2026-2027学年鲁教版（五四制）七年级数学上册期中测试卷

2026-2027鲁教版七年级数学上学期期中测试卷 一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分） 1．下列数学经典图形中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2.已知三角形三条边的长分别为3、5、x，则x的值可能是（　　） A．2 B．5 C．8 D．11 3．在△中，满足下面的条件时，是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 4．下列说法正确的是（   ） A．三角形的三条高相交于一点 B．有两角及一组边分别相等的两个三角形全等 C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．任意一张纸片，只通过折叠的方式可以折出互相平行的直线（即折痕平行） 5．（4分）如图，等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上一点，若AE＝2，当EF+CF取得最小值时，则∠ECF的度数为（　　） A．15° B．22.5° C．30° D．45° 6．如图，AB＝AC，AE＝AD，点E在BD上，∠EAD＝∠BAC，∠BDC＝56°，则∠ABC的度数为（　　） A．56° B．60° C．62° D．64° 7．如图所示，是的角平分线，于点D，若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 8．《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（读kǔn，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1、2（图2为图1的平面示意图），推开双门，双门间隙CD的距离为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺（1尺＝10寸），则AB的长是（　　） A．50.5寸 B．52寸 C．101寸 D．104寸 9．如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中AB＝9，BC＝6，BF＝5，点M在棱AB上，且AM＝3，点N是FG的中点，一只蚂蚁沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程为（　　） A．10 B． C． D．9 10．已知AB＝10，AC＝6，BD＝8，其中∠CAB＝∠DBA＝α，点P以每秒2个单位长度的速度，沿着C→A→B路径运动．同时，点Q以每秒x个单位长度的速度，沿着D→B→A路径运动，一个点到达终点后另一个点随即停止运动．它们的运动时间为t秒． ①若x＝1，则点P运动路程始终是点Q运动路程的2倍； ②当P、Q两点同时到达A点时，x＝6； ③若α＝90°，t＝5，x＝1时，PC与PQ垂直； ④若△ACP与△BPQ全等，则x＝0.8或． 以上说法正确的选项为（　　） A．①③ B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分） 11．定义：有两个内角的差为的三角形叫做“反直角三角形”．如图，在中，，，，点为边上一点（含端点、），若为“反直角三角形”，则_____． 12.如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中，．若连接，则的值是___________． ． 13．如图，，连接，若，则图中阴影部分的面积为_______. 14. 在中，，，，点，分别在边，上运动，则的最小值为_____________. 15．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点D在边AB上，AD＝AC，AE⊥CD，垂足为F，与BC交于点E，则BE的长是 　　 ． 三、解答题（共8小题，共90分。请写出必要的解答过程。） 16．三月三，放风筝．如图所示是小明制作的风筝，他根据DE＝DF，EH＝FH，不用度量，就知道∠DEH＝∠DFH．请你用所学知识给予证明． 17．如图，在直角坐标系中，A（﹣1，5），B（﹣3，0），C（﹣4，3）． （1）在图中作出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1； （2）写出点A1，B1，C1的坐标； （3）求△ABC的面积． 18.中，，是边上的高，是的角平分线，若，则为多少度？ 19．小望和小岳学习了“勾股定理”之后，为了得到风筝的垂直高度CE的长，他俩合作进行了如下操作： ①用皮尺测得AE的长为15米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线（线段BC）的长为25米； ③小望拉风筝的手到地面的距离（线段AB的长）为1.5米． （1）求风筝的垂直高度（线段CE的长）； （2）如果小望想使风筝沿CE下降12米到F处，求他应该往回收线多少米？ 20.如图，在中，是高，是角平分线，它们相交于点，． (1)的度数为_______； (2)若，求的度数． 21．已知，△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F． （1）如图1，求证：EF＝AE+BF； （2）如图2，当直线EF穿过△ABC的内部且BF＞AE时，请探索线段EF，AE，BF之间的数量关系，并说明理由； （3）在（2）的条件下，若BF＝3AE，EF＝4，求△BFC的面积． 22．如图，，． （1）与垂直吗？ （2）请利用这个图形验证勾股定理． 23．如图1，在中，，若，则有，利用以上结论解决问题： 如图2，等边的边长为，动点P从B出发，以每秒的速度向终点A运动，动点Q从点A出发，以每秒的速度向终点C运动，两动点同时出发，当动点P到达终点A时，动点Q也随之停止运动．设动点P的运动时间为t秒． (1)填空：＝________度；t的取值范围是________； (2)当时，t为多少秒时，是等边三角形； (3)当时，t为多少秒时，是直角三角形． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027鲁教版七年级数学上学期期中测试卷 一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分） 1．下列数学经典图形中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【解析】解：A、图形不是对称图形，不符合题意； B、图形不是对称图形，不符合题意； C、图形不是对称图形，不符合题意； D、图形是对称图形，符合题意． 故选：D． 2.已知三角形三条边的长分别为3、5、x，则x的值可能是（　　） A．2 B．5 C．8 D．11 【解答】解：由三角形三边关系定理得到：5﹣3＜x＜5+3， ∴2＜x＜8， ∴x的值可能是5． 故选：B． 3．在△中，满足下面的条件时，是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【解析】解：A、在中，∵， ∴， ∴不是直角三角形；此项错误； B、∵， ∴，，， ∴， ∴不是直角三角形；此项错误； C、∵， 设，，， ∴，，， ∴， ∴不是直角三角形；此项错误； D、∵， 设，，， ∴， ∴， 解得： ∴， ∴是直角三角形；此项正确； 故选：D． 4．下列说法正确的是（   ） A．三角形的三条高相交于一点 B．有两角及一组边分别相等的两个三角形全等 C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．任意一张纸片，只通过折叠的方式可以折出互相平行的直线（即折痕平行） 【解析】解：A、三角形的三条高所在的直线相交于一点，原说法错误，不符合题意； B、有两角及一组边对应相等的两个三角形全等，原说法错误，不符合题意； C、同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原说法错误，不符合题意； D、任意一张纸片第一次可任意折叠可得到一条折痕，在折痕上任取不重合的两点，折叠纸片使所取的两点重合，那么第一条折痕和第二条折痕垂直，再在第二条折痕上取不重合的两点，同理可作出第三条折痕与第二条折痕垂直，则第一条折痕与第三条折痕平行，原说法正确，符合题意； 故选：D． 5．（4分）如图，等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上一点，若AE＝2，当EF+CF取得最小值时，则∠ECF的度数为（　　） A．15° B．22.5° C．30° D．45° 【解析】解： 过E作EM∥BC，交AD于N， ∵AC＝4，AE＝2， ∴EC＝2＝AE， ∴AM＝BM＝2， ∴AM＝AE， ∵AD是BC边上的中线，△ABC是等边三角形， ∴AD⊥BC， ∵EM∥BC， ∴AD⊥EM， ∵AM＝AE， ∴E和M关于AD对称， 连接CM交AD于F，连接EF， 则此时EF+CF的值最小， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ACB＝60°，AC＝BC， ∵AM＝BM， ∴∠ECF∠ACB＝30°， 故选：C． 6．如图，AB＝AC，AE＝AD，点E在BD上，∠EAD＝∠BAC，∠BDC＝56°，则∠ABC的度数为（　　） A．56° B．60° C．62° D．64° 【解析】解：设AC与BD相交于点O，如图所示： ∵∠EAD＝∠BAC， ∴∠BAE+∠EAC＝∠EAC+∠CAD， ∴∠BAE＝∠CAD， 在△BAE和△CAD中， ， ∴△BAE≌△CAD（SAS）， ∴∠ABE＝∠ACD， ∵∠BOC是△ABO和△CDO的外角， ∴∠BOC＝∠ABE+∠BAC＝∠ACD+∠BDC， ∵∠BDC＝56°， ∴∠BAC＝∠BDC＝56°， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB（180°﹣∠BAC）（180°﹣56°）＝62°． 故选：C． 7．如图所示，是的角平分线，于点D，若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【解析】解：是的角平分线，， ， 于点D，， ， ； 故选：C． 8．《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（读kǔn，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1、2（图2为图1的平面示意图），推开双门，双门间隙CD的距离为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺（1尺＝10寸），则AB的长是（　　） A．50.5寸 B．52寸 C．101寸 D．104寸 【解析】解：取AB的中点O，过D作DE⊥AB于E，如图2所示： 由题意得：OA＝OB＝AD＝BC， 设OA＝OB＝AD＝BC＝r寸， 则AB＝2r（寸），DE＝10（寸），OECD＝1（寸），AE＝（r﹣1）寸， 在Rt△ADE中，AE2+DE2＝AD2， 即（r﹣1）2+102＝r2， 解得：r＝50.5， ∴2r＝101（寸）， ∴AB＝101寸， 故选：C． 9．如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中AB＝9，BC＝6，BF＝5，点M在棱AB上，且AM＝3，点N是FG的中点，一只蚂蚁沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程为（　　） A．10 B． C． D．9 【解答】解：如图1， ∵AB＝9，BC＝6，BF＝5， ∴BM＝9﹣3＝6，BN＝5+3＝8， ∴； 如图2， ∵AB＝9，BC＝GF＝6，BF＝5， ∴PM＝9﹣3+3＝9，NP＝5， ∴， ∵10， ∴它需要爬行的最短路程为10； 故选：A． 10．已知AB＝10，AC＝6，BD＝8，其中∠CAB＝∠DBA＝α，点P以每秒2个单位长度的速度，沿着C→A→B路径运动．同时，点Q以每秒x个单位长度的速度，沿着D→B→A路径运动，一个点到达终点后另一个点随即停止运动．它们的运动时间为t秒． ①若x＝1，则点P运动路程始终是点Q运动路程的2倍； ②当P、Q两点同时到达A点时，x＝6； ③若α＝90°，t＝5，x＝1时，PC与PQ垂直； ④若△ACP与△BPQ全等，则x＝0.8或． 以上说法正确的选项为（　　） A．①③ B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【解析】解：①若x＝1，即点P的速度时点Q的2倍，故点P运动路程始终是点Q运动路程的2倍，正确，符合题意； ②点P到达A的时间为：6÷2＝3，当x＝6时，点Q到达点A的时间为：（8+10）÷6＝3，故②正确，符合题意； ③若α＝90°，t＝5，x＝1时，如图， 假设AC：AP＝PB：BQ， ∵∠A＝∠B＝α， ∴△APC∽△BQP， ∴∠CPA＝∠PQB， 而∠PQB＝∠QPB＝90°， ∴∠CPA+∠QPB＝90°， 即CP⊥PQ， 而此时，AC＝6，则AP＝5×2﹣6＝4，则PB＝AB﹣AP＝6， 而DQ＝1×5＝5，则BQ＝8﹣5＝3， 则AC：AP＝3：2，PB：BQ＝2：1， 故AC：AP≠PB：BQ， 故③错误，不符合题意； ④由题意得，AP＝2t﹣6，则PB＝10﹣（2t﹣6）＝16﹣2t，QD＝xt，则BQ＝8﹣xt， 若△ACP与△BPQ全等， 则AC＝PB且AP＝BQ或AC＝BQ且AP＝BP， 即6＝16﹣2t且2t﹣6＝8﹣xt或6＝8﹣xt且2t﹣6＝16﹣2t， 解得：x＝0.8或， 故④正确，符合题意， 故选：C． 二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分） 11．定义：有两个内角的差为的三角形叫做“反直角三角形”．如图，在中，，，，点为边上一点（含端点、），若为“反直角三角形”，则_____． 【解析】解：∵，， ∴， 若为“反直角三角形”， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 即， ∴； 当时，， ∵， ∴点与点重合， 此时； 当时，， ∵， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴点与点重合， 此时； 综上可知，或， 故答案为：或． 12.如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中，．若连接，则的值是___________． 【解析】解：如图， 在中，用勾股定理可得到， 由题意可知，四个直角三角形全等， ∴，， 同理，可得， ∴在中，应用勾股定理得到： ． 13．如图，，连接，若，则图中阴影部分的面积为_______. 【解析】解：∵，， ∴，，， ∴，即， ∵， ∴， 又∵， ∴图中阴影部分的面积等于， 14. 在中，，，，点，分别在边，上运动，则的最小值为_____________. 【解析】解：如图，作点关于直线的对称点，连接， ，  ，  ∵点，关于直线对称，  ，，，  ，，三点共线， ∴， ∵， ， 根据垂线段最短可知，当点三点共线且时，的值最小，最小值即为垂线段的长，如图，连接， ∵在中，，，， ∴， ，  ， ， ∴的最小值为． 15．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点D在边AB上，AD＝AC，AE⊥CD，垂足为F，与BC交于点E，则BE的长是 　　 ． 【解析】解：连接DE， ∵AD＝AC，AE⊥CD， ∴AE是CD的垂直平分线， ∴CE＝DE， ∴∠ADE＝∠ACB＝90°， 在Rt△ABC中，由勾股定理得： AB， ∴BD＝AB﹣AD＝2， ∴S△ABC＝S△ACE+S△ABE， ∴AC×BC＝AC×CE+AB×DE， ∴3×4＝3CE+5DE， ∴DE， 在Rt△BDE中，由勾股定理得： BE， 故答案为：． 三、解答题（共8小题，共90分。请写出必要的解答过程。） 16．三月三，放风筝．如图所示是小明制作的风筝，他根据DE＝DF，EH＝FH，不用度量，就知道∠DEH＝∠DFH．请你用所学知识给予证明． 【解析】证明：连接DH， 在△DEH和△DFH中， ， ∴△DEH≌△DFH（SSS）， ∴∠DEH＝∠DFH． 17．如图，在直角坐标系中，A（﹣1，5），B（﹣3，0），C（﹣4，3）． （1）在图中作出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1； （2）写出点A1，B1，C1的坐标； （3）求△ABC的面积． 【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求； （2）A1（1，5），B1（3，0），C1（4，3）； （3）△ABC的面积为：3×52×51×32×3． 18.中，，是边上的高，是的角平分线，若，则为多少度？ 【解析】解：当点在延长线上时，如图： ∵是的角平分线，， ∴， ∴； 当点在延长线上时，如图： ∵是的角平分线，， ∴， ∴， ∴或， 19．小望和小岳学习了“勾股定理”之后，为了得到风筝的垂直高度CE的长，他俩合作进行了如下操作： ①用皮尺测得AE的长为15米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线（线段BC）的长为25米； ③小望拉风筝的手到地面的距离（线段AB的长）为1.5米． （1）求风筝的垂直高度（线段CE的长）； （2）如果小望想使风筝沿CE下降12米到F处，求他应该往回收线多少米？ 【解析】解：（1）在Rt△CDB中，BC＝25米，BD＝AE＝15米， 由勾股定理得：CD20（米）， ∴CE＝CD+DE＝20+1.5＝21.5（米）， 答：风筝的垂直高度CE为21.5米； （2）如图，由题意可知，CF＝12米， ∴DF＝CD﹣CF＝20﹣12＝8（米）， ∴BF17（米）， ∴BC﹣BF＝25﹣17＝8（米）， 答：他应该往回收线8米． 20.如图，在中，是高，是角平分线，它们相交于点，． (1)的度数为_______； (2)若，求的度数． 【解析】（1）解：∵在中，， ∴， ∵是角平分线，它们相交于点O， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵在中，，， ∴， ∵平分， ∴， ∵是高，即， ∴， ∴． 21．已知，△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F． （1）如图1，求证：EF＝AE+BF； （2）如图2，当直线EF穿过△ABC的内部且BF＞AE时，请探索线段EF，AE，BF之间的数量关系，并说明理由； （3）在（2）的条件下，若BF＝3AE，EF＝4，求△BFC的面积． 【解析】（1）证明：∵∠ACB＝90°， ∴∠ECA+∠FCB＝90°， 又∵AE⊥EF，BF⊥EF， ∴∠AEF＝∠BFC＝90°， ∴∠ECA+∠EAC＝90°， ∴∠FCB＝∠EAC， 在△ACE和△CBF中， ， ∴△ACE≌△CBF（AAS）， ∴AE＝CF，CE＝BF， ∵EF＝EC+CF， ∴EF＝AE+BF； （2）解：EF＝BF﹣AE，理由如下： ∵∠AEC＝∠CFB＝90°，∠ACB＝90°， ∴∠ACE+∠CAE＝∠ACE+∠BCF＝90°， ∴∠CAE＝∠BCF， 又∵∠AEC＝∠CFB＝90°，AC＝BC， ∴△CAE≌△BCF（AAS）， ∴CE＝BF，AE＝CF， ∴EF＝CE﹣CF＝BF﹣AE， 即EF＝BF﹣AE； （3）解：由（2）得EF＝BF﹣AE且BF＝3AE， ∴CE＝3AE， ∵CF＝AE， ∴EF＝2AE， ∵EF＝4， ∴AE＝CF＝2， ∴BF＝6， ∴△BFC的面积CF•BF2×6＝6． 22．如图，，． （1）与垂直吗？ （2）请利用这个图形验证勾股定理． 【解析】（1）解： 证明：， ，， ， ， ， ， ； （2）解：如下图所示，连接、， 设，，， ， ，，， 则， ，，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 23．如图1，在中，，若，则有，利用以上结论解决问题： 如图2，等边的边长为，动点P从B出发，以每秒的速度向终点A运动，动点Q从点A出发，以每秒的速度向终点C运动，两动点同时出发，当动点P到达终点A时，动点Q也随之停止运动．设动点P的运动时间为t秒． (1)填空：＝________度；t的取值范围是________； (2)当时，t为多少秒时，是等边三角形； (3)当时，t为多少秒时，是直角三角形． 【解析】（1）解：∵是等边三角形， ∴，， ∵动点P从点B出发，以每秒的速度向终点A运动，两动点同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动， ∴， 故答案为：60；； （2）解：当时，，则， ∵是等边三角形，则， ∴， 解得，， ∴当t运动10秒时，是等边三角形； （3）解：当时，，则， 由结论可知，当或时，是直角三角形， ①时，， 解得，， ②时，， 解得，， ∴当t为4或10时，是直角三角形 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $