精品解析：北京市第一七一中学2026-2027学年九年级上学期期中数学试卷

北京市第一七一中学教育集团2026—2027学年度第一学期 初三年级数学科目 期中调研试题 一．选择题（共16分，每题2分）第1—8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 剪纸艺术是中国最古老的民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录．以下剪纸图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形，熟练掌握中心对称图形的性质，是解答本题的关键． 根据中心对称图形的性质，找到对称中心，绕中心旋转后与自身重合，由此得到答案． 【详解】解：根据题意得： 选项不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 选项不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 选项是中心对称图形，故本选项符合题意； 选项不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 故选：． 2. 将抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度所得的抛物线解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了二次函数图象的平移．利用二次函数图象的平移规律，左加右减，上加下减，进而得出答案． 【详解】解：抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度， 平移后的解析式为， 故选：． 3. 若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为（ ）． A. 2 B. C. D. 不存在 【答案】B 【解析】 【分析】利用定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程判定即可． 【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程， ∴，且． 解得． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，解题的关键是明确一元二次方程的定义． 4. 如图，圆的两条弦，相交于点E，且，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等弧所对的圆周角相等，三角形的外角定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键．由等弧所对的圆周角相等可知，再利用三角形外角定理求． 【详解】解：， ． ． 故选：C． 5. 点在反比例函数的图象上，则下列各点在此函数图象上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先将已知点坐标代入反比例函数解析式求出k的值，再根据反比例函数图象上点的坐标特征：点的横纵坐标乘积等于k，验证各选项即可得到答案． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴此函数图象上点的坐标满足， ，A不符合； ，B不符合； ，C不符合； ，D符合； ∴在此函数图象上． 6. 在平面直角坐标系中，的半径为5，则点（ ） A. 在外 B. 在上 C. 在内 D. 不确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的三种位置关系是解题的关键． 根据勾股定理求出的长，再与的半径比较即可． 【详解】解：点， 的半径为5， 点在圆上， 故选：B． 7. 如图，，分别与相切于点，，点为上的点，过点的切线分别交，于点，．若的周长为，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查切线长定理．根据切线长定理得到，，再根据三角形周长公式计算，即可得到答案． 【详解】解：∵、分别切于、两点， ∴， 同理可得：， ∵的周长为， ∴， ∴， 故选A． 8. 如图，是坐标原点，已知二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，顶点为，对称轴为直线，其中，，且，以下结论：①；②；③；④若点在该函数图象上，则点也在该函数图象上；⑤若方程的两根为、，则，．以上结论正确的个数是（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数图象和对称轴可得，，，即可判定①；由点在抛物线上，得，进而得到，代入即可判定②；由对称轴及抛物线与轴的交点可知当时，，得到，再等量代换即可判定③；由二次函数的对称轴可判定④；根据，确定一元二次方程的参数，然后求出方程的解即可判定⑤，综上即可求解． 【详解】解：∵抛物线开口向上，与轴相交于负半轴上， ∴，， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵点在抛物线上， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故②错误； ∵抛物线与轴在对称轴的右侧相交于点， ∴当时，， 即， ∵， ∴，故③错误； ∵点在该函数图象上，对称轴为直线， ∴点关于对称轴的对称点为， ∴点也在该函数图象上，故④正确； ∵， ∴当时，，， ∴方程为， 解得， 当时，，， ∴方程为， 解得或， ∵方程的两根为、， ∴，，故⑤正确； 综上，结论正确的个数是个． 二．填空题（共16分，每题2分） 9. 点关于原点对称的点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数即可求解，掌握于原点对称的点的坐标特征是解题的关键． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是， 故答案为：． 10. 已知某扇形的圆心角为，半径为，则此扇形的面积为________（结果保留）． 【答案】 【解析】 【分析】已知扇形的圆心角度数与半径，直接代入扇形面积公式计算即可． 【详解】解：圆心角为、半径为的扇形面积公式为， ∴ ． 11. 已知点，均在反比例函数的图象上，则与的大小关系是________．（填“”、“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】已知两点在反比例函数的图象上，可通过代入横坐标计算对应函数值，再比较大小. 【详解】解：∵函数图象上的点的坐标满足对应的函数解析式， ∴将代入，得； 将代入，得； ∵， ∴. 12. 如图，某小区有一块长，宽的长方形空地，计划在其中修建两个相同的正方形花坛，要求两个花坛的面积之和为，且两个花坛之间及周边留有宽度相等的人行通道，设人行通道的宽度为米，则可列方程___________． 【答案】 【解析】 【分析】将两个花坛向中间靠拢，挤掉中间的通道，同时将花坛向四周靠拢，挤掉周边的通道，这样，两个分散的花坛就拼成了一个完整的大长方形，设人行通道的宽度为米，则拼合后的花坛总长为，总宽为，再结合长方形面积公式计算即可得出结果． 【详解】解：将两个花坛向中间靠拢，挤掉中间的通道，同时将花坛向四周靠拢，挤掉周边的通道，这样，两个分散的花坛就拼成了一个完整的大长方形， 设人行通道的宽度为米，则拼合后的花坛总长为，总宽为， ∵两个花坛的面积之和为， ∴． 13. 如图，OA是的半径，弦，D是上一点，且点在优弧BC上．若，则的度数为__________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，熟练掌握圆周角定理，垂径定理是解题的关键． 连接，根据垂径定理，证明，圆周角定理，证明，计算即可． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 点，在二次函数的图象上，若，，则与的大小关系是__________．（填“”、“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能求出对称轴和根据二次函数的性质求出正确答案是解此题的关键；先根据二次函数的解析式判断出抛物线的开口方向及对称轴，根据图象上的点的横坐标距离对称轴的远近来判断纵坐标的大小． 【详解】解：∵二次函数 的对称轴为 ，抛物线开口向上， 且，， ∴点横坐标离对称轴的距离小于点横坐标离对称轴的距离， ∴， 故答案为：． 15. 如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限，与轴相切于点，与轴交于，两点，则点的坐标是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，切线的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，坐标与图形，正确作出辅助线是解题的关键． 过点作于，连接，由点的坐标可得，，进而由垂径定理得，即得，又根据切线的性质可得四边形是矩形，即得，，得到，利用勾股定理求出即可求解． 【详解】解：过点作于，连接，则， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵与轴相切于点， ∴轴， ∴， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标为， 故答案为：． 16. 在某校举办的趣味数学竞赛中，有A，B，C，D，E，F共支队伍参赛，所有参赛队伍需进行循环赛制比拼（两队之间只打一场比赛）．竞赛规则规定：每支队伍必须与其余每支队伍进行对抗赛，获胜队伍将获得个积分，若双方战平则各得1分，失利队伍不得分．现已完成所有比赛，如图为比赛的部分得分情况． A B C D E F 最终得分 A队得分 1 B队得分 0 C队得分 0 D队得分 0 E队得分 1 2 2 2 ② 9 F队得分 ⓪ 8 （圈中的“”和“”表示在E队与F队的比赛中E队获胜积分，F队失利积分） （1）所有对抗赛中结果为双方战平的比赛场次最多为________场； （2）若B队的最终积分为分，但它在循环对抗赛中获胜的场次比其他任何一队都少，则所有对抗赛中结果为双方战平的比赛共有________场． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】先根据单循环赛制计算总场次与总积分，结合E、F队的已知得分确定其所有比赛结果，再推导剩余比赛的平局上限，最后结合第二问的胜场限制计算对应平局数. 【详解】解：（1）支队伍单循环，总比赛场次为场，每场比赛无论结果如何总积分为2分，因此所有队伍总积分和为分； 根据表格已知信息： ∵ E队最终得分9分，E与A、B、C、D、F的比赛得分分别为1、2、2、2、2，总和为分； ∴ E的所有比赛结果确定：与A战平，战胜B、C、D、F，其中仅A-E为平局，其余4场为分胜负的比赛； ∵ F队最终得分8分，F与E的比赛得0分， ∴ F与A、B、C、D的4场比赛需获得8分，由于4场比赛最多获得8分（全胜）， ∴ F战胜A、B、C、D，这4场均为分胜负的比赛，无平局； ∵剩余未确定结果的比赛为A、B、C、D四队之间的6场比赛（A-B、A-C、A-D、B-C、B-D、C-D），这6场比赛无积分矛盾， ∴最多可全部为平局， ∴最多平局数为（场）； （2）已知B队最终积3分，且胜场数比其他任何一队都少： ∵B队已确定的比赛为负于E、负于F，得0分， ∴B与A、C、D的3场比赛需获得3分，可能的战绩为：0胜3平（3场全平，得3分，胜场数为0），或1胜1平1负（得分，胜场数为1）； 若B胜场数为1，则其他队胜场数需大于1（至少2场），但A、C、D三队在与E、F的比赛中均告负，胜场仅来自四队之间的6场比赛，这6场总胜场最多6个，B占1个，剩余5个胜场需分给A、C、D三队，若每队至少2个胜场则共需6个胜场，与剩余5个胜场矛盾， ∴B的胜场数只能为0，即B与A、C、D的3场比赛全平，得3分，胜场数为0； 此时其他队胜场数需大于0（至少1场）， A、C、D三队的胜场仅来自他们之间的3场比赛（A-C、A-D、C-D），这3场最多产生3个胜场，需满足每队至少1个胜场，因此这3场必须全部分出胜负，形成循环胜（每队1个胜场），无平局； ∴总平局数为A-E1场，加上B与A、C、D的3场平局，共场． 三．解答题（本题共68分，第17—22题每题5分，第23—26题每题6分，第27、28题每题7分） 17. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】用配方法解一元二次方程即可． 【详解】解： ， ， 解得：，． 18. 已知二次函数． （1）求图象的顶点坐标； （2）画出函数图象； （3）当时，则的取值范围是________ 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）把解析式化为顶点式即可得到答案； （2）先列表，再描点画函数图象即可； （3）根据函数图象可得答案． 【小问1详解】 解：∵， ∴顶点坐标为； 【小问2详解】 解：列表如下： 0 1 0 0 函数图象见答案； 【小问3详解】 解：由函数图象可知，当时，的取值范围是． 19. 已知关于的一元二次方程有两个实数根． （1）求的取值范围； （2）若为正整数，方程的根都为正整数，求此时方程的根． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，解一元二次方程，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）根据方程有两个实数根，得到，列出不等式进行求解即可； （2）根据为正整数，得到或，分别解一元二次方程，进行求解即可． 【小问1详解】 解：，，， ， ∵该方程有两个实数根， ， 解得． 【小问2详解】 由（1）知：， ∵为正整数， ∴当时， 方程化为：， 解得，， ∵方程的根都为正整数， ∴此时不符合题意，舍去； 当时，方程化为， 解得，符合题意， ，此时方程的根为． 20. 如图，中式古典园林中的月亮门的大部分可以看作是以点O为圆心的圆的一部分，其中地面入口宽为1.8米，高为0.2米，月亮门的最高处到地面的距离为2.9米，求月亮门所在圆O的半径为多少米？ 【答案】圆O的半径为米 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、垂径定理，连接，设圆O的半径为米，则米，由垂径定理可得米，求出米，再由勾股定理计算即可得解． 【详解】解：如图，连接， ， 设圆O的半径为米，则米， ∵，为1.8米， ∴米， ∵高为0.2米，月亮门的最高处到地面的距离为2.9米， ∴米， 由勾股定理可得：， ∴， 解得：， ∴圆O的半径为米． 21. 三等分角问题、倍立方体问题和化圆为方问题被称为古希腊三大尺规作图难题．小岩对三等分角问题很感兴趣．于是，他利用所学的数学知识，发明了一个三等分角器． 三等分角器的制作方法： 1．准备好薄铁片； 2．按图1所示制作：三等分角器分别由两条矩形铁片和一个半圆铁片构成．其中满足：点A，B，O，C在同一条直线上，为半圆的直径，点O为半圆的圆心，与半圆的半径相等，与半圆相切于点B． 三等分角器的使用方法：如图2，要将三等分．首先将的顶点F放在三等分角器的BD上，然后调整点F的位置使角的一边经过点A，另一边与半圆相切，最后连接，则，即完成了的三等分． 请完成以下三等分角器的原理的证明． 已知：如图2，点A，B，O，C在同一条直线上，为半圆的直径，点O为半圆的圆心，，与半圆相切于点B，与半圆相切，连接． 求证：． 证明： 为半圆的直径，点为半圆的圆心，与半圆相切于点， （__________）．（填推理依据） 又， 垂直平分． __________． 又， __________． ，与半圆相切， __________（__________）．（填推理依据） ． 【答案】圆的切线垂直于经过切点的半径；；；；从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长度相等，且圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角． 【解析】 【分析】本题考查作图—应用与设计作图、认识立体图形、线段垂直平分线的性质、垂径定理、圆周角定理、切线的判定与性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 结合题意以及切线的判定与性质填空即可． 【详解】证明：∵为半圆的直径，点O为半圆的圆心，与半圆相切于点B， ∴（圆的切线垂直于经过切点的半径）． 又∵， ∴垂直平分． ∴． 又∵， ∴． ∵，与半圆O相切，为半径， ∴（从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长度相等，且圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角） ∴． 故答案为：圆的切线垂直于经过切点的半径；；；；从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长度相等，且圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角． 22. 如图，在菱形中，，E是边上一点（不与点C，D重合），将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接． （1）求证：； （2）求证：； （3）连接，若，求线段的长． 【答案】（1） 证明：线段绕点逆时针旋转得到线段， ，， 在菱形中，， ，， 、是等边三角形， ，， ∴， ∴， ， ； （2） 证明：∵， ， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ； （3）7 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质可得，，在菱形中，，可证明是等边三角形，则，，所以，进而可证明 ，利用即可证明； （2）根据全等三角形的性质可得，根据平行线的判定得出； （3）连接，，设与相交于点，根据菱形的性质，等边三角形的性质，勾股定理求得的长，根据（1）中得出，根据以及菱形的性质可得，进而在中，根据勾股定理，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 如图，连接，，设与相交于点， 四边形是菱形， ，， ，是等边三角形， ，， ， 由（1）可得，， ，． ． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质与判定，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 23. 在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝x+b与x轴交于点A（﹣2，0），与y轴交于点B．双曲线y与直线l交于P，Q两点，其中点P的纵坐标大于点Q的纵坐标 （1）求点B的坐标； （2）当点P的横坐标为2时，求k的值； （3）连接PO，记△POB的面积为S．若，结合函数图象，直接写出k的取值范围． 【答案】（1）点B的坐标为（0，2）；（2）k的值为8；（3）k＜3. 【解析】 【分析】（1）有点A的坐标，可求出直线的解析式，再由解析式求出B点坐标． （2）把点P的横坐标代入直线解析式即可求得点P的纵坐标，然后把点P代入反比例函数解析式即可得k值． （3）根据△POB的面积为S的取值范围求点P的横坐标取值，然后把横坐标代入直线解析式，即可求得点P纵坐标的取值范围，进而求得k的取值范围． 【详解】解：（1）∵直线l：y＝x+b与x轴交于点A（﹣2，0） ∴﹣2+b＝0 ∴b＝2 ∴一次函数解析式为：y＝x+2 ∴直线l与y轴交于点B为（0，2） ∴点B的坐标为（0，2）； （2）∵双曲线y与直线l交于P，Q两点 ∴点P在直线l上 ∴当点P的横坐标为2时，y＝2+2＝4 ∴点P的坐标为（2，4） ∴k＝2×4＝8 ∴k的值为8 （3）如图： S△BOP2×xp＝xp， ∵， ∴xp＜1， ∴yp＜3， ∴k＜3 【点睛】本题主要涉及一次函数与反比例函数相交的知识点．根据交点既在一次函数上又在反比例函数上，即可解决问题． 24. 旋转木马是每个孩子珍藏在童年里的梦幻乐园．某游乐场旋转木马的所有座位均匀分布在同一个圆上，绕圆心做匀速逆时针运动（如图）．小瑞将旋转木马的其中两个相邻座位抽象为，两点，在旋转木马外设置固定观测点，当起始位置点与点、圆心在同一条直线上时（如图）开始计时． 小瑞记录了不同时刻（单位：秒）时，观测点到，的距离分别为，（单位：米），部分数据如下： … … … 通过分析数据，发现可以用函数刻画与，与之间的关系，在平面直角坐标系中，画出与之间关系的函数图象． （1）在平面直角坐标系中，画出与之间关系的函数图象； （2）至少经过秒，点就会回到初始位置，则________； （3）该旋转木马座位总数为________个； （4）当秒时，的值约为________． （5）从开始，至少经过________秒，点到，的距离相等； 【答案】（1） （2）30 （3）6 （4） （5） 【解析】 【分析】（1）根据图象中的点画出与t之间关系的函数图象即可； （2）根据表格的数据可知，时与时点C到A的距离的值相同，由此可得m的值； （3）根据30秒就可以转完一圈，可得1秒转，再根据表格的数据可得点A转动到点B的时间，由此可求解； （4）当秒时，点B转过的角度为，则转7秒时；根据表格中的数据求出圆的直径，通过构造直角三角形和相似三角形，利用相似三角形的性质和勾股定理求出的长即可； （5）根据点C到A，B的距离相等，可结合对称性求解度数，由此求解时间． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：根据表格的数据可知，时点C到点A的距离的值与时点C到点A的距离的值相同，且此时点C到点B的距离的值与时点C到点B的距离的值相同 ∴至少经过30秒，A点就会回到初始位置； 【小问3详解】 解：30秒转完一圈，则1秒转， 由表格数据可知，A点5秒后即可到达B点的初始位置， ∴A点转动过的角度为， 即每相邻的两个座位之间的角度为， ∴旋转木马座位总数为个； 【小问4详解】 解：当秒时，点B转过的角度为， ∵初始位置时， ∴转7秒时； ∵经过30秒，A点就会回到初始位置， ∴经过15秒，A点就会在的延长线上，此时， 又∵初始位置时，， ∴的直径为； 如图所示，设直线交于点R，过点B作于点Q，在上取一点S，连接使得，连接， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 设，则， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴，， ∴ ， ∴，即． 【小问5详解】 解：当点C到A，B的距离相等，则有与关于对称，如图， ∵， ∴， 即当点C到A，B的距离相等时，点A转过， ∴秒， ∴从开始，至少经过秒，点C到A，B的距离相等； 25. 如图，是的直径，点，在上，且，过点作的垂线，交的延长线于点，交的延长线于点，为下方的半圆弧的中点，交于点，连接，． （1）求证：是的切线； （2）已知，，求的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ， ， ， ， ， 又， ， 是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可证，且，可得，即是的切线； （2）由题意可得，根据勾股定理可求的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接， 是半圆弧的中点， ， 在中，，， ． 【点睛】本题考查了切线的判定与性质，等边对等角，直径所对的圆周角等于，同弧所对的圆周角相等，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 26. 在平面直角坐标系中，抛物线：的顶点为，点为直线上的一动点，点的横坐标为． （1）若，求点的坐标及抛物线的表达式（用含的式子表示）； （2）当时，抛物线均不经过定点，求的取值范围． 【答案】（1）点的坐标为，抛物线的表达式为． （2）的取值范围是或． 【解析】 【分析】（1）求出一次函数与y轴的交点坐标可得点P的坐标，再由点P为顶点可得抛物线的解析式； （2）根据一次函数解析式求出点P的坐标，进而求出抛物线的解析式，把点Q的坐标代入抛物线的解析式得到a关于t的关系式，根据t的取值范围求出a的取值范围即可得到答案 【小问1详解】 解：在中，当时，， ∴点的坐标为， ∵点P为抛物线的顶点， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：在中，当时，， ∴， ∵点P为抛物线的顶点， ∴抛物线的解析式为； 当抛物线经过定点时，则， ∴， ∴， ∴； 令，则当时，随t的增大而增大， 当时，，当时，， ∴当时，， ∴， ∵当时，抛物线均不经过定点，且 ∴或． 27. 在中，，，为平面内一点，且满足，以点为中心，将线段逆时针旋转，得到线段． （1）如图，当点在线段上时，恰有，连接交于，求证：为中点； （2）连接，，取的中点，连接， ①当点在内时，如图，用等式表示与的数量关系，并证明； ②如图，令，若当，，三点共线时，恰有，直接写出此时的值． 【答案】（1）证明：，， ， ， ， 逆时针旋转，得到线段， ，， ， ， ， ，即F为线段中点； （2）解：①，理由如下， 如图，延长至点，使得，连接、 ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ， ∵， ， ， ， 在与中 ， ， ， ， ； ② 【解析】 【分析】（1）根据角度的计算，可得，根据旋转可得，根据等腰三角形的性质三线合一，即可证明F为线段DE中点； （2）①延长至点，使得，即可证明四边形是平行四边形，进而证明，可得，进而可得； ②由①可知，根据已知条件和含30度角的直角三角形的性质，进而可得，，在中，设，进而求得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①略 ②如图， 由①可知， ，三点共线， ， ， ， ， ， ， 设， 在中，， 则， ，， ． 28. 在平面直角坐标系中，，，…，是个互不相同的点，若这个点横坐标的不同取值有个，纵坐标的不同取值有个，，则称为这个点的“特征值”，记为．如图1，点，，． （1）如图2，圆的圆心为，半径为5，与轴交于，两点． ①__________，__________． ②直线与圆交于两点，，若，求的取值范围； （2）点，，…，到点的距离为1或，且这8个点构成中心对称图形，，若拋物线恰好经过，，…，中的三个点，并以其中一个点为顶点，直接写出的所有可能取值． 【答案】（1）（1）①3；5；②且且 （2）的值为1或2或 【解析】 【分析】（1）①利用勾股定理求出，的值，得到，的坐标分别为，，利用“特征值”的计算公式可求； ②由于，两点都在直线上，设、，根据根据，可得的取值范围； （2）利用已知条件和“特征值”的意义，得到8个点构成的图形，利用抛物线的对称性和已知条件得到抛物线经过的三点，利用待定系数法可求得的值． 【小问1详解】 ①连接，，如图， 圆的圆心为， ． 的半径为5，， ． ，． ，； ，，． 故答案为：3；5． ②∵，两点都在直线上， ∴设、， ∵，，， ∴，，，，，， ∵直线与圆交于两点，， ∴ ∴ ∴是方程的两不等根 ∵整理得 ∴ 解得， 当时，，解得， 当时，，解得， 当，即时，，解得， 综上所述，的取值范围是：且且． 【小问2详解】 ，，，， 这8个点横坐标的不同取值的个数与纵坐标的不同取值的个数之和为6． 点，，到点的距离为1或，且这8个点构成中心对称图形， 这8个点构成的图形如图所示： 它们的坐标分别为：，，，，，，，． 抛物线， 抛物线开口向上． 抛物线恰好经过，，中的三个点，并以其中一个点为顶点， 根据抛物线为轴对称图形可得：抛物线经过，，或，，． 抛物线经过，，时， ． 解得：． 抛物线经过或，，时， ． 解得：． 或这8个点构成的图形如图所示： 它们的坐标分别为：，，，，，，，，，，，，，，，． 抛物线恰好经过，，中的三个点，并以其中一个点为顶点， 根据抛物线为轴对称图形可得：抛物线经过，，或，，． 抛物线经过，，时，为顶点，经过，，设抛物线解析式为． 将坐标代入得： ． 解得：． 抛物线经过，，时，为顶点，经过，，设抛物线解析式为． 将坐标代入得： ． 解得：． 综上，的值为1或2或． 【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了开口方向，抛物线解析式的求法，圆的有关计算，直线和圆的位置关系，点的坐标的特征．本题是阅读型题目，准确理解题干中的概念与法则并熟练应用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市第一七一中学教育集团2026—2027学年度第一学期 初三年级数学科目 期中调研试题 一．选择题（共16分，每题2分）第1—8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 剪纸艺术是中国最古老的民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录．以下剪纸图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 将抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度所得的抛物线解析式为（ ） A. B. C. D. 3. 若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为（ ）． A. 2 B. C. D. 不存在 4. 如图，圆的两条弦，相交于点E，且，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 点在反比例函数的图象上，则下列各点在此函数图象上的是（ ） A. B. C. D. 6. 在平面直角坐标系中，的半径为5，则点（ ） A. 在外 B. 在上 C. 在内 D. 不确定 7. 如图，，分别与相切于点，，点为上的点，过点的切线分别交，于点，．若的周长为，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，是坐标原点，已知二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，顶点为，对称轴为直线，其中，，且，以下结论：①；②；③；④若点在该函数图象上，则点也在该函数图象上；⑤若方程的两根为、，则，．以上结论正确的个数是（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二．填空题（共16分，每题2分） 9. 点关于原点对称的点的坐标是______． 10. 已知某扇形的圆心角为，半径为，则此扇形的面积为________（结果保留）． 11. 已知点，均在反比例函数的图象上，则与的大小关系是________．（填“”、“”或“”） 12. 如图，某小区有一块长，宽的长方形空地，计划在其中修建两个相同的正方形花坛，要求两个花坛的面积之和为，且两个花坛之间及周边留有宽度相等的人行通道，设人行通道的宽度为米，则可列方程___________． 13. 如图，OA是的半径，弦，D是上一点，且点在优弧BC上．若，则的度数为__________ ． 14. 点，在二次函数的图象上，若，，则与的大小关系是__________．（填“”、“”或“”） 15. 如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限，与轴相切于点，与轴交于，两点，则点的坐标是__________． 16. 在某校举办的趣味数学竞赛中，有A，B，C，D，E，F共支队伍参赛，所有参赛队伍需进行循环赛制比拼（两队之间只打一场比赛）．竞赛规则规定：每支队伍必须与其余每支队伍进行对抗赛，获胜队伍将获得个积分，若双方战平则各得1分，失利队伍不得分．现已完成所有比赛，如图为比赛的部分得分情况． A B C D E F 最终得分 A队得分 1 B队得分 0 C队得分 0 D队得分 0 E队得分 1 2 2 2 ② 9 F队得分 ⓪ 8 （圈中的“”和“”表示在E队与F队的比赛中E队获胜积分，F队失利积分） （1）所有对抗赛中结果为双方战平的比赛场次最多为________场； （2）若B队的最终积分为分，但它在循环对抗赛中获胜的场次比其他任何一队都少，则所有对抗赛中结果为双方战平的比赛共有________场． 三．解答题（本题共68分，第17—22题每题5分，第23—26题每题6分，第27、28题每题7分） 17. 解方程：． 18. 已知二次函数． （1）求图象的顶点坐标； （2）画出函数图象； （3）当时，则的取值范围是________ 19. 已知关于的一元二次方程有两个实数根． （1）求的取值范围； （2）若为正整数，方程的根都为正整数，求此时方程的根． 20. 如图，中式古典园林中的月亮门的大部分可以看作是以点O为圆心的圆的一部分，其中地面入口宽为1.8米，高为0.2米，月亮门的最高处到地面的距离为2.9米，求月亮门所在圆O的半径为多少米？ 21. 三等分角问题、倍立方体问题和化圆为方问题被称为古希腊三大尺规作图难题．小岩对三等分角问题很感兴趣．于是，他利用所学的数学知识，发明了一个三等分角器． 三等分角器的制作方法： 1．准备好薄铁片； 2．按图1所示制作：三等分角器分别由两条矩形铁片和一个半圆铁片构成．其中满足：点A，B，O，C在同一条直线上，为半圆的直径，点O为半圆的圆心，与半圆的半径相等，与半圆相切于点B． 三等分角器的使用方法：如图2，要将三等分．首先将的顶点F放在三等分角器的BD上，然后调整点F的位置使角的一边经过点A，另一边与半圆相切，最后连接，则，即完成了的三等分． 请完成以下三等分角器的原理的证明． 已知：如图2，点A，B，O，C在同一条直线上，为半圆的直径，点O为半圆的圆心，，与半圆相切于点B，与半圆相切，连接． 求证：． 证明： 为半圆的直径，点为半圆的圆心，与半圆相切于点， （__________）．（填推理依据） 又， 垂直平分． __________． 又， __________． ，与半圆相切， __________（__________）．（填推理依据） ． 22. 如图，在菱形中，，E是边上一点（不与点C，D重合），将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接． （1）求证：； （2）求证：； （3）连接，若，求线段的长． 23. 在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝x+b与x轴交于点A（﹣2，0），与y轴交于点B．双曲线y与直线l交于P，Q两点，其中点P的纵坐标大于点Q的纵坐标 （1）求点B的坐标； （2）当点P的横坐标为2时，求k的值； （3）连接PO，记△POB的面积为S．若，结合函数图象，直接写出k的取值范围． 24. 旋转木马是每个孩子珍藏在童年里的梦幻乐园．某游乐场旋转木马的所有座位均匀分布在同一个圆上，绕圆心做匀速逆时针运动（如图）．小瑞将旋转木马的其中两个相邻座位抽象为，两点，在旋转木马外设置固定观测点，当起始位置点与点、圆心在同一条直线上时（如图）开始计时． 小瑞记录了不同时刻（单位：秒）时，观测点到，的距离分别为，（单位：米），部分数据如下： … … … 通过分析数据，发现可以用函数刻画与，与之间的关系，在平面直角坐标系中，画出与之间关系的函数图象． （1）在平面直角坐标系中，画出与之间关系的函数图象； （2）至少经过秒，点就会回到初始位置，则________； （3）该旋转木马座位总数为________个； （4）当秒时，的值约为________． （5）从开始，至少经过________秒，点到，的距离相等； 25. 如图，是的直径，点，在上，且，过点作的垂线，交的延长线于点，交的延长线于点，为下方的半圆弧的中点，交于点，连接，． （1）求证：是的切线； （2）已知，，求的长． 26. 在平面直角坐标系中，抛物线：的顶点为，点为直线上的一动点，点的横坐标为． （1）若，求点的坐标及抛物线的表达式（用含的式子表示）； （2）当时，抛物线均不经过定点，求的取值范围． 27. 在中，，，为平面内一点，且满足，以点为中心，将线段逆时针旋转，得到线段． （1）如图，当点在线段上时，恰有，连接交于，求证：为中点； （2）连接，，取的中点，连接， ①当点在内时，如图，用等式表示与的数量关系，并证明； ②如图，令，若当，，三点共线时，恰有，直接写出此时的值． 28. 在平面直角坐标系中，，，…，是个互不相同的点，若这个点横坐标的不同取值有个，纵坐标的不同取值有个，，则称为这个点的“特征值”，记为．如图1，点，，． （1）如图2，圆的圆心为，半径为5，与轴交于，两点． ①__________，__________． ②直线与圆交于两点，，若，求的取值范围； （2）点，，…，到点的距离为1或，且这8个点构成中心对称图形，，若拋物线恰好经过，，…，中的三个点，并以其中一个点为顶点，直接写出的所有可能取值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $