专题3.1 代数式（5大知识点+12大分层题型+易错重难点+巩固练习）培优讲义2026-2027学年北师大版七年级数学上册

专题3.1 代数式 知识点1：代数式的意义 　　1.字母表示数：字母可以表示任何数（含正数、负数、0），也可表示运算律、公式。 　　2.代数式概念：用运算符号把数和字母连接而成的式子叫做代数式；单独一个数或一个字母也是代数式。 　　3.注意：运算包括加、减、乘、除、乘方等；代数式中不能含有“＝”“≠”“≤”“≥”“>”“<”，如 x+y＝2、a≤3b 都不是代数式。 知识点2：列代数式 　　1.定义：把实际问题中与数量有关的语句，用含有数、字母和运算符号的式子表示出来，叫做列代数式。 　　2.方法：抓住关键词语（大、小、多、少、和、差、积、商、倍等），弄清各量及关系，按“先读先写”顺序并用括号，结合公式或数量关系列式。 知识点3：代数式的书写要求 类型 书写规定 示例 数与字母、字母与字母相乘 乘号写作“·”或省略，相同字母写成乘方形式，数写在字母前 2×m→2m；m·n→mn；m·m→ 数字因数为 1 或 -1 “1”常省略不写 1×a→a；-1×a→-a 带分数与字母相乘 把带分数化成假分数 除法运算 写成分数的形式 2÷x→ 知识点4：代数式的值 　　1.定义：用具体数值代替代数式中的字母，按照代数式指定的运算计算出的结果，叫做代数式的值。 　　2.步骤：①代入——用数值替换字母，还原省略的乘号；②计算——按运算顺序计算，可运用运算律简化。 　　3.字母取值限制：①必须使代数式有意义，如 中 a≠1；②实际问题中字母取值要符合实际意义。 知识点5：单项式、多项式、整式 　　1.单项式：由数与字母的乘积组成的代数式；单独一个数或一个字母也是单项式。系数是数字因数，次数是所有字母的指数和。 　　2.多项式：几个单项式的和。项是每个单项式，次数是次数最高项的次数，不含字母的项叫常数项。 　　3.整式：单项式与多项式统称整式。 概念 含义 示例 单项式 数与字母的积；单独一个数或字母 、2、a 单项式系数 数字因数 的系数是 -2 单项式次数 所有字母指数和 的次数是 6 多项式 几个单项式的和 ，项、次数分别为… 【基础必考题型】 【题型1】识别代数式 1.核心知识点 　　代数式的定义；含字母、数的运算式子。 2.解题方法技巧 　　①看是否只含运算符号与数、字母； 　　②含等号、不等号的式子不是代数式； ③单独的数、字母也是代数式。 【例题1】.（25-26七年级上·广西贵港·期中）下列式子中，不属于代数式的是（   ） A． B．520 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了代数式的概念，代数式是由数字、字母和运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）组成的表达式，不包含等号或不等号； 【详解】解：∵ 代数式必须仅由数字、字母和运算符号构成，不能含有等号或不等号； 选项A、选项B、选项D均符合代数式定义； 选项C ，含有等号，是方程，不属于代数式； 故选：C 【变式题1-1】.（2025七年级上·江苏连云港·专题练习）下列式子中：①；②；③；④；⑤；⑥．属于代数式的有（ ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题主要考查了代数式，掌握代数式的概念是解决本题的关键． 代数式是由数字、字母和运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）组成的表达式，不包含等号或不等号，根据定义逐一判断各式子即可． 【详解】解：①0是数字，为代数式； ②a是字母，为代数式； ③含有等号，是方程，不是代数式； ④由变量和数字通过减法组成，为代数式； ⑤含有不等号，是不等式，不是代数式； ⑥含有不等号，是不等式，不是代数式． ∴属于代数式的有①、②、④，共3个． 故选B． 【变式题1-2】.（25-26七年级上·山东济宁·期中）下列式子中是代数式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了代数式的概念，解决本题的关键是熟练掌握代数式的概念． 代数式是由数字、字母和运算符号，如加、减、乘、除、乘方组成的表达式，不包含等号或不等号，由此判断选项即可． 【详解】解：∵ 代数式需仅含数字、字母和运算符号， A. 含不等号，不是代数式； B. 仅含字母、数字和加号，是代数式； C. 含等号，是方程，不是代数式； D. 含等号，是方程，不是代数式． 故选：B． 【变式题1-3】.（25-26七年级上·湖南岳阳·期中）在式子：①10，②中，代数式有_______个 【答案】3 【分析】本题考查代数式的判断，代数式是由数字、字母和运算符号组成的表达式，不包含等号或不等号．根据定义判断各式子即可． 【详解】解：①10，②中，代数式有①③④，共3个，②中含有等号，⑤中含有不等号，均不是代数式． 故答案为：3． 【题型2】代数式的书写方法 1.核心知识点 　　书写规范：省略乘号、分数表示除法、假分数化带分数等。 2.解题方法技巧 　　①数在字母前，省略乘号； 　　②带分数化假分数； ③除法写成分数，带单位加括号。 【例题2】.（25-26七年级上·内蒙古通辽·期末）下列代数式的书写格式规范的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了代数式的书写规范，根据代数式书写规则判断每个选项是否规范即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：、中系数是带分数，未化成假分数，不规范，不符合题意； 、中含乘号，未省略，不规范，不符合题意； 、中含乘号，未省略，不规范，不符合题意； 、代数式的书写格式规范，符合题意； 故选：． 【变式题2-1】.（25-26九年级上·江西·期中）下列代数式书写规范的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查代数式的书写规则，包括数字与字母相乘的顺序、带分数的表示、除法运算的表示等．根据代数式的书写规则一一判断即可． 【详解】解：根据代数式书写规范： ∵数字与字母相乘时，数字应写在字母前面， ∴ D选项不规范，应写作． ∵带分数应写成假分数形式， ∴ B选项不规范，应写作． ∵除法运算应写成分数形式， ∴ C选项不规范，应写作． ∵ A选项中，数字写在字母前，乘号省略，符合规范， ∴ A选项正确． 故选A． 【变式题2-2】.（25-26七年级上·全国·寒假作业）下列各式最符合代数式书写规范的是（   ） A． B． C．千克 D． 【答案】B 【分析】本题考查代数式的书写，掌握代数式的相关书写规则是解决问题的关键．根据代数式书写规范逐项判断即可． 【详解】解：∵A：中字母相乘，乘号应该省略或用“”表示，应写为或； ∵B： 数字系数在前，乘号省略，符合代数式书写规范； C：千克，应写为 千克； D： 数字应写在字母前面且乘号应省略，应写为． 故选：B． 【变式题2-3】.（25-26七年级上·江西上饶·阶段检测）下列各式中，符合代数式书写规则的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了代数式的书写规则．注意在数字与字母相乘时省略乘号，数字要写在字母的前面，除法应该写成分数的形式． 【详解】解：需写成；需写成；需写成； 只有书写规范，选项B符合题意， 故选：B． 【题型3】代数式表示的实际意义 1.核心知识点 　　把代数式用生活语言叙述，赋予实际含义。 2.解题方法技巧 　　①从代数式本身描述字母间的数量关系； 　　②联系生活实际、几何背景赋予意义； ③注意“和、差、积、商”的顺序。 【例题3】.（25-26七年级下·四川绵阳·开学考试）下列说法错误的一项是（   ） A．代数式表示“x，y两数的平方和” B．代数式表示“x，y的和的5倍” C．“x的5倍与y的和的一半”，用代数式表示为 D．比x的2倍多3的数，用代数式表示为 【答案】C 【分析】根据每个选项的描述，进行判断代数式是否正确表示，即可作答． 【详解】解：A、代数式表示“x，y两数的平方和”，故该选项正确，不符合题意； B、代数式表示“x，y的和的5倍”，故该选项正确，不符合题意； C、“x的5倍与y的和的一半”，用代数式表示为，故该选项错误，符合题意； D、比x的2倍多3的数，用代数式表示为，故该选项正确，不符合题意． 【变式题3-1】.（2026七年级上·全国·专题练习）关于代数式的意义，下列说法错误的是（     ） A．单价为10元的荔枝与单价为5元的苹果的总价格是元 B．的10倍与的5倍的和为 C．甲从A地出发每小时走10km，乙从B地出发每小时走5km，两人相向而行，甲走，乙走，两人相遇，则A，两地间的距离为 D．面值为10元的人民币张和面值为5元的人民币张共元 【答案】C 【详解】解：A．单价为10元的荔枝与单价为5元的苹果的总价格是元，正确； B．的10倍与的5倍的和为，正确； C．甲从A地出发每小时走10km，乙从B地出发每小时走5km，两人相向而行，甲走，乙走，两人相遇，则A，两地间的距离为，故不正确； D．面值为10元的人民币张和面值为5元的人民币张共元，正确． 【变式题3-2】.（25-26七年级上·山东德州·期末）代数式可以表示不同实际问题中的数量或数量关系．下列赋予实际意义的例子中不正确的是（    ） A．用元购买件单价为元的商品，剩余元 B．周长是的长方形，一边长为，另一边长为 C．数学项目式学习活动中，某班有人参加，老师把女生分为组，每组人，则表示男生人数 D．一辆汽车以每小时公里的速度行驶了小时，那么它行驶的总距离为公里，如果总路程为公里，那么剩余路程为公里 【答案】B 【分析】本题考查代数式，利用总价与单价数量关系、长方形周长公式、路程与速度时间关系等分别列出代数式即可．根据题意写出代数式是解题的关键． 【详解】解：A．∵件单价为元的商品总价为元，总钱数为元， ∴剩余钱数为元， 故该选项中赋予实际意义的例子正确，不符合题意； B．∵长方形周长公式为， ∴当周长时，长+宽， ∵一边长为， ∴另一边长应为， 故该选项中赋予实际意义的例子不正确，符合题意； C．∵总人数为人，老师把女生分为组，每组人，则女生人数为人， ∴男生人数为人， 故该选项中赋予实际意义的例子正确，不符合题意； D．∵总路程为50公里，一辆汽车以每小时公里的速度行驶了小时，则已行驶路程为公里， ∴剩余路程为公里， 故该选项中赋予实际意义的例子正确，不符合题意． 故选：B． 【变式题3-3】.（25-26七年级上·河北保定·期末）对代数式的意义表述正确的是（    ） A．a减去b的平方的差 B．a与b差的平方 C．a与的平方之和 D．a的平方与b的平方的差 【答案】A 【分析】本题主要考查了代数式表示的意义，正确理解代数式表示的意义是关键．根据代数式表示的意义应为“a减去b的平方的差”，据此即可解答． 【详解】解：由题意得，代数式表示的意义应为“a减去b的平方的差”． 故选：A． 【题型4】识别单项式、多项式、整式 1.核心知识点 　　单项式、多项式、整式的定义与判别。 2.解题方法技巧 　　①由数与字母积判断单项式； 　　②几个单项式之和为多项式； ③单项式、多项式统称整式，注意分母含字母的不是整式。 【例题4】.（26-27七年级上·全国·单元复习）下列代数式哪些是单项式？哪些是多项式？哪些是整式？请写出相应的序号． ①；②；③；④0；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨． 【答案】单项式：③④⑨；多项式：①②⑤；整式：①②③④⑤⑨． 【分析】根据单项式、多项式和整式定义进行判断即可． 【详解】解：单项式有：③；④0；⑨； 多项式有：①；②；⑤； 整式有：①；②；③；④0；⑤；⑨． 【变式题4-1】.（26-27七年级上·全国·课后作业）下列代数式，，，，，，中，多项式有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【详解】解：、、、为单项式； 分母含字母，不是整式，不属于多项式， 、为多项式，故有2个． 【变式题4-2】.（25-26七年级上·河南开封·期末）在代数式，中，整式有（   ） A．7个 B．6个 C．5个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了整式的定义，熟练掌握整式的定义（分母中不含字母）是解题的关键．本题需根据整式的定义（整式为单项式和多项式的统称，分母中不含字母），逐一判断每个代数式是否为整式，统计符合条件的个数即可． 【详解】解：整式是单项式与多项式的统称，且整式的分母中不含字母， 对各代数式判断如下： 是多项式，属于整式； 是多项式，属于整式； 是单独的常数，属于单项式，是整式； 分母含字母，不是整式； 中分母含字母，不是整式； 是单独的常数，属于单项式，是整式； 是单项式，属于整式； 综上，整式共有5个． 故选：C． 【变式题4-3】.（25-26六年级上·山东烟台·期末）在代数式，，，，，中，整式有（  ）． A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【分析】本题考查整式的辨认，掌握好整式的定义是关键． 根据整式的定义（整式包含单项式与多项式，且分母中不含字母），逐个判断所给代数式是否为整式，统计符合条件的个数即可． 【详解】解：∵整式是分母不含字母的单项式和多项式， ∴对各代数式逐一判断：①可化为，是多项式，属于整式；②是单项式，属于整式；③中是常数，该式是多项式，属于整式；④分母含字母，是分式，不属于整式；⑤是单独的常数，属于单项式，是整式；⑥分母含字母，是分式，不属于整式； 综上，整式共有4个． 故选：B． 【题型5】求单项式的系数与次数 1.核心知识点 　　单项式的系数（数字因数）与次数（字母指数和）。 2.解题方法技巧 　　①系数含符号，不含字母； 　　②次数是所有字母指数之和，不含数字因数指数； ③常数项的次数为 0，勿漏指数为 1 的字母。 【例题5】.（26-27七年级上·黑龙江大庆·阶段检测）单项式的系数和次数分别是（） A．，5 B．3，5 C． ，6 D． ，3 【答案】A 【详解】解：单项式的数字因数是，所以系数是； 所有字母指数的和是，所以次数是5． 【变式题5-1】.（26-27七年级上·新疆·期中）单项式 的系数和次数分别是（      ） A．﹣5和9 B．和9 C．和4 D．和10 【答案】D 【分析】本题考查单项式的系数和次数概念．系数是单项式中的数字因数（注意负号），次数是所有字母指数之和．需逐一计算字母的指数并求和，同时注意系数不要遗漏符号和分母． 【详解】解：单项式为 ，数字因数为 ，所以系数是 ． 字母为 ，指数分别为 （注意 的指数为 1），所有指数和为 ，所以次数是 10． 故选：． 【变式题5-2】.（26-27七年级上·四川·期中）单项式的系数是___________，次数是___________． 【答案】 3 【分析】根据单项式的系数是单项式中的数字因数，包括符号；次数是所有字母的指数之和，进行求解即可． 【详解】单项式的数字因数为，即系数是； 字母和的指数分别为2和1，其和为，即次数是3． 【变式题5-3】.（26-27七年级上·全国·课后作业）下列说法正确的是（     ） A．单项式的系数是 B．单项式的次数是6 C．单项式的系数是，次数是2 D．是单项式 【答案】A 【详解】解：A选项：单项式的数字因数为，即系数是，说法正确； B选项：单项式的字母指数和为，次数是4，原说法错误； C选项：单项式的数字因数为，即系数是，原说法错误； D选项：是两个单项式的和，属于多项式，不是单项式，原说法错误． 【题型6】求多项式的项与次数 1.核心知识点 　　多项式的项、常数项、次数（最高次项的次数）。 2.解题方法技巧 　　①按“＋、－”号拆成各项，含符号； 　　②比较各项次数取最大值； ③不含字母的项为常数项。 【例题6】.（25-26七年级上·广东·阶段检测）多项式的次数和常数项分别是（     ） A．3， B．3，7 C．4， D．2， 【答案】A 【分析】根据多项式次数、项数及常数项的定义即可求解． 【详解】多项式次数取各项次数最大值，、次数均为3，故次数为3；常数项是不含字母的项． 【变式题6-1】.（26-27七年级上·陕西·期中）下列说法中，正确的是（     ） A．的次数为5 B．多项式的一次项是 C．单项式没有系数 D．多项式是二次三项式 【答案】D 【分析】单项式的系数与次数的定义：单项式的系数是指单项式中的数字因数，次数是指所有字母指数的和．多项式的相关定义：几个单项式的和叫做多项式，多项式中的每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高项次数，就是这个多项式的次数，其中多项式中不含字母的项叫做常数项． 【详解】解：A. 的次数为4，故本选项不符合题意； B. 多项式的一次项是，故本选项不符合题意； C. 单项式的系数是1，故本选项不符合题意； D. 多项式是二次三项式，故本选项符合题意． 【变式题6-2】.（21-22七年级上·河南焦作·期中）如果是关于x，y的四次三项式，那么（     ） A． B．或3 C．3 D． 【答案】A 【详解】解：∵是关于，的四次三项式 ∴，， 解得或，， ∴． 【变式题6-3】.（25-26七年级上·河南南阳·期末）已知多项式是关于的二次三项式，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了求一个数的绝对值，多项式的项、项数或次数，多项式系数、指数中字母求值等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 根据二次三项式的定义，最高次项次数为且项数为，因此需满足且，以此求解即可． 【详解】解：∵多项式是关于的二次三项式， ∴最高次项指数， 解得：或， ∵第二项系数， ∴， ∴， 故答案为：． 【培优高频题型】 【题型 7】多项式按指定字母升幂降幂排列 1. 核心知识点 　多项式升幂、降幂排列概念；移动多项式项时符号处理。 2. 解题方法技巧 　①确定排列依据的字母，只看该字母的指数； 　②升幂：指数从小到大；降幂：指数从大到小； 　③挪动项必须连带项前面正负号一起移动。 【例题7】.（26-27七年级上·上海·阶段检测）多项式按字母的升幂排列为________． 【答案】 【分析】按字母的升幂排列，就是将多项式各项按的指数从小到大重新排列，保留各项原有符号即可得到结果． 【详解】解：先确定原多项式各项中字母的指数， 项中，的指数为 项中，的指数为 项中，的指数为 项中，的指数为 按的指数从小到大排列各项，得到最终结果为：． 【变式题7-1】.（26-27七年级上·上海闵行·阶段检测）把多项式按照字母升幂排列时，从左到右第二项是：_____． 【答案】 【详解】解：把多项式按照字母升幂排列为， 即从左到右第二项是． 【变式题7-2】.（26-27七年级上·全国·课后作业）把多项式重新排列： (1)按x的降幂排列； (2)按y的降幂排列． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）按x的降幂排列，即按照各单项式中x的指数从大到小的顺序排列单项式． （2）按y的降幂排列，即按照各单项式中y的指数从大到小的顺序排列单项式． 【详解】（1）解：中x的指数为4，中x的指数为0，中x的指数为3，中x的指数为1，中x的指数为2；按x的指数4、3、2、1、0的顺序排列各单项式，得到结果：． （2）中y的指数为0，中y的指数为4，中y的指数为1，中y的指数为2，中y的指数为3；按y的指数4、3、2、1、0的顺序排列各单项式，得到结果：． 【变式题7-3】.（25-26七年级下·北京延庆·期中）把多项式按字母降幂排列为___________． 【答案】 【分析】本题考查多项式的降幂排列，将多项式各项按某个字母的指数从大到小的顺序排列，称为按这个字母的降幂排列，排列时需保留各项原有的符号． 【详解】解：∵多项式的项为，，，， ∴按字母降幂排列为． 【题型8】列代数式 1.核心知识点 　　把数量关系用代数式表示。 2.解题方法技巧 　　①分析题目中的数量关系与关键词； 　　②设字母，按“先读先写”顺序列式； ③遵循书写规范整理结果。 【例题8】.（26-27七年级上·全国·课后作业）设圆锥的高为，底面半径为，体积为． (1)写出圆锥体积的公式； (2)若圆锥的高为，底面半径为，求圆锥的体积．（取3.14，结果精确到0.01） 【答案】(1) (2)圆锥的体积约是 【分析】（1）直接回忆圆锥体积的标准公式，明确公式中对应高、底面半径的变量即可． （2）首先确定已知的高和底面半径的数值，以及给定的π的取值，将数值代入圆锥体积公式中．按照运算优先级计算式中各部分的数值，最后根据精确到0.01的要求对计算结果进行四舍五入处理． 【详解】（1）解：圆锥体积公式． （2）解：． 答：圆锥的体积约是． 【变式题8-1】.（26-27七年级上·全国·课后作业）列出单项式，并指出它们的系数和次数． (1)某班的女生人数为，男生人数是女生人数的，则该班的男生人数为多少？ (2)某班学生按每行人、每列人排列座次且坐满，则该班的学生人数为多少？ 【答案】(1)男生人数为，它的系数是，次数是1． (2)该班的学生人数为，它的系数是1，次数是2． 【分析】先根据题意列出单项式，再根据“单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数；一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数”，指出这个单项式的系数和次数即可． 【详解】（1）略 （2）略 【变式题8-2】.（26-27七年级上·全国·课后作业）如图，长方形的宽，两个空白处分别是半径为，的四分之一圆． (1)用含字母，的代数式表示阴影部分的面积； (2)当，，取时，求阴影部分的面积． 【答案】(1) (2)阴影部分的面积为． 【分析】（1）观察图形可知：阴影部分的面积可表示为长方形的面积减去半径为的四分之一圆面积，再减去半径为的四分之一圆面积，代入字母表示即可； （2）把，，取，代入含字母，表示的阴影部分面积 ，再计算即可． 【详解】（1）解：∵长方形的宽，两个空白处分别是半径为，的四分之一圆， ∴， 即阴影部分的面积为：； （2）当，，取时， ． 答：阴影部分的面积为． 【变式题8-3】.（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，已知等腰中，，，点是延长线上一点，过点作（点，在直线的同侧），使，求的面积（用含的式子表示）． 【答案】 【分析】根据计算即可解答． 【详解】解：∵是等腰直角三角形，， ∴， ∵，，， ∴， ， ∴ ． 【题型9】整体代入求代数式的值 1.核心知识点 　　已知某代数式的值，整体代入含它的式子。 2.解题方法技巧 　　①识别所求式子中与已知相同的部分； 　　②把已知代数式的值整体代入； ③结合系数、常数整理求值。. 【例题9】.（2026·浙江湖州·二模）已知，则_____． 【答案】11 【分析】先将所求代数式变形，提取公因式后，把已知等式整体代入计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴ 【变式题9-1】.（2026·海南海口·二模）已知，则代数式的值是（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 【变式题9-2】.（2026·重庆·模拟预测）已知，则代数式的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据已知等式整理出的值，再将所求代数式变形后整体代入计算即可． 【详解】解：， 则， 故． 【变式题9-3】.（2026·广东茂名·一模）已知，则代数式的值是______． 【答案】5 【分析】先将已知等式移项变形得到的值，再代入计算即可． 【详解】解： ∴ ． 【压轴素养题型】 【题型10】规律型：数字与图形的变化类 1.核心知识点 　　从数字序列、图形排列中归纳含 n 的代数式。 2.解题方法技巧 　　①观察相邻项差、倍数、符号、图形数量变化； 　　②用 n 表示一般规律并验证； ③由特殊到一般归纳。 【例题10】.（2026·浙江宁波·二模）我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项式的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”． 根据“杨辉三角”请计算的展开式中从左起第三项的系数为________． 【答案】66 【分析】根据题意，分析展开式中从左起第三项的系数的变化规律，可得的第三项系数为，据此即可获得答案． 【详解】解：根据题意，可知的第三项系数为； 的第三项系数为； 的第三项系数为； ∴的第三项系数为， ∴的展开式中从左起第三项的系数为． 【变式题10-1】.（2026·云南昭通·一模）按一定规律排列的代数式：，，，，，第个代数式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题为规律探究题，分别找出系数和a的指数随序号n的变化规律，归纳即可得到结果． 【详解】解：对给出的代数式分别整理系数和指数： 当时，代数式为，系数，的指数为； 当时，代数式为，系数，的指数为； 当时，代数式为，系数，的指数为； 当时，代数式为，系数，的指数为； 归纳可得，第个代数式的系数为，的指数为，因此第个代数式是． 【变式题10-2】.（25-26七年级下·重庆·期中）用三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图形共有4个三角形，第②个图形共有9个三角形，第③个图形共有14个三角形，…，按照这一规律，第⑨个图形中三角形的个数为（   ） A．45 B．44 C．47 D．42 【答案】B 【分析】先分别确定第①，②，③图形中三角形的个数，即可得出数字变化特点，再根据规律解答． 【详解】解：第①个图形共有4个三角形； 第②个图形共有个三角形； 第③个图形共有个三角形； 第④个图形共有个三角形， 第⑨个图形共有个三角形． 【变式题10-3】.（2026·河南漯河·一模）观察下列一组代数式：，根据该组代数式的排列规律，可推断出第（为正整数）个代数式是_____． 【答案】 【分析】根据题意分别找出分子和分母的排列规律即可解题． 【详解】解：观察这组代数式的分子部分，依次为 ， 因此第个代数式的分子为， 观察这组代数式的分母部分，依次为 ，是连续奇数， 因此第个代数式的分母为， 因此第个代数式是． 【题型11】程序流程图与新定义运算求值 1.核心知识点 　　按程序框图、新定义运算规则求代数式的值。 2.解题方法技巧 　　①读懂流程图的运算顺序与分支条件； 　　②按新定义符号代入规则计算； ③满足条件才输出，否则继续循环。 【例题11】.（25-26七年级上·湖北孝感·期中）如图，是一个运算程序的示意图，若开始输入的值为，则第次输出的结果为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了代数式的求值和有理数的计算，根据题目给出的程序运算图找出输出结果的规律是解决本题的关键． 根据运算程序，第一次运算结果为125，第二次运算结果为25，第三次运算结果为5，第四次运算结果为1，…发现规律从第三次开始每两次为一个循环，再根据题目所给625的次运算即可得出答案． 【详解】解：第一次运算结果为：； 第二次运算结果为：； 第三次运算结果为：； 第四次运算结果为：； 第五次运算结果为：； 第六次运算结果为：； … 由此可得出运算结果从第三次开始为和循环，奇数次运算结果为，偶数次运算结果为，因为为奇数，所以运算结果为， 故选B． 【变式题11-1】.（25-26七年级上·广东梅州·期末）如图所示的运算程序中，若开始输入x的值为4，则第2025次输出的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查规律探究，根据程序逐次运算，找准规律是解决问题的关键．按照题中运算程序逐次运算，找准规律为每6个循环，由，结合规律求解即可得到答案． 【详解】解：第一次：，为偶数，则； 第二次：，为偶数，则； 第三次：，为奇数，则； 第四次：，为偶数，则； 第五次：，为偶数，则； 第六次：，为奇数，则； 第七次：，为偶数，则； 第八次：，为奇数，则； 第九次：，为偶数，则； 第十次：，为偶数，则； 第十一次：，为偶数，则； 第十二次：，为奇数，则； 第十三次：，为偶数，则； 第十四次：，为奇数，则； 综上所述，程序运算满足规律是：每6个循环， ， 则第2025次输出的结果是， 故选：B． 【变式题11-2】.（26-27六年级上·山东淄博·阶段检测）对于任意有理数a，b定义一种新运算：， (1)若，求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2)16 【分析】（1）根据新运算的定义，代入计算，即可得答案； （2）根据新运算的定义，先计算，再计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ； （2）解：∵， ∴， ， ∴． 【变式题11-3】.（25-26七年级上·陕西安康·期末）对于有理数m、n，定义一种新运算☆：．例如：． (1)求的值； (2)已知x是绝对值为1的负整数，y是单项式的次数，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了定义新运算、有理数的混合运算，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据新运算法则，进行计算即可； （2）由题意可知，，根据新运算法则，先求，再计算即可． 【详解】（1）解：； （2）根据题意可知，，， ， ． 【题型12】实际问题与几何图形中的代数式求值 1.核心知识点 　　结合面积、周长等几何量与生活情境列代数式并求值。 2.解题方法技巧 　　①根据几何公式或数量关系列代数式； 　　②代入字母值求面积、周长、费用等； 　　③阴影部分转化为面积和差，比较方案合理性。 【例题12】.（26-27七年级上·全国·课后作业）声音在干燥空气中传播的速度随着温度的变化而变化，当温度为时，声音的传播速度（单位：）大约是，求温度分别为和时声音的传播速度． 【答案】 温度为时声音的传播速度为，温度为时声音的传播速度为 【详解】解：由题意，温度为时，声音的传播速度为， 当时， ； 当时， 答：温度为时声音的传播速度为，温度为时为． 【变式题12-1】.（25-26七年级上·广西百色·期末）某中学为丰富学生体育活动，决定购置一批篮球．计划每个班级分配4个篮球，学校另外留存10个篮球用于校级比赛和公共借用．设全校班级总数为（为正整数）． (1)请用含的代数式表示学校需要购置的篮球总数； (2)现学校有18个班级，需要购置多少个篮球？（请写出计算过程） (3)请结合题意，说明（1）中代数式的数字4和10在实际问题中分别表示什么含义． 【答案】(1) (2)82个 (3) 解：数字4表示：每个班级分配到的篮球个数（或每班分配4个篮球）； 数字10表示：学校额外留存的篮球个数（或学校另留10个篮球作为公用）． 【分析】本题主要考查了列代数式和代数式求值，正确理解题意是解题的关键． （1）用班级数乘以每个班级分配的数量，再加上10即可得到答案； （2）把代入（1）所求的式子中计算求解即可． （3）数字4表示：每个班级分配到的篮球个数；数字10表示：学校额外留存的篮球个数． 【详解】（1）解：学校需要购置的篮球总数为：个． （2）解：当时， ． 答：需要购置82个篮球． （3）略 【变式题12-2】.（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）有长为的篱笆，利用它和房屋的一面墙围成如图形状的长方形园子，中间有一道篱笆隔开，园子的宽为． (1)用关于、的代数式表示园子的面积． (2)当米，米时，求园子的面积． 【答案】(1) (2)625平方米． 【分析】本题考查列代数式，代数式求值，正确列出代数式是解题的关键． （1）根据图形，表示出园子的长即可解答； （2）代入（1）中式子即可解答． 【详解】（1）解：园子的长可表示为， 园子的面积是． （2）解：当，时， （平方米）． 答：园子的面积是625平方米． 【变式题12-3】.（25-26七年级下·河南新乡·期末）某商店出售羽毛球拍和羽毛球，羽毛球拍每副定价元，羽毛球每筒定价元，促销期间有两种付费方式：：买副羽毛球拍赠送筒羽毛球；：羽毛球拍和羽毛球都按定价的九折付费．某球队打算在该商店购买副羽毛球拍和筒羽毛球． (1)用含的代数式表示出该球队按两种方式分别需付的金额； (2)当时，按哪种方式付费更划算？ 【答案】(1)该球队按方式买需付元，按B方式买需付元 (2)按方式付费更划算 【分析】本题主要考查了列代数式和代数式求值，正确理解题意是解题的关键． （1）根据所给的优惠方案列式求解即可； （2）把代入（1）所求的两个代数式中，计算出两种方式的费用，比较即可得到结论． 【详解】（1）解：：（元）． ：（元）． 答：该球队按方式买需付元，按方式买需付元． （2）解：当时，（元）． （元）． ， 按方式付费更划算． 易错点 1、把含等号、不等号的式子误当代数式。 2、代数式书写未省略乘号、带分数未化假分数、除法未写成分数。 3、列代数式时运算顺序错误，“和平方”与“平方和”混淆。 4、求系数、次数时漏负号或漏指数为 1 的字母。 5、代入求值时未加括号，负号、乘方处理错误。 6、程序、新定义问题中运算顺序或分支判断错误。 重点 1、理解代数式的意义与书写规范。 2、会列代数式并表示实际意义。 3、掌握求代数式的值的方法（直接、整体、非负性）。 4、理解单项式、多项式、整式及系数、次数、项。 难点 1、列代数式中数量关系的准确转化。 2、整体代入与非负性求值。 3、识别整式、求系数次数中的细节判断。 4、规律探究、程序、新定义、实际几何综合求值。 【对应练习题】 一、单选题 1．下列说法中，正确的是（    ） A．单项式的系数是 B．多项式是二次三项式 C．整式就是多项式 D．单项式的次数是0 【答案】B 【详解】解：单项式的系数是，A选项错误； 多项式是二次三项式，B选项正确； 整式包括单项式和多项式两类，C选项错误； 单项式的次数是3，D选项错误． 故选：B． 2．若，则的值为（     ） A． B． C． D．1 【答案】C 【详解】解：∵，而， ∴， 即， ∴. 3．若互为相反数，互为倒数，既不是正数也不是负数，则的值为（     ） A．0 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】由题意得到，，，代入式子即可求解． 【详解】解：∵互为相反数，互为倒数，既不是正数也不是负数， ∴，，， ∴． 二、填空题 4．若互为倒数，互为相反数，则______． 【答案】 【分析】根据互为倒数和互为相反数的定义，得到，，代入算式即可得到答案． 【详解】解：∵互为倒数，互为相反数， ∴，， ∴． 5．多项式的各项系数之积为__________． 【答案】3 【详解】解：多项式的各项系数之积为： . 6．将多项式按照字母的降幂排列，结果为_______． 【答案】 【分析】确定各项中字母的次数，按的次数从大到小排列即可． 【详解】解：多项式各项中字母的次数分别为，，，， ∴按字母的降幂排列为：． 三、解答题 7．若互为相反数，，求的值． 【答案】或． 【分析】利用相反数的定义得出，又，则，进而分类讨论即可得出答案． 【详解】解：∵，互为相反数， ∴， ∵， ∴， 则， 当时，； 当时，； ∴的值为或． 8．已知，，，求的值． 【答案】的值为或 【分析】先通过绝对值求出字母的值，然后根据条件选取字母的值，最后代入求值即可． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵， ∴或， 当时， ； 当时， ； 综上，的值为或． 9．请根据下面的对话解答下列问题． 我不小心把老师留的作业题弄丢了，只记得式子是 我告诉你：“a的相反数是3，b的绝对值是7，c与b的和是” 这时数学老师笑着补充说：“a和b的符号相同哦！” (1) ， ， ； (2)求的值． 【答案】(1) (2)2022 【分析】（1）只有符号不同的两个数互为相反数，正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，据此结合a和b的符号相同求出a、b的值，则可求出c的值； （2）根据（1）所求代值计算即可． 【详解】（1）解：∵a的相反数是3，b的绝对值是7， ∴， ∵a和b的符号相同， ∴， ∵c与b的和是， ∴； （2）解：∵，，， ∴． 10．七年级学生在3名教师的带领下去公园冬游，公园的门票为每人24元．现有两种收费方案，甲方案：带队教师免费，学生按八折收费；乙方案：师生都按七五折收费． (1)若有名学生，用代数式表示两种方案需要的费用； (2)当时，采用哪种方案较划算？ 【答案】(1)甲方案：元，乙方案：元 (2)乙方案更优惠 【分析】本题主要考查了列代数式，已知字母的值，求代数式的值，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题意用代数式分别表示甲、乙方案即可； （2）将的取值分别代入求得甲、乙方案的价格，再进行比较即可． 【详解】（1）解：甲方案：（元）， 乙方案：（元）， 答：甲方案需要元，乙方案需要元； （2）解：当时， 甲方案：（元）， 乙方案：（元）， ， 乙方案更优惠． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.1 代数式 知识点1：代数式的意义 　　1.字母表示数：字母可以表示任何数（含正数、负数、0），也可表示运算律、公式。 　　2.代数式概念：用运算符号把数和字母连接而成的式子叫做代数式；单独一个数或一个字母也是代数式。 　　3.注意：运算包括加、减、乘、除、乘方等；代数式中不能含有“＝”“≠”“≤”“≥”“>”“<”，如 x+y＝2、a≤3b 都不是代数式。 知识点2：列代数式 　　1.定义：把实际问题中与数量有关的语句，用含有数、字母和运算符号的式子表示出来，叫做列代数式。 　　2.方法：抓住关键词语（大、小、多、少、和、差、积、商、倍等），弄清各量及关系，按“先读先写”顺序并用括号，结合公式或数量关系列式。 知识点3：代数式的书写要求 类型 书写规定 示例 数与字母、字母与字母相乘 乘号写作“·”或省略，相同字母写成乘方形式，数写在字母前 2×m→2m；m·n→mn；m·m→ 数字因数为 1 或 -1 “1”常省略不写 1×a→a；-1×a→-a 带分数与字母相乘 把带分数化成假分数 除法运算 写成分数的形式 2÷x→ 知识点4：代数式的值 　　1.定义：用具体数值代替代数式中的字母，按照代数式指定的运算计算出的结果，叫做代数式的值。 　　2.步骤：①代入——用数值替换字母，还原省略的乘号；②计算——按运算顺序计算，可运用运算律简化。 　　3.字母取值限制：①必须使代数式有意义，如 中 a≠1；②实际问题中字母取值要符合实际意义。 知识点5：单项式、多项式、整式 　　1.单项式：由数与字母的乘积组成的代数式；单独一个数或一个字母也是单项式。系数是数字因数，次数是所有字母的指数和。 　　2.多项式：几个单项式的和。项是每个单项式，次数是次数最高项的次数，不含字母的项叫常数项。 　　3.整式：单项式与多项式统称整式。 概念 含义 示例 单项式 数与字母的积；单独一个数或字母 、2、a 单项式系数 数字因数 的系数是 -2 单项式次数 所有字母指数和 的次数是 6 多项式 几个单项式的和 ，项、次数分别为… 【基础必考题型】 【题型1】识别代数式 1.核心知识点 　　代数式的定义；含字母、数的运算式子。 2.解题方法技巧 　　①看是否只含运算符号与数、字母； 　　②含等号、不等号的式子不是代数式； ③单独的数、字母也是代数式。 【例题1】.（25-26七年级上·广西贵港·期中）下列式子中，不属于代数式的是（   ） A． B．520 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了代数式的概念，代数式是由数字、字母和运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）组成的表达式，不包含等号或不等号； 【详解】解：∵ 代数式必须仅由数字、字母和运算符号构成，不能含有等号或不等号； 选项A、选项B、选项D均符合代数式定义； 选项C ，含有等号，是方程，不属于代数式； 故选：C 【变式题1-1】.（2025七年级上·江苏连云港·专题练习）下列式子中：①；②；③；④；⑤；⑥．属于代数式的有（ ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题主要考查了代数式，掌握代数式的概念是解决本题的关键． 代数式是由数字、字母和运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）组成的表达式，不包含等号或不等号，根据定义逐一判断各式子即可． 【详解】解：①0是数字，为代数式； ②a是字母，为代数式； ③含有等号，是方程，不是代数式； ④由变量和数字通过减法组成，为代数式； ⑤含有不等号，是不等式，不是代数式； ⑥含有不等号，是不等式，不是代数式． ∴属于代数式的有①、②、④，共3个． 故选B． 【变式题1-2】.（25-26七年级上·山东济宁·期中）下列式子中是代数式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了代数式的概念，解决本题的关键是熟练掌握代数式的概念． 代数式是由数字、字母和运算符号，如加、减、乘、除、乘方组成的表达式，不包含等号或不等号，由此判断选项即可． 【详解】解：∵ 代数式需仅含数字、字母和运算符号， A. 含不等号，不是代数式； B. 仅含字母、数字和加号，是代数式； C. 含等号，是方程，不是代数式； D. 含等号，是方程，不是代数式． 故选：B． 【变式题1-3】.（25-26七年级上·湖南岳阳·期中）在式子：①10，②中，代数式有_______个 【答案】3 【分析】本题考查代数式的判断，代数式是由数字、字母和运算符号组成的表达式，不包含等号或不等号．根据定义判断各式子即可． 【详解】解：①10，②中，代数式有①③④，共3个，②中含有等号，⑤中含有不等号，均不是代数式． 故答案为：3． 【题型2】代数式的书写方法 1.核心知识点 　　书写规范：省略乘号、分数表示除法、假分数化带分数等。 2.解题方法技巧 　　①数在字母前，省略乘号； 　　②带分数化假分数； ③除法写成分数，带单位加括号。 【例题2】.（25-26七年级上·内蒙古通辽·期末）下列代数式的书写格式规范的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了代数式的书写规范，根据代数式书写规则判断每个选项是否规范即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：、中系数是带分数，未化成假分数，不规范，不符合题意； 、中含乘号，未省略，不规范，不符合题意； 、中含乘号，未省略，不规范，不符合题意； 、代数式的书写格式规范，符合题意； 故选：． 【变式题2-1】.（25-26九年级上·江西·期中）下列代数式书写规范的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查代数式的书写规则，包括数字与字母相乘的顺序、带分数的表示、除法运算的表示等．根据代数式的书写规则一一判断即可． 【详解】解：根据代数式书写规范： ∵数字与字母相乘时，数字应写在字母前面， ∴ D选项不规范，应写作． ∵带分数应写成假分数形式， ∴ B选项不规范，应写作． ∵除法运算应写成分数形式， ∴ C选项不规范，应写作． ∵ A选项中，数字写在字母前，乘号省略，符合规范， ∴ A选项正确． 故选A． 【变式题2-2】.（25-26七年级上·全国·寒假作业）下列各式最符合代数式书写规范的是（   ） A． B． C．千克 D． 【答案】B 【分析】本题考查代数式的书写，掌握代数式的相关书写规则是解决问题的关键．根据代数式书写规范逐项判断即可． 【详解】解：∵A：中字母相乘，乘号应该省略或用“”表示，应写为或； ∵B： 数字系数在前，乘号省略，符合代数式书写规范； C：千克，应写为 千克； D： 数字应写在字母前面且乘号应省略，应写为． 故选：B． 【变式题2-3】.（25-26七年级上·江西上饶·阶段检测）下列各式中，符合代数式书写规则的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了代数式的书写规则．注意在数字与字母相乘时省略乘号，数字要写在字母的前面，除法应该写成分数的形式． 【详解】解：需写成；需写成；需写成； 只有书写规范，选项B符合题意， 故选：B． 【题型3】代数式表示的实际意义 1.核心知识点 　　把代数式用生活语言叙述，赋予实际含义。 2.解题方法技巧 　　①从代数式本身描述字母间的数量关系； 　　②联系生活实际、几何背景赋予意义； ③注意“和、差、积、商”的顺序。 【例题3】.（25-26七年级下·四川绵阳·开学考试）下列说法错误的一项是（   ） A．代数式表示“x，y两数的平方和” B．代数式表示“x，y的和的5倍” C．“x的5倍与y的和的一半”，用代数式表示为 D．比x的2倍多3的数，用代数式表示为 【答案】C 【分析】根据每个选项的描述，进行判断代数式是否正确表示，即可作答． 【详解】解：A、代数式表示“x，y两数的平方和”，故该选项正确，不符合题意； B、代数式表示“x，y的和的5倍”，故该选项正确，不符合题意； C、“x的5倍与y的和的一半”，用代数式表示为，故该选项错误，符合题意； D、比x的2倍多3的数，用代数式表示为，故该选项正确，不符合题意． 【变式题3-1】.（2026七年级上·全国·专题练习）关于代数式的意义，下列说法错误的是（     ） A．单价为10元的荔枝与单价为5元的苹果的总价格是元 B．的10倍与的5倍的和为 C．甲从A地出发每小时走10km，乙从B地出发每小时走5km，两人相向而行，甲走，乙走，两人相遇，则A，两地间的距离为 D．面值为10元的人民币张和面值为5元的人民币张共元 【答案】C 【详解】解：A．单价为10元的荔枝与单价为5元的苹果的总价格是元，正确； B．的10倍与的5倍的和为，正确； C．甲从A地出发每小时走10km，乙从B地出发每小时走5km，两人相向而行，甲走，乙走，两人相遇，则A，两地间的距离为，故不正确； D．面值为10元的人民币张和面值为5元的人民币张共元，正确． 【变式题3-2】.（25-26七年级上·山东德州·期末）代数式可以表示不同实际问题中的数量或数量关系．下列赋予实际意义的例子中不正确的是（    ） A．用元购买件单价为元的商品，剩余元 B．周长是的长方形，一边长为，另一边长为 C．数学项目式学习活动中，某班有人参加，老师把女生分为组，每组人，则表示男生人数 D．一辆汽车以每小时公里的速度行驶了小时，那么它行驶的总距离为公里，如果总路程为公里，那么剩余路程为公里 【答案】B 【分析】本题考查代数式，利用总价与单价数量关系、长方形周长公式、路程与速度时间关系等分别列出代数式即可．根据题意写出代数式是解题的关键． 【详解】解：A．∵件单价为元的商品总价为元，总钱数为元， ∴剩余钱数为元， 故该选项中赋予实际意义的例子正确，不符合题意； B．∵长方形周长公式为， ∴当周长时，长+宽， ∵一边长为， ∴另一边长应为， 故该选项中赋予实际意义的例子不正确，符合题意； C．∵总人数为人，老师把女生分为组，每组人，则女生人数为人， ∴男生人数为人， 故该选项中赋予实际意义的例子正确，不符合题意； D．∵总路程为50公里，一辆汽车以每小时公里的速度行驶了小时，则已行驶路程为公里， ∴剩余路程为公里， 故该选项中赋予实际意义的例子正确，不符合题意． 故选：B． 【变式题3-3】.（25-26七年级上·河北保定·期末）对代数式的意义表述正确的是（    ） A．a减去b的平方的差 B．a与b差的平方 C．a与的平方之和 D．a的平方与b的平方的差 【答案】A 【分析】本题主要考查了代数式表示的意义，正确理解代数式表示的意义是关键．根据代数式表示的意义应为“a减去b的平方的差”，据此即可解答． 【详解】解：由题意得，代数式表示的意义应为“a减去b的平方的差”． 故选：A． 【题型4】识别单项式、多项式、整式 1.核心知识点 　　单项式、多项式、整式的定义与判别。 2.解题方法技巧 　　①由数与字母积判断单项式； 　　②几个单项式之和为多项式； ③单项式、多项式统称整式，注意分母含字母的不是整式。 【例题4】.（26-27七年级上·全国·单元复习）下列代数式哪些是单项式？哪些是多项式？哪些是整式？请写出相应的序号． ①；②；③；④0；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨． 【答案】单项式：③④⑨；多项式：①②⑤；整式：①②③④⑤⑨． 【分析】根据单项式、多项式和整式定义进行判断即可． 【详解】解：单项式有：③；④0；⑨； 多项式有：①；②；⑤； 整式有：①；②；③；④0；⑤；⑨． 【变式题4-1】.（26-27七年级上·全国·课后作业）下列代数式，，，，，，中，多项式有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【详解】解：、、、为单项式； 分母含字母，不是整式，不属于多项式， 、为多项式，故有2个． 【变式题4-2】.（25-26七年级上·河南开封·期末）在代数式，中，整式有（   ） A．7个 B．6个 C．5个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了整式的定义，熟练掌握整式的定义（分母中不含字母）是解题的关键．本题需根据整式的定义（整式为单项式和多项式的统称，分母中不含字母），逐一判断每个代数式是否为整式，统计符合条件的个数即可． 【详解】解：整式是单项式与多项式的统称，且整式的分母中不含字母， 对各代数式判断如下： 是多项式，属于整式； 是多项式，属于整式； 是单独的常数，属于单项式，是整式； 分母含字母，不是整式； 中分母含字母，不是整式； 是单独的常数，属于单项式，是整式； 是单项式，属于整式； 综上，整式共有5个． 故选：C． 【变式题4-3】.（25-26六年级上·山东烟台·期末）在代数式，，，，，中，整式有（  ）． A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【分析】本题考查整式的辨认，掌握好整式的定义是关键． 根据整式的定义（整式包含单项式与多项式，且分母中不含字母），逐个判断所给代数式是否为整式，统计符合条件的个数即可． 【详解】解：∵整式是分母不含字母的单项式和多项式， ∴对各代数式逐一判断：①可化为，是多项式，属于整式；②是单项式，属于整式；③中是常数，该式是多项式，属于整式；④分母含字母，是分式，不属于整式；⑤是单独的常数，属于单项式，是整式；⑥分母含字母，是分式，不属于整式； 综上，整式共有4个． 故选：B． 【题型5】求单项式的系数与次数 1.核心知识点 　　单项式的系数（数字因数）与次数（字母指数和）。 2.解题方法技巧 　　①系数含符号，不含字母； 　　②次数是所有字母指数之和，不含数字因数指数； ③常数项的次数为 0，勿漏指数为 1 的字母。 【例题5】.（26-27七年级上·黑龙江大庆·阶段检测）单项式的系数和次数分别是（） A．，5 B．3，5 C． ，6 D． ，3 【答案】A 【详解】解：单项式的数字因数是，所以系数是； 所有字母指数的和是，所以次数是5． 【变式题5-1】.（26-27七年级上·新疆·期中）单项式 的系数和次数分别是（      ） A．﹣5和9 B．和9 C．和4 D．和10 【答案】D 【分析】本题考查单项式的系数和次数概念．系数是单项式中的数字因数（注意负号），次数是所有字母指数之和．需逐一计算字母的指数并求和，同时注意系数不要遗漏符号和分母． 【详解】解：单项式为 ，数字因数为 ，所以系数是 ． 字母为 ，指数分别为 （注意 的指数为 1），所有指数和为 ，所以次数是 10． 故选：． 【变式题5-2】.（26-27七年级上·四川·期中）单项式的系数是___________，次数是___________． 【答案】 3 【分析】根据单项式的系数是单项式中的数字因数，包括符号；次数是所有字母的指数之和，进行求解即可． 【详解】单项式的数字因数为，即系数是； 字母和的指数分别为2和1，其和为，即次数是3． 【变式题5-3】.（26-27七年级上·全国·课后作业）下列说法正确的是（     ） A．单项式的系数是 B．单项式的次数是6 C．单项式的系数是，次数是2 D．是单项式 【答案】A 【详解】解：A选项：单项式的数字因数为，即系数是，说法正确； B选项：单项式的字母指数和为，次数是4，原说法错误； C选项：单项式的数字因数为，即系数是，原说法错误； D选项：是两个单项式的和，属于多项式，不是单项式，原说法错误． 【题型6】求多项式的项与次数 1.核心知识点 　　多项式的项、常数项、次数（最高次项的次数）。 2.解题方法技巧 　　①按“＋、－”号拆成各项，含符号； 　　②比较各项次数取最大值； ③不含字母的项为常数项。 【例题6】.（25-26七年级上·广东·阶段检测）多项式的次数和常数项分别是（     ） A．3， B．3，7 C．4， D．2， 【答案】A 【分析】根据多项式次数、项数及常数项的定义即可求解． 【详解】多项式次数取各项次数最大值，、次数均为3，故次数为3；常数项是不含字母的项． 【变式题6-1】.（26-27七年级上·陕西·期中）下列说法中，正确的是（     ） A．的次数为5 B．多项式的一次项是 C．单项式没有系数 D．多项式是二次三项式 【答案】D 【分析】单项式的系数与次数的定义：单项式的系数是指单项式中的数字因数，次数是指所有字母指数的和．多项式的相关定义：几个单项式的和叫做多项式，多项式中的每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高项次数，就是这个多项式的次数，其中多项式中不含字母的项叫做常数项． 【详解】解：A. 的次数为4，故本选项不符合题意； B. 多项式的一次项是，故本选项不符合题意； C. 单项式的系数是1，故本选项不符合题意； D. 多项式是二次三项式，故本选项符合题意． 【变式题6-2】.（21-22七年级上·河南焦作·期中）如果是关于x，y的四次三项式，那么（     ） A． B．或3 C．3 D． 【答案】A 【详解】解：∵是关于，的四次三项式 ∴，， 解得或，， ∴． 【变式题6-3】.（25-26七年级上·河南南阳·期末）已知多项式是关于的二次三项式，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了求一个数的绝对值，多项式的项、项数或次数，多项式系数、指数中字母求值等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 根据二次三项式的定义，最高次项次数为且项数为，因此需满足且，以此求解即可． 【详解】解：∵多项式是关于的二次三项式， ∴最高次项指数， 解得：或， ∵第二项系数， ∴， ∴， 故答案为：． 【培优高频题型】 【题型 7】多项式按指定字母升幂降幂排列 1. 核心知识点 　多项式升幂、降幂排列概念；移动多项式项时符号处理。 2. 解题方法技巧 　①确定排列依据的字母，只看该字母的指数； 　②升幂：指数从小到大；降幂：指数从大到小； 　③挪动项必须连带项前面正负号一起移动。 【例题7】.（26-27七年级上·上海·阶段检测）多项式按字母的升幂排列为________． 【答案】 【分析】按字母的升幂排列，就是将多项式各项按的指数从小到大重新排列，保留各项原有符号即可得到结果． 【详解】解：先确定原多项式各项中字母的指数， 项中，的指数为 项中，的指数为 项中，的指数为 项中，的指数为 按的指数从小到大排列各项，得到最终结果为：． 【变式题7-1】.（26-27七年级上·上海闵行·阶段检测）把多项式按照字母升幂排列时，从左到右第二项是：_____． 【答案】 【详解】解：把多项式按照字母升幂排列为， 即从左到右第二项是． 【变式题7-2】.（26-27七年级上·全国·课后作业）把多项式重新排列： (1)按x的降幂排列； (2)按y的降幂排列． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）按x的降幂排列，即按照各单项式中x的指数从大到小的顺序排列单项式． （2）按y的降幂排列，即按照各单项式中y的指数从大到小的顺序排列单项式． 【详解】（1）解：中x的指数为4，中x的指数为0，中x的指数为3，中x的指数为1，中x的指数为2；按x的指数4、3、2、1、0的顺序排列各单项式，得到结果：． （2）中y的指数为0，中y的指数为4，中y的指数为1，中y的指数为2，中y的指数为3；按y的指数4、3、2、1、0的顺序排列各单项式，得到结果：． 【变式题7-3】.（25-26七年级下·北京延庆·期中）把多项式按字母降幂排列为___________． 【答案】 【分析】本题考查多项式的降幂排列，将多项式各项按某个字母的指数从大到小的顺序排列，称为按这个字母的降幂排列，排列时需保留各项原有的符号． 【详解】解：∵多项式的项为，，，， ∴按字母降幂排列为． 【题型8】列代数式 1.核心知识点 　　把数量关系用代数式表示。 2.解题方法技巧 　　①分析题目中的数量关系与关键词； 　　②设字母，按“先读先写”顺序列式； ③遵循书写规范整理结果。 【例题8】.（26-27七年级上·全国·课后作业）设圆锥的高为，底面半径为，体积为． (1)写出圆锥体积的公式； (2)若圆锥的高为，底面半径为，求圆锥的体积．（取3.14，结果精确到0.01） 【答案】(1) (2)圆锥的体积约是 【分析】（1）直接回忆圆锥体积的标准公式，明确公式中对应高、底面半径的变量即可． （2）首先确定已知的高和底面半径的数值，以及给定的π的取值，将数值代入圆锥体积公式中．按照运算优先级计算式中各部分的数值，最后根据精确到0.01的要求对计算结果进行四舍五入处理． 【详解】（1）解：圆锥体积公式． （2）解：． 答：圆锥的体积约是． 【变式题8-1】.（26-27七年级上·全国·课后作业）列出单项式，并指出它们的系数和次数． (1)某班的女生人数为，男生人数是女生人数的，则该班的男生人数为多少？ (2)某班学生按每行人、每列人排列座次且坐满，则该班的学生人数为多少？ 【答案】(1)男生人数为，它的系数是，次数是1． (2)该班的学生人数为，它的系数是1，次数是2． 【分析】先根据题意列出单项式，再根据“单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数；一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数”，指出这个单项式的系数和次数即可． 【详解】（1）略 （2）略 【变式题8-2】.（26-27七年级上·全国·课后作业）如图，长方形的宽，两个空白处分别是半径为，的四分之一圆． (1)用含字母，的代数式表示阴影部分的面积； (2)当，，取时，求阴影部分的面积． 【答案】(1) (2)阴影部分的面积为． 【分析】（1）观察图形可知：阴影部分的面积可表示为长方形的面积减去半径为的四分之一圆面积，再减去半径为的四分之一圆面积，代入字母表示即可； （2）把，，取，代入含字母，表示的阴影部分面积 ，再计算即可． 【详解】（1）解：∵长方形的宽，两个空白处分别是半径为，的四分之一圆， ∴， 即阴影部分的面积为：； （2）当，，取时， ． 答：阴影部分的面积为． 【变式题8-3】.（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，已知等腰中，，，点是延长线上一点，过点作（点，在直线的同侧），使，求的面积（用含的式子表示）． 【答案】 【分析】根据计算即可解答． 【详解】解：∵是等腰直角三角形，， ∴， ∵，，， ∴， ， ∴ ． 【题型9】整体代入求代数式的值 1.核心知识点 　　已知某代数式的值，整体代入含它的式子。 2.解题方法技巧 　　①识别所求式子中与已知相同的部分； 　　②把已知代数式的值整体代入； ③结合系数、常数整理求值。. 【例题9】.（2026·浙江湖州·二模）已知，则_____． 【答案】11 【分析】先将所求代数式变形，提取公因式后，把已知等式整体代入计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴ 【变式题9-1】.（2026·海南海口·二模）已知，则代数式的值是（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 【变式题9-2】.（2026·重庆·模拟预测）已知，则代数式的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据已知等式整理出的值，再将所求代数式变形后整体代入计算即可． 【详解】解：， 则， 故． 【变式题9-3】.（2026·广东茂名·一模）已知，则代数式的值是______． 【答案】5 【分析】先将已知等式移项变形得到的值，再代入计算即可． 【详解】解： ∴ ． 【压轴素养题型】 【题型10】规律型：数字与图形的变化类 1.核心知识点 　　从数字序列、图形排列中归纳含 n 的代数式。 2.解题方法技巧 　　①观察相邻项差、倍数、符号、图形数量变化； 　　②用 n 表示一般规律并验证； ③由特殊到一般归纳。 【例题10】.（2026·浙江宁波·二模）我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项式的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”． 根据“杨辉三角”请计算的展开式中从左起第三项的系数为________． 【答案】66 【分析】根据题意，分析展开式中从左起第三项的系数的变化规律，可得的第三项系数为，据此即可获得答案． 【详解】解：根据题意，可知的第三项系数为； 的第三项系数为； 的第三项系数为； ∴的第三项系数为， ∴的展开式中从左起第三项的系数为． 【变式题10-1】.（2026·云南昭通·一模）按一定规律排列的代数式：，，，，，第个代数式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题为规律探究题，分别找出系数和a的指数随序号n的变化规律，归纳即可得到结果． 【详解】解：对给出的代数式分别整理系数和指数： 当时，代数式为，系数，的指数为； 当时，代数式为，系数，的指数为； 当时，代数式为，系数，的指数为； 当时，代数式为，系数，的指数为； 归纳可得，第个代数式的系数为，的指数为，因此第个代数式是． 【变式题10-2】.（25-26七年级下·重庆·期中）用三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图形共有4个三角形，第②个图形共有9个三角形，第③个图形共有14个三角形，…，按照这一规律，第⑨个图形中三角形的个数为（   ） A．45 B．44 C．47 D．42 【答案】B 【分析】先分别确定第①，②，③图形中三角形的个数，即可得出数字变化特点，再根据规律解答． 【详解】解：第①个图形共有4个三角形； 第②个图形共有个三角形； 第③个图形共有个三角形； 第④个图形共有个三角形， 第⑨个图形共有个三角形． 【变式题10-3】.（2026·河南漯河·一模）观察下列一组代数式：，根据该组代数式的排列规律，可推断出第（为正整数）个代数式是_____． 【答案】 【分析】根据题意分别找出分子和分母的排列规律即可解题． 【详解】解：观察这组代数式的分子部分，依次为 ， 因此第个代数式的分子为， 观察这组代数式的分母部分，依次为 ，是连续奇数， 因此第个代数式的分母为， 因此第个代数式是． 【题型11】程序流程图与新定义运算求值 1.核心知识点 　　按程序框图、新定义运算规则求代数式的值。 2.解题方法技巧 　　①读懂流程图的运算顺序与分支条件； 　　②按新定义符号代入规则计算； ③满足条件才输出，否则继续循环。 【例题11】.（25-26七年级上·湖北孝感·期中）如图，是一个运算程序的示意图，若开始输入的值为，则第次输出的结果为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了代数式的求值和有理数的计算，根据题目给出的程序运算图找出输出结果的规律是解决本题的关键． 根据运算程序，第一次运算结果为125，第二次运算结果为25，第三次运算结果为5，第四次运算结果为1，…发现规律从第三次开始每两次为一个循环，再根据题目所给625的次运算即可得出答案． 【详解】解：第一次运算结果为：； 第二次运算结果为：； 第三次运算结果为：； 第四次运算结果为：； 第五次运算结果为：； 第六次运算结果为：； … 由此可得出运算结果从第三次开始为和循环，奇数次运算结果为，偶数次运算结果为，因为为奇数，所以运算结果为， 故选B． 【变式题11-1】.（25-26七年级上·广东梅州·期末）如图所示的运算程序中，若开始输入x的值为4，则第2025次输出的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查规律探究，根据程序逐次运算，找准规律是解决问题的关键．按照题中运算程序逐次运算，找准规律为每6个循环，由，结合规律求解即可得到答案． 【详解】解：第一次：，为偶数，则； 第二次：，为偶数，则； 第三次：，为奇数，则； 第四次：，为偶数，则； 第五次：，为偶数，则； 第六次：，为奇数，则； 第七次：，为偶数，则； 第八次：，为奇数，则； 第九次：，为偶数，则； 第十次：，为偶数，则； 第十一次：，为偶数，则； 第十二次：，为奇数，则； 第十三次：，为偶数，则； 第十四次：，为奇数，则； 综上所述，程序运算满足规律是：每6个循环， ， 则第2025次输出的结果是， 故选：B． 【变式题11-2】.（26-27六年级上·山东淄博·阶段检测）对于任意有理数a，b定义一种新运算：， (1)若，求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2)16 【分析】（1）根据新运算的定义，代入计算，即可得答案； （2）根据新运算的定义，先计算，再计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ； （2）解：∵， ∴， ， ∴． 【变式题11-3】.（25-26七年级上·陕西安康·期末）对于有理数m、n，定义一种新运算☆：．例如：． (1)求的值； (2)已知x是绝对值为1的负整数，y是单项式的次数，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了定义新运算、有理数的混合运算，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据新运算法则，进行计算即可； （2）由题意可知，，根据新运算法则，先求，再计算即可． 【详解】（1）解：； （2）根据题意可知，，， ， ． 【题型12】实际问题与几何图形中的代数式求值 1.核心知识点 　　结合面积、周长等几何量与生活情境列代数式并求值。 2.解题方法技巧 　　①根据几何公式或数量关系列代数式； 　　②代入字母值求面积、周长、费用等； 　　③阴影部分转化为面积和差，比较方案合理性。 【例题12】.（26-27七年级上·全国·课后作业）声音在干燥空气中传播的速度随着温度的变化而变化，当温度为时，声音的传播速度（单位：）大约是，求温度分别为和时声音的传播速度． 【答案】 温度为时声音的传播速度为，温度为时声音的传播速度为 【详解】解：由题意，温度为时，声音的传播速度为， 当时， ； 当时， 答：温度为时声音的传播速度为，温度为时为． 【变式题12-1】.（25-26七年级上·广西百色·期末）某中学为丰富学生体育活动，决定购置一批篮球．计划每个班级分配4个篮球，学校另外留存10个篮球用于校级比赛和公共借用．设全校班级总数为（为正整数）． (1)请用含的代数式表示学校需要购置的篮球总数； (2)现学校有18个班级，需要购置多少个篮球？（请写出计算过程） (3)请结合题意，说明（1）中代数式的数字4和10在实际问题中分别表示什么含义． 【答案】(1) (2)82个 (3) 解：数字4表示：每个班级分配到的篮球个数（或每班分配4个篮球）； 数字10表示：学校额外留存的篮球个数（或学校另留10个篮球作为公用）． 【分析】本题主要考查了列代数式和代数式求值，正确理解题意是解题的关键． （1）用班级数乘以每个班级分配的数量，再加上10即可得到答案； （2）把代入（1）所求的式子中计算求解即可． （3）数字4表示：每个班级分配到的篮球个数；数字10表示：学校额外留存的篮球个数． 【详解】（1）解：学校需要购置的篮球总数为：个． （2）解：当时， ． 答：需要购置82个篮球． （3）略 【变式题12-2】.（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）有长为的篱笆，利用它和房屋的一面墙围成如图形状的长方形园子，中间有一道篱笆隔开，园子的宽为． (1)用关于、的代数式表示园子的面积． (2)当米，米时，求园子的面积． 【答案】(1) (2)625平方米． 【分析】本题考查列代数式，代数式求值，正确列出代数式是解题的关键． （1）根据图形，表示出园子的长即可解答； （2）代入（1）中式子即可解答． 【详解】（1）解：园子的长可表示为， 园子的面积是． （2）解：当，时， （平方米）． 答：园子的面积是625平方米． 【变式题12-3】.（25-26七年级下·河南新乡·期末）某商店出售羽毛球拍和羽毛球，羽毛球拍每副定价元，羽毛球每筒定价元，促销期间有两种付费方式：：买副羽毛球拍赠送筒羽毛球；：羽毛球拍和羽毛球都按定价的九折付费．某球队打算在该商店购买副羽毛球拍和筒羽毛球． (1)用含的代数式表示出该球队按两种方式分别需付的金额； (2)当时，按哪种方式付费更划算？ 【答案】(1)该球队按方式买需付元，按B方式买需付元 (2)按方式付费更划算 【分析】本题主要考查了列代数式和代数式求值，正确理解题意是解题的关键． （1）根据所给的优惠方案列式求解即可； （2）把代入（1）所求的两个代数式中，计算出两种方式的费用，比较即可得到结论． 【详解】（1）解：：（元）． ：（元）． 答：该球队按方式买需付元，按方式买需付元． （2）解：当时，（元）． （元）． ， 按方式付费更划算． 易错点 1、把含等号、不等号的式子误当代数式。 2、代数式书写未省略乘号、带分数未化假分数、除法未写成分数。 3、列代数式时运算顺序错误，“和平方”与“平方和”混淆。 4、求系数、次数时漏负号或漏指数为 1 的字母。 5、代入求值时未加括号，负号、乘方处理错误。 6、程序、新定义问题中运算顺序或分支判断错误。 重点 1、理解代数式的意义与书写规范。 2、会列代数式并表示实际意义。 3、掌握求代数式的值的方法（直接、整体、非负性）。 4、理解单项式、多项式、整式及系数、次数、项。 难点 1、列代数式中数量关系的准确转化。 2、整体代入与非负性求值。 3、识别整式、求系数次数中的细节判断。 4、规律探究、程序、新定义、实际几何综合求值。 【对应练习题】 一、单选题 1．下列说法中，正确的是（    ） A．单项式的系数是 B．多项式是二次三项式 C．整式就是多项式 D．单项式的次数是0 【答案】B 【详解】解：单项式的系数是，A选项错误； 多项式是二次三项式，B选项正确； 整式包括单项式和多项式两类，C选项错误； 单项式的次数是3，D选项错误． 故选：B． 2．若，则的值为（     ） A． B． C． D．1 【答案】C 【详解】解：∵，而， ∴， 即， ∴. 3．若互为相反数，互为倒数，既不是正数也不是负数，则的值为（     ） A．0 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】由题意得到，，，代入式子即可求解． 【详解】解：∵互为相反数，互为倒数，既不是正数也不是负数， ∴，，， ∴． 二、填空题 4．若互为倒数，互为相反数，则______． 【答案】 【分析】根据互为倒数和互为相反数的定义，得到，，代入算式即可得到答案． 【详解】解：∵互为倒数，互为相反数， ∴，， ∴． 5．多项式的各项系数之积为__________． 【答案】3 【详解】解：多项式的各项系数之积为： . 6．将多项式按照字母的降幂排列，结果为_______． 【答案】 【分析】确定各项中字母的次数，按的次数从大到小排列即可． 【详解】解：多项式各项中字母的次数分别为，，，， ∴按字母的降幂排列为：． 三、解答题 7．若互为相反数，，求的值． 【答案】或． 【分析】利用相反数的定义得出，又，则，进而分类讨论即可得出答案． 【详解】解：∵，互为相反数， ∴， ∵， ∴， 则， 当时，； 当时，； ∴的值为或． 8．已知，，，求的值． 【答案】的值为或 【分析】先通过绝对值求出字母的值，然后根据条件选取字母的值，最后代入求值即可． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵， ∴或， 当时， ； 当时， ； 综上，的值为或． 9．请根据下面的对话解答下列问题． 我不小心把老师留的作业题弄丢了，只记得式子是 我告诉你：“a的相反数是3，b的绝对值是7，c与b的和是” 这时数学老师笑着补充说：“a和b的符号相同哦！” (1) ， ， ； (2)求的值． 【答案】(1) (2)2022 【分析】（1）只有符号不同的两个数互为相反数，正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，据此结合a和b的符号相同求出a、b的值，则可求出c的值； （2）根据（1）所求代值计算即可． 【详解】（1）解：∵a的相反数是3，b的绝对值是7， ∴， ∵a和b的符号相同， ∴， ∵c与b的和是， ∴； （2）解：∵，，， ∴． 10．七年级学生在3名教师的带领下去公园冬游，公园的门票为每人24元．现有两种收费方案，甲方案：带队教师免费，学生按八折收费；乙方案：师生都按七五折收费． (1)若有名学生，用代数式表示两种方案需要的费用； (2)当时，采用哪种方案较划算？ 【答案】(1)甲方案：元，乙方案：元 (2)乙方案更优惠 【分析】本题主要考查了列代数式，已知字母的值，求代数式的值，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题意用代数式分别表示甲、乙方案即可； （2）将的取值分别代入求得甲、乙方案的价格，再进行比较即可． 【详解】（1）解：甲方案：（元）， 乙方案：（元）， 答：甲方案需要元，乙方案需要元； （2）解：当时， 甲方案：（元）， 乙方案：（元）， ， 乙方案更优惠． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $