柱体的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式题1-2】.（25-26七年级上·福建三明·阶段检测）把下面的几何体填在相应的横线上（友情提示：将各序号用逗号分开）． （1）柱体的是_____________________； （2）锥体的是_______________________； （3）球体的是____________________； （4）有曲面的是_____________________． 【变式题1-3】.（25-26七年级上·全国·课后作业）在如图所示的立体图形中，柱体有 ______ ，锥体有 ____ ，球体有 ____ ． （填序号） 【题型 2】n 棱柱顶点、棱、面数量计算 1.核心知识点:   n 棱柱顶点、棱、面数量公式；棱柱侧棱性质。 2.解题方法技巧:   ①已知底面边数，直接套用：顶点，棱，面。   ②已知总棱数求棱柱类型：总棱数 ÷3=，得到是几棱柱。 【例题2】.（25-26七年级上·江西吉安·期末）如果一个棱柱共有18条棱，那么它是_____棱柱． 【变式题2-1】.（2025七年级上·江苏连云港·专题练习）若一个棱柱有七个面，则它是________棱柱，有________条棱． 【变式题2-2】.（25-26七年级上·宁夏银川·期末）在一节实践探究课上，小凡同学用硬纸板制成了一个底面边长都是、侧棱长是的五棱柱几何体模型． (1)这个五棱柱共有 条棱， 个顶点． (2)这个棱柱的侧面积是多少？ (3)观察下列几何体模型，若一个棱柱有个面，则这个棱柱为 棱柱． 【变式题2-3】.（25-26七年级上·陕西西安·期中）已知一个直棱柱，它有个顶点，其中一条侧棱长为，底面各边长都为． (1)这个直棱柱是_________棱柱，有_________个面，有_________条棱； (2)求这个直棱柱的所有侧面的面积之和； (3)通过对棱柱的了解，请写出n棱柱的顶点数及棱的条数． 【题型 3】常见几何体展开图识别 1.核心知识点:   圆柱、圆锥、棱柱展开图构成；展开图折叠还原几何体。 2.解题方法技巧:   ①棱柱展开图：两个全等多边形分布在侧面两侧。   ②圆锥侧面为扇形，圆柱侧面为长方形。 【例题3】.（2026·河南平顶山·三模）如图是一个几何体的展开图，则该几何体为（     ） A． B． C． D． 【变式题3-1】.（2026·江苏苏州·中考真题）下列硬纸片可以沿虚线折叠成长方体纸盒的是（     ） A． B． C． D． 【变式题3-2】.（26-27七年级上·全国·课后作业）下列图形都是由6个大小一样的正方形拼接而成的．你还能画出一些其他不同的拼接图形吗？这些图形中哪些可以折成正方体？ 【变式题3-3】.（26-27七年级上·全国·课后作业）下列图形是某些多面体的表面展开图，请说出这些多面体的名称， (1) (2) 【题型 4】正方体展开图找相对面 1.核心知识点:   正方体展开图相间、Z 端是对面规则；相对面永不相邻。 2.解题方法技巧:   同行隔一个，异行隔一列；Z 字形两端正方形为相对面；相邻一定不是对面。 【例题4】.（25-26七年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图是一个正方体的展开图，把展开图折叠成正方体后，有“的”字一面的相对面上的字是（     ） A．我 B．中 C．国 D．梦 【变式题4-1】.（26-27七年级上·上海·开学考试）下列图形不是左面的正方体的展开图的是（     ）． A． B． C． D． 【变式题4-2】.（25-26七年级下·四川泸州·期末）如图是一个正方体的展开图，把展开图折叠成正方体后，有“州”字一面的相对面上的字是（     ） A．中 B．国 C．酒 D．城 【变式题4-3】.（2026·河北邯郸·模拟预测）“有志者，事竟成”出自《后汉书·耿弇传》，这句话的含义是有志向的人，做事终究会成功．如图是正方体的某个展开图，则这个正方体与“成”字所在面相对的面上的字为（     ） A．有 B．志 C．者 D．事 【题型 5】截面形状可能性判断 1.核心知识点:   截面定义；相交面数量决定截面边数；正方体、圆柱、球常见截面。 2.解题方法技巧:   ①平面与几个面相交就得到几边形。   ②球体无论怎么截，截面都是圆。 【例题5】.（2026·陕西渭南·二模）科技创新赋能强国建设，中国正以创新姿态领跑时代．已知某机器人的零部件呈圆柱形，如图，则该零部件的截面形状不可能是（    ） A． B． C． D． 【变式题5-1】.（25-26七年级上·河南·期末）按如图所示的方式将一个正方体截去一个角后．剩下的几何体的面和棱的数量为（    ） A．7个，13个 B．6个，12个 C．7个，12个 D．6个，11个 【变式题5-2】.（25-26六年级上·山东泰安·期末）如图，往一个密封的正方体容器持续注入一些水，注水的过程中，可将容器任意放置，会出现很多多边形，但水平面形状不可能出现的多边形是（    ） A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形 【变式题5-3】.（25-26七年级上·江西景德镇·期末）某公司生产一种仿蜂巢形状的直立式储物箱，框架如图所示，它是一种常见的几何体，底面边长都是，侧面棱长是，观察这个框架，解答下列问题： (1)该几何体的名称是____________棱柱，共有____________个面； (2)用一个平面去截这个几何体，截面形状可能是____________；（填序号） ①六边形；②七边形；③八边形；④九边形． (3)若用丝带给这个几何体的每条棱上都缠上边，所需丝带的长度是多少？ 【培优高频题型】 【题型 6】三视图绘制（小正方体组合几何体） 1.核心知识点:   从正面、左面、上面看几何体；绘图 “长对正、高平齐、宽相等”。 2.解题方法技巧:   俯视图：看底层分布；主视图：看每一列最大层数；左视图：看每一行最大层数。 【例题6】.（25-26七年级上·陕西汉中·期中）一个几何体由若干个大小相同的小立方块搭成，从上面看到的几何体的形状如图所示．其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数．请画出从正面和左面看到的这个几何体的形状图． 【变式题6-1】.（25-26七年级上·河南郑州·期末）几个大小相同的小正方体搭建的几何体如图所示．请按要求在方格内分别画出从这个几何体的正面、左面、上面看到的形状图． 【变式题6-2】.（25-26七年级上·陕西西安·期末）如图是由6个大小相同的小立方块搭建的几何体，请按要求在方格内分别画出从这个几何体的三个不同方向看到的形状图． 【变式题6-3】.（25-26七年级上·陕西咸阳·期末）一个几何体由若干个大小相同的小立方块搭成，从上面看到的几何体的形状图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数．请画出从正面和从左面看到的这个几何体的形状图． 【题型 7】由三视图还原几何体求小正方体个数 1.核心知识点:   三视图含义；俯视图定底层，主、左视图定层数。 2.解题方法技巧:   ①俯视图方格表示底层位置；方格内填写该位置最大层数。   ②求和得小正方体总数量。 【例题7】.（24-25七年级上·广东茂名·期末）如图，若干个大小相同的小立方块搭成的几何体． (1)这个几何体由________个小立方块搭成； (2)从正面、上面、左面观察该几何体，分别画出你所看到的几何体的形状图． 【变式题7-1】.（25-26七年级下·河北保定·开学考试）一个几何体由若干大小相同的小立方块搭成，从上面看到的几何体的形状图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数．请你画出从正面和从左面看到的这个几何体的形状图． 【变式题7-2】.（25-26七年级上·陕西宝鸡·期末）用几个相同的小立方块搭成的几何体从上面看到的几何体的形状图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数． (1)请在网格中分别画出从正面、左面看到的这个几何体的形状图． (2)如果保持从正面、左面看到的形状图都不变，最多可以再添加_____个小立方块． 【变式题7-3】.（25-26七年级上·广东梅州·期末）一个几何体由若干个大小相同的小立方块搭成，从上面看到的几何体的形状图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数． (1)请画出从正面和左面看到的这个几何体的形状图； (2)如果在这个几何体上再添加一些相同的小立方块，并保持从正面看、从上面看和从左面看到的形状图不变，最多可以再添加______个相同的小立方块． 【题型 8】由展开图计算几何体表面积 1.核心知识点:   棱柱展开图；表面积等于各个面面积之和。 2.解题方法技巧:   ①展开图所有面面积相加得到表面积；底面为正方形的四棱柱注意底面边长匹配。   ②无盖几何体，少算一个底面面积。 【例题8】.（24-25七年级上·湖北武汉·阶段检测）将一个饮料包装盒剪开、铺平，纸样如图所示，设包装盒底面的长为 (1)用表示包装盒的体积和表面积； (2)如果，分别求包装盒的体积和表面积． 【变式题8-1】.（25-26七年级上·福建漳州·期末）如图是某种几何体表面的展开图． (1)该几何体是：________（填写几何体名称）： (2)根据图中标注的数据，求该几何体的体积和表面积． 【变式题8-2】.（25-26七年级上·福建宁德·期中）如图，是某几何体从三个方向分别看到的图形． (1)该几何体名称是______； (2)根据图中给的信息，该几何体所有棱长的和是多少？它的表面积是多少？ 【变式题8-3】.（26-27七年级上·全国·课后作业）某种茶叶的包装盒为长方体，它的长、宽、高分别为，，，为了生产这种包装盒，需要先画出展开图纸样． (1)如图是给出的四种纸样①，②，③，④，其中正确的有________； (2)从已知正确的纸样中选出一种，在原图上标注上尺寸； (3)利用你所选的一种纸样，求出包装盒的侧面积和表面积． 【压轴素养题型】 【题型 9】三视图确定小正方体最多、最少数量 1.核心知识点:   主视图、左视图约束每个位置小正方体层数范围。 2.解题方法技巧:   ①俯视图确定位置；每个位置最大层数取主视图、左视图对应列最大值。   ②最少数量：每列至少有一处达到主视图高度，其余位置最少 1 块。 【例题9】.（24-25六年级上·山东烟台·期中）下图是由若干个小立方块所搭建几何体从正面看与从上面看的形状图． (1)搭建这个几何体最少、最多各需多少个小立方块？搭建这个几何体需小立方块最少、最多可能有多种搭建方式，请你各拿出一种在从上面看的形状图的小正方形中用数字表示该位置所放小立方块的个数； (2)搭建该几何体有多种搭建方式，请你画出其中三种从左面看的形状图． 【变式题9-1】.（25-26七年级上·陕西渭南·期末）一个几何体由若干个大小相同的小立方体搭成，从上面看到的几何体的形状如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方体的个数． (1)请在指定位置画出该几何体从正面、左面看到的形状图； (2)在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，使得从左面和上面看到的形状图不变，那么最多可以再添加______个小正方体． 【变式题9-2】.（25-26七年级上·广东深圳·期中）用一些相同的小立方块搭一个几何体，使它从正面看和从上面看的形状图如图所示，从上面看的形状图中小正方形中的字母表示在该位置的小立方块的个数，解答下列问题． (1)____，____，____． (2)这个几何体最多由几个小立方块搭成？最少呢？请写出计算过程． (3)当，时，在图1中画出这个几何体从左面看到的形状图． 【变式题9-3】.（25-26七年级上·广东深圳·期中）用同样的小立方块搭一个几何体，从正面和上面看到的形状图如图所示，从上面看到的形状图中的小正方形中字母表示在该位置上小立方块的个数，请解答下列问题： (1)________，________； (2)这个几何体最少由________个小立方块搭成； (3)当时，在网格图中画出这个几何体从左面看到的形状图． 【题型 10】截面最多边数探究（探究素养题） 1.核心知识点:   截面边数与几何体面数关系；n 棱柱截面最大边数。 2.解题方法技巧:   平面最多和几何体每一个面相交一次，截面最大边数等于几何体总面数。 【例题10】.（25-26七年级上·全国·课后作业）图①至图③是将正方体截去一部分后得到的多面体． (1)根据要求填写下面表格： 面数f 顶点数v 棱数e 图① 图② 图③ (2)直接写出f，v，e之间的数量关系． 【变式题10-1】.（24-25七年级上·全国·期末）下列图形中，图（a）是正方体木块，把它切去一块，得到如图（b）（c）（d）（e）的木块． (1)我们知道，图（a）（b）的相关数据已经给出，请你将图（c），（d），（e）中木块的顶点数，棱数，面数填入表： 图号 顶点数x 棱数y 面数z （a） 8 12 6 （b） 6 9                   （c）                                                     （d）                                                     （e）                                                     (2)如表，各种木块的顶点数，棱数，面数之间的数量关系可以归纳出一定的规律，请你试写出顶点数，棱数，面数之间的数量关系式． 【变式题10-2】.（2025七年级上·全国·专题练习）把如图①所示的正方体切去一块，可得到如图②～⑤所示的几何体． (1)所得几何体各有多少个面？多少条棱？多少个顶点？ (2)举例说明把其他形状的几何体切去一块，得到的几何体的面数、棱数和顶点数各是多少； (3)若把几何体的面数记为，棱数记为，顶点数记为，则满足什么关系式？ 【变式题10-3】.（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，图①至图③都是将正方体截去一部分后得到的多面体． (1)根据要求填写表格： 图号 面数（f） 顶点数（v） 棱数（e） 图① ___________ ___________ ___________ 图② ___________ ___________ ___________ 图③ ___________ ___________ ___________ (2)猜想f，v，e之间的数量关系． (3)根据（2）中的猜想，若一个多面体的顶点数为2024，棱数为4043，试求出它的面数． 图号 面数（f） 顶点数（v） 棱数（e） 图① 7 9 14 图② 6 8 12 图③ 7 10 15 【题型 11】组合几何体表面积计算（挖去小正方体） 1.核心知识点:   组合体表面积；挖去小正方体后外露面变化。 2.解题方法技巧:   分别数出几何体前、后、左、右、上、下 6 个方向看到正方形数量，求和再乘单个面面积。 【例题11】.（25-26七年级上·山西太原·阶段检测）综合与实践： 提出问题：有两个相同的长方体纸盒，它们的长、宽、高分别是，现要用这两个纸盒搭成一个大长方体，怎样搭可使长方体的表面积最小？ 实践操作：我们发现，无论怎样放置这两个长方体纸盒，搭成的大长方体体积都不变，但是由于摆放位置的不同，它们的表面积会发生变化，经过操作，发现共有种不同的摆放方式，如图所示： 探究结论： （1）请计算图中的大长方体的长、宽、高及其表面积，并填充下表： 长（） 宽（） 高（） 表面积 图 _____ _____ 图 _____ 2 _____ 图 _____ 2 _____ 根据上表可知，表面积最小的是_____所示的长方体．（填“图”“图”“图”）． 解决问题： （2）现有个这样的小长方体纸盒，若将这个纸盒搭成一个大长方体，共有_____种不同的方式． （3）在（）题中搭成的大长方体的表面积最小为_____平方厘米． 图 图 图 【变式题11-1】.（24-25七年级上·重庆·阶段检测）综合与实践： 【提出问题】 有两个相同的长方体纸盒，它们的长、宽、高分别是，现要用这两个纸盒搭成一个大长方体，怎样搭可使长方体的表面积最小？ 实践操作：我们发现，无论怎样放置这两个长方体纸盒，搭成的大长方体体积都不变，但是由于摆放位置的不同，它们的表面积会发生变化，经过操作，发现共有3种不同的摆放方式，如图所示： 【探究结论】 （1）请计算图1、图2、图3中的大长方体的长、宽、高及其表面积，并填充下表： 长（） 宽（） 高（） 表面积（） 图1 16 6 图2 6 2 图3 16 2 完成上表，根据上表可知，表面积最小的是______所示的长方体．（填“图1”、“图2”、 “图3”）． 【解决问题】 （2）现在有4个小长方体纸盒，每个的长、宽、高都分别是，若用这4个长方体纸盒搭成一个大长方体，共有______种不同的方式，搭成的大长方体的表面积最小为_____． 【变式题11-2】.（25-26七年级上·山西太原·阶段检测）值得探究的“叠放”！ 问题提出：把八个一样大小的正方体（棱长为1）叠放在一起，形成一个长方体（或正方体），这样的长方体（或正方体）表面积最小是多少？ 方法探究： 第一步，取两个正方体叠放成一个长方体（如图①），由此可知，新长方体的长、宽、高分别为1，1，2． 第二步，将新长方体看成一个整体，六个面中面积最大的是2，取相同的长方体，紧挨最大面积的面进行“叠放”，可形成一个较大的长方体（如图②），该长方体的长、宽、高分别为2，1，2． 第三步，将较大的长方体看成一个整体，六个面中面积最大的是4，取相同的长方体，紧挨最大面积的面进行“叠放”，可形成一个大的正方体（如图③），该正方体的长、宽、高分别为2，2，2． 这样，八个大小一样的正方体所叠放成的大正方体的最小表面积为． 仔细阅读上述文字，利用其中思想方法解决下列问题： (1)取如图④的长方体四个进行叠放，形成一个新的长方体，那么，新的长方体的表面积最小是多少？ (2)取四个长、宽、高分别为2,3,c的长方体进行叠放如图⑤，此时，形成一个新的长方体表面积最小，则c的取值范围是______． 【变式题11-3】.（23-24七年级上·江苏连云港·阶段检测）综合与实践： 【提出问题】 有两个相同的长方体纸盒，它们的长、宽、高分别是、、，现要用这两个纸盒搭成一个大长方体，怎样搭可使长方体的表面积最小？ 实践操作：我们发现，无论怎样放置这两个长方体纸盒，搭成的大长方体体积都不变，但是由于摆放位置的不同，它们的表面积会发生变化，经过操作，发现共有3种不同的摆放方式，如图所示： 【探究结论】 (1)请计算图1、图2、图3中的大长方体的长、宽、高及其表面积，并填充下表： 长 宽 高 表面积 图1 图2 图3 完成上表，根据上表可知，表面积最小的是______所示的长方体．(填“图1”、“图2”、“图3”)． 【解决问题】 (2)现在有4个小长方体纸盒，每个的长、宽、高都分别是、、、且，若用这4个长方体纸盒搭成一个大长方体，共有______种不同的方式，搭成的大长方体的表面积最小为______．(用含、、的代数式表示)．请简单说明理由． 【实践应用】 春节将至，小张在网上定制了若干个大小相同的长方体礼盒，商家准备将所有礼盒打成一个包裹寄走．下图是从三个方向看到的小张定制的礼盒的三个视图(阴影)，请帮忙计算打包用的包装纸最少要用多少平方米呢？(接头处忽略不计) 【题型 12】纸盒制作实践探究题（跨学科情境） 1.核心知识点:   长方体展开折叠；长方体体积公式。 2.解题方法技巧:   根据裁剪方式，分析折叠后长、宽、高；区分有盖、无盖长方体盒子。 【例题12】.（24-25七年级上·福建龙岩·期末）【综合与实践】 “好学小组”和“乐学小组”开展了“长方体纸盒的制作”实践活动．他们利用边长为的正方形纸板设计成如图所示的甲、乙两种纸盒，甲种纸盒是无盖的纸盒，乙种纸盒是有盖的纸盒． 【动手操作】好学小组：根据图1方式制作一个甲种无盖的长方体盒子．方法是先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来．乙乐学小组：根据图2方式制作一个乙种有盖的长方体纸盒．方法是先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来． 【问题解决】 （1）①无盖长方体纸盒的底面积为________（用含和的代数式表示）； ②有盖长方体纸盒的底面周长为________（用含和的代数式表示）． 【拓展探究】 （2）两小组探究发现：按照上面的制作方案，甲种纸盒的体积和乙种纸盒的体积的比与、取值无关．请你写出的值，并说明理由． 【实际应用】 （3）春节临近，杭城某纸箱厂，接到一笔订单，需要赶制长、宽、高分别为、、的有盖长方体盒子若干．为了降低成本，提高效率，厂方决定购买大小合适的长方形纸板，采用乙种纸盒的制作方案，并且一张纸板制作一个纸盒． ①请分别在图3、图4虚线框内画出两种不同的设计图，并标上相应的尺寸； ②求厂方采购的长方形纸板的最小面积． 【变式题12-1】.（25-26七年级上·山东济南·期中）【情境】数学活动课上，王老师开展了“制作长方体纸盒”的实践活动，王老师给每个小组分别发了一张边长为的正方形纸板． 【知识准备】 (1)如图①~⑥图形中，是正方体的表面展开图的有___________（只填写序号）； 【操作】 (2)①如图1，制作一个无盖的长方体盒子的方法：先在纸板四角剪去四个同样大小的边长为的小正方形，再沿虚线折合起来，则长方体纸盒的底面积为___________； ②如图2，制作一个有盖的长方体纸盒的方法：先在纸板四角剪去两个同样大小的边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来．如果，则该长方体纸盒的体积为___________； ③当，时，制作的无盖长方体纸盒的体积是有盖长方体纸盒的体积的多少倍？ 【探究】 (3)若一个无盖长方体的长、宽、高分别为6、4、3，它缺一个长为6、宽为4的长方形底面，将它的表面沿某些棱剪开，展开成一个平面图形，则该长方体表面展开图的最大外围周长为___________． 【变式题12-2】.（25-26七年级上·江苏连云港·阶段检测）创新综合实践小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动． 【知识准备】 （1）下列图形中，不是长方体的表面展开图的是________（填序号）； 【实践探索】 （2）创新综合实践小组利用边长为的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体纸盒（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒） ①图1是制作一个无盖长方体纸盒的方法：先在正方形纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来．则该长方体纸盒的底面积为________； ②图2是制作一个有盖长方体纸盒的方法：先在正方形纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来．则该长方体纸盒的体积为________； 【实践分析】 （3）若一个有盖长方体纸盒的长、宽、高分别是，如图3是该长方体的一种表面展开图，该长方体表面展开图的外围周长为，事实上，该长方体的表面展开图还有不少，请你画出该长方体外围周长最大的一种表面展开图，并求出这个最大外围周长． 【变式题12-3】.（25-26七年级上·广东河源·阶段检测）【问题情境】某综合实践小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动． (1)【拓展探究】如图所示的图形中，是无盖正方体表面的展开图的是________（填序号） (2)综合实践小组利用边长为的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图①为无盖的长方体纸盒，图②为有盖的长方体纸盒）．    ①图①方式制作一个无盖的长方体盒子的方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来．若，，则长方体纸盒的底面周长为________cm； ②图②方式制作一个有盖的长方体纸盒的方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来．如果，.则该长方体纸盒的体积为________； (3)【问题进阶】若一个无盖长方体的长、宽、高分别为6，4，3，它缺一个长为6，宽为4的长方形底面，将它的表面沿某些棱剪开，展开成一个平面图形，则该长方体表面展开图的最大外围周长为多少？通过比较长方体表面展开图取得最大外围周长和最小外围周长的两个图形，你发现了什么规律？ 易错点 1. 混淆 n 棱柱顶点、棱、面公式，记错对应含义，总棱数除以 3 得到棱柱的值容易算错。 2. 正方体展开图判断错误：把田字形、凹字形当成可折叠正方体；找相对面时，误将相邻面判断为对面。 3. 截面概念误区：误认为正方体可以截出直角三角形；混淆圆柱、圆锥不同截法对应的截面图形。 4. 三视图绘制：不遵守长对正、高平齐、宽相等；混淆左视图与主视图；还原几何体时小正方体最多、最少个数漏算。 5. 旋转体体积计算，旋转轴不同，与搞反，带入公式出错。 重点 1. n 棱柱顶点、棱、面数量关系；点、线、面、体运动关系。 2. 正方体 11 种展开图识别，相对面、相邻面判断。 3. 截面形状判断，掌握截面边数的判断方法。 4. 三视图识别与绘制，由三视图还原几何体，求小正方体个数。 难点 1. 空间想象能力：平面展开图折叠还原立体图形，判断折叠后点、边重合关系。 2. 根据三视图求搭建几何体最多、最少小正方体数量。 3. 挖切几何体后表面积、面数变化分析；组合几何体表面积计算。 4. 生活情境、实践探究类题目，把实际问题转化为立体图形几何模型。 【对应练习题】 一、单选题 1．将“弘扬五四精神”六个汉字分别写在某正方体的表面上，如图是它的一种展开图，则在原正方体的表面上，与“弘”字所在面相对的面上的汉字是（    ） A．扬 B．四 C．精 D．神 2．把一个长方体前、后、左、右四个面沿高展开后如图．则这个长方体的上、下两个面是两个如（    ）的图形． A． B． C． 3．桌面上放着三个立体图形，小明从前面看到的是，他观察的三个立体图形可能是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 4．一个立体图形是由若干个小正方体拼成的，小军分别从前面、右面、上面观察看到的图形如下，这个立体图形是由( )个小正方体拼成的． 5．七巧板是中国传统数学文化的重要载体，利用七巧板可以拼出许多有趣的图案，如图，用边长为1dm的正方形纸板，制成一副七巧板，将它拼成“小天鹅”图案，其中阴影部分的面积是_____dm2． 6．一个圆柱形木块，底面直径是2厘米，高是9厘米，若沿虚线（如图）切开后得到若干个完全相同的小木块，小木块的表面积之和比原来圆柱的表面积增加了________平方厘米． 三、解答题 7．从正面、左面、上面观察如图所示的几何体，分别画出你所看到的几何体的形状图． 8．【实践活动】 （1）如图所示的三个平面展开图中，折叠后一定能围成有盖的长方体纸盒的是___________．（填序号） （2）现有一个有盖的长方体纸盒，长为，宽为，高为．若沿着表面的某些棱剪开后压平，使得其平面展开图的外围周长取得最小值，请你根据下面线段长度，画出此时平面展开图，并计算其周长． （线段长度： 7     5      2 ） 9．某科技馆计划举办科技活动月和中小学生科技节活动，主办方想在展厅中央矗立一个巨型“航天育种成果”主题展示箱．它是一个长6米、宽4米、高3米的长方体，框架用金属条搭建而成，表面贴上航天育种作物的透明幕布，箱内搭建了体积为30立方米的模型景观．请解决以下问题： (1)搭建这个展示箱的框架，至少需要金属条多少米？（焊接处忽略不计） (2)给展示箱的表面贴上透明幕布（底面不贴），至少需要幕布多少平方米？（接头处忽略不计） (3)展示箱内剩余空间的体积是多少立方米？（展示箱的厚度忽略不计） 10．某公司生产一种仿蜂巢形状的直立式储物箱，如图所示，它是一种常见的几何体，底面边长都是，侧棱长是，请解答下列问题： (1)该几何体的名称是_____棱柱，共有_____个面； (2)用一个平面去截这个几何体，截面形状可能是_____，_____（写出你认为可能的两种形状）； (3)若要给这个储物箱的所有侧面都喷上红色的漆，需要喷漆的面积是多少？若用丝带给这个储物箱的每条棱上都包上边，所需丝带的长度是多少？ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $