精品解析： 　江苏省无锡市锡山区江苏省天一中学（实验学校）2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试题

天一2024—2025学年九年级10月份月考试卷 时间：120分钟 总分：150分 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列方程中，是一元二次方程的有（ ） ①；②；③；④；⑤． A. 1个； B. 2个； C. 3个； D. 4个． 2. 若一元二次方程的一个根为，则的值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 3. 如图，若点D是线段的黄金分割点（），，则的长是（ ） A. 3 B. C. D. 4. 方程配方后可化成的形式，则的值为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 1 5. 如图，若添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（ ） A. B. C. D. 6. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 7. 下列各组图形中，一定相似的是（ ） A. 两个平行四边形 B. 两个正方形 C. 两个矩形 D. 两个菱形 8. 如图，在中，D是的中点，点F在上，连接并延长交于点E，若，，则的长为（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 9. 《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是明代数学家程大位．书中记载了一道“荡秋千”问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地；送行二步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉；良工高士素好奇，算出索长有几？” 译文：“秋千静止的时候，踏板离地1尺，将它往前推送两步（两步10尺）时，此时踏板升高离地5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问秋千绳索有多长？” 若设秋千绳索长为x尺，则可列方程为（ ）． A. B. C. D. 10. 如图，在边长为2的正方形中，是边上一动点（不含、两点），将沿直线翻折，点落在点处；在上有一点，使得将沿直线翻折后，点落在直线上的点处，直线交于点，连接，．则以下结论中正确的是．（ ） ①； ②的周长始终不变： ③当为中点时，为线段的中垂线； ④线段的最小值为： ⑤当时，． A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题（共8小题，每小题3分，第18题第1空1分，第2空2分，共24分） 11. 已知，则_______． 12. 关于的方程是一元二次方程，则的值为______． 13. 如果两个相似三角形的面积之比为，这两个三角形的周长的和是，那么较小的三角形的周长为______． 14. 若，是方程的两根，则的值为______． 15. 电脑病毒传播快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有121台电脑被感染，若每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑，则__________． 16. 已知关于x的一元二次方程，其中a、b、c分别为三边的长，如果方程有两个相等的实数根，则的形状为______． 17. 如图，，点D在线段上运动，P为线段DE的中点，在点D的运动过程中，的最小值是 _____． 18. 如图①②，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点是横轴上的一点，点在轴上，且，． （1）如图①，当时，_______；（提示：过点作轴垂线，垂足为，交过点作轴的垂线于点） （2）连接，设的中点为，在点从这个时刻走到这个时刻的过程中，点所走过的路线长是_______． 三、解答题（共10小题，共96分） 19. 按要求解下列方程： （1）（配方法） （2） （3）（公式法） （4）． 20. 化简再求值：，其中是方程的根． 21. 已知关于的方程 （1）求证：无论取任何实数，方程总有实数根； （2）若等腰的一边，另两边长、恰好是这个方程的两个根，求的周长． 22. 如图，在6×10的方格纸ABCD中有一个格点△EFG，请按要求画线段． （1）在图1中，过点O画一条格点线段PQ（端点在格点上），使点P，Q分别落在边AD，BC上，且PQ与FG的一边垂直． （2）在图2中，仅用没有刻度的直尺找出EF上一点M，EG上一点N，连结MN，使△EMN和△EFG的相似比为2：5．（保留作图痕迹） 23. 如图，在平行四边形中，是边的延长线上一点，连接交于点，交对角线于点． （1）若，求 的值； （2）求证：． 24. 安阳市公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”．某商店统计了某品牌头盔的销售量，四月份售出375个，六月份售出540个，且从四月份到六月份月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）经市场调研发现，此种品牌头盔如果每个盈利10元，月销售量为500个，若在此基础上每个涨价1元，则月销售量将减少20个，现在既要使月销售利润达到6000元，又要尽可能让顾客得到实惠，那么该品牌头盔每个应涨价多少元？ 25. 材料1：法国数学家弗朗索瓦・韦达在著作《论方程的识别与订正》中提出一元二次方程的两根，有如下的关系（韦达定理）：，； 材料2：如果实数、满足、，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，将、看作是此方程的两个不相等实数根． 请根据上述材料解决下面问题： （1）①已知一元二次方程的两根分别为，，则_______，_______． ②已知实数，满足：，（），则_______． （2）已知实数、、满足：，，且，求的取值范围． 26. 每到三月就会让人想起那句：“西湖美景，三月天哪”，雷峰塔是杭州西湖的标志性景点，为了测出雷峰塔的高度，初三学生小白设计出了下面的测量方法：已知塔前有一米高的小树，发现水平地面上点、树顶和塔顶恰好在一条直线上，测得米，之间有一个花圃无法测量，然后在处放置一个平面镜，沿后退．退到处恰好在平面中看到树顶的像，此时米，测量者眼睛到地面的距离为米，求出塔高． 27. 阅读感悟： 已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为，则．所以． 把代入已知方程，得． 化简，得， 故所求方程为． 这种利用方程的代换求新方程的方法，我们称为“换元法”． 请用阅读材料提供的“换元法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式． 解决问题： （1）已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别比已知方程的根大1．则所求方程为：______； （2）方程的两个根与方程______的两个根互为倒数． （3）已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为1和，求关于的一元二次方程的两个实数根． 28. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、点，直线与轴、轴分别交于点、点，与相交于点，线段，的长是一元二次方程的两根（），，． （1）求点、点的坐标； （2）求直线的解析式； （3）在轴上是否存在一点，使以点、、为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天一2024—2025学年九年级10月份月考试卷 时间：120分钟 总分：150分 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列方程中，是一元二次方程的有（ ） ①；②；③；④；⑤． A. 1个； B. 2个； C. 3个； D. 4个． 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键；因此此题可根据“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程”，据此问题可求解． 【详解】解：①是一元二次方程；②不是一元二次方程；③不是一元二次方程；④是一元二次方程；⑤是一元二次方程；所以是一元二次方程的有3个； 故选C． 2. 若一元二次方程的一个根为，则的值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解，此题比较简单，需要同学们熟练掌握． 一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立，最后转化成解的一元一次方程． 【详解】解：把代入方程可得， 解得， 故选：A． 3. 如图，若点D是线段的黄金分割点（），，则的长是（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了黄金分割．根据黄金分割的定义可得，即可求解． 【详解】解：∵点D是线段的黄金分割点（），， ∴． 故选：D 4. 方程配方后可化成的形式，则的值为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程的方法—配方法．先将常数移项到右边，再在左边配成完全平方即可． 【详解】解： ． 故选：C． 5. 如图，若添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似． 根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后答案． 【详解】解：， ， A，B，D都可判定；选项C中，不是夹这两个角的边，所以不相似， 故选：C． 6. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】根据根的判别式和一元二次方程的定义得出且，求解即可得到答案． 【详解】解：关于的一元二次方程有实数根， ， 解得：且， 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式及一元二次方程的定义，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根． 7. 下列各组图形中，一定相似的是（ ） A. 两个平行四边形 B. 两个正方形 C. 两个矩形 D. 两个菱形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是相似图形的概念，掌握对应角相等，对应边的比相等的多边形，叫做相似多边形是解题的关键．根据相似图形的概念逐项进行判断即可． 【详解】解：A、任意两个平行四边形对应边的比不一定相等，对应角也不一定相等，故不一定相似，此选项不符合题意； B、任意两个正方形的对应角相等，对应边的比也相等，故一定相似，故此选项符合题意； C、任意两个矩形对应角相等，但对应边的比不一定相等，故不一定相似，此选项不符合题意； D、任意两个菱形的对应边的比相等，但对应角不一定相等，故不一定相似，此选项不符合题意； 故选：B． 8. 如图，在中，D是的中点，点F在上，连接并延长交于点E，若，，则的长为（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，过点D作，交于H，根据平行线分线段成比例定理得到，计算即可． 【详解】解：过点D作，交于H， 则，， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 9. 《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是明代数学家程大位．书中记载了一道“荡秋千”问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地；送行二步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉；良工高士素好奇，算出索长有几？” 译文：“秋千静止的时候，踏板离地1尺，将它往前推送两步（两步10尺）时，此时踏板升高离地5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问秋千绳索有多长？” 若设秋千绳索长为x尺，则可列方程为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设秋千的绳索长为 尺，根据题意可得 尺，利用勾股定理可得方程，即可求解． 【详解】解：设秋千的绳索长为尺，则尺 由题意可知：尺，尺，则尺，则尺， 由勾股定理可得：， 则可列方程为：． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了考查了勾股定理的应用，关键是正确理解题意，表示出 的长，掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方． 10. 如图，在边长为2的正方形中，是边上一动点（不含、两点），将沿直线翻折，点落在点处；在上有一点，使得将沿直线翻折后，点落在直线上的点处，直线交于点，连接，．则以下结论中正确的是．（ ） ①； ②的周长始终不变： ③当为中点时，为线段的中垂线； ④线段的最小值为： ⑤当时，． A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】由折叠的性质可得，则由平角的定义可得，再由正方形的性质得到，则可证明，据此可判断①；由折叠的性质可得，，则，证明，得到，再根据三角形周长公式可得的周长，据此可判断②；设，则，由勾股定理得，解得，即，，据此可判断③；设，则，由相似三角形的性质得到，即，则，则当时，有最大值，此时有最小值，又由，则当最小时，最小，据此可判断④；由全等三角形的性质得到，设，则，，由勾股定理得，，解得或，中，据此可判断⑤． 【详解】解：由折叠的性质可得， ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴，故①正确； ∵四边形是正方形， ∴， 由折叠的性质可得，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴的周长， ∴的周长始终不变，故②正确： 当为中点时，则， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴不为线段的中垂线，故③错误； 设，则， ∵， ∴，即， ∴， ∴当时，有最大值， ∴此时有最小值， ∵， ∴当最小时，最小， ∴，故④错误； ∵， ∴， 设，则，， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得或， ∴，故⑤正确； ∴正确的有①②⑤，共3个， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，正方形与折叠问题，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，二次函数的最值问题等等，熟知正方形的性质和折叠的性质是解题的关键． 二、填空题（共8小题，每小题3分，第18题第1空1分，第2空2分，共24分） 11. 已知，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了比例的性质，直接根据比例的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 12. 关于的方程是一元二次方程，则的值为______． 【答案】-2 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义，列出关于m的一元二次方程和一元一次不等式，即可求解． 【详解】∵是一元二次方程， ∴，， 解得， 故答案为：-2． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，正确掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 13. 如果两个相似三角形的面积之比为，这两个三角形的周长的和是，那么较小的三角形的周长为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据相似三角形的性质，即可解答． 【详解】解：两个相似三角形的面积之比为， 这两个三角形的周长之比为， 设两个三角形的周长分别为，， 又这两个三角形的周长的和是， ， 解得， 故较小的三角形的周长为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握和运用相似三角形的性质是解决本题的关键． 14. 若，是方程的两根，则的值为______． 【答案】12 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，准确的计算是解决本题的关键． 先根据一元二次方程根与系数的关系得出和，再将代入中进行变形求解，最后集体代入计算即可． 【详解】解：∵，是方程的两根， ∴，， ∵是方程的根， ∴将代入得，即， 再将其代入到中得 ， 将，代入得 ， 故答案为：12． 15. 电脑病毒传播快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有121台电脑被感染，若每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑，则__________． 【答案】10 【解析】 【分析】设每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑．则经过一轮感染，1台电脑感染给了台电脑，这台电脑又感染给了台电脑．等量关系：经过两轮感染后就会有121台电脑被感染，然后可列方程进行求解． 【详解】解：每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑，列方程得： ， 解得：（舍去），． 答：每轮感染中平均一台电脑会感染10台电脑． 故答案为：10． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用中传播问题，题目比较典型，能够正确表示每轮感染中，有多少台电脑被感染，是解决此题的关键． 16. 已知关于x的一元二次方程，其中a、b、c分别为三边的长，如果方程有两个相等的实数根，则的形状为______． 【答案】直角三角形 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，勾股定理逆定理，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根．原方程可以化为，由题意得出，推出，即可得解． 【详解】解：原方程可以化为：， ∵方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， ∴为直角三角形， 故答案为：直角三角形． 17. 如图，，点D在线段上运动，P为线段DE的中点，在点D的运动过程中，的最小值是 _____． 【答案】2 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定与性质，证明，推出，求出的最小值，可得结论． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴的值最小时，的值最小，此时的值最小， ∵， ∴， 根据垂线段最短可知，当时，的值最小，根据三角形面积得，此时， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：2． 18. 如图①②，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点是横轴上的一点，点在轴上，且，． （1）如图①，当时，_______；（提示：过点作轴垂线，垂足为，交过点作轴的垂线于点） （2）连接，设的中点为，在点从这个时刻走到这个时刻的过程中，点所走过的路线长是_______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质、勾股定理的等内容． （1）过作轴于点，过作轴的垂线交于点，证即可得解； （2）连接，，则，所以点在点在线段的垂直平分线上，从而发现当时，点在上运动，求出长度即可． 【详解】解：（1）过作轴于点，过作轴的垂线交于点，则， ， ，， ， ， ， ， ， ∴， ， ∴， ∴， 故答案为：； （2）如图，连接，，的中点，过作轴于点，则，， ，的中点为， ， 点在线段的垂直平分线上， 设线段的垂直平分线交轴于点，则， ∵中，， ∴， 解得， 当时，与原点重合，此时，得到， 此时点与的中点重合， ， ∴， 当时，，此时， ∴，， ∴， ∴，即此时点与原点重合，与重合， ∴当时，点在上运动，点所走过的路线为线段，， 即在点从这个时刻走到这个时刻的过程中，点所走过的路线长是， 故答案为：． 三、解答题（共10小题，共96分） 19. 按要求解下列方程： （1）（配方法） （2） （3）（公式法） （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程： （1）先把二次项系数化为1，再把常数项移到方程右边，接着把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，再解方程即可； （2）把方程左边利用十字相乘法分解因式，然后解方程即可； （3）利用公式法解方程即可； （4）先把原方程化成一般式，再利用因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴或， 解得； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得； 【小问4详解】 解：∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得． 20. 化简再求值：，其中是方程的根． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，一元二次方程解的定义，先把小括号内的分式通分化简，再把除法变成乘法后约分化简，再根据一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值得到，即，据此可得答案． 【详解】解： ， ∵是方程的根， ∴， ∴， ∴原式． 21. 已知关于的方程 （1）求证：无论取任何实数，方程总有实数根； （2）若等腰的一边，另两边长、恰好是这个方程的两个根，求的周长． 【答案】（1） 证明：， 无论取何值，， ∴， 无论取任何实数，方程总有实数根； （2）7或8 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，等腰三角形的周长． （1）证明即可得到无论取任何实数，方程总有实数根； （2）先解方程得到或，再根据等腰分情况计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：． ， 或， ∵，两边长、恰好是这个方程的两个根， ∴的三边长为，，， ∴当时，等腰的为，，，此时周长； 当时，等腰的为，，，此时周长； 综上所述，的周长为7或8． 22. 如图，在6×10的方格纸ABCD中有一个格点△EFG，请按要求画线段． （1）在图1中，过点O画一条格点线段PQ（端点在格点上），使点P，Q分别落在边AD，BC上，且PQ与FG的一边垂直． （2）在图2中，仅用没有刻度的直尺找出EF上一点M，EG上一点N，连结MN，使△EMN和△EFG的相似比为2：5．（保留作图痕迹） 【答案】（1） 如图所示，即为所求， （2） 如图所示，即为所求， 【解析】 【分析】（1）根据题意找到格点，画出线段即可 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：取格点，连接交于点，连接交于点连接， 同理 ． 【点睛】本题考查了相似变换作图，掌握平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定是解题的关键． 23. 如图，在平行四边形中，是边的延长线上一点，连接交于点，交对角线于点． （1）若，求 的值； （2）求证：． 【答案】（1） （2） 证明：由（1）知，则， 在平行四边形中，， ． 【解析】 【分析】本题考查几何综合，涉及平行四边形性质、相似三角形的判定与性质和平行线性质等知识，熟记平行四边形性质、相似三角形的判定与性质是解决问题的关键． （1）由平行四边形性质，结合三角形相似的判定与性质即可得到答案； （2）由平行线性质得到、，结合平行线性质得到，利用相似三角形的判定定理即可得证． 【小问1详解】 解：在平行四边形中，，， ， ； 【小问2详解】 略 24. 安阳市公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”．某商店统计了某品牌头盔的销售量，四月份售出375个，六月份售出540个，且从四月份到六月份月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）经市场调研发现，此种品牌头盔如果每个盈利10元，月销售量为500个，若在此基础上每个涨价1元，则月销售量将减少20个，现在既要使月销售利润达到6000元，又要尽可能让顾客得到实惠，那么该品牌头盔每个应涨价多少元？ 【答案】（1）该品牌头盔销售量的月增长率为 （2）该品牌头盔每个应涨价5元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔4月份及6月份的月销售量，得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可； （2）设头盔每个涨价元，根据“月销售利润达到6000元”，得出关于的一元二次方程求解，根据“尽可能让市民得到实惠”取舍即可． 【小问1详解】 解：设头盔销售量的月增长率为， 根据题意得： ， 解得（舍去）， 答：头盔销售量的月增长率为； 【小问2详解】 解：设头盔每个涨价元， 根据题意得： ， 整理得， 解得， 要尽可能让顾客得到实惠， ， 答：该品牌的头盔每个应涨价5元． 25. 材料1：法国数学家弗朗索瓦・韦达在著作《论方程的识别与订正》中提出一元二次方程的两根，有如下的关系（韦达定理）：，； 材料2：如果实数、满足、，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，将、看作是此方程的两个不相等实数根． 请根据上述材料解决下面问题： （1）①已知一元二次方程的两根分别为，，则_______，_______． ②已知实数，满足：，（），则_______． （2）已知实数、、满足：，，且，求的取值范围． 【答案】（1）①1.5，；② （2） 【解析】 【分析】本题考查根与系数的关系，根的判别式． （1）①根据根与系数的关系解答； ②根据题意，得到实数，是方程 的两个根，根据根与系数的关系进行求解即可； （2）根据根与系数的关系，，是方程的解，进而得到，再根据根与系数的关系和根的判别式求出的范围，即可． 【小问1详解】 解：①一元二次方程的两根分别为，， ，， 故答案为：1.5，； ②实数，满足：，， ，是方程的解， ，， ； 故答案为：； 【小问2详解】 解：实数、、满足：， ，是方程的解， ，， ， ，， 解得， ， ． 26. 每到三月就会让人想起那句：“西湖美景，三月天哪”，雷峰塔是杭州西湖的标志性景点，为了测出雷峰塔的高度，初三学生小白设计出了下面的测量方法：已知塔前有一米高的小树，发现水平地面上点、树顶和塔顶恰好在一条直线上，测得米，之间有一个花圃无法测量，然后在处放置一个平面镜，沿后退．退到处恰好在平面中看到树顶的像，此时米，测量者眼睛到地面的距离为米，求出塔高． 【答案】塔高为米 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的性质和判定，根据题意得到，利用相似三角形的性质得出，再证明，利用相似三角形的性质，即可得出． 【详解】解：由题知， ，， ， ， ， 米，米，米， ， 解得：米， ， ， ， ， ， 米， 米， ， 解得：米， 答：塔高为米． 27. 阅读感悟： 已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为，则．所以． 把代入已知方程，得． 化简，得， 故所求方程为． 这种利用方程的代换求新方程的方法，我们称为“换元法”． 请用阅读材料提供的“换元法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式． 解决问题： （1）已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别比已知方程的根大1．则所求方程为：______； （2）方程的两个根与方程______的两个根互为倒数． （3）已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为1和，求关于的一元二次方程的两个实数根． 【答案】（1） （2） （3）2025和2022 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，理解题意，熟练掌握换元法是解此题的关键． （1）仿照例子，写出已知方程和所求方程的根的关系，进行替换，化简可得所求方程； （2）仿照例子，写出已知方程和所求方程的根的关系，进行替换，化简可得所求方程； （3）由（2）可得：关于的一元二次方程的根与关于的一元二次方程的根互为倒数，可求出关于的一元二次方程的两个实数根，即可得解． 【小问1详解】 解：设所求方程的根为，则， ， 把代入已知方程得：， 化简得：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：设所求方程的根为，则， ， 把代入已知方程得：， 化简得：， 故答案为：； 【小问3详解】 解：， ， 由（2）可得：关于的一元二次方程的根与关于的一元二次方程的根互为倒数， ， 关于的一元二次方程的两个实数根分别为1和， 关于的一元二次方程的两个实数根分别为和， 或， 解得：或， 关于的一元二次方程的两个实数根分别为或． 28. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、点，直线与轴、轴分别交于点、点，与相交于点，线段，的长是一元二次方程的两根（），，． （1）求点、点的坐标； （2）求直线的解析式； （3）在轴上是否存在一点，使以点、、为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），；（2）；（3）存在，， 【解析】 【分析】（1）用因式分解法求解一元二次方程，即可求解； （2）根据相似三角形求得点的坐标，再用待定系数法求解即可； （3）分两种情况进行讨论，当和时，利用相似三角形的性质，分别求解即可． 【详解】解：（1）解方程得，，， ∵ ，∴，， ∴， （2）作于 ∵，，∴，∴ ∵ ∴，∴，即 ∴，，，∴ 设直线的解析式为 ∴，解得 ∴设直线的解析式为 （3）存在满足条件的点使得点、、为顶点的三角形与相似， 由题意可得：，， ∵， 当时，，此时 当时， 则，即，解得 ∴ 综上，或 【点睛】此题考查了一次函数与几何的应用，涉及了相似三角形的性质，待定系数法求解函数解析式，解题的关键是掌握一次函数和相似三角形的有关性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $