精品解析：北京市通州区第二中学2025-2026学年八年级上学期数学期中试卷

2025北京初二第一学期质量反馈数学 考生须知： 1．本试卷共7页，共三道大题，27个小题，满分为100分，考试时间为120分钟． 2．请在试卷和答题卡上准确填写学校名称、班级、姓名． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题、作图题用2 B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束后，请将答题卡交回． 一、选择题（本题共8个小题，每小题2分，共16分）每题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 如果分式的值为．那么的值是（ ） A. B. C. D. 2. 化简的结果为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，画出边上的高，正确的图形是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，为了估计池塘岸边A，B两点间的距离，小玥同学在池塘一侧选取一点O，测得OA=12米，OB=7米，则A，B间的距离不可能是（　　） A. 5米 B. 7.5米 C. 10米 D. 18.9米 5. 若，的值均扩大为原来的2倍，则下列分式的值保持不变的是（ ） A. B. C. D. 6. 将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则的大小为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，分别为，的中线，若的面积为16，则的面积为（ ） A. 4 B. 8 C. 2 D. 16 8. 对于正数x，规定，例如：，，则的值为（ ） A. 2021 B. 2020 C. 2019.5 D. 2020.5 二、填空题（本题共8个小题，每小题2分，共16分） 9. 如图，，点、、、在同一条直线上，、交于点，，则的度数是________． 10. 要使分式有意义，则x的取值范围是_____． 11. 如图，四边形中，，请补充一个条件____，使． 12. 方程的解为________． 13. 甲是容积为立方分米无盖的长方体盒子．如图，甲盒子底面是边长为分米的正方形，这个盒子的高是______分米；这个盒子的表面积是______平方分米．（用含有的式子表示） 14. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是角平分线，DE⊥AB于E，且DE=3 cm，BD=5 cm，则BC=_________ cm． 15. 如图是由6个边长相等的正方形组合成的图形，______． 16. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=7cm，BC=3cm，CD为AB边上的高， （1）若∠ECF=α，则∠CAB=_____________ (用含α的代数式表示）； （2）点E从点B出发，在直线BC上以每秒2cm的速度移动，过点E 作 BC的垂线交直线CD 于点F，当点E运动_________ s时，CF=AB． 三、解答题（本题共68分，第17-19题每题5分；第20-23题每题6分；第24-26题每题7分；第27题8分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算：． 18. 解方程：． 19. 计算：． 20. 如图，点是线段上一点，，，．求证：． 21. 课堂上有这样一个分式的计算题：，甲、乙两位同学完成的过程分别如下： 甲同学： 第一步 第二步 第三步 第四步 乙同学： 第一步 第二步 第三步 第四步 老师发现这两位同学的解答都有错误． 请你从甲、乙两位同学中，选择一位同学的解答过程，帮助他分析错因，并加以改正． （1）我选择___________同学的解答过程进行分析．（填“甲”或“乙”） 该同学的解答从第___________步开始出现错误，错误的原因是___________________； （2）请重新写出完成此题的正确解答过程． 解： 22. 先化简，再求值：，然后再从1，2，3中选一个你喜欢的数，求式子的值． 23. 如图，，，过点A、D分别作的垂线，垂足为C、F． （1）求证：； （2）连接、线段与是否互相平分?请说明理由． 24. 随着科技的发展，人工智能使生产生活更加便捷高效．某科技公司生产了一批新型搬运机器人，打出了如下的宣传： 根据该宣传，求新型机器人每天搬运的货物量． 25. 如图，在中，D为边上一点，E为边上一点，且，连接，F为的中点．连接并延长，交于点G，在上截取点H，使，连接，若． （1）求证：； （2）求证：． 26. 如图，，，，是的中点，连并延长线交射线于点． （1）如图1，当时，请根据题意将图形补全，判断与的数量关系，并证明你的结论； （2）如图2，若为钝角时，请根据题意将图形补全，判断与的数量关系，并证明你的结论． 27. 给出定义：如果两个实数m，n使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数m，n组成的数对称为关于x的分式方程的一个“梦想数对”． 例如：当，时，使得关于的分式方程的解是成立，所以数对称为关于的分式方程的一个“梦想数对”． （1）在数对①；②；③中，_________（只填号）是关于x的分式方程的“梦想数对”． （2）若数对是关于的分式方程的一个“梦想数对”求a的值． （3）若数对且是关于的分式方程的一个“梦想数对”，且关于的方程有整数解，直接写出整数c的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025北京初二第一学期质量反馈数学 考生须知： 1．本试卷共7页，共三道大题，27个小题，满分为100分，考试时间为120分钟． 2．请在试卷和答题卡上准确填写学校名称、班级、姓名． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题、作图题用2 B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束后，请将答题卡交回． 一、选择题（本题共8个小题，每小题2分，共16分）每题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 如果分式的值为．那么的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式的值为零的条件，分式的值为需满足分子为且分母不为，据此求解即可． 【详解】解：分式 的值为， 且 ， 解得 ，且 ， 的值为． 故选：A． 2. 化简的结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：原式． 3. 如图，在中，画出边上的高，正确的图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的高线的定义：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫作三角形的高．根据三角形的高的定义对各个图形观察后解答即可． 【详解】解：根据三角形高线的定义，边上的高是过点向作垂线，垂足为，纵观各图形，A、B、C都不符合题意，D符合高线的定义， 故选：D． 4. 如图，为了估计池塘岸边A，B两点间的距离，小玥同学在池塘一侧选取一点O，测得OA=12米，OB=7米，则A，B间的距离不可能是（　　） A. 5米 B. 7.5米 C. 10米 D. 18.9米 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形的三边关系：在三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，可以求得AB的取值范围，即可进行判断． 【详解】解：由题意可知， ∴， 即：， ∴A选项不符合题意， 故选：A． 【点睛】本题主要考查的是三角形的三边关系，重点在于利用三边关系求得第三边取值范围． 5. 若，的值均扩大为原来的2倍，则下列分式的值保持不变的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质．根据分式的基本性质，，的值均扩大为原来的3倍，求出每个式子的结果，看结果等于原式的即是答案． 【详解】解：A．，不符合题意； B．，不符合题意； C．，符合题意； D．，不符合题意； 故选：C． 6. 将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据直角三角板的性质得出∠ACD的度数，再由三角形内角和定理即可得出结论． 【详解】解：如图所示， 由一副三角板的性质可知：∠ECD=60°，∠BCA=45°，∠D=90°， ∴∠ACD=∠ECD－∠BCA=60°－45°=15°， ∴∠α=180°－∠D－∠ACD=180°－90°－15°=75°， 故选：B． 【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键． 7. 如图，分别为，的中线，若的面积为16，则的面积为（ ） A. 4 B. 8 C. 2 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，根据三角形中线平分三角形面积得到，进而可得． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵是的中线， ∴， 故选：B． 8. 对于正数x，规定，例如：，，则的值为（ ） A. 2021 B. 2020 C. 2019.5 D. 2020.5 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查分式的加减法，代数式求值，规律型：数字的变化类，根据运算规则可得，据此可推出结果． 【详解】解：根据运算规则可得； ，，则； ，，则； ⋯⋯， ，，则； ∴ ． 故选：D． 二、填空题（本题共8个小题，每小题2分，共16分） 9. 如图，，点、、、在同一条直线上，、交于点，，则的度数是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形外角的性质，熟知全等三角形对应角相等是解题的关键．先由全等三角形的性质得到，再由三角形外角的性质可得． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 10. 要使分式有意义，则x的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件．分式有意义的条件是分母不等于零据此解答即可． 【详解】解：分式 有意义， ∴， 解得：． 故答案为 ． 11. 如图，四边形中，，请补充一个条件____，使． 【答案】(答案不唯一) 【解析】 【分析】本题是一道开放型的题目，答案不唯一，只要符合全等三角形的判定定理即可． 【详解】解：添加的条件为， 理由是：在和中， ， ∴(AAS)， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解决本题的关键，注意：全等三角形的判定定理有，两直角三角形全等还有HL． 12. 方程的解为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，先化为整式方程，再解一元一次方程，然后对所求的方程的解进行检验即可得． 【详解】解： 去分母得， 解得 检验：将代入 ∴原方程的解为． 故答案为：． 13. 甲是容积为立方分米无盖的长方体盒子．如图，甲盒子底面是边长为分米的正方形，这个盒子的高是______分米；这个盒子的表面积是______平方分米．（用含有的式子表示） 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查列代数式，熟记长方体体积公式、表面积求法是解决问题的关键． 由长方体体积公式得到盒子的高，再由表面积结构求解即可得到答案． 【详解】解：甲盒子底面是边长为分米的正方形， 盒子的底面积为平方分米， 则这个盒子的高是分米，这个盒子的表面积是平方分米， 故答案为：，． 14. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是角平分线，DE⊥AB于E，且DE=3 cm，BD=5 cm，则BC=_________ cm． 【答案】8 【解析】 【详解】试题解析：∵CD⊥AC，DE⊥AB，AD平分∠BAC， ∴CD=DE=3，BC=CD+BD=3+5=8cm． 15. 如图是由6个边长相等的正方形组合成的图形，______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，网格结构，准确识图并判断出全等三角形是解题的关键．先证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得，然后求出，再判断出，然后计算即可得解． 【详解】解：如图所示， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 故答案为：． 16. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=7cm，BC=3cm，CD为AB边上的高， （1）若∠ECF=α，则∠CAB=_____________ (用含α的代数式表示）； （2）点E从点B出发，在直线BC上以每秒2cm的速度移动，过点E 作 BC的垂线交直线CD 于点F，当点E运动_________ s时，CF=AB． 【答案】 ①. ②. 2或5 【解析】 【分析】（1）根据对顶角相等、余角的性质即可得到结论； （2）如图，分点E在射线BC上移动和点E在射线CB上移动两种情况，证△CEF≌△ACB得CE=AC=7，继而得出BE的长，从而得出答案． 【详解】解：（1）由对顶角的定义，则 ∠BCD=∠ECF=α， ∵∠ACB=90°，CD为AB边上的高， ∴∠CAB+∠CBD=90°，∠BCD+∠CBD=90°， ∴∠CAB=∠BCD=α； 故答案为：α； （2）如图，当点E在射线BC上移动时， ∵∠A=∠BCD，∠BCD=∠ECF， ∴∠A=∠ECF， 在△CFE与△ABC中， ， ∴△CEF≌△ACB（AAS）， ∴CE=AC=7， ∴BE=BC+CE=10， ∴t=10÷2=5（s）； 当点E在射线CB上移动时， 同理△CF′E′≌△CBA（AAS）， ∴CE′=AC=7， ∴BE′=CE′-CB=4， ∴t=4÷2=2（s） 总之，当点E在射线CB上移动5s或2s时，CF=AB． 故答案为：2或5 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，余角的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 三、解答题（本题共68分，第17-19题每题5分；第20-23题每题6分；第24-26题每题7分；第27题8分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的混合运算，先计算乘方再将除法转化为乘法，再约分计算即可求解． 【详解】解： 18. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．按照解分式方程的步骤进行计算，即可解答． 【详解】解： 去分母得：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， 解得：， 检验，当时，， 是原方程的根． 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的混合运算．先把分子分母因式分解，再把除法运算化为乘法运算，然后约分后再通分进行分式的减法运算． 【详解】解： ． 20. 如图，点是线段上一点，，，．求证：． 【答案】 证明：∵ ∴， 又∵， ∴． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的性质定理．熟练掌握全等三角形的判定定理并能结合题意灵活运用是解决本题的关键．首先由得到，然后即可证明． 【详解】略 21. 课堂上有这样一个分式的计算题：，甲、乙两位同学完成的过程分别如下： 甲同学： 第一步 第二步 第三步 第四步 乙同学： 第一步 第二步 第三步 第四步 老师发现这两位同学的解答都有错误． 请你从甲、乙两位同学中，选择一位同学的解答过程，帮助他分析错因，并加以改正． （1）我选择___________同学的解答过程进行分析．（填“甲”或“乙”） 该同学的解答从第___________步开始出现错误，错误的原因是___________________； （2）请重新写出完成此题的正确解答过程． 解： 【答案】（1） 解：选甲：一，理由合理即可，如：第一个分式的变形不符合分式的基本性质，分子漏乘； 选乙：二，理由合理即可，如：与等式的性质混淆了，丢掉了分母； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查分式的混合运算， （1）根据分式的混合运算顺序和运算法则即可判断； （2）根据分式的混合运算顺序和运算法则重新计算可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 22. 先化简，再求值：，然后再从1，2，3中选一个你喜欢的数，求式子的值． 【答案】； 【解析】 【分析】先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，最后根据分式有意义的条件，将代入求解． 【详解】解： ， ∵， ∴当时，原式 【点睛】本题考查了分式化简求值，解题关键是熟练运用分式运算法则进行求解． 23. 如图，，，过点A、D分别作的垂线，垂足为C、F． （1）求证：； （2）连接、线段与是否互相平分?请说明理由． 【答案】（1） 证明：∵，∴， ∵，∴， 在和中， ， ∴； （2） 线段与互相平分，理由如下： 连接交线段于点O，如图所示： 由（1）得，， 在和中， ， ， ， ∴线段与互相平分． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． 由AAS证明即可； 连接交线段于点O，先由全等三角形的性质得，再由AAS证明即可证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 随着科技的发展，人工智能使生产生活更加便捷高效．某科技公司生产了一批新型搬运机器人，打出了如下的宣传： 根据该宣传，求新型机器人每天搬运的货物量． 【答案】新型机器人每天搬运的货物量为80吨 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，设每台新型机器人每天搬运的货物量为x吨，则每台旧型机器人每天搬运的货物量为吨，根据题意列出分式方程，解方程并检验，即可求解． 【详解】解：设每台新型机器人每天搬运的货物量为x吨，则每台旧型机器人每天搬运的货物量为吨， 由题意得：，解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：新型机器人每天搬运的货物量为80吨． 25. 如图，在中，D为边上一点，E为边上一点，且，连接，F为的中点．连接并延长，交于点G，在上截取点H，使，连接，若． （1）求证：； （2）求证：． 【答案】（1） 证明：∵F为的中点， ∴， 又∵，， ∴． （2） 证明：∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）利用证明即可； （2）由可得，．根据可得，则可得，则．再证，即证． 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 26. 如图，，，，是的中点，连并延长线交射线于点． （1）如图1，当时，请根据题意将图形补全，判断与的数量关系，并证明你的结论； （2）如图2，若为钝角时，请根据题意将图形补全，判断与的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1） ，理由如下：如图1所示：连接， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， （2） 与的数量关系：，证明如下： 如图2， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质的综合应用等知识； （1）连接，先证，得，再证，得，即可得出结论； （2）先证，得，再证，得，即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 27. 给出定义：如果两个实数m，n使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数m，n组成的数对称为关于x的分式方程的一个“梦想数对”． 例如：当，时，使得关于的分式方程的解是成立，所以数对称为关于的分式方程的一个“梦想数对”． （1）在数对①；②；③中，_________（只填号）是关于x的分式方程的“梦想数对”． （2）若数对是关于的分式方程的一个“梦想数对”求a的值． （3）若数对且是关于的分式方程的一个“梦想数对”，且关于的方程有整数解，直接写出整数c的值． 【答案】（1）①③ （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据定义，计算判断即可． （2）根据定义，分式方程的解为，代入方程求a的值即可． （3）根据数对且是关于的分式方程的一个“梦想数对”， 得关于的分式方程的解是，回代方程，得，结合关于的方程的解为，且方程有整数解，解答即可． 本题考查了分式的新定义，熟练掌握定义是解题的关键． 【小问1详解】 解：当，时，使得关于的分式方程的解是成立，所以数对是关于的分式方程的一个“梦想数对” 故①正确； 当，时，使得关于的分式方程的解是，不是 成立，所以数对不是关于的分式方程的一个“梦想数对” 故②错误； 当，时，使得关于的分式方程的解是成立，所以数对是关于的分式方程的一个“梦想数对” 故③正确； 故答案为：①③． 【小问2详解】 解：根据定义，分式方程的解为， 故． 解得． 【小问3详解】 解：根据数对且是关于的分式方程的一个“梦想数对”， 得关于的分式方程的解是，回代方程，得， 整理，得， ∴， ∵且， ∴， ∴， ∵方程的解为， ∴， ∵方程有整数解， ∴ 当时，，（舍去）； 当时，，（舍去）； 故或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $