上海市位育中学2026-2027学年高一上学期期中考试数学试题

2026 学年第一学期位育中学期中考试试卷 高一年级　数学学科 （考试时间 100 分钟，总分 100 分） 一、填空题（本大题共有 12 题，第 1-6 题每题 3 分，第 7-12 题每题 4 分，满分 42 分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果 1．将 化简为指数幂的形式为 ． 2．已知集合 ，则集合 的真子集个数为 ． 3．设 ．若 ，则 ． 4．不等式 的解集为 ． 5．不等式 的解集为 ． 6．设 ，则 （从 、、、 中选一个符号填写）． 7．已知全集为 ，集合 ，集合 ，则 ． 8．设正数 满足等式 ，则 ． 9．在平面直角坐标系 中，设点 ，， 定义：．若点 ，点 为直线 上的动点，则 的最小值为 ． 10．已知 、 均为正数，且 ，则 的最大值为 ． 11．一般地，把 的值称为区间 的“长度”．已知关于 的不等式 有实数解，且解集区间长度不超过 ，则实数 的取值范围为 ． 12．设 ，且对任意 ，总存在 ，使得 ，则 的所有取值为 ． 二、选择题（本大题共有 4 题，每题 4 分，满分 16 分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑 13．下列说法错误的是（　　）． A．奇数集可以表示为 B．奇数集可以表示为 C．　　　D． 14．设 、、，且 ，则以下代数式中，不恒成立的是（　　）． A．　　　B． C．　　　D． 15．若关于 的不等式 的解中有且仅有 个整数，则实数 的取值范围是（　　） A．　　　B． C．　　　D． 16．上海是全球咖啡店最多的城市．若某品牌的某种在售咖啡产品价格为 元/杯，其原材料成本为 元/杯，营销成本为 元/杯，且该品牌门店提供如下 种优惠方式：（1）首杯免单，每人限用一次；（2） 折优惠券，每人限用一次；（3）买 杯送 杯，每人限用两次；（4）买 杯送 杯，不限使用人数和使用次数．每位消费者都可以在以上 种优惠方式中选择不多于 种使用．现在某个公司有 位后勤工作人员去该品牌门店帮每位技术人员购买 杯咖啡，购买杯数与技术人员人数须保持一致；请问，这个公司的技术人员不少于（　　）人时，无论 位后勤人员采用什么样的优惠方式购买咖啡，这笔订单该品牌门店都能保证盈利． A．　　　B．　　　C．　　　D． 三、解答题（本大题共有 5 题，满分 42 分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 17．（本题满分 5 分） 设 、．解关于 的不等式 ． 18．（本题满分 9 分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 5 分） 已知 ： 或 ，： 或 ． （1）若 是 的充分条件，求实数 的取值范围； （2）若 是 的必要条件，求实数 的取值范围． 19．（本题满分 9 分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 5 分） 设关于 的不等式 的解集为 ． （1）若 ，求实数 的取值范围； （2）求证：不存在实数 ，使得 ． 20．（本题满分 9 分，第 1 小题满分 3 分，第 2 小题满分 6 分） 设 ．集合 ， ． （1）若 ，记集合 ，求集合 ； （2）用 代表集合 的元素个数．若 ，记 的取值集合为 ．试比较 与 的大小，并证明你的结论． 21．（本题满分 10 分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分） 设集合 ．若 中元素个数大于等于 ，且 的任意不同元素 、 均满足 ，则称集合 具有“性质 ”． （1）试判断集合 、集合 是否具有“性质 ”，并说明理由； （2）设 为大于等于 的正整数．若集合 ，且具有“性质 ”，求证：，并求集合 中所有元素的乘积． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026 学年第一学期位育中学期中考试试卷 高一年级　数学学科（解析版） （考试时间 100 分钟，总分 100 分） 一、填空题（本大题共有 12 题，第 1-6 题每题 3 分，第 7-12 题每题 4 分，满分 42 分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果 1．将 化简为指数幂的形式为 ． 【答案】 【解析】由算术平方根的意义，． 所以 ． 易错点：根号内是 而不是 ，指数应为 ．若误读成 ，会得到 ． 2．已知集合 ，则集合 的真子集个数为 ． 【答案】 【解析】 中恰有 个元素，故 的子集共 个． 真子集要去掉 本身，共 个． 易错点：非空真子集才是 个；本题问“真子集”，答案为 ． 3．设 ．若 ，则 ． 【答案】 【解析】由 得 ． 条件 已由真数的要求自动满足，不需另行取舍． 4．不等式 的解集为 ． 【答案】 【解析】 等价于 或 ． 前者解得 ；后者解得 ． 两种情况取并集，解集为 ． 易错点：不能只解 一支，也不能把两支取交集． 5．不等式 的解集为 ． 【答案】 【解析】 移项得 ，即 ． 它等价于 且 ，解得 ． 解集为 ． 易错点：不讨论 的正负就直接去分母，会错把 当作答案，把负数和 都算进来． 6．设 ，则 （从 、、、 中选一个符号填写）． 【答案】 【解析】作差：． 右边恒不小于 ，故 恒成立． 取等需同时有 且 ，与已知 矛盾，故等号取不到，应填 ． 易错点：只看配方结果就填 ，漏掉“取等条件能否成立”这一步． 7．已知全集为 ，集合 ，集合 ，则 ． 【答案】 【解析】集合 的元素是使 有意义的 ，由 得 ． 集合 的元素是 的取值，由算术平方根非负得 ． ，所以 ． 易错点： 与 的表达式相同但代表元素不同，一个是定义域、一个是值域；若把 也当成定义域，会得出空集． 8．设正数 满足等式 ，则 ． 【答案】 【解析】由 得 ． 两边取自然对数：． 所以 ． 易错点：不必解出 的具体值（它无法用初等函数显式表示），整体代换即可． 9．在平面直角坐标系 中，设点 ，， 定义：．若点 ，点 为直线 上的动点，则 的最小值为 ． 【答案】 【解析】点 在直线 上，设 ，则 ． 由绝对值三角不等式，． 当 时取等号，故最小值为 ． 易错点：这是“折线距离”（不是通常的直线距离），不能用点到直线距离公式； 的几何意义是数轴上 到 与到 的距离之和． 10．已知 、 均为正数，且 ，则 的最大值为 ． 【答案】 【解析】由 且 ，可设 ，，． 此时 ，平方得 ． 令 ，则 ． 该二次函数在 时取最大值 ，故 的最大值为 ． 易错点： 中 与 由约束联系，不能把 先放大到 再独立取最值． 11．一般地，把 的值称为区间 的“长度”．已知关于 的不等式 有实数解，且解集区间长度不超过 ，则实数 的取值范围为 ． 【答案】 【解析】不等式有实数解，需 ，即 或 ． 此时解集为 ，区间长度为 ． 由 得 ，即 ，解得 ． 与 或 取交集，得 ． 易错点：只解长度条件 而漏掉“有实数解”的 ，会把 也算进去． 12．设 ，且对任意 ，总存在 ，使得 ，则 的所有取值为 ． 【答案】 或 （） 【解析】条件等价于：对每个 ，都存在 使 ，即 ． 当 时 ，取 必须有 ，故 ． 当 时，对任意 都取 （），则 ，条件成立． 当 时 内全为负数，，此时 的取值为 ．由 得 、，每个 都含 ，取 即 ，条件成立． 另外，题设中的 作为区间须非空，故 （ 时区间内没有任何数，不构成题目讨论的情形）． 时区间退化为 ，只能 ， 只能取 ，此时 ，不合；当 时 迫使 ，不合． 故 的所有取值为 及一切不小于 的整数，即 ． 二、选择题（本大题共有 4 题，每题 4 分，满分 16 分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑 13．下列说法错误的是（　　）． A．奇数集可以表示为 B．奇数集可以表示为 C．　　　D． 【答案】D 【解析】A 项： 恰遍历全部奇数，正确． B 项： 同样遍历全部奇数，正确． C 项：“ 或 ”中， 满足后者、 满足前者，其余实数两者都满足，故该集合为 ，正确． D 项：“ 且 ”即 ，该集合是 ，不等于 ，错误． 故选 D．易错点：并集条件（或）与交集条件（且）要分清，“或”给出的是全集． 14．设 、、，且 ，则以下代数式中，不恒成立的是（　　）． A．　　　B． C．　　　D． 【答案】D 【解析】A 项： 且 ， 恒成立． B 项：由对数恒等式 （）恒成立． C 项：由积的对数 恒成立． D 项：换底公式 成立的前提是 有意义，即 且 ；题设只给出 ，当 时右边无意义，故不恒成立． 故选 D． 15．若关于 的不等式 的解中有且仅有 个整数，则实数 的取值范围是（　　） A．　　　B． C．　　　D． 【答案】B 【解析】设 ．若 ，则 恒成立，不等式无解，不合． 当 时分三段： 时 ； 时 ，即 ； 时 ，即 ． 故解集为 ．由 得 ，故最小的整数解是 ；要恰有 个整数解，这 个必为 ，于是 ． 由 得 ；由 得 ．故 ． 若 ，解集为 ，含无穷多个整数，不合． 端点检验： 时解集 ，整数解为 ，恰 个，故右端可取； 时解集 ，整数解只有 ，故左端不可取．选 B． 16．上海是全球咖啡店最多的城市．若某品牌的某种在售咖啡产品价格为 元/杯，其原材料成本为 元/杯，营销成本为 元/杯，且该品牌门店提供如下 种优惠方式：（1）首杯免单，每人限用一次；（2） 折优惠券，每人限用一次；（3）买 杯送 杯，每人限用两次；（4）买 杯送 杯，不限使用人数和使用次数．每位消费者都可以在以上 种优惠方式中选择不多于 种使用．现在某个公司有 位后勤工作人员去该品牌门店帮每位技术人员购买 杯咖啡，购买杯数与技术人员人数须保持一致；请问，这个公司的技术人员不少于（　　）人时，无论 位后勤人员采用什么样的优惠方式购买咖啡，这笔订单该品牌门店都能保证盈利． A．　　　B．　　　C．　　　D． 【答案】C 【解析】原价 元/杯，成本为 元/杯（营销成本也要计入）．把四种优惠折算到每杯：（1）首杯免单即 元/杯，每杯亏 元， 人共 杯；（2） 折即 元/杯，每杯亏 元，每人限 杯；（3）买 送 即 元 杯、合 元/杯，每杯盈 元，每人最多 杯；（4）买 送 即 元 杯、合 元/杯，每杯盈 元，杯数只能是 的倍数． 让利力度从大到小为（1）、（2）、（3）（4）、原价，所以对门店最不利的购买方式一定把 张免单券全部用掉（先亏 元），并且不会出现原价杯（原价杯每杯盈 元，对门店最有利），此时其余每一杯只能按 元或 元成交． 设 人中有 人用 折券（共 杯，），其余 杯用（3）或（4）以 元/杯成交，则门店利润为 ． 先看必要条件：要盈利需 ，即用（3）（4）卖出的杯数超过 杯，而总杯数 ，故 时门店一定不能保证盈利． 再看 ：取 （即 至 人用 折券），另让 人用买 送 两次拿 杯，其余人只用免单，则 ，门店仍亏损． 最后看 ：此时 ，要亏损需 ．但 时 杯已无人可以提供； 时剩下的 杯要由 人用（3）的 杯、 杯或（4）的 的倍数杯拼出，、 拼不出， 为奇数更不可能；只有 可行，此时 ，由 人各用买 送 提供， ，门店必盈利． 所以技术人员不少于 人时，无论怎样使用优惠，门店都能保证盈利，选 C． 易错点：买 送 是 元 杯而不是 杯；营销成本 元也要计入成本；若忽略“每人最多用两种”，以为可以让 人既免单又享 折、其余全按 元成交，会算出 、，误选 ． 三、解答题（本大题共有 5 题，满分 42 分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 17．（本题满分 5 分）设 、．解关于 的不等式 ． 【答案】分类讨论，见解析 【解析】当 时，两边同除以 不等号方向不变，得 ，解集为 ． 当 时，两边同除以 不等号方向改变，得 ，解集为 ． 当 时，原不等式化为 ：若 ，则对一切实数成立，解集为 ；若 ，则无解，解集为 ． 易错点：含参数的一次不等式必须先讨论最高次项系数 的符号与零，再讨论常数项，不能默认 ． 18．（本题满分 9 分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 5 分）已知 ： 或 ，： 或 ． （1）若 是 的充分条件，求实数 的取值范围； （2）若 是 的必要条件，求实数 的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【解析】设 ，． 当 ，即 时，两段相接，；当 时 ，两段之间恰好缺一个点，（不是 ）；当 时 在 上断开，这一段不属于 ． （1） 是 的充分条件，即 ．若 ，则 含有 而 ，故 ，不合；若 ，需 且 ，即 且 ，得 （此时 自然成立）．所以 ． （2） 是 的必要条件，即 ．若 ，则 ，恒成立；若 ，，而 却 ，故 ，不合；若 ，缺口 必须整个落在 内，需 且 ，即 ，与 矛盾．所以 ． 易错点： 是第（2）问的陷阱．此时两段只是“端点相碰”，并不是 ，而是 ；偏偏 ，所以端点不可取．第（1）问中 时 ，两段恰好落在 的两段内，端点可以取． 19．（本题满分 9 分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 5 分）设关于 的不等式 的解集为 ． （1）若 ，求实数 的取值范围； （2）求证：不存在实数 ，使得 ． 【答案】（1）；（2）见解析 【解析】（1） 等价于二次函数 的图像不在 轴下方，即 ． 由 得 ． （2）证明：不等式 的二次项系数为 ，图像开口向上，且 时函数值趋于 ，故总能取到非负值． 具体地，若 ，则对一切实数 都有 ，此时 ；若 ，设两根为 ，则 ． 两种情况 都不为空集，所以不存在实数 使 ． 易错点：以为“ 时解集为空”——开口向上且取 ， 时解集反而是全集 ；只有开口向下且取 才可能出现空集． 20．（本题满分 9 分，第 1 小题满分 3 分，第 2 小题满分 6 分）设 ．集合 ， ． （1）若 ，记集合 ，求集合 ； （2）用 代表集合 的元素个数．若 ，记 的取值集合为 ．试比较 与 的大小，并证明你的结论． 【答案】（1）；（2） 【解析】先化简：（），且 要求 ．故两集合的条件分别是 与 （ 且 ）． （1） 时 ，移项得 ，即 ，亦即 ． 用根轴法（零点 ）解得 ，这就是集合 （其中 、 因分母为零被去掉）． 所以 ． （2） 是等式 的解集，即 且 、． 该方程的判别式为 ：当 时无实根，；当 时重根 （合法），． 当 时两根为 ．大根 恒合法；小根 只在等于 （此时 ）或等于 （此时 ）时不合法．故 中满足 的只有 与 ． 综上 ，． 易错点： 的解必须同时满足原不等式组的分母条件（、），漏掉这一点会把 算成空集或算错元素． 21．（本题满分 10 分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分）设集合 ．若 中元素个数大于等于 ，且 的任意不同元素 、 均满足 ，则称集合 具有“性质 ”． （1）试判断集合 、集合 是否具有“性质 ”，并说明理由； （2）设 为大于等于 的正整数．若集合 ，且具有“性质 ”，求证：，并求集合 中所有元素的乘积． 【答案】（1） 具有， 不具有；（2），乘积为 或 【解析】（1）任取两个不同的有理数 、， 仍是有理数，即有理数集对这个运算封闭，且元素远多于 个，故 具有“性质 ”． 记 ．取 、，得 ，故 不具有“性质 ”． （2）设 、 分别是 的最大、最小元素，则 ，记 ．对 且 ，令 ．由“性质 ”知 ，且 越大 越小，故 在 上是单射． 又 ，故 ；而 本身属于 （对应 、），不超过最大元 ，所以 ． 若 ，则 把 元集 单射到它自身，从而是双射．但 ，双射必须保持集合中两点距离的最大值，而 把一切距离都缩成原来的 ，只能 ，即 ． 于是若 ，必有 ．对最小元 作同样的讨论（ 在 上的取值不小于 ），同理得 ． 于是对一切 ， 中都有元素 ，它们互不相同，且都落在区间 内；同理 时， 中元素 互不相同，且都落在 内． 这两个区间不相交（因为 ），而每个区间里都至少有 个 中互不相同的元素，所以 ，得 ，与 矛盾．故只能 ． 下面求乘积．此时 ，，由“性质 ”：，，共四种取法． 若两式都落在本端，即 、，则 、．分别乘 、 后相减：，即 ． 若 ，由 得 ，代入 得 ，此时 ，乘积为 ．验证：，另一式同理，确实具有“性质 ”． 若 ，则 ，故 且 ，乘积为 ．此时两端点是 与 ，代入可验证也满足条件． 另外三种取法都导出矛盾：若两式都落在另一端（，），相乘得 ，取 时 代回得 、；取 时 ，与 矛盾． 若一取本端一取另一端（如 、），由第二式得 ，代入第一式并除以 ：，即 ，分解为 ，故 ，代回仍得 ，矛盾；另一种由对称性同理． 所以 ， 中所有元素的乘积为 或 ． 易错点：判断“性质 ”要对任意两个不同元素检验，凑出一组反例即可否定；第（2）问的关键是用最大元、最小元把条件化成关于端点的方程，再用“收缩映射不可能是有限集到自身的双射”排除三个及以上元素的情形． 学科网（北京）股份有限公司 $