湖南省常德市临澧县第一中学2026-2027学年高二上学期第三次阶段性考试数学试题

临澧一中2027届高三第一期第三次阶段性考试数学答案 1.D2.A3.D4.B5.C6.C7.B8.A 9.BD 10.BCD 11.BCD 12.2 3π 13.4 14.5 15. 【答案】(1)5 (2) X 0 1 2 P 1 8 2 3 15 15 E0x0-号 【解析】(1)从5架无人机中随机抽取2架共有C号=10种等可能的抽法，恰抽到1架甲种无人机的抽法 有CCg=6种，所以 4)=CC=63 C2105 5分 (2)由(1)及随机抽样的等可能性， P)是0r-.P)是-日 X的所有可能取值为0,1,2 X=2表示“抽到的2架都是甲种无人机且都试飞合格”，故 =4-品号后 X=1有两种情形：①恰抽到1架甲种无人机且该机合格（另一架为乙种无人机）②抽到的2架都是甲 种无人机且恰有1架合格.所以 Px=+r4kc对号品g-号后- 由对立事件得 x-0-Px=0--2-1层是 所以X的分布列为 X 0 2 P 1 8 3 15 1 X的数学期望 E()=0x+1x 1 -+2× 212_4 115215155 …8分 17 = 16.【答案】(1)略(2)3或9」 【解析】(1)取AB中点E,连接DE.因为△ABD是等边三角形，所以DE⊥AB.又平面ABDL 平面ABC,平面ABD∩平面ABC=AB,DEC平面ABD,所以DE⊥平面ABC.因为BCC平面 ABC,所以DE⊥BC.又BC⊥AD,DE,ADC平面ABD,DE∩AD=D,所以BC⊥平面 ABD.因为ABC平面ABD, 所以BC⊥AB … …6分 (2)在等边△ABD中，AB=2,则DE=V3,由(1)知，DE⊥平面ABC,因为CEC平面ABC, 所以DE⊥CE 在Rt△DCE中，CD=3,则CE=VCD2-DE2=√6 在Rt△BCE中， 纸B1 ,所以BC=VCE2-BE2=√5 如图，以B为坐标原点，BC,BA为x轴，y轴，以过点B且垂直于平面ABC的直线为z轴，建立空 间直角坐标系B-3z,则4(0,2,0)，B(0,0,0).C(V50,0）.D(0,1V5) 设P(cy),则而-(5，l),-x-5,y)(-5,1l 所P5-5,25).mF-(5-525a 设7=（火列为平面4CD的一个法向至，因为D=(0,-1,5)4C=(5,-20)】 i·AD=0-y+3z=0 由i4c=0,得5x-2y=0,取y=5.有i-(25,,5列 n.BP sin= 3V5 记直线BP与平面ACD所成角为日，则 州BP 8 25(5-5A)+i5+5135 4v2V5-5+2+32 8 所以 元=17 整理得2722-301+7=0，解得3或9. …9分 17.【答案】 【解析】(a)解：由稀圆定，义△MN5的周长为MEHMEHN5HN=4a=12,得a=3 取短轴端点B(0,b,焦点B(c0）,直线B那：bx+gy-bc=0 d=-bd_be bc2√5 原点到该直线距离： VB2+c2a由题意：33，所以bc=2V5 [b2+c2=a2=9 [b2=5 联立( bc=2√5 解得c2-4 e=c=25 此时离心率a33: 「b=4 e5 1c2=5 e=- 此时离心率a3;(舍去) 组6二5，椭圆C的方程为9了) …6分 (2)解：若△PMN的内心在x轴上，则x轴平分∠MPN,:斜率满足kpm+kw=0 设定点P(飞，0)易知，直线MN的斜率不为0 设MN:x=my+2,M(x,乃).N(x2,y2) x=my+2 x2,y2 =1 联立(95 @+215m*9r+20w25=D 消元整理得 9 △=(20m}+4×25(5m2+9）>0恒成立，由韦达定理： 20m -25 y+y2= 5m2+9.y= 5m2+9, pw+kpw=业+五=0 由 x-t5-t得(3-)+⅓(G-)=0 代入x=my+2,名=m,+2整理得2m+(2-+2)=0 -25 -20m-0 所2mm+9+2-0小5m+9-0化简得m(201-90)=0 2m.- 9 t 要对任意实数m成立，则20t-90=0,解得2，存在定点 符合题意。…9分 _9+55 ∠A== 18.【答案】(1) 12② 2 2’又 ∠ABC=2π ∠DBC= 【解析】(1)因 3,AB⊥BD,则 6,且C为锐角， B D C DC BD 在△BCD中，由正弦定理得sin∠OBC sinC, inC= BDsin/DBC 2 C= 解得 DC =2,且Ce(0,),可得C= 4 A=元-2n元-元 则 3412:… …4分 ∠A= (i)因为 12,AB⊥BD,BD=2, 叉an tan 16 tan∠A=tan ππ 6 3 46) =2-V5 1+tantan 4 6 1+1x 所以 3 tan∠A= BD=2-V5 AB=,26=22+5) 又因为 AB ,可得 2-5 ∠BDC=π+π_7元 sin_BDC=sin=sin "cos+cos"sin nπV6+√2 且 12212,则 43 4 3 434， BC DC 在△BCD中，由正弦定理得sin/BDC sin∠DBC, BC2 SiT元s而 即“12 6,所以BC=V3+1. 数5号488 c.sin/ABc-不5+小2+59-9455 所以 2 2 2 .…6分 DC BD 2sinπ CD= 61 (2)在△BCD中，由正弦定理得sin∠DBC sinC,可得 sinCsinC AD BD 2sinπ AD= 2=」 2 在△ABD中，由正弦定理得sin∠ABD sinA,可得 sinAsinA 2,12,1 AD CD=2+- -sinA+sinC 1 则 sinA sinC ∠ABC=2πA+C=元0<C< 因为 3,则 3,且 3, 2+-sinA sinc=sinC +sinc-v 可得AD'CD sinC+sinC 2 osC -sin c 0<C<π 21 所以AD'CD的取值范围为 …7分 19.【答案】 (1) 小六6n-6-d 1≤i≤n 【解析】(1)记 )-r兴c-) 1≤xr. 当r=e时，则 -r点-Ris0 令0.()>0，解得1≤x<e-1,令0()<0，解得e-1<x≤e,可知函数.()在L,e-)内单调 定带.在e-l内单花底则以句下e-l期相大食e)-h(e-小片。， D()e …4分 间-r晋（-0-气，16r (2)因为 令f间--.>0，则1 xx,当0<x<1时，f'()K0,当x>1时， f()>0:可知(：)在(0,1)内单调递减，在L,+0)内单调递增， 则f()2f0)=0,可得x-1≥lnx,当且仅当x=1时，等号成立， 0<1<1 1-1>n2 1 因为r>1,则r,可得r-1>lnr, r-1<nr<r-1 r,所以P ,且lnr>0,可得 1<l<r Inr, 解程1≤x<- 令0，()>0，解得 ,令9()<0，解得lnm< r r-1 增，在小内单调递减，则9，(d在m处取得最大值，所D -1-1w1-1-l Inr u'=- 设=r-1,>1,则-y-,设 u= h()=1-I- .>1,则 1-1-nm )-1号0a40oa装.A4a0)=0, '= -<0 1(-102 Inr u 可如”r-1在山，+o)内单调递减，又因为0<u<1,且f(0=u-1w-l在(0,1)内单调递减，所以 D(r）在（山，+o)上严格递增. …6分 5=4>1 nu- n(u-1) (3)令：，在第i个区间中作代换x=“,则曲线与弦的铅直距离 -1N ，故 d,=D(G).又因为 i=4=e to ,所以至少有一个之e.由(2)知D()严格递增，因此 mxd=mgxD)2D(⊙).当且仅当5=5==店=C时等号成立.此时4=e(i=0.1,,n min mpax d,In(e-1)-1+1 )·故 e-1,4=e …7分 临澧一中2027届高三第一期第三次阶段性考试 数 学 （试卷满分：150分 考试时间：120分钟） 一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知命题：，，则为（ ） A．， B．， C．， D．， 2．已知，则的值为（ ） A． B． C． D． 3．已知函数是上的减函数，那么实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 4．函数的大致图象为（ ） A． B． C． D． 5．已知向量，，若，则向量在上的投影向量为（ ） A． B． C． D． 6．在直角中，，是内一点，，则的面积为（ ） A． B． C． D． 7．已知，，，则（ ） A． B． C． D． 8．已知函数有五个不同的零点，，，，，其中且，记集合，则的元素个数为（ ） A． B． C． D． 二．选择题；本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若，，则“”的充分不必要条件是（ ） A． B． C． D． 10．已知函数，且存在，，使得，则（ ） A．的最小正周期为 B．在上的值域为 C． D． 11．已知函数，的定义域均为，且，．若直线是图象的一条对称轴，且，则（ ） A．的图象关于点对称 B．的图象关于点对称 C．是的一个周期 D． 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若是纯虚数，则________． 13．已知，若，，则________． 14．已知平面单位向量，满足．若对任意单位向量，不等式与中至少有一个成立，则实数的最小值为________． 四．解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15．（本小题满分13分） 某研发团队研发甲、乙两种无人机产品，现研发了架甲种无人机和架乙种无人机，从这架无人机中随机抽取架进行试飞测试，若甲种无人机试飞合格的概率为，试飞不合格的概率为，恰抽到架甲种无人机记为事件（，，）． （1）求； （2）若抽取的架无人机中，是甲种无人机且试飞合格的架数记为，求的分布列和数学期望． 16．（本小题满分15分） 在三棱锥中，已知是等边三角形，平面平面，． （1）求证：； （2）若，，，且直线与平面所成角的正弦值为，试求实数的值． 17．（本小题满分15分） 已知椭圆：的左，右焦点分别为，，离心率，过的直线与椭圆交于，两点，且的周长为，原点到短轴端点与焦点连线的距离为． （1）求椭圆的方程； （2）是否存在轴上的定点，使得的内心在轴上，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 18．（本小题满分17分） 在中，，为边上一点，且，． （1）若，求：①；②的面积； （2）求的取值范围． 19．（本小题满分17分） 对实数，定义． （1）求； （2）证明：函数在上严格递增； （3）设，在曲线上依次取点（，，…，），其中．记曲线在区间上的图象与弦的最大铅直距离为．求的最小值，并确定此时的所有． 学科网（北京）股份有限公司 $