湖南省常德市临澧县第一中学2026-2027学年高二上学期第一次阶段考试数学试卷

2026年下学期临澧一中高二年级第一次阶段考试 数学试卷 （考试时间：120分钟试卷满分：150分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。 1.若{a,b,构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是() A.b+c,b,b-c B.a,a+b,a-2b C.a-b,2a+b,c D.a+b,a+b+c,c 2.设x,yeR,向量a=(x,l,l),万=(，y,l),c=(2,4,2)且ā1c,611e,则a+b=() A.3 B.10 C.2W2 D.4 3..经过三点A(-1,0),B(3,0),C(1,2)的圆的面积S=（) A.J B.2 J C.3 J D.4元 4.在平行六面体ABCD-AB,CD,中，点E为棱A4的中点，点F为棱CC1上靠近C的三等分点.若 EF=xAB+yAD+AA,xy二∈R,则x+y+=的值为() A名 c. 5.已知点A(3,0),点P为圆x2+y2=1上的动点，则AP的中点的轨迹方程是() A.(x+3)2+y2=4 B.(x-3)2+y2=1 . 6.己知△ABC的三个顶点A(-5,0),B(3,-3),C(0,2),将△ABC绕顶点A逆时针旋转45°，此时BC边上的中 线所在直线的方程为() A.5x-6y+25=0 B.6x-7y+30=0 C.7x-8y+35=0 D.8x-9y+40=0 7.某市举办青少年机器人大赛，组委会设计了一个正方形场地ABCD(边长为8米)，如图所示，E,F,G 分别是边AB,BC,CD的中点，在场地ABCD中设置了一个半径为9/5米的圆H,圆H与直线AB相切 于点E.比赛中，机器人从F点出发，经过线段AG上一点，然后到达圆H,则机器人的最短路程是() 第1页，共4页 A. 7-9米 B.6-9米 5 5 c2米 D.米 8.正四棱锥P-ABCD底面边长与侧棱长均为2，O为空间任一点，且满足OA.OB=0,则线段OP长度的取 值范围为() A.[V2,2+1] B.「5，v5+1 c.[3-l,3+1] D.[2-l,2+1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.下列命题正确的有() A.空间中不相交的两条直线是异面直线 B.已知A,B,C,D,E是空间中的任意五点，则AB+BC+CD+DE+EA=O C.若两个非零向量AB,CD满足AB+CD=0,则A,B,C,D四点共线 D.若E,B,C,D四点共面，且点B,C,D不共线，则存在xy,2Z∈R,使得AB=xAC+yAD+zAE, 且x+y+z=1 10.下列说法正确的是() A.直线xsina+y+2=0的倾斜角O的取值范围是 [ B.“a=-1”是“直线a2x-y+1=0与直线x-y-2=0互相垂直”的充要条件 C.已知直线3x+4y+9=0与直线6x+my+24=0平行，则平行线间的距离是3 D.设点42-3引B(3-2.若点代列在线段B上（含婿点.则号的取位范（一小[昼+松 11.在长方体ABCD-ABCD中，A4=8,底面ABCD是边长为3的正方形，AE=A4(0≤1≤1)，则下 列选项正确的有() A.H2∈[0,1]，三棱锥D-ECD的体积是定值 B.当DE·EC=0时，存在唯一的1使得DE⊥平面DCE C.F为棱DD的中点，当2=时，△BEF的周长取最小值 D.当直线DA与cB所成角的余弦值为165时，的值为35 41 10 第2页，共4页 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.经过点(2,1)的直线1在x轴、y轴上的截距之比为4：1，则直线1与两坐标轴围成的三角形面积为 13.正四棱柱ABCD-ABGA中，C与平面ACCA所成角的正弦值为 ,则异面直线B,C与DC1所成 4 角的余弦值为 14.数学家莱昂哈德，欧拉在他的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的重心、外心、垂心在同一条 直线上，这条直线被称为欧拉线。已知△ABC的顶点A(2,3),B(3,0),其欧拉线方程为y-1=0,则△ABC的外 接圆半径R=,顶点C的坐标为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)己知△ABC的顶点A(1,3),B(2,7),C(-3,4),F为BC的中点. (I)求直线AF的斜率； (2)判断△ABC的形状； (3)设D,E分别为AB,AC的中点，求直线DE的斜率， 16.(15分)己知直线1：xy-1-0 (1)若直线m与1平行，且m与1之间的距离为2W2,求直线m的方程： (2)若P为1上一点，点M(1,-2),N(2,6),求PN-PM取得最大值时点P的坐标。 17.(15分)如图1，在矩形ABCD中，AB=2BC=2V2,E为CD的中点，现将△ADE沿AE折起，使得 平面ADE⊥平面ABCE,得到如图2所示的四棱锥D-ABCE,点P为棱DB上一点 (1)求证：AD1BE: (2)是否存在不与点D重合的点P,使得直线EP与平面BCD所成角的正弦值为3宽？若存在，求出 P 的 11 B 值，若不存在，请说明理由. 图1 图2 第3页，共4页 18.(17分)如图，在圆台ABCD中，已知上、下底面半径分别为1和2，体积为7π.E为下底面圆周上一点， O,E⊥CD,F为OE的中点，连接CF. B E (1)证明：O2E⊥平面ABCD; (2)若在下底面以O2为圆心，以r为半径的圆上存在一点G,使得FG11BC. (i)求r的值： (ii)求平面ABCD与平面O2CF夹角的余弦值. 19.(17分)在平面直角坐标系O-y中，任何一条直线都可以用心+by+c=0(其中a,b,c∈R,a2+b2≠0) 表示，给定一个点和一个方向，我们可以确定一条直线，例如：已知点P(2,3)在直线1上，=(2，)是直线 1的一个方向向量，则直线1上任意一点Q(x,y)满足POe,化简得直线1的方程为x-2y+4=0.而在空 间直角坐标系O-yz中，任何一个平面的方程都可以表示成ax+by+cz+d=0(其中a,b,c,d∈R,且 a2+b2+C2≠0)，类似地，在空间中，给定一个点和一个平面的法向量也可以确定一个平面. (1)若点F(1,0,0),G(2,1),H(0,2,0),求平面FGH的方程： (2)若记集合2=《x,y,zx++=2所围成的几何体为U,求U的内切球的表面积， (3)已知某平行六面体ABCD-AB,CD,平面ABB,4的方程为2x-y+2z+1=0,平面BCCB经过点 R(0,1,2),S(1,1,3),T(2,2,4),平面ACC4的方程为a-3y+2kz-3=0,求平面ABB4与平面ACC4夹 角的余弦值， 第4页，共4页2026年下学期高二年级第一次阶段考试 数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A D B D B A C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 题号 9 10 11 答案 BD AD ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，其中第14小题第一个空2分，第二个空3分，共15分。 12. 9 13. 3 4 14.V5 (-1,0) 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 111 【详解】(1)因为F为BC的中点，结合已知坐标有 22 11-35 则ka如= 1-1 (4分) 2 (2)由kaB 7-3=4,kac= 7-43 2-1 3=-k235由kkc=-1,A=90,知△BC是直角 三一一 三角形.又kc·kAs=-1,结合己知，则AF是BC的垂直平分线， 所以△ABC是等腰直角三角形， (9分) (3)由于D,B分别为4B,1C的中点，所以DB是△ABC的中位线，则D8/1BC,所以B=c= 故直线DB的斜率为 (13分) 16、《0)设直线m的方程为x-y+C=0(C*-1).直线m与1之间的距离为器= 2V2,解得C=-5或C=3,所以直线m的方程为x-y-5=0或x-y+3=0, (a+1_b-2-1=0, (2)如图，设点M(1,-2)关于直线的对称点为M'(a,b),则 2 2 b+2 =-1, 谷6=0十 a-1 即M'(-1,O),而PN|-IPM|=IPW-IPM'≤INM'l.当且仅当PM'N三点共线时取等号， 直线Nw"的方程为y-0=c+1):即2x-y+2=0,xy20解符 二一至即P,W,W三点共线时点P的坐标为(3，④，所以PN-PM取得最大值时点 N(2.6 ty1=0 M1,-2) P的坐标为(-3，-4). 17. (1)证明：在矩形ABCD中，AD=DE=EC=BC=V2,AE=BE=2,AB=2V2,·AE2+ BE2=AB2,·AE⊥BE.~平面ADEI平面ABCE,平面ADE∩平面ABCE=AE,BEC平 面ABCE,.BEI平面ADE,ADC平面ADE,.AD 1 BE (2)如图，取AE的中点O,连接OD,作OF/BE,交AB于点F,则OF⊥AE,平面ADE⊥ 平面ABCE,平面ADE∩平面ABCE=AE,DO⊥AE,DOC平面ADE,D0⊥平面ABCE, .D01OF,以O为原点，OA,OF,OD所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间 直角坐标系0xyz,则B(-1,2,0).D(0,0,1).C(-2,1,0),E(-1,0,0).BD=(1,-2,1).BC= (-1,-1,0),ED=(1,0,1),设平面BCD的法向量为m=(x,y,z),则 m·BC=-x-y=0, 令x=1,则m=(1,-1,-3),设DP=DB(0<1≤1).即DP= m·BD=x-2y+z=0, (-入，21，-)，则EP=ED+DP=(1-元，21,1-).设直线EP与平面BCD所成的角为0，则 sing=lcos(E.m)-m 2 V3 厨Hm=V6a2-+2xV后= ，解得孔=子·存在点P,使直线BP 与平面BcD所或角的正弦值为要此时5-青 18.(17分) (1)在圆台ABCD中，O,O2分别为上下底面的圆心，有OO2⊥平面CDE,由于O2EC平面CDE,所以 O,O2⊥OE.且OE⊥CD,O,O2,CDc平面ABCD,OO2∩CDCO2,所以OE⊥平面ABCD.(4分) (2)由圆台体积公式可得警2+1x2+门=7x解得h=00=3。(6分) 由于O2E,O2C,O,02两两相交且垂直， 则以{O,E,0,C,0O}为一组正交基底建立如图所示的空间直角坐标系. B C E 则02(0,0,0)，C(0,2,0),B(0,1,3),E(2,0,0),O(0,0,3), 因F为QE的中点，则rQ》 (8分) (i)设G(x,y,0),则x2+y2=r2 则FG=(c-y3,Bc-(0,L-3). 由于FGI/BC,即存在1∈R,使得FG=2BC, x-1=0 即y=, 解符-分=1y分即c兮 (10分) 3 =-32 2 所以半径r (11分) (ii)由于OE⊥平面ABCD, 不妨设平面ABCD的一个法向量n=(1,0,0) (12分) 设平面O,CF的一个法向量n2=（x,y,z), n20,C=0 2y=0 有 即 x+2=0' 3 故可取2=（-3,0,2) (14分) n20,F=0 2 设平面ABCD与平面O,CF的夹角为O, 则cos0co,4非-3-3 |nn2|1×V1313’ (16分) 即平面4BCD与平面O,CF夹角的余弦值为33 (17分) 13 19.（17分) 【解析】(1)FG=L,l,),FH-(-1,2,0), 设m=(a,b,G)是平面FGH的一个法向量， m.FG=a+b+c=0, 令41=2，得b=1,G=-3,所以m=(2,1,-3). (2分) ”m-F7=-a+2b=0, 设点I(x,y,z)是平面FGH内任意一点，FI=（x-l,y,z), 由m⊥Fi,得m.F=2(x-)+y-3z=0, 所以平面FGH的方程为2x+y-3z-2=0. (4分) (2)方程x+y+2=2经过点X(2,0,0)X2（-2,0,0),Y(0,2,0),y2(0,-2,0),Z(0,0,2),Z2(0,0,-2), 则集合={《xy,z)+y+=2所围成的几何体U为如下图的正八面体.(6分) Z 则U的内切球球心为O,半径r为点O到平面XY乙的距离 由X(20,0),Y(0,2,0),Z(0,0,2)得X=XZ=2Y=2V2. 由'名-oxx='。-2 (8分) 符1ox,oozl-s% 32 则x22×2=x52w2,解得，-25 31 2 3 2316m 所以U的内切球的表面积为4π× 3 (10分) 3 (3)记平面a的方程为ax+by+cz+d=0, 在平面a上任取一条直线，直线上任取两点M(x,,乙)，N(x2,y2,z2), 则有 ax +by +cz+d=0, 2+by2+cz2+d=0. 因为MN=(x2-x,y2-,z2-z),i=(a,b,c), MN.i=a(x2-x)+b(y2-y)+c(z2-z)=(axz+byz+czz)-(ax+by +cz)=-d-(-d)=0. 所以MN⊥n,即n垂直于平面a上任意一条直线， 所以n=(a,b,c)是平面ax+y+cz+d=0的一个法向量. 因为平面ABB,A的方程为2x-y+2z+1=0,所以平面ABB,A的一个法向量为g=(2,-1,2); 因为平面ACCA的方程为c-3y+2kz-3=0,所以平面ACC4的一个法向量为S=(飞，-3,2k). 由已知得Rs=4,0,1),RT=(2,1,2) RS·p=i+r=0 设p=,,r)为平面BCCB,的一个法向量，则 R7.p=2i+j+2r=0 令i=1,得j=0,r=-1,所以p=1,0,-). 设直线BB的一个方向向量为1=(x,,3),则 i:p=x3-z3=0, i.g=2x-⅓3+2z3=0. 令x3=1,得y3=4,23=1,所以i=1,4,1). 因为BB,/I平面ACC,A, 所以平面ACCA的一个法向量s=(k,-3,2k)与直线BB,的方向向量1=(L,4,)垂直， 所以51=k-12+2k=0,解得k=4,所以s=(4,-3,8) 所以平面ABB,4与平面4CC4夹角的余弦值为9s=,27-989 (17分) 1gls|3×V8989