精品解析：江苏 无锡市锡山区东亭中学2026-2027学年上学期九年级第一次学情自测数学试卷

无锡市锡山区东亭中学2026—2027学年上学期 九年级第一次月考数学试题 一、选择题（每题3分，共30分） 1. ⊙O的直径为8，圆心O到直线a的距离为4，则直线a与⊙O的位置关系是（ ） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】直接根据直线与圆的位置关系进行解答即可． 【详解】解：∵⊙O的直径是8， ∴⊙O的半径是4， 又∵圆心O到直线a的距离是4， ∴直线a与⊙O相切． 故选：B． 【点睛】本题考查的是直线与圆的位置关系，设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，当d<r时，直线与圆O相交；当d=r时，直线与圆O相切；当d>r时，直线与圆O相离． 2. 下列命题正确的是（ ） A. 经过三个点一定可以作圆 B. 90度的角所对的弦是直径 C. 等弧所对的圆周角相等 D. 三角形的内心到三角形各顶点的距离相等 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆的基本定理和三角形内心的定义． 根据圆的基本定理和三角形内心的定义判断各命题的正确性即可． 【详解】解：当三点共线时无法作圆，A错误； 只有90度的圆周角所对的弦才是直径，而选项未指定角类型，B错误； “等弧”的定义已包含“在同圆或等圆中”的前提，故“等弧所对的圆周角相等”，C正确； 三角形的内心是角平分线的交点，到三边距离相等，但到各顶点距离不一定相等，D错误； 故选：C． 3. 如图，已知A为反比例函数的图象上一点，过点A作轴，垂足为B．则的面积为（ ） A. 8 B. 4 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与几何求面积，解题关键是掌握反比例函数的几何意义． 结合反比例函数关系是，设出点坐标，再根据三角形面积即可求出答案． 【详解】解：∵为反比例函数的图象上的一点， 设， ∵轴， ， ， 故选：B． 4. 已知都在反比例函数的图象上，则a、b、c的关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数图象上点的坐标特征解答即可． 【详解】解：∵反比例函数的， ∴反比例函数图象分布在第一、三象限，在每个象限内y随x的增大而减小， ∵点在第一象限， ∴， ∵， ∴点A、B在第三象限， 又在第三象限内y随x的增大而减小， ∴， ∴． 故选：B． 5. 如图，是直径，点，在半圆上，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了直径所对的圆周角是直角及圆内接四边形的性质，连接BC并运用这两个性质是解题的关键． 连接，由直径所对的圆周角是直角可求得的度数，再由圆内接四边形的性质即可求得的度数． 【详解】解：连接， 是直径， ， ， ， 四边形是圆的内接四边形， ， ， 故选：C． 6. 已知△ABC的三边长分别是a，b，c，且关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则可推断△ABC一定是（ ）． A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 钝角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】根据判别式的意义得到，然后根据勾股定理的逆定理判断三角形为直角三角形. 【详解】根据题意得：， 所以， 所以为直角三角形，. 故选：. 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根.也考查了勾股定理的逆定理. 7. 如图，在半径为6的中，是直径，是弦，D是弧的中点，与交于点E，若E是的中点，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由D是的中点得出，再根据等腰三角形三线合一得出，，由此证得是的中位线，即可得出，再利用证得和全等，得出由此根据半径的长求出的长，在中，由勾股定理即可求出的长． 【详解】解：如图，连接，设交于点F， ∵D是弧的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 即点F是的中点， 又∵是直径， ∴点O是的中点， ∴是的中位线， ∴ ∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵E是的中点， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴ 又∵半径为6， ∴， 解得， ∴， 在中，由勾股定理得，． 8. “读万卷书，行万里路”我校为了丰富学生的阅历知识，坚持开展课外阅读活动，学生人均课外阅读量从七年级的每年50万字增加到九年级的每年80万字．设该校七至九年级人均阅读量年均增长率为x，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，增长率问题的一般形式为，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量，由此列方程即可． 【详解】解：设该校七至九年级人均阅读量年均增长率为x， 则， 故选A． 9. 如图，在⊙O的内接四边形中，，过点D作的垂线交延长线于E，则下列结论：①平分；②若点C是弧中点，则平行于的某条角平分线；③若，则；④若，则，其中正确的有（　　） A. ①③ B. ①②④ C. ②④ D. ①②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】①正确，证明即可；②正确．作平分，证明即可；③错误，应该等于；④正确．利用勾股定理求解即可． 【详解】解：， ，， ， 四边形是的内接四边形， ， ， ， ，即平分，故①正确； 点是中点， ， ， 又， ， 如图所示，作平分， ， ；故②正确； 如图所示，过点作于点， 平分， ， ，， ∴， ， 又，， ∴， ， ， ， 在中，，故③不正确， 若，， ， ， 在中，，故④正确． 10. 如图，AB为⊙O直径，且AB＝4．点C为半圆上一动点（不与A，B重合），D为弧CB上一点，点E在AD上，且CD＝BD＝DE．则CE的最大值为（　　） A. 4﹣4 B. 2﹣ C. 8﹣4 D. 4﹣2 【答案】A 【解析】 【分析】设，利用等弦对等弧，等弧所对的圆周角相等，等边对等角，三角形的外角的性质，通过角度的变换求得，确定的位置，进而证明，得到的运动轨迹是以点为圆心，4为半径的圆弧，进而根据直径是最长的弦求解即可． 【详解】解：延长，交于点，连接，OF 设 CD＝BD 为直径 在以点为圆心，4为半径的圆弧上运动， ，当为的直径时，取得最大值，最大值为 故选A 【点睛】本题考查了等弧所对的圆周角相等，弦与弧之间关系，找到点的运动轨迹，理解直径是最长的弦是解题的关键． 二、填空题（每题3分，共24分） 11. 若关于x的方程(k1)x24x+5=0是一元二次方程，则k的取值范围是__． 【答案】k≠1 【解析】 【详解】解：由题意得：k-1≠0，即：k≠1． 故答案是：k≠1． 12. 已知关于x的一元二次方程的两实数根为，，则______． 【答案】 4 【解析】 【分析】题干给出标准形式的一元二次方程及两实数根，可直接利用根与系数的关系计算两根之和. 【详解】解：∵ 方程的两实数根为，， ∴ . 13. 如图，在ABC中，AB=AC，∠B=30°，以点A为圆心，以3cm为半径作⊙A，当AB=_____cm时，BC与⊙A相切． 【答案】6． 【解析】 【详解】试题分析：如图，过点A作AD⊥BC于点D．∵AB=AC，∠B=30°，∴AD=AB，即AB=2AD．又∵BC与⊙A相切，∴AD就是圆A的半径，∴AD=3cm，则AB=2AD=6cm．故答案为6． 考点：切线的判定． 14. 如图是某拱桥的截面，桥拱的形状是一段圆弧，点、是桥拱与水面的交点．若、两点间距离为10米，桥拱的最高点为点，点到水面的距离为4米，则桥拱所在圆的半径为________米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键． 连接、交于，构造，通过垂径定理得出它是直角三角形，再利用勾股定理，列出方程，解方程即可． 【详解】解：连接、交于，如图： 是的中点， 米， 所在的直线经过圆心， 设半径米，则米， 在中， 即 解得 因此，桥拱所在圆的半径为米， 故答案为：． 15. 如图，一次函数与反比例函数 的图象交于和，若，则x的取值范围是______． 【答案】 或 【解析】 【分析】先利用交点求出反比例函数解析式与A点横坐标，再根据图象比较函数大小，写出自变量取值范围．． 【详解】解：反比例函数经过， ， ∴反比例函数解析式为． 点在上， ， 解得：， ∴点坐标为． 观察图象可得， 当时，的取值范围是或． 16. 若m，n是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为______． 【答案】 4061 【解析】 【分析】先根据一元二次方程的解的定义将转化为含的一次式，再结合根与系数的关系得到与的值，整体代入化简后的代数式计算即可. 【详解】解：∵是一元二次方程的实数根 ∴ ∴ ∴ ∵、是该一元二次方程的两个实数根 ∴根据根与系数的关系，， ∴原式 17. 如图，点在双曲线上，过作直线交双曲线于点，过作轴于，连接，若的面积为1，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查已知图形的面积求值，先求出点坐标进而求出的解析式，设，根据三角形的面积公式，求出点坐标，即可得出值． 【详解】解：点在双曲线上， ∴， ∴， ∴ 设直线的解析式为， 则：， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 18. 如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，其周长为20，⊙I是△ABC的内切圆，其半径为，则△BIC的外接圆直径为 __________________. 【答案】 【解析】 【分析】设△BIC的外接圆圆心为O，连接OB，OC，作CD⊥AB于点D，在圆O上取点F，连接FB，FC，作OE⊥BC于点E，设AB＝c，BC＝a，AC＝b，根据三角形内心定义可得S△ABC＝lr＝×20×＝AB•CD，可得bc＝40，根据勾股定理可得BC＝a＝7，再根据I是△ABC内心，可得IB平分∠ABC，IC平分∠ACB，根据圆内接四边形性质和圆周角定理可得∠BOC＝120°，再根据垂径定理和勾股定理即可求出OB的长． 【详解】解：如图，设△BIC的外接圆圆心为O，连接OB，OC，作CD⊥AB于点D， 在圆O上取点F，连接FB，FC，作OE⊥BC于点E， 设AB＝c，BC＝a，AC＝b， ∵∠BAC＝60°， ∴AD＝b， CD＝AC•sin60°＝b， ∴BD＝AB﹣AD＝c﹣b， ∵△ABC周长为l＝20，△ABC的内切圆半径为r＝， ∴S△ABC＝lr＝×20×＝AB•CD， ∴b•c， ∴bc＝40， 在Rt△BDC中，根据勾股定理，得 BC2＝BD2+CD2， 即a2＝（c﹣b）2+（b）2， 整理得：a2＝c2+b2﹣bc， ∵a+b+c＝20， ∴a2＝c2+b2﹣bc＝（b+c）2﹣3bc＝（20﹣a）2﹣3×40， 解得a＝7， ∴BC＝a＝7， ∵I是△ABC内心， ∴IB平分∠ABC，IC平分∠ACB， ∵∠BAC＝60°， ∴∠ABC+∠ACB＝120°， ∴∠IBC+∠ICB＝60°， ∴∠BIC＝120°， ∴∠BFC＝180°﹣120°＝60°， ∴∠BOC＝120°， ∵OE⊥BC， ∴BE＝CE＝，∠BOE＝60°， ∴OB＝. ∴外接圆直径为． 故答案为：． 【点睛】本题属于圆的综合题，考查了三角形的内切圆与内心，三角形的外接圆与外心，解直角三角形，圆内接四边形的性质，垂径定理，勾股定理，解决本题的关键是综合运用以上知识．属于中考选择题的压轴题，很有难度． 三、解答题（共10题，共96分） 19. 解方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）， （2）， （3）， （4）， 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力． （1）利用直接开平方法求解； （2）利用配方法求解即可； （3）利用公式法求解即可； （4）利用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ∴，； 【小问2详解】 解：， ， ， ∴， ∴，； 【小问3详解】 解：， ∵，，， ∴， ∴，； 【小问4详解】 解：， ， ， ∴或， ∴，． 20. 关于x的一元二次方程x2﹣x﹣（m+2）＝0有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）若m为符合条件的最小整数，求此方程的根． 【答案】（1）m＞；（2）x1=0，x2=1． 【解析】 【分析】解答本题的关键是掌握好一元二次方程的根的判别式． （1）求出△＝5+4m＞0即可求出m的取值范围； （2）因为m=﹣1为符合条件的最小整数，把m=﹣1代入原方程求解即可． 【详解】解：（1）∵一元二次方程x2﹣x﹣（m+2）＝0有两个不相等的实数根， ∴△＝1+4（m＋2） ＝9+4m＞0 ∴． （2）∵为符合条件的最小整数， ∴m=﹣2． ∴原方程变为 ∴x1＝0，x2＝1． 【点睛】本题考查一元二次方程的根的判别式.熟练掌握一元二次方程有两个不相等的实数根的条件，是解题的关键. 21. 如图，在中，直径，弦，垂足为E，，求弦的长． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解决问题的关键．连接，根据勾股定理求出的长，由垂径定理即可得出结果． 【详解】解：连接， ∵直径， ， ， ，， ， ． 22. 如图，平分，与相切于点，连接，延长交于点． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为4，，求的长． 【答案】（1）过点作于， 切于D， 平分，， ， 是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）过点作于，切线的性质结合角平分线的性质，得到，即可得证； （2）中，求出的长，切线长定理得到，设，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：的半径为4，，中，， ，是的切线， ∴，设， 在中，， 解得， ∴． 23. 如图，一次函数图象与反比例函数图象交于点，，与x轴交于点C，与轴交于点 （1）求反比例函数与一次函数的解析式； （2）点M在x轴上，若，求点M的坐标． 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数和反比例函数，一次函数与三角形面积问题，熟练求出是解题的关键． （1）设反比例函数解析式为，将代入，根据待定系数法，即可得到反比例函数解析式，将代入求得的反比例函数，解得a的值，得到B点坐标，最后根据待定系数法即可求出一次函数解析式； （2）求出点C的坐标，根据求出，分两种情况：M在O点左侧；M点在O点右侧，根据三角形面积公式即可解答． 【小问1详解】 解：设反比例函数解析式为， 将代入，可得，解得， 反比例函数的解析式为， 把代入，可得， 解得， ， 设一次函数的解析式为， 将，代入， 可得， 解得， 一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：当时，可得， 解得， ， ， ， ， ， ， M在O点左侧时，； M点在O点右侧时，， 综上，M点的坐标为或． 24. 在中，，，，已知⊙O经过点C，且与相切于点D． （1）在图中作出⊙O；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）若点D是边上的动点，设⊙O与边、分别相交于点E、F，求的最小值． 【答案】（1） 如图所示，为所作圆． （2） 【解析】 【分析】（1）连接CD，用尺规作图，作线段CD的垂直平分线，找到线段CD的中点O，然后以O为圆心，为半径主要作圆即为所作圆． （2）过点C作，根据点到直线的距离，垂线段最短可知，点CD为圆的直径时，此时圆的直径最短，根据面积法可得出因为EF也为圆的直径，所以可得出EF最最小值为 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，作于点D， 当CD为过的圆心点O时，此时圆的直径最短 ∴EF为的直径， ∴此时EF的长为 故EF的最小值为： 【点睛】本题主要考查了尺规作图，勾股定理，三角形面积求斜边上的高，垂线段最短等知识点的应用，熟练掌握点到直线的距离垂线段最短这性质定理是解此题的关键． 25. 如图，以为直径的经过的顶点C，分别平分和，的延长线交于点D，连接． （1）判断的形状，并证明你的结论； （2）若，求的长． 【答案】（1）解：为等腰直角三角形， 证明：∵分别平分和， ∴， ， ， ， ∵为直径, ∴， ∴是等腰直角三角形； （2）8 【解析】 【分析】（1）根据角平分线及圆周角定理得出，结合图形及等量代换得出，确定，再由圆周角定理得出，即可得出结果； （2）证出垂直平分，再由勾股定理确定，设，则，利用勾股定理建立方程求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，连接，交于点F， ∵， ， ， ∴垂直平分， ∴ ∵是等腰直角三角形，， ， ∵， ， 设，则， 在和中， ， 解得， ∴， ∴． 26. 综合实践——用矩形硬纸片制作无盖纸盒． 如图1，有一张长，宽的矩形硬纸片，裁去角上同样大小的四个小正方形之后，折成图2所示的无盖纸盒．（硬纸片厚度忽略不计） （1）若纸盒的底面积为，请计算剪去的正方形的边长； （2）如图3，小明先在原矩形硬纸片的两个角各剪去一个同样大小的正方形（阴影部分），经过思考他发现，再剪去两个同样大小的矩形后，可将剩余部分折成一个有盖纸盒． ①剪去矩形的长为_____________； ②若折成的有盖长方体纸盒的表面积为，请计算剪去的正方形的边长． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）设剪去的正方形的边长为，则纸盒底面长方形的长为，宽为，根据题意列出一元二次方程，解方程即可得出答案； （2）①利用剪去矩形的长矩形硬纸片的长，即可求出结论； ②设剪去的正方形的边长为，根据折成的有盖长方体纸盒的表面积为，可列出关于y的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【小问1详解】 解：设剪去的正方形的边长为，则纸盒底面长方形的长为，宽为， 由题意得：， 解得：或（舍去）， ∴剪去正方形的边长为； 【小问2详解】 解：①根据题意得：剪去矩形的长为． ②设剪去的正方形的边长为， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：剪去的正方形的边长为． 27. 请阅读下列材料： 已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为，则，所以，把代入已知方程，得． 化简，得，故所求方程为，这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． （1）已知一元二次方程，求一个未知数为的一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程的一般形式为：______； （2）已知一元二次方程，求一个未知数为的一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数，则所求方程的一般形式为：______； （3）已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为，，求一元二次方程的两根． 【答案】（1） （2） （3），． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的变换（换根法）、一元二次方程根与系数的关系的应用、解一元二次方程，熟练掌握换根法的思想（通过根的关系代入原方程化简）是解题的关键． （1）设所求方程的根为，利用“根是已知方程根的相反数”得到与原根的关系，代入原方程化简． （2）设所求方程的根为，利用“根是已知方程根的倒数”得到与原根的关系，代入原方程化简． （3）先由原方程的根求出、、的关系，再代入新方程，求解新方程的根． 【小问1详解】 解：设所求方程的根为，则，即． 把代入已知方程，得， 化简得； 【小问2详解】 解：设所求方程的根为，则（），即． 把代入已知方程，得， 化简得； 【小问3详解】 解：原方程的根为、，根据根与系数的关系得 ， ∴，． 将，代入新方程，得 ， 化简得， ， ∴新方程的根为，． 28. 【概念认识】在同一个圆中两条互相垂直且相等的弦定义为“等垂弦”，两条弦所在直线的交点为等垂弦的分割点．如图①，、是的弦，如果，，垂足为，则、是等垂弦，E为等垂、的分割点． 【数学理解】 （1）如图②，是的弦，作、，分别交于点、，连接．求证：、是的等垂弦； （2）在中，的半径为5，为等垂弦、的分割点，．求的长度； 【问题解决】 （3）、是的两条弦，，且，垂足为F．若的半径为r，（m为常数），垂足F与的位置关系随m的值变化而变化，直接写出点F与的位置关系及对应的m的取值范围． 【图①：中弦水平、弦竖直，交于圆内点E；图②：A左B右上为弦两端，C在顶部、D在底部，、；图③：中弦】 【答案】（1）证明：如图①，连接， ，， ， ， ， ， ， 同理， ，即， ，， 、是的等垂弦； （2）或 （3）当时，点F在上；当时，点F在外；当时，点F在内． 【解析】 【分析】（1）连接，由圆心角相等可得，由圆周角定理可得，，可证，可得结论； （2）作，垂足为，作，垂足为，可证矩形为正方形，利用勾股定理可求解． （3）先求出点F在上时，m的值，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：若点E在内，如图②，作，垂足为，作，垂足为， 则， 、是的等垂弦， ，， ，， ∴四边形是矩形， 又， ， ， 矩形为正方形， ， ，， ， 在中，， 即， 解得， 则； 若点E在外，如图，过点O作，垂足为H，作，垂足为G， 同理，，则； 综上，的长为或； 【小问3详解】 解：如图，当点F在上时，过点O作，垂足为H，作，垂足为G， 同理可证四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴当时，点F在上； 当时，点F在外； 当时，点F在内． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 无锡市锡山区东亭中学2026—2027学年上学期 九年级第一次月考数学试题 一、选择题（每题3分，共30分） 1. ⊙O的直径为8，圆心O到直线a的距离为4，则直线a与⊙O的位置关系是（ ） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 不能确定 2. 下列命题正确的是（ ） A. 经过三个点一定可以作圆 B. 90度的角所对的弦是直径 C. 等弧所对的圆周角相等 D. 三角形的内心到三角形各顶点的距离相等 3. 如图，已知A为反比例函数的图象上一点，过点A作轴，垂足为B．则的面积为（ ） A. 8 B. 4 C. 2 D. 1 4. 已知都在反比例函数的图象上，则a、b、c的关系是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，是直径，点，在半圆上，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 已知△ABC的三边长分别是a，b，c，且关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则可推断△ABC一定是（ ）． A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 钝角三角形 7. 如图，在半径为6的中，是直径，是弦，D是弧的中点，与交于点E，若E是的中点，则的长是（ ） A. B. C. D. 8. “读万卷书，行万里路”我校为了丰富学生的阅历知识，坚持开展课外阅读活动，学生人均课外阅读量从七年级的每年50万字增加到九年级的每年80万字．设该校七至九年级人均阅读量年均增长率为x，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在⊙O的内接四边形中，，过点D作的垂线交延长线于E，则下列结论：①平分；②若点C是弧中点，则平行于的某条角平分线；③若，则；④若，则，其中正确的有（　　） A. ①③ B. ①②④ C. ②④ D. ①②③④ 10. 如图，AB为⊙O直径，且AB＝4．点C为半圆上一动点（不与A，B重合），D为弧CB上一点，点E在AD上，且CD＝BD＝DE．则CE的最大值为（　　） A. 4﹣4 B. 2﹣ C. 8﹣4 D. 4﹣2 二、填空题（每题3分，共24分） 11. 若关于x的方程(k1)x24x+5=0是一元二次方程，则k的取值范围是__． 12. 已知关于x的一元二次方程的两实数根为，，则______． 13. 如图，在ABC中，AB=AC，∠B=30°，以点A为圆心，以3cm为半径作⊙A，当AB=_____cm时，BC与⊙A相切． 14. 如图是某拱桥的截面，桥拱的形状是一段圆弧，点、是桥拱与水面的交点．若、两点间距离为10米，桥拱的最高点为点，点到水面的距离为4米，则桥拱所在圆的半径为________米． 15. 如图，一次函数与反比例函数 的图象交于和，若，则x的取值范围是______． 16. 若m，n是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为______． 17. 如图，点在双曲线上，过作直线交双曲线于点，过作轴于，连接，若的面积为1，则的值为______． 18. 如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，其周长为20，⊙I是△ABC的内切圆，其半径为，则△BIC的外接圆直径为 __________________. 三、解答题（共10题，共96分） 19. 解方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 20. 关于x的一元二次方程x2﹣x﹣（m+2）＝0有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）若m为符合条件的最小整数，求此方程的根． 21. 如图，在中，直径，弦，垂足为E，，求弦的长． 22. 如图，平分，与相切于点，连接，延长交于点． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为4，，求的长． 23. 如图，一次函数图象与反比例函数图象交于点，，与x轴交于点C，与轴交于点 （1）求反比例函数与一次函数的解析式； （2）点M在x轴上，若，求点M的坐标． 24. 在中，，，，已知⊙O经过点C，且与相切于点D． （1）在图中作出⊙O；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）若点D是边上的动点，设⊙O与边、分别相交于点E、F，求的最小值． 25. 如图，以为直径的经过的顶点C，分别平分和，的延长线交于点D，连接． （1）判断的形状，并证明你的结论； （2）若，求的长． 26. 综合实践——用矩形硬纸片制作无盖纸盒． 如图1，有一张长，宽的矩形硬纸片，裁去角上同样大小的四个小正方形之后，折成图2所示的无盖纸盒．（硬纸片厚度忽略不计） （1）若纸盒的底面积为，请计算剪去的正方形的边长； （2）如图3，小明先在原矩形硬纸片的两个角各剪去一个同样大小的正方形（阴影部分），经过思考他发现，再剪去两个同样大小的矩形后，可将剩余部分折成一个有盖纸盒． ①剪去矩形的长为_____________； ②若折成的有盖长方体纸盒的表面积为，请计算剪去的正方形的边长． 27. 请阅读下列材料： 已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为，则，所以，把代入已知方程，得． 化简，得，故所求方程为，这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． （1）已知一元二次方程，求一个未知数为的一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程的一般形式为：______； （2）已知一元二次方程，求一个未知数为的一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数，则所求方程的一般形式为：______； （3）已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为，，求一元二次方程的两根． 28. 【概念认识】在同一个圆中两条互相垂直且相等的弦定义为“等垂弦”，两条弦所在直线的交点为等垂弦的分割点．如图①，、是的弦，如果，，垂足为，则、是等垂弦，E为等垂、的分割点． 【数学理解】 （1）如图②，是的弦，作、，分别交于点、，连接．求证：、是的等垂弦； （2）在中，的半径为5，为等垂弦、的分割点，．求的长度； 【问题解决】 （3）、是的两条弦，，且，垂足为F．若的半径为r，（m为常数），垂足F与的位置关系随m的值变化而变化，直接写出点F与的位置关系及对应的m的取值范围． 【图①：中弦水平、弦竖直，交于圆内点E；图②：A左B右上为弦两端，C在顶部、D在底部，、；图③：中弦】 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $