精品解析：甘肃省酒泉市第一中学2025-2026学年九年级数学第一学期期中试卷

九年级数学第一学期自我评估 期中试卷 注意事项： 1、答题前在答题卡填写好自己的姓名、班级、贴好条形码． 2．请将答案正确填写在答题卡上对应位置． 3．答题卡上不得使用胶带、修正带、涂改液． 一、单选题（每小题3分，共10小题，总分30分） 1. 方程x2=x的解是（　　） A. x=1 B. x=0 C. x1=1，x2=0 D. x1=﹣1，x2=0 【答案】C 【解析】 【详解】解：x2-x=0， x（x-1）=0， x=0或x-1=0， ∴x1=0，x2=1． 故选：C． 【点睛】考点：解一元二次方程-因式分解法． 2. 某商品原价为289元，经连续两次降价后售价为256元，设平均每次降价的百分率为，则下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平均增长率问题，设平均每次降价的百分率为，由原价为289元，经连续两次降价后售价为256元，列一元二次方程即可得到答案，读懂题意，掌握平均增长率问题的解法是解决问题的关键． 【详解】解：设平均每次降价的百分率为，由题意可得， 故选：B． 3. 一元二次方程的根的情况是（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 没有实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程的根的判别式得到，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 4. 顺次连接矩形四边的中点所得的四边形是（ ） A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 以上都不对 【答案】B 【解析】 【分析】根据矩形四边的中点，利用三角形中位线性质及矩形的对角线相等证明四条边相等，即可说明四边形是菱形． 【详解】解：连接、， 在中， ∵， ∴， 同理 ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， 故选B． 【点睛】本题主要考查了三角形的中位线定理，矩形的性质，菱形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的判定方法，属于常考题型． 5. 用配方法解方程时，配方后所得的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先把常数项移项，然后在等式的两边同时加上一次项系数的一半的平方即可． 【详解】解：利用配方法如下： ． 故选D． 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法的一般步骤是解题关键． 6. 用频率估计概率，可以发现，抛掷硬币，“正面朝上”的概率为0.5，是指（ ） A. 连续掷2次，结果一定是“正面朝上”和“反面朝上”各1次 B. 连续抛掷100次，结果一定是“正面朝上”和“反面朝上”各50次 C. 抛掷2n次硬币，恰好有n次“正面朝上” D. 抛掷n次，当n越来越大时，正面朝上的频率会越来越稳定于0.5 【答案】D 【解析】 【分析】利用“大量重复试验中，事件发生的频率逐渐稳定到某个常数附近，这个常数可以估计事件发生的概率”． 【详解】解：连续抛掷2n次不一定正好正面向上和反面向上的次数各一半， 故A、B、C错误， 抛掷n次，当n越来越大时，正面朝上的频率会越来越稳定于0.5，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率，解题的关键是掌握利用“大量重复试验中，事件发生的频率逐渐稳定到某个常数附近，这个常数可以估计事件发生的概率”． 7. 如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OA=OC，OB=OD，添加下列条件仍不能判断四边形ABCD是矩形的是（ ） A. OA=OB B. BD平分∠ABC C. AD⊥CD D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据矩形的判定对各选项逐一判断即可得． 【详解】解：∵四边形ABCD中，OA=OC，OB=OD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴， A、OA=OB，可判定四边形ABCD是矩形，故该选项错误； B、∵BD平分∠ABC， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴AD=AB， ∴四边形ABCD为菱形，故该选项正确； C、AD⊥CD，可判定四边形ABCD是矩形，故该选项错误； D、由可得，可判定四边形ABCD是矩形，故该选项错误； 故选B． 【点睛】本题主要考查矩形的判定，解题的关键是掌握矩形的各判定及菱形的判定． 8. 一个不透明的袋子装有除颜色外其余均相同的2个白球和个黑球．随机地从袋中摸出一个球记录下颜色，再放回袋中摇匀．大量重复试验后，发现摸出白球的频率稳定在0．2附近，则的值为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目，二者的比值就是其发生的概率． 【详解】解：依题意有：=0.2， 解得：n=8． 故选：C． 【点睛】此题考查了利用概率的求法估计总体个数，利用如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=是解题关键． 9. 如图，在中，，于点D，，E是斜边的中点，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据垂直定义可得，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得，然后利用直角三角形斜边上的中线性质可得，从而可得，最后利用角的和差关系进行计算，即可解答． 本题考查了直角三角形斜边上的中线，三角形内角和定理，熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， E是斜边的中点， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 10. 如图，在边长为4的正方形中，点、点分别是、上的点，连接、、，满足．若，则的长为（ ）． A. 2.4 B. 3.4 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点作的垂线交于，设，则，根据勾股定理得，由角平分线的性质得：，建立等式求解即可． 【详解】解：过点作的垂线交于，如下图： 设，则， ，则， ， ， 为的角平分线， 根据角平分线的性质得：， ， ， ， ， ， 解得：（舍去）， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质、角平分线、勾股定理，解题的关键是利用面积之间的关系建立等式． 二、填空题（每小题3分，共8小题，总分24分） 11. 在中，，，是边上的中线，则的长是______． 【答案】5 【解析】 【分析】由直角三角形的性质知：斜边上的中线等于斜边的一半，即可求出CD的长． 【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，CD是AB边上的中线， ∴CD=AB=5， 故填5． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质，在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半． 12. 已知菱形的两条对角线长分别为6和4，则菱形的周长为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用菱形对角线互相垂直平分的性质得到直角三角形的两条直角边长，再用勾股定理求出菱形边长，即可计算周长． 【详解】 解：如图，设菱形的两条对角线，,对角线交于点． 菱形的对角线互相垂直平分， ，，，, 在中，由勾股定理得： ， 菱形四条边长度相等， 菱形周长为． 13. 若是方程的一个根，则代数式的值为______． 【答案】2033 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义，代数式求值，根据一元二次方程解是使方程左右两边相等的未知数的值得到，即，再根据进行求解即可． 【详解】解；∵m是方程的一个根， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 若关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有实数根，则m的取值范围是 __________________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的情况与判别式的关系可得，判别式，求解即可． 【详解】解：关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有实数根 则判别式，解得 故答案为： 【点睛】此题考查了一元二次程根的情况与判别式的关系，解题的关键是掌握一元二次程根的情况与判别式的关系． 15. 如图，在菱形中，，分别在边上，，将沿折叠，点落在的延长线上的点处，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据菱形的性质可证，可得的度数，，根据折叠的性质可得，，由此可求出的度数，在中根据三角形的内角和定理可得的度数，由此即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵将沿折叠后得， ∴，， ∴， ∴在中，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，折叠的性质，三角形的内角和定理的综合，掌握以上知识是解题的关键． 16. 如图，在矩形中，，对角线与相交于点O，，垂足为点E，且平分，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】证明，得出，根据矩形性质得出，根据勾股定理得出，求出结果即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形为矩形， ∴，，，， ∴， 根据勾股定理得：， 即， 解得：（负值舍去）． 17. 如图，在中， ，，，P为上任意一点，于F，于E，则的最小值是_________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，证明四边形为矩形，得出，根据垂线段最短，得出当时，最小，根据等积法求出最小值即可． 【详解】解：连接，如图所示： ∵，， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴当最小时，最小， ∵垂线段最短， ∴当时，最小， 根据勾股定理得：， ∵此时， ∴． 18. 如图，菱形中，对角线与相交于点，按如下步骤作图：以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交于点、，再分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交点为，作射线，交于点，连接，若， ，则菱形面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据菱形的性质可知，，根据尺规作图可知，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知，再根据菱形的面积公式即可求出结果． 【详解】解：四边形是菱形， ，， ， 由作图可知， ， ， ， ． 三、解答题（共8小题，总分66分） 19. 解方程： （1） （2） （3） 【答案】（1） ， （2） ， （3） ， 【解析】 【小问1详解】 解：方程中，，，， ∴，  ∴， 解得； 【小问2详解】 解：方程中，，，， ∴，  ∴， 解得； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得． 20. 解一元二次方程时，两位同学的解法如下： 甲同学： 或 ∴或 乙同学： ，， ∵ ∴此方程无实数根 （1）你认为他们的解决是否正确？直接写出判断结果． 甲同学的解法______，乙同学的解法______．（填“正确”或者“不正确”） （2）请选择合适的方法解一元二次方程． 【答案】（1）不正确；不正确 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）甲同学解题过程中，方程右边的结果不为0，因此并不能得到或；乙同学解题过程中，，而不是； （2）先把原方程化为一般式，再利用十字相乘法把方程左边分解因式，进而解方程即可． 【小问1详解】 解：甲、乙两个同学的解法都不正确，理由如下： 甲同学的解题过程中，方程左边分解因式正确，但是方程右边的结果不为0，因此并不能得到或； 乙同学的解题过程中，而不是； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得． 21. 甘肃历史跨越八千余年，是中华民族和华夏文明的重要发祥地之一，也是中医药学的发祥地之一，被誉为“河岳根源、羲轩桑梓”．李老师为了让学生深入地了解甘肃文化，将正面印有“黄河文化”“边塞文化”“根祖文化”“红色文化”的4张卡片背面朝上放在桌面上（这4张卡片除正面外，其他完全相同），邀请小甘上讲台随机抽取1张卡片，并向大家介绍卡片上相对应的文化内容． （1）求小甘从中随机抽取到的卡片上印有“根祖文化”的概率； （2）若小甘先上讲台，从4张卡片中随机抽取1张（放回重新排列），小肃后上讲台，也从4张卡片中随机抽取1张，请用画树状图或列表的方法，求小甘、小肃两人至少有一人抽中“黄河文化”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比． （1）直接利用概率公式求解即可； （2）列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【小问1详解】 小甘从中随机抽取到的卡片上印有“根祖文化”的概率为； 【小问2详解】 将印有“黄河文化”“边塞文化”“根祖文化”“红色文化”的卡片分别记作A，B，C，D，列表如下： 小肃小甘 A B C D A (A，A) (A，B) (A，C) (A，D) B (B，A) (B，B) (B，C) (B，D) C (C，A) (C，B) (C，C) (C，D) D (D，A) (D，B) (D，C) (D，D) 由上表可知，一共有16种等可能的情况，其中小甘、小肃两人至少有一人抽中“黄河文化”的情况有7种， ∴小甘、小肃两人至少有一人抽中“黄河文化”的概率为． 22. 某特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售量可增加20千克；若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，并且尽可能让利于顾客则每千克核桃的售价应为多少元？ 【答案】要想平均每天获利2240元，并且尽可能让利于顾客，则每千克核桃的售价应为54元． 【解析】 【分析】设每千克核桃降价x元，利用销售量每件利润=2240元列出方程求解即可； 【详解】设每千克核桃降价元，则每千克核桃的售价为元， 由题意得 ∵尽可能让利于顾客， ，即降价6元 ∴要想平均每天获利2240元，并且尽可能让利于顾客，则每千克核桃的售价应为54元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题目中的等量关系列出方程． 23. 如图，四边形中，，，，E是的中点，连接． （1）求证：四边形是矩形． （2）当满足什么条件时，四边形是正方形？请说明理由． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴， ∵，E是的中点， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． （2） 解：当满足时，四边形是正方形． 理由：∵，E是的中点，， ∴， 由（1）可知四边形是矩形 ∴四边形是正方形． 【解析】 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，矩形的判定与性质，正方形的判定，熟记矩形，正方形的判定方法是解本题的关键； （1）利用有三个角是直角的四边形是矩形进行证明即可； （2）先证明，再结合（1）的结论可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 已知关于x的方程 （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根大于2，求a的取值范围． 【答案】（1） 证明：在方程中， ， ∵ 无论取何实数，，即， ∴ 方程总有两个实数根； （2） 【解析】 【分析】（1）计算方程的判别式，证明其恒非负即可得证； （2）先求解方程的两根，结合一根大于2的条件列不等式求的范围． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴或， 解得或， ∵原方程有一个根大于2， ∴， ∴． 25. 如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=60cm，∠A=60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/s的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是ts．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF． （1）用t的代数式表示：AE=　 　；DF=　 　； （2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由； （3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由． 【答案】（1）2t，2t；（2）当t=10时，▱AEFD是菱形；（3）当t=s或12s时，△DEF是直角三角形． 【解析】 【详解】试题分析： （1）由已知易得∠C=30°，∠DFC=90°，这样结合已知条件即可得到：DF=CD=2t，AE=2t； （2）由（1）可知，AE=DF，结合AE∥DF可得四边形AEFD是平行四边形，由此可得当AD=AE，即60-4t=2t时，四边形AEFD是菱形，解此关于t的方程即可求得对应的t的值； （3）如图1和图2，根据题意分∠EDF=90°和∠DEF=90°两种情况结合已知条件分析、计算即可得到对应的t的值. 试题解析： （1）∵直角△ABC中，∠C=90°﹣∠A=30°． ∵CD=4t，AE=2t， 又∵在直角△CDF中，∠C=30°， ∴DF=CD=2t， 故答案为2t，2t； （2）∵DF⊥BC ∴∠CFD=90° ∵∠B=90° ∴∠B=∠CFD ∴DF∥AB， 由（1）得：DF=AE=2t， ∴四边形AEFD是平行四边形， 当AD=AE时，四边形AEFD是菱形， 即60﹣4t=2t， 解得：t=10， 即当t=10时，▱AEFD是菱形； （3）分两种情况： ①当∠EDF=90°时，如图1，DE∥BC． ∴∠ADE=∠C=30° ∴AD=2AE ∵CD=4t， ∴DF=2t=AE， ∴AD=4t， ∴4t=60﹣4t， ∴t= ②当∠DEF=90°时，如图2，DE⊥EF， ∵四边形AEFD是平行四边形， ∴AD∥EF， ∴DE⊥AD， ∴△ADE是直角三角形，∠ADE=90°， ∵∠A=60°， ∴∠DEA=30°， ∴AD=AE， ∴60﹣4t=t， 解得t=12． 综上所述，当t=s或12s时，△DEF是直角三角形． 26. 综合实践 （1）【初步感知】如图1，在正方形中，E、F分别是、边上的点，且，求出图中线段，，之间的数量关系． ①小盐同学经过分析后，将绕着点D逆时针旋转到位置，如图1，根据“旋转的性质”分析与之间的关系，再通过三角形全等的性质得到线段，，之间的数量关系； ②小田同学经过分析后，将沿进行翻折，得到，射线交边的延长线于点M，如图2，根据全等的性质也得到了线段，，之间的数量关系，任选一位同学的分析，可以得到线段，，之间的数量关系是 （2）【类比探究】 如图3，正方形中，E、F分别在边、的延长线上，且，连接，试问线段，，之间具有怎样的数量关系？判断并说明理由． （3）【拓展应用】 如图4，在四边形中，，， ，且，，直接写出的长． 【答案】（1） （2），理由如下： 在上截取，连接，如图所示： 四边形是正方形， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即； （3） 【解析】 【分析】（1）小盐同学：将绕着点D逆时针旋转到，证明在同一直线上，得到，证明，得到，即可得到结论； 小田同学：由题意得到，根据，得到，证明，得到，即可得到结论； （2）在上截取，连接，再证明和，得到，即可得到结论； （3）在上取点，使，连接，证明和，设，则，在中，，即，解得，即可得到答案． 【小问1详解】 解：选小盐同学：将绕着点D逆时针旋转到， ， 四边形是正方形， ， ， 在同一直线上， ， ， ∴， 即， ， ， ， ， ； 选小田同学：将沿进行翻折，得到， ， ，， 四边形是正方形， ， ，， ， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：在上取点，使，连接， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， 在中，， 即， 解得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学第一学期自我评估 期中试卷 注意事项： 1、答题前在答题卡填写好自己的姓名、班级、贴好条形码． 2．请将答案正确填写在答题卡上对应位置． 3．答题卡上不得使用胶带、修正带、涂改液． 一、单选题（每小题3分，共10小题，总分30分） 1. 方程x2=x的解是（　　） A. x=1 B. x=0 C. x1=1，x2=0 D. x1=﹣1，x2=0 2. 某商品原价为289元，经连续两次降价后售价为256元，设平均每次降价的百分率为，则下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 一元二次方程的根的情况是（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 没有实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 无法确定 4. 顺次连接矩形四边的中点所得的四边形是（ ） A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 以上都不对 5. 用配方法解方程时，配方后所得的方程为（ ） A. B. C. D. 6. 用频率估计概率，可以发现，抛掷硬币，“正面朝上”的概率为0.5，是指（ ） A. 连续掷2次，结果一定是“正面朝上”和“反面朝上”各1次 B. 连续抛掷100次，结果一定是“正面朝上”和“反面朝上”各50次 C. 抛掷2n次硬币，恰好有n次“正面朝上” D. 抛掷n次，当n越来越大时，正面朝上的频率会越来越稳定于0.5 7. 如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OA=OC，OB=OD，添加下列条件仍不能判断四边形ABCD是矩形的是（ ） A. OA=OB B. BD平分∠ABC C. AD⊥CD D. 8. 一个不透明的袋子装有除颜色外其余均相同的2个白球和个黑球．随机地从袋中摸出一个球记录下颜色，再放回袋中摇匀．大量重复试验后，发现摸出白球的频率稳定在0．2附近，则的值为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 10 9. 如图，在中，，于点D，，E是斜边的中点，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在边长为4的正方形中，点、点分别是、上的点，连接、、，满足．若，则的长为（ ）． A. 2.4 B. 3.4 C. D. 二、填空题（每小题3分，共8小题，总分24分） 11. 在中，，，是边上的中线，则的长是______． 12. 已知菱形的两条对角线长分别为6和4，则菱形的周长为________． 13. 若是方程的一个根，则代数式的值为______． 14. 若关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有实数根，则m的取值范围是 __________________． 15. 如图，在菱形中，，分别在边上，，将沿折叠，点落在的延长线上的点处，则_____． 16. 如图，在矩形中，，对角线与相交于点O，，垂足为点E，且平分，则的长为________． 17. 如图，在中， ，，，P为上任意一点，于F，于E，则的最小值是_________． 18. 如图，菱形中，对角线与相交于点，按如下步骤作图：以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交于点、，再分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交点为，作射线，交于点，连接，若， ，则菱形面积为________． 三、解答题（共8小题，总分66分） 19. 解方程： （1） （2） （3） 20. 解一元二次方程时，两位同学的解法如下： 甲同学： 或 ∴或 乙同学： ，， ∵ ∴此方程无实数根 （1）你认为他们的解决是否正确？直接写出判断结果． 甲同学的解法______，乙同学的解法______．（填“正确”或者“不正确”） （2）请选择合适的方法解一元二次方程． 21. 甘肃历史跨越八千余年，是中华民族和华夏文明的重要发祥地之一，也是中医药学的发祥地之一，被誉为“河岳根源、羲轩桑梓”．李老师为了让学生深入地了解甘肃文化，将正面印有“黄河文化”“边塞文化”“根祖文化”“红色文化”的4张卡片背面朝上放在桌面上（这4张卡片除正面外，其他完全相同），邀请小甘上讲台随机抽取1张卡片，并向大家介绍卡片上相对应的文化内容． （1）求小甘从中随机抽取到的卡片上印有“根祖文化”的概率； （2）若小甘先上讲台，从4张卡片中随机抽取1张（放回重新排列），小肃后上讲台，也从4张卡片中随机抽取1张，请用画树状图或列表的方法，求小甘、小肃两人至少有一人抽中“黄河文化”的概率． 22. 某特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售量可增加20千克；若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，并且尽可能让利于顾客则每千克核桃的售价应为多少元？ 23. 如图，四边形中，，，，E是的中点，连接． （1）求证：四边形是矩形． （2）当满足什么条件时，四边形是正方形？请说明理由． 24. 已知关于x的方程 （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根大于2，求a的取值范围． 25. 如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=60cm，∠A=60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/s的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是ts．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF． （1）用t的代数式表示：AE=　 　；DF=　 　； （2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由； （3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由． 26. 综合实践 （1）【初步感知】如图1，在正方形中，E、F分别是、边上的点，且，求出图中线段，，之间的数量关系． ①小盐同学经过分析后，将绕着点D逆时针旋转到位置，如图1，根据“旋转的性质”分析与之间的关系，再通过三角形全等的性质得到线段，，之间的数量关系； ②小田同学经过分析后，将沿进行翻折，得到，射线交边的延长线于点M，如图2，根据全等的性质也得到了线段，，之间的数量关系，任选一位同学的分析，可以得到线段，，之间的数量关系是 （2）【类比探究】 如图3，正方形中，E、F分别在边、的延长线上，且，连接，试问线段，，之间具有怎样的数量关系？判断并说明理由． （3）【拓展应用】 如图4，在四边形中，，， ，且，，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $