精品解析：上海市南洋模范中学2024-2025学年高一上学期11月期中检测数学试题

2024~2025学年上海市南洋模范中学高一上学期期中检测卷 数学试卷 （考试时间120分钟 满分150分） 考生注意： 1.带2B铅笔、黑色签字笔、考试中途不得传借文具. 2.考试期间严格遵守考试纪律，听从监考员指挥，杜绝作弊，违者由教导处进行处分. 3.请将答案写在答题纸上，保持字迹清晰 一.填空题（12题共54分，1~6题每题4分，7~12题每题5分） 1. 已知函数，若，则 _________. 2. 已知集合，，则__________． 3. 函数的值域是__________． 4. 下列函数中，偶函数的序号为_______ ① ② ③ ④ 5. 若方程的三个根可以作为一个三角形的三条边的长，则实数的取值范围是______________. 6. 设，关于的方程的解集为，若只有1个元素，则实数的取值范围是_________． 7. 对任意实数都有，则实数的最大值为_________． 8. 若函数的值域为，则实数的取值范围为__________． 9. 设不等式的解集为M，设函数 （且）与x轴有两个交点时实数的取值集合为N，则_____ 10. 已知函数，若对于任意的，都有，则的最小值是_____. 11. 函数，，若在定义域上满足：①没有奇偶性；②不单调；③有最大值，则a的取值范围是_______． 12. 已知实数，，，则c的取值范围为______ 二.选择题（4题共18分，13~14每题4分，15~16每题5分） 13. 已知x∈R，则“成立”是“成立”的（ ）条件． A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充分必要 D. 既不充分也不必要 14. 对于非空集合和，把所有属于但不属于的元素组成的集合称为和的差集，记为，那么总等于（ ） A. B. C. D. 15. 已知点A(1,0)，点B在曲线G：y＝ln x上，若线段AB与曲线M：y＝相交且交点恰为线段AB的中点，则称B为曲线G关于曲线M的一个关联点．那么曲线G关于曲线M的关联点的个数为(　　) A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 16. 德国著名数学家狄利克雷（高斯的学生）在数学领域成就显著，著名的狄利克雷函数定义域在上的解析式可表示为：，下列关于狄利克雷函数说法正确的序号为（ ） ①狄利克雷函数为偶函数 ②狄利克雷函数为奇函数 ③狄利克雷函数值域为 ④对于任意，均有 ⑤狄利克雷函数的图像可以通过列表描点法画出 ⑥在狄利克雷函数上不存在可以构成等边三角形的三点 A. ①③④⑥ B. ②③⑤ C. ①④ D. ②④⑥ 三.解答题（共78分，17~19每题14分，20~21每题18分） 17. 命题甲：集合，且．命题乙：集合，且．问题： 若命题甲和乙中有且只有一个真命题，求实数的取值范围． 18. 除了直接作差以外，利用函数，基本不等式，反证法比大小也是解决不等关系的主要方法 （1）已知实数，满足. 求证：中至少有一个实数不小于1 （2）已知，，，试比较：a，b，c三者的大小关系 （3）若实数a，b，x，y满足，试比较：和的大小，并指明等号成立的条件 19. 由于浓酸泄漏对河流形成了污染，现决定向河中投入固体碱，1个单位的固体碱在水中逐步溶化，水中的碱浓度与时间的关系，可近似地表示为，只有当河流中碱的浓度不低于1时，才能对污染产生有效的抑制作用. （1）如果只投放1个单位的固体碱，则能够维持有效抑制作用的时间有多长？ （2）当河中的碱浓度开始下降时，即刻第二次投放1个单位的固体碱，此后，每一时刻河中的碱浓度认为是各次投放的碱在该时刻相应的碱浓度的和，求河中碱浓度可能取得的最大值. 20. 利用数形结合，构造函数研究方程与不等式问题是解决抽象代数问题的捷径. （1）已知函数,若对任意，恒成立，求：实数的取值范围. （2）设，若存在定义域为的函数同时满足①，②两个条件，求：a的取值范围. ①对于任意，的值为或； ②关于的方程无实数解． （3）已知函数，若方程有实根，求：集合的元素的可能个数. 21. 对于函数，若其定义域内存在非零实数满足，则称为“伪奇函数”．若其定义域内存在非零实数满足，则称为“伪偶函数” （1）已知函数，判断是否为“伪奇函数”；是否为“伪偶函数”，并说明理由； （2）若幂函数使得在上是“伪奇函数”，是“伪偶函数”，求实数m的取值范围； （3）若整数使得是定义在上的“伪奇函数”，求m的取值集合． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年上海市南洋模范中学高一上学期期中检测卷 数学试卷 （考试时间120分钟 满分150分） 考生注意： 1.带2B铅笔、黑色签字笔、考试中途不得传借文具. 2.考试期间严格遵守考试纪律，听从监考员指挥，杜绝作弊，违者由教导处进行处分. 3.请将答案写在答题纸上，保持字迹清晰 一.填空题（12题共54分，1~6题每题4分，7~12题每题5分） 1. 已知函数，若，则 _________. 【答案】2 【解析】 【详解】试题分析：已知条件为，待求式为 . 考点：对数的运算法则. 2. 已知集合，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】检验A中元素是否为方程的根，确定集合的交集结果即可. 【详解】，， 把代入方程，方程不成立，故， 再把代入方程，方程不成立，故， , 故答案为： 3. 函数的值域是__________． 【答案】 【解析】 【分析】分三种情况讨论，运用基本不等式求值域. 【详解】当时， 当，. 若时，，当且仅当，即时等号成立，此时 ，即. 若时，，当且仅当，即时等号成立，此时，即. 综上所述，函数的值域为. 故答案为： 4. 下列函数中，偶函数的序号为_______ ① ② ③ ④ 【答案】①②④ 【解析】 【分析】利用偶函数的定义逐一判断即得. 【详解】对于①，函数的定义域为， ，①是； 对于②，函数中，，解得， ，，②是； 对于③，中，，而，，③不是； 对于④，中，，当时，， ；当时，，， 因此，④是. 故答案为：①②④ 5. 若方程的三个根可以作为一个三角形的三条边的长，则实数的取值范围是______________. 【答案】 【解析】 【分析】 方程的三根是一个三角形三边的长，则方程有一根是，即三角形的一边是，另两边是方程的两个根，根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．则方程的两个根设是和，一定是两个正数，且一定有，结合根与系数的关系，以及根的判别式即可确定的范围． 【详解】解：方程有三根， ，有根， 方程的，得． 又原方程有三根，且为三角形的三边和长． 有，，而已成立； 当时，两边平方得：． 即：．解得． ． 故答案为： 【点睛】思路点睛：本题考查了根与系数的关系和三角形三边关系， 利用了：①一元二次方程的根与系数的关系， ②根的判别式与根情况的关系判断， ③三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边． 6. 设，关于的方程的解集为，若只有1个元素，则实数的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据交集的定义，将问题等价于方程在上存在唯一实数根，由一元二次方程的解法，分与两种情况进行讨论，结合二次函数的性质，可得答案. 【详解】由题意，方程在上存在唯一实数根， 当，即时，方程为，解得，符合题意； 当，即时，令，则，解得，符合题意. 故答案为：. 7. 对任意实数都有，则实数的最大值为_________． 【答案】2 【解析】 【分析】由绝对值的定义得，然后确定取最大值时，再利用不等式恒成立求得参数范围得最大值． 【详解】，取最大值，显然有， 因此，，，所以的最大值是2. 故答案为：2. 8. 若函数的值域为，则实数的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】依题意可得能够取到大于等于的所有数，然后对分类求解得答案． 【详解】解：因为函数的值域为， 所以能够取到大于等于的所有数， 当时，不合题意； 当时，则，解得； 综上可得. 故答案为：． 9. 设不等式的解集为M，设函数 （且）与x轴有两个交点时实数的取值集合为N，则_____ 【答案】 【解析】 【分析】解对数不等式得出集合M，设函数)和函数，把函数（且）与x轴有两个交点问题转化为两函数图象有两个交点，利用数形结合求出集合N，然后利用交集的概念求得答案． 【详解】由，得， 解得，从而． 设函数)和函数， 则函数（且）与x轴有两个交点，就是函数)的图象与函数的图象有两个交点． 当时，如图，由图可知，两函数图象只有一个交点，不符合题意； 当时，如图，因为函数的图象过点，而直线与y轴的交点一定在点的上方，所以两图象一定有两个交点． 综上，实数a的取值范围是，从而． 则． 故答案为：． 10. 已知函数，若对于任意的，都有，则的最小值是_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据及可得即可求出函数解析式，令，将函数转化为二次函数，求出函数的最小值. 【详解】解：对任意的，都有 令 则 所以的最小值为 故答案为： 【点睛】本题考查函数的最值，利用换元法将函数转化为二次函数，利用二次函数的性质求函数的最值，属于中档题. 11. 函数，，若在定义域上满足：①没有奇偶性；②不单调；③有最大值，则a的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】因为函数没有奇偶性，所以一次项系数不为零；因为函数在定义域上不单调，所以二次项系数不为零，且对称轴在区间内；又因为二次函数在开区间上有最大值，所以二次项系数小于零，求出a的取值范围. 【详解】因为函数没有奇偶性，所以，即； 又因为函数在上不单调，所以且； 又因为二次函数在开区间上有最大值，所以， 综上，解得. 故答案为：. 12. 已知实数，，，则c的取值范围为______ 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得，是方程的两个不等实根，由判别式大于0可得范围．再由，取范围交集得解. 【详解】因为，， 所以，是方程的两个不等实根， 则△，解得． 而，即，解得，或（不和题意，舍去），所以. 故答案为： 二.选择题（4题共18分，13~14每题4分，15~16每题5分） 13. 已知x∈R，则“成立”是“成立”的（ ）条件． A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充分必要 D. 既不充分也不必要 【答案】C 【解析】 【分析】先证充分性，由 求出x的取值范围，再根据x的取值范围化简即可，再证必要性，若，即，再根据绝对值的性质可知． 【详解】充分性：若，则2≤x≤3， ， 必要性：若，又， ， 由绝对值的性质：若ab≤0，则， ∴， 所以“成立”是“成立”的充要条件， 故选：C． 14. 对于非空集合和，把所有属于但不属于的元素组成的集合称为和的差集，记为，那么总等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据新定义，画出韦恩图即可求解. 【详解】由题意指图（1）中阴影部分构成的集合， 同样指图（2）中阴影部分构成的集合， ， 故选：A. 15. 已知点A(1,0)，点B在曲线G：y＝ln x上，若线段AB与曲线M：y＝相交且交点恰为线段AB的中点，则称B为曲线G关于曲线M的一个关联点．那么曲线G关于曲线M的关联点的个数为(　　) A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】设B(x0，ln x0)，利用中点坐标公式及已知可得：ln x0＝，将问题转化为：函数y＝ln x与y＝的图象的交点个数，作出函数图象即可得解． 【详解】设B(x0，ln x0)，x0＞0，线段AB的中点为C，则C， 又点C在曲线M上，故＝，即ln x0＝. 此方程根的个数就是曲线G关于曲线M的关联点的个数 又方程ln x0＝根的个数可以看作函数y＝ln x与y＝的图象的交点个数． 画出图象(如图)， 可知两个函数的图象只有1个交点． 故选B.. 【点睛】本题主要考查了中点坐标公式及函数与方程思思，考查转化能力及作图能力，属于难题． 16. 德国著名数学家狄利克雷（高斯的学生）在数学领域成就显著，著名的狄利克雷函数定义域在上的解析式可表示为：，下列关于狄利克雷函数说法正确的序号为（ ） ①狄利克雷函数为偶函数 ②狄利克雷函数为奇函数 ③狄利克雷函数值域为 ④对于任意，均有 ⑤狄利克雷函数的图像可以通过列表描点法画出 ⑥在狄利克雷函数上不存在可以构成等边三角形的三点 A. ①③④⑥ B. ②③⑤ C. ①④ D. ②④⑥ 【答案】C 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性的定义可判断①②；求得值域判断③；分类计算可判断④；根据狄利克雷函数特点可判断⑤；取特殊点可判断⑥. 【详解】由于， 设任意，则，； 设任意，则，； 总之，对于任意实数，恒成立，所以狄利克雷函数为偶函数；故①正确，②错误； 的值域为，故③错误； 当，则，可得， 当，则，， 所以对于任意，均有，故④正确； 因为在两个有理数之间有无数个无理数，在两个无理数之间有无数个有理数， 故狄利克雷函数的图像不可以通过列表描点法画出，故⑤错误； 取，得到为等边三角形，故⑥错误. 故选：C. 三.解答题（共78分，17~19每题14分，20~21每题18分） 17. 命题甲：集合，且．命题乙：集合，且．问题： 若命题甲和乙中有且只有一个真命题，求实数的取值范围． 【答案】 【解析】 【分析】对于命题甲，根据条件利用集合的运算可求出命题甲是真命题时的范围；对于命题乙，将问题转化成或集合A中元素为非正数，从而通过方程根的情况，求得命题乙是真命题时的范围，然后根据命题甲与命题乙的真假分两种情况讨论即可求得答案． 【详解】对于命题甲： 因为， 又，所以，解得 所以当命题甲是真命题，实数的取值范围为． 对于命题乙： 因为，且，则或集合A中元素为非正数． 又，所以A中元素是方程的根． 当时，，解得； 当集合A中元素为非正数时，设是方程的根， 因为，则且，解得． 所以当命题乙是真命题，实数的取值范围为． 当命题甲是真命题，命题乙是假命题时，得，从而得， 当命题甲是假命题，命题乙是真命题时，得或，从而得， 所以命题甲和乙中有且只有一个真命题时，实数的取值范围为． 18. 除了直接作差以外，利用函数，基本不等式，反证法比大小也是解决不等关系的主要方法 （1）已知实数，满足. 求证：中至少有一个实数不小于1 （2）已知，，，试比较：a，b，c三者的大小关系 （3）若实数a，b，x，y满足，试比较：和的大小，并指明等号成立的条件 【答案】（1）证明：（反证法）假设全小于1，即， 所以，这与矛盾， 故假设不成立，所以中至少有一个实数不小于1. （2）b＞c＞a （3），当且仅当且同号时，等号成立 【解析】 【分析】（1）利用反证法易证结论成立； （2）利用函数在上为减函数，函数在上为增函数，可比较大小； （3）利用1的代换，可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为函数在上为减函数，又，所以，即， 又函数在上为增函数，又，所以， 所以； 【小问3详解】 ， ， 当且仅当，即取等号， 所以， 当且仅当且同号时取等号. 19. 由于浓酸泄漏对河流形成了污染，现决定向河中投入固体碱，1个单位的固体碱在水中逐步溶化，水中的碱浓度与时间的关系，可近似地表示为，只有当河流中碱的浓度不低于1时，才能对污染产生有效的抑制作用. （1）如果只投放1个单位的固体碱，则能够维持有效抑制作用的时间有多长？ （2）当河中的碱浓度开始下降时，即刻第二次投放1个单位的固体碱，此后，每一时刻河中的碱浓度认为是各次投放的碱在该时刻相应的碱浓度的和，求河中碱浓度可能取得的最大值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【详解】（1）, , 综上，得. 即若1个单位的固体碱只投放一次，则能够维持有效抑制作用的时间为. （2）当时，单调递增, 当时，y=4-x单调递减, 所以当河中的碱浓度开始下降时，即刻第二次投放1个单位的固体碱， 即时，, 故当且仅当时，y有最大值. 本试题主要考查了函数在实际生活中的运用. 20. 利用数形结合，构造函数研究方程与不等式问题是解决抽象代数问题的捷径. （1）已知函数,若对任意，恒成立，求：实数的取值范围. （2）设，若存在定义域为的函数同时满足①，②两个条件，求：a的取值范围. ①对于任意，的值为或； ②关于的方程无实数解． （3）已知函数，若方程有实根，求：集合的元素的可能个数. 【答案】（1） （2） （3）2或4 【解析】 【分析】（1）根据绝对值的定义化简函数，再根据函数恒成立，分离参数进行讨论即可； （2）根据函数的定义，在函数中给定的自变量，只有唯一确定的与之对应，即可解答； （3）根据一元二次方程的根与判别式的关系，即可解答. 【小问1详解】 ①当时，，则， 此时恒成立，故； ②当时，，则， 若，即 令为对勾函数，在上单调递减，所以， 故； ③当时，若，则，同②符合题意成立； 若，则，同①符合题意成立. 综上所述，的取值范围为. 【小问2详解】 由条件①得，，解得或， 所以当时，；当时，， 又因为关于的方程无实数解，所以且, 所以. 【小问3详解】 ①若函数有两个相等的实数根， 则，得，实数根， 令，则， 当时，，此时，有2个解； ②若函数有两个不相等的实数根， 则，得，此时两个实数根分别是， 而， 即在时成立， 此时，有4个解； 综上所述，集合有2个或4个元素. 【点睛】（1）考查绝对值不等式中对参数进行分类讨论；（2）考查函数自变量与应变量一一对应的关系；（3）考查一元二次方程的根与判别式的关系. 21. 对于函数，若其定义域内存在非零实数满足，则称为“伪奇函数”．若其定义域内存在非零实数满足，则称为“伪偶函数” （1）已知函数，判断是否为“伪奇函数”；是否为“伪偶函数”，并说明理由； （2）若幂函数使得在上是“伪奇函数”，是“伪偶函数”，求实数m的取值范围； （3）若整数使得是定义在上的“伪奇函数”，求m的取值集合． 【答案】（1）不是伪奇函数；不是伪偶函数，理由如下： 因为，其定义域为，则， ， 因为恒成立，从而， 故在函数定义域内不存在使得，即不存在使得， 所以不是“伪奇函数”． 若，则， 则，且，解得， 故在函数定义域内不存在非零实数满足， 所以不是“伪偶函数”． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求出即可判断是否为“伪奇函数”；求解方程即可判断是否为“伪偶函数”； （2）利用幂函数的定义求出，从而得到的解析式，由条件可知在上存在非零实数解，然后利用参变量分离，结合函数的单调性求出范围；同时根据是“伪偶函数”求出范围，进而可得到答案； （3）由定义，将问题转化为(在上存在非零实数解，令，则，构造函数，利用二次函数的性质，列不等式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因是幂函数， 则，所以，， 所以，， 因为在上是“伪奇函数”， 所以在上存在非零实数解， 所以在上存在非零实数解， 则，且， 令，则，且， 令，且， ， 当且时，，则， 当且时，，则， 可得函数在上单调递减，在上单调递增， 又，，， 所以，当且时，，即，故， 因为是“伪偶函数”， 所以存在非零实数解， 即存在非零实数解，显然， 综上，实数的取值范围为． 【小问3详解】 由定义可得，在上存在非零实数解， 则在上存在非零实数解， 即在上存在非零实数解， 所以(在上存在非零实数解， 令， ∵，当且仅当，即时取等号， 又，∴， 则方程在上有实数解， 令，对称轴为， 当时，则，所以，故； 当时，则，即， 故， 综上，， 又为整数，则， 所以的取值集合为． 【点睛】关键点睛：本题为新概念题，解题关键是正确理解“伪奇函数”“伪偶函数”的概念，运用转化的思想，把问题转化为方程有解的问题，利用换元的思想简化运算并完成计算. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $