精品解析：上海市上海音乐学院附属黄浦比乐中学2026-2027学年高二上学期11月期中考试数学试题

2026学年第一学期期中考试试卷 高二年级数学试卷 （满分100分，考试时间90分钟） 一.填空题（共有12题，满分42分，第1-6题每题3分，第7-12题每题4分） 1. “平面经过直线”可用符号语言表示为_______________． 2. 从同一点出发的四条直线最多能确定______个平面． 3. 已知，直线，直线且与是异面直线，则与所成角的大小是__________. 4. 平面外的两条直线、，且，则是的_______________条件.（填“充分非必要”，“必要非充分”“充要”“非充分非必要”） 5. 已知，，点在直线上，且，则点的坐标为__________. 6. 已知一个正四棱锥的底面边长为2，侧面与底面所成角的大小为，则该四棱锥的侧面积为______． 7. 正三棱柱的，则点到的距离为__________. 8. 已知棱锥的高为16，底面积为256，平行于底面的截面面积为121，则截得的棱台的高为___________. 9. 有一块三角板，，，边在桌面上，当三角板和桌面成角时，与桌面所成的角的正弦值是______． 10. 如图，圆锥的母线长为4，点为母线的中点，从点处拉一条绳子，绕圆锥的侧面转一周达到点，这条绳子的长度最短值为，则此圆锥的表面积为__________ 11. 三棱锥的三条侧棱两两垂直，，，，且，则该三棱锥取得最大体积时，顶点到底面的距离为__________. 12. 《九章算术》中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”，现提供一中计算“牟合方盖”体积的方法，显然，正方体的内切球也是“牟合方盖”的内切球.因此，用任意平行于水平面的平面去截“牟合方盖”，截面均为正方形，平面截内切球得到上述正方形的内切圆，结合祖暅原理，利两个同高的立方体如在等高处的截面面积相等，则体积相等.若正方体棱长为3，则“牟合方盖”体积为________. 二.选择题（共有4题，满分14分，13-14题每题3分，15-16题每题4分） 13. 已知直线和两个不同的平面，则下列结论正确的为（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 14. 如图，在四面体中，，、分别是、的中点，若与所成角的大小为，则与所成角的大小为（ ） A. B. C. 或 D. 或 15. 若直线和是异面直线，在平面内，在平面内，l是平面与平面的交线，则下列命题正确的是 A. 与，都相交 B. 与，都不相交 C. 至少与，中的一条相交 D. 至多与，中的一条相交 16. 已知两个圆锥有等长的母线，它们的侧面展开图恰好拼成一个圆，若它们的侧面积之比为，则它们的体积比为（ ） A. B. C. D. 三.解答题（共有5题，满分44分，17-19题每题8分，20-21题每题10分） 17. 已知是边长为1的正方形，正方形绕旋转形成一个圆柱. （1）求该圆柱的表面积； （2）正方形绕逆时针旋转至，求异面直线与所成角的大小. 18. 如图所示，已知三棱锥中，平面，，，为上一点且满足，分别为的中点. （1）证明：； （2）求与平面所成角的大小. 19. 如图，几何体中，是正三角形，和都垂直于平面，且， 分别为和的中点. （1）求证：∥平面； （2）求二面角的正切值. 20. 1.长方体中，，，过，，三点的平面截去长方体的一个角后，得到如下图所示的几何体. （1）求几何体的体积； （2）求点到平面的距离. 21. 如图，是圆的直径，点是圆上异于、的点，垂直于圆所在平面，且. （1）若点为线段的中点，求证：平面； （2）求三棱锥体积的最大值； （3）若，点在线段上，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026学年第一学期期中考试试卷 高二年级数学试卷 （满分100分，考试时间90分钟） 一.填空题（共有12题，满分42分，第1-6题每题3分，第7-12题每题4分） 1. “平面经过直线”可用符号语言表示为_______________． 【答案】 【解析】 【详解】 2. 从同一点出发的四条直线最多能确定______个平面． 【答案】6 【解析】 【分析】根据任意两条相交直线都可以确定一个平面，把所有可能列出来即可. 【详解】设这四条直线分别为a，b，c，d，则有a与b，a与c，a与d，b与c，b与d，c与d，共6种情况， 故答案为：6 3. 已知，直线，直线且与是异面直线，则与所成角的大小是__________. 【答案】 【解析】 【分析】由异面直线所成角的定义及范围即可得结果. 【详解】由直线，直线且与是异面直线， 可得为异面直线与所成的角或补角， 由于异面直线所成的角的范围是，所以异面直线与所成的角为， 故答案为. 【点睛】本题主要考查了等角定理的应用，异面直线所成的角，属于基础题. 4. 平面外的两条直线、，且，则是的_______________条件.（填“充分非必要”，“必要非充分”“充要”“非充分非必要”） 【答案】充分非必要 【解析】 【详解】充分性：过直线作平面与相交，设交线为，由，则. 若，则.又因为，，所以，故充分性成立； 必要性：若，结合已知， 此时与的位置关系可以为平行、相交或异面，无法必然推出，必要性不成立. 综上，“”是“”的充分非必要条件. 5. 已知，，点在直线上，且，则点的坐标为__________. 【答案】 或 【解析】 【分析】设，由长度比得，再对两种情况分别代入定比分点坐标求得点的坐标. 【详解】，设，由得，即. 当时，，故. 当时，，故. 6. 已知一个正四棱锥的底面边长为2，侧面与底面所成角的大小为，则该四棱锥的侧面积为______． 【答案】8 【解析】 【分析】过V作平面ABC的垂线VO,交平面ABC于O点,过作OE⊥AB,交AB于E.连结VE, 则∠VEO是二面角V-AB-C的平面角，在直角三角形VEO中，利用余弦的定义，即可求出侧高，即可求出四棱锥的侧面积. 【详解】如图, 在正四棱锥V-ABCD中,底面正方形ABCD边长为2.侧面VAB与底面ABCD所成二面角的大小为60°, 过V作平面ABC的垂线VO,交平面ABC于O点,过作OE⊥AB,交AB于E.连结VE, 则∠VEO是二面角V-AB-C的平面角,∴∠VEO=60°,OE=AE=BE=1, ∴，∴cos∠VEO=, ∴该四棱锥的侧面积. 故答案为：8 7. 正三棱柱的，则点到的距离为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用点线距公式求得正确答案. 【详解】取中点为坐标原点，为轴，为轴，为轴（为中点）， 建立如图所示的空间直角坐标系. 由正三棱柱，得，，， 则，. 点到直线的距离为. 由，，， 得. 8. 已知棱锥的高为16，底面积为256，平行于底面的截面面积为121，则截得的棱台的高为___________. 【答案】5 【解析】 【分析】根据对应边比与面积比关系即可求解． 【详解】设棱台的高为x，则有 ，解之，得x＝5． 故答案为：5 9. 有一块三角板，，，边在桌面上，当三角板和桌面成角时，与桌面所成的角的正弦值是______． 【答案】 【解析】 【分析】设，通过平面得出，即知为线面角，再由线段长度关系即可求得结果. 【详解】如图所示： 过点作平面，交平面于点， 设，则，， 平面，平面， ，所以为与桌面所成的角， 又因为，， 所以. 故答案为：. 10. 如图，圆锥的母线长为4，点为母线的中点，从点处拉一条绳子，绕圆锥的侧面转一周达到点，这条绳子的长度最短值为，则此圆锥的表面积为__________ 【答案】 【解析】 【分析】作出圆锥侧面展开图，根据给定条件求出展开图扇形圆心角，再求出圆锥底面圆半径即可作答. 【详解】将圆锥侧面沿母线AB剪开，其侧面展开图为扇形，如图， 从点处拉一条绳子，绕圆锥的侧面转一周达到点，最短距离即为线段BM长，则有， 而M是线段中点，又母线长为4，于是得，即， 设圆锥底面圆半径为r，从而有：，解得， 所以圆锥的表面积为. 故答案为： 11. 三棱锥的三条侧棱两两垂直，，，，且，则该三棱锥取得最大体积时，顶点到底面的距离为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先结合三棱锥体积公式与基本不等式确定体积最大时的侧棱长，再通过等体积法求解顶点到底面的距离. 【详解】由于三棱锥的三条侧棱两两垂直，故平面， 因此三棱锥体积为，其中， 代入，得 . 已知，且，由基本不等式，代入得 ， 当且仅当时等号成立，此时三棱锥体积取得最大值，对应. 由侧棱两两垂直，根据勾股定理得底面三角形三边长：   ， 因此为等腰三角形，底边上的高为 ， 故底面面积  设顶点到底面的距离为，由三棱锥体积的等积性，有 ， 代入最大体积，以及，得，解得. 12. 《九章算术》中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”，现提供一中计算“牟合方盖”体积的方法，显然，正方体的内切球也是“牟合方盖”的内切球.因此，用任意平行于水平面的平面去截“牟合方盖”，截面均为正方形，平面截内切球得到上述正方形的内切圆，结合祖暅原理，利两个同高的立方体如在等高处的截面面积相等，则体积相等.若正方体棱长为3，则“牟合方盖”体积为________. 【答案】18 【解析】 【分析】先求得正方体的内切球的体积，再由已知得出牟合方盖的体积，可求得答案. 【详解】正方体的棱长，则其内切球的半径，内切球的体积． 由于截面正方形与其内切圆的面积之比为， 设牟合方盖的体积为，则，从而牟合方盖的体积． 故答案为：. 二.选择题（共有4题，满分14分，13-14题每题3分，15-16题每题4分） 13. 已知直线和两个不同的平面，则下列结论正确的为（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件作出相应图形，结合图形证明或举出反例即可求解. 【详解】对于A，如下图，，则， 满足题中条件，但与相交，故错误; 对于B，若， 当在内且与的交线垂直时，符合题中条件，但不满足结论，故B错误; 对于C，设过的平面与相交于直线，则，且， 由，则，由面面垂直的判定定理可得：，故C正确; 对于D，若，则与可能平行，如下图中， 也可能在内，如图中，故D错误. 故选：C. 14. 如图，在四面体中，，、分别是、的中点，若与所成角的大小为，则与所成角的大小为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】取中点，连接，将问题转化成一个三角形内的情况再求解. 【详解】如图所示，取的中点，连接， 因为、分别是、的中点， 所以是的中位线， 所以，且， 同理，因为、分别是、的中点， 所以是的中位线， 所以，且， 因为， 所以，即是等腰三角形， 因为与所成角的大小为，且，， 所以等于或， 因为，所以与所成角的大小等于与所成角的大小，即， 当时，为等边三角形，此时； 当时，为等腰三角形，此时； 综上所述，与所成角的大小为或. 15. 若直线和是异面直线，在平面内，在平面内，l是平面与平面的交线，则下列命题正确的是 A. 与，都相交 B. 与，都不相交 C. 至少与，中的一条相交 D. 至多与，中的一条相交 【答案】C 【解析】 【详解】l与l1，l2可以都相交，可可能和其中一条平行，和其中一条相交，如图 所以至少与，中的一条相交. 故选:C． 16. 已知两个圆锥有等长的母线，它们的侧面展开图恰好拼成一个圆，若它们的侧面积之比为，则它们的体积比为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据侧面积之比和拼成一个圆可以算出它们的底面半径之比、母线与半径的关系式从而算出高与底面半径的关系，进而求出体积之比. 【详解】设侧面展开扇形圆心角为，它们的母线长为， 由题可得它们的侧面积之和刚好为一个圆的面积且， 再根据和侧面积之比为，可得展开图的角度之比为， 故，，底面周长之比为， 故，即，根据即， 解得，故第一个圆锥的高， 第二个圆锥的高为，故体积之比为， 将，，代入，得 三.解答题（共有5题，满分44分，17-19题每题8分，20-21题每题10分） 17. 已知是边长为1的正方形，正方形绕旋转形成一个圆柱. （1）求该圆柱的表面积； （2）正方形绕逆时针旋转至，求异面直线与所成角的大小. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据底面半径和高求得圆柱的表面积. （2）作出异面直线与所成角，解三角形求得角的大小. 【小问1详解】 底面半径，高， 所以圆柱的表面积为. 【小问2详解】 连接，正方形中,则是异面直线与所成角， 正方形绕逆时针旋转至， 则平面，平面， 所以， 在中，， 所以异面直线与所成角的大小为. 18. 如图所示，已知三棱锥中，平面，，，为上一点且满足，分别为的中点. （1）证明：； （2）求与平面所成角的大小. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意得两两垂直，进而建立空间直角坐标系，利用坐标法求解证明即可； （2）结合（1），利用坐标法求解. 【小问1详解】 解：因为平面， 所以 又因为， 所以两两垂直，故以点为坐标原点，如图，建立空间直角坐标系， 因为，， 所以，，，，，， 所以， 所以，即 所以. 【小问2详解】 解：由（1）知所以，，，，， 所以，，， 设平面的一个法向量为， 则，即，令，则， 设与平面所成角为， 则， 因为，所以 19. 如图，几何体中，是正三角形，和都垂直于平面，且， 分别为和的中点. （1）求证：∥平面； （2）求二面角的正切值. 【答案】（1）证明见解析； （2）． 【解析】 【分析】（1）证明是平行四边形得，从而得证线面平行； （2）作，垂足为，连接，证明是二面角的平面角，然后在直角中求得其正切值． 【小问1详解】 证明：因为和都垂直于平面，所以， 分别为和的中点，所以，，而， 所以且， 所以是平行四边形，所以， 平面，平面，所以平面； 【小问2详解】 平面，平面，所以，由（1），同理， 又是等边三角形，是中点，， ，平面，所以平面， 平面，所以， 作，垂足为，连接， 因为，平面，所以平面，而平面， 所以，所以是二面角的平面角， 同理由平面，平面，得， 由已知，，， ， ． 20. 1.长方体中，，，过，，三点的平面截去长方体的一个角后，得到如下图所示的几何体. （1）求几何体的体积； （2）求点到平面的距离. 【答案】（1）10 （2） 【解析】 【分析】（1）几何体的体积等于长方体的体积减去三棱锥的体积；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解点到平面的距离. 【小问1详解】 如图所示，几何体的体积等于长方体的体积减去三棱锥的体积，长方体的体积为，三棱锥的体积为，所以几何体的体积为12-2=10 【小问2详解】 以D为坐标原点，DA、DC、所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，，，， ，， 设平面的法向量 则 ，即 令得：， ∴ 则 21. 如图，是圆的直径，点是圆上异于、的点，垂直于圆所在平面，且. （1）若点为线段的中点，求证：平面； （2）求三棱锥体积的最大值； （3）若，点在线段上，求的最小值. 【答案】（1）证明：在 中，因，为 中点，所以 ， 又因为 平面 ， 平面 ，所以 ， 又因 平面 ，， 故 平面 . （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的性质定理与判定定理即可得证； （2）列出三棱锥体积表达式，结合点满足的等式，利用基本不等式即可求解； （3）利用三角形翻折，使得三点共线，即可求得目标式的最小值. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 因为是圆的直径，则，， 由 ，当且仅当 时取等， 所以三棱锥 体积的最大值为 . 【小问3详解】 因为 ，，，所以， 又因为，所以 为等边三角形， 将 绕 翻转至与 共面且点在的两侧，如图： 连结 交于点，此时三点共线， 取得最小值， 又因，， 所以 . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $