精品解析：广东深圳市翠园中学2026-2027学年高二上学期9月素养导练数学试题

高二数学素养导练 （9.19） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若向量，则（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合向量的模长公式求解. 【详解】由向量的模长公式可得. 2. 已知向量，，若A，B，C三点共线，则（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用空间向量共线的坐标表示计算即可. 【详解】由题意可知，即，解得. 3. 在四面体中，为棱的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算即可求解. 【详解】在四面体中，为棱的中点， 则， 则. 4. 在正方体中，，分别为棱，的中点，则和所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】建立坐标系，写出向量坐标，利用向量夹角公式求解即可. 【详解】设正方体的棱长为2，以D为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则, 设和所成角为，，即和所成角的余弦值为. 5. 已知向量，向量，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由，，得， 又均不为，所以与的夹角为． 6. 如图，在长方体中，，E为的中点，则点D到平面的距离为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，列出各个点的坐标，求出平面的法向量，进而根据点到平面的距离公式计算即可. 【详解】以D为坐标原点，，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 则， 所以， 设平面的法向量为，则， 令，得，所以， 则点到平面的距离. 7. 已知平行六面体的所有棱长均为，，则异面直线与夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】设，则， ， ， ， ， ，， ， ， 则， ， 设异面直线与的夹角为， 则，故选项D正确. 8. 已知正三棱锥的底面边长为，侧棱长为1．O为底面内一点，且，，则（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量共面的推论求出，再根据数量积的定义及运算律计算可得. 【详解】根据空间向量共面定理：若点在平面内，且， 则系数和满足，解得： , 已知正三棱锥侧棱长，底面边长, 在中，，故，得, 同理在中，，故，得, 展开： 因此结果为​. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 以下能确定空间中四点 共面的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用共面向量定理及推论判断AB；利用两条直线共面的条件判断CD. 【详解】对于A，由，得向量共面，而它们有公共起点，因此四点共面，A是； 对于B，在中，，因此四点共面，B是； 对于C，存在互相垂直的两条异面直线，它们的方向向量垂直，由不能确定四点共面，C不是； 对于D，由，得直线与平行或重合，因此四点共面，D是. 故选：ABD 10. 在棱长为2的正方体中，点P满足，且，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则平面 B. 若，则 C. 若，则P到平面的距离为 D. 若，时，直线与平面所成角为，则 【答案】AD 【解析】 【分析】利用面面平行判断线面平行，即可判断A，建系后写出相关点的坐标，对于B，利用向量的数量积的坐标公式计算即可判断；对于C，利用空间中点到平面的距离公式计算即可：对于D，由条件求得，利用线面角的向量求法得到，借助于函数的单调性即可求得的范围. 【详解】连结，，，由可知，点在线段上， 因为，平面，平面，所以平面， 同理平面，且，且，平面， 所以平面平面，平面，所以平面，故A正确； 如图以为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，，， 对于B，，， 则，得， 所以，，， 故不与垂直，故B错误； 对于C，时，，又，， 设平面的法向量为，则， 故可取，又， 则到平面的距离为，故C错误； 对于D，当，时，，则， 又由C已得平面的法向量为， 则， 当时，， 当时，， 因在上单调递减，则，则有， 则，则当时，，故D正确． 11. 如图，在正三棱柱中，，，为的中点，则（ ） A. 直线平面 B. 点到平面的距离是 C. 异面直线和所成角的余弦值为 D. 平面平面 【答案】BC 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得. 【详解】在正三棱柱中，，，为的中点,所以, 以为原点，为轴，为轴，过作的平行线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 求得, 选项A:,, 设平面的法向量,则,,列方程可得, 代入向量得,令,则,所以, 计算,所以直线不垂直平面,选项A错误； 选项B:因为,所以点到平面的距离,选项B正确； 选项C:因为, 所以异面直线和所成角的余弦值,选项C正确； 选项D:,,设平面的法向量, 则,,列方程可得,代入向量得, 可知,令,则,所, 由前面可知平面的法向量，计算, 所以平面不垂直平面，选项D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，向量，若，则__________． 【答案】4 【解析】 【详解】，，， ，即， 解得． 13. 在所有棱长均为1的正四棱锥中，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为______. 【答案】 【解析】 【详解】连接，，交点为，连接，， ，或其补角为异面直线与所成的角， 结合题中条件，正四棱锥中，，则四边形为边长为1的正方形，每个侧面为边长为1的正三角形，则，， 在正三角形中，为的中点，则，， 则，所以， 则，故异面直线与所成角的余弦值为. 14. 在正方体中，，点,在线段上，且.点、、是正方体表面上动点,且，则的最小值为______. 【答案】## 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，由已知可得点在球心为半径为2的球面上，由向量的知识可知，求出的最小值解答即可. 【详解】如图， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 设，由， 则， 即， 也即， 由此可知点都是在球心为，半径为2的球面上， 由于，故是球的直径，为中点， ， 故要求的最小值，只需要求出的最小值， 而在正方体的表面上，设点在平面内的射影为， 则当在处时， 此时，即的最小值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在平行六面体中，为与的交点，且，，两两夹角均为，且长度相等，设，，. （1）试用，，表示； （2）求直线与直线所成角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量的线性运算可求解； （2）求得与可求直线与直线所成角的余弦值. 【小问1详解】 【小问2详解】 根据题意可设设， 则， 所以直线与直线所成角的余弦值为. 16. 如图，在四棱锥中，，，，，，，是的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】（1）证明：取的中点F，连接，， 因为E是的中点，所以且，因为且， 所以且， 所以四边形是平行四边形，所以， 又因为平面，平面，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）通过中点来证明四边形是平行四边形，然后根据线面平行的判定定理证明即可. （2）先通过线面垂直的判定定理证明平面，，然后建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，通过向量法求得面面夹角的余弦值. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 因为，的延长线交于一点， 平面，平面，所以平面， 又因为，所以，，两两垂直， 所以以A为原点，，，所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系， 设，则，，，，，， 所以，，，， 设平面的一个法向量， 则，即，取，得， 设平面的一个法向量，则， 即，取，得， 设平面与平面的夹角为，则. 17. 如图，在三棱锥中，点在上，，，. （1）证明：平面平面； （2）若，，，，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）因为，，平面，， 所以平面，而平面，则， 因为，，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面. （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的性质得到，再利用线面垂直的判定得到面，最后结合面面垂直的判定定理证明即可. （2）建立空间直角坐标系，求出关键点的坐标和关键平面的法向量，再结合面面夹角的向量求法即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，在平面内过点作交于点， 以为原点，为轴，为轴，为轴建立如图所示空间直角坐标系， 由题意得，，， ， 则，，，，， 由题意得，， 设平面的法向量为， 可得，取，得，， 所以平面的一个法向量为， 由题意得，， 设平面的法向量为， 可得，取，得，， 所以平面的一个法向量为， 设平面与平面夹角为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 18. 如图1，在直角梯形中，，，，，为的中点．将沿翻折，使点到点的位置，且，得到如图2所示的四棱锥，若为的中点，是棱上动点． （1）当为的中点时． ①求证：平面； ②求直线与平面所成角的正弦值． （2）若，求二面角的正弦值的取值范围． 【答案】（1）①由题设，易知是边长为4的正方形，且，， 由平面， 则平面，因平面，则， 又，平面， 则平面， 由平面，则， 又，为的中点，则， 由平面， 则平面； ② （2） 【解析】 【分析】（1）①由题设及线面垂直的判定和性质得，进而得平面，再由线面垂直的判定定理和性质定理即可得证；②先应用等体积法求到平面的距离，再根据线面角的定义求其正弦值； （2）构建空间直角坐标系，标注相关点坐标，应用向量法求二面角正弦值的范围. 【小问1详解】 ①略； ②由平面，平面，则，且， 同理可得，则，故， 由， 设到平面的距离为，由可得， ，而， 所以直线与平面所成角的正弦值为； 【小问2详解】 由上分析，平面，且,则可建立如下图所示的空间直角坐标系， 依题意，,因为的中点，则， 又因，则， 所以， 若是平面的一个法向量， 所以，故可取， 因为轴平面，则可取为平面的一个法向量， 则， 设,因，则，且, 令，因在上单调递增，故， 则，故，则, 也即,则，即， 因，故得 即二面角的正弦值的取值范围为.    19. 如图，在中，是中点，、分别是、边上的动点，且，将沿折起，将点折至点的位置，得到四棱锥. （1）求证：平面; （2）若，二面角是直二面角，线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； （3）当时，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围. 【答案】（1） 在四棱锥中，由，且，可得， 所以，，因为，且平面， 所以平面，即平面， （2）存在，，理由如下： 因为，以为原点，以所在的直线分别为轴和轴， 以过点垂直平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 由，可得，则是二面角的平面角， 又由，即，又，且平面，所以平面，所以， 由，得分别是中点， 又由，可得， 令，则， 可得， 设平面的法向量，则， 取，可得，所以， 又由平面的法向量为， 因此，解得或（舍去）， 所以在线段上存在一点满足题意，此时. （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，证得，，利用线面垂直的判定定理，证得平面，即可证得平面； （2）以为原点，，建立空间直角坐标系，令，得到和，求得平面和平面的法向量和，结合向量的夹角公式，列出方程，求得的值，即可得到答案； （3）设，得到，求得的值，求得，再由平面的法向量为，利用向量的夹角公式，列出方程，求得，结合函数的性质，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由（2）中空间直角坐标系，知， 设，其中， 则，由，得， 解得，即，则， 点与其在直线上射影点及点围成以线段为斜边的直角三角形， 则，即，又由且，即， 由平面的法向量为，设直线与平面所成角为， 则， 则， 令，因函数在上递减，， 因此，而，解得， 所以直线与平面所成角的正弦值的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学素养导练 （9.19） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若向量，则（ ） A. 4 B. C. D. 2. 已知向量，，若A，B，C三点共线，则（ ） A. B. 2 C. D. 3. 在四面体中，为棱的中点，则（ ） A. B. C. D. 4. 在正方体中，，分别为棱，的中点，则和所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知向量，向量，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在长方体中，，E为的中点，则点D到平面的距离为（　　） A. B. C. D. 7. 已知平行六面体的所有棱长均为，，则异面直线与夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知正三棱锥的底面边长为，侧棱长为1．O为底面内一点，且，，则（ ） A. 0 B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 以下能确定空间中四点 共面的条件是（ ） A. B. C. D. 10. 在棱长为2的正方体中，点P满足，且，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则平面 B. 若，则 C. 若，则P到平面的距离为 D. 若，时，直线与平面所成角为，则 11. 如图，在正三棱柱中，，，为的中点，则（ ） A. 直线平面 B. 点到平面的距离是 C. 异面直线和所成角的余弦值为 D. 平面平面 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，向量，若，则__________． 13. 在所有棱长均为1的正四棱锥中，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为______. 14. 在正方体中，，点,在线段上，且.点、、是正方体表面上动点,且，则的最小值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在平行六面体中，为与的交点，且，，两两夹角均为，且长度相等，设，，. （1）试用，，表示； （2）求直线与直线所成角的余弦值. 16. 如图，在四棱锥中，，，，，，，是的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值. 17. 如图，在三棱锥中，点在上，，，. （1）证明：平面平面； （2）若，，，，求平面与平面夹角的余弦值. 18. 如图1，在直角梯形中，，，，，为的中点．将沿翻折，使点到点的位置，且，得到如图2所示的四棱锥，若为的中点，是棱上动点． （1）当为的中点时． ①求证：平面； ②求直线与平面所成角的正弦值． （2）若，求二面角的正弦值的取值范围． 19. 如图，在中，是中点，、分别是、边上的动点，且，将沿折起，将点折至点的位置，得到四棱锥. （1）求证：平面; （2）若，二面角是直二面角，线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； （3）当时，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $