精品解析：湖北省襄阳市樊城区三校教联体2026-2027学年高一上学期科训练题二数学试题

2026～2027学年上学期高一年级数学学科训练题二 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数，则（ ） A. B. C. 2 D. 1 3. 设，则有（ ） A. B. C. D. 4. 下列哪一组中的函数与是同一函数（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 已知命题：①若，则；②若，则；③若，则；④.其中真命题的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 某班全体学生中，参加数学兴趣小组的有28人，参加物理兴趣小组的有24人，两个小组都参加的有10人，两个小组都不参加的有8人，则该班总人数为（ ） A. 42 B. 50 C. 58 D. 62 7. 若关于的不等式的解集为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 8. 《礼记·中庸》中写道：“辟如天地之无不持载，无不覆帱．辟如四时之错行，如日月之代明．”若一个集合是另一个集合的子集，则称这两个集合构成覆帱；若两个集合有公共元素，且互不为对方的子集，则称这两个集合构成错行．已知，是集合的两个非空子集，则所有构成错行的集合对的个数为（ ） A. 3 B. 6 C. 4 D. 8 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若实数a为无理数，则也为无理数 B. 集合的真子集有7个 C. 已知集合，若，则m的值为 D. 集合与集合表示同一集合 10. 下列选项中正确的是（   ） A. 已知函数，则函数的解析式为 B. 已知一次函数满足，则的解析式为 C. 已知函数满足，则的解析式为 D. 已知函数，则 11. 高斯（1777-1855)被认为是世界上最重要的数学家之一，享有“数学王子”的美誉．函数称为取整函数，也称高斯函数，其中表示不超过实数的最大整数，例如，．下列命题正确的是（　　　） A. 不等式的解集为 B. 不等式的解集为 C. 方程恰有两个不同实数解 D. 若不等式的解集为，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 不等式的解集为__________. 13. 已知，命题，命题，若命题均为真命题，则实数的取值范围是__________. 14. 已知a，b都是正数，则的最大值为________________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 画出下列函数的图象并求出其值域： （1）； （2）． 16. 设全集，集合，集合． （1）若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围． （3）若命题“，”是真命题，求实数的取值范围． 17. 如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱．设箱体的长度为米，高度为米．现有制箱材料60平方米． （1）问当，各为多少米时，该沉淀箱的体积最大，并求体积的最大值． （2）求的最小值． 18. 已知二次函数． （1）若函数定义域为R，求实数a的取值范围； （2）若，不等式恒成立，求实数a的取值范围； （3）解关于x的不等式（其中）． 19. 已知集合，n是正整数，，都是实数.若，则称A为n元“M集”，记作. （1）判断是否为真命题； （2）若，x、y均为正实数，求的取值范围； （3）若，，，且，.记，.证明：当时，对任意实数x恒成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026～2027学年上学期高一年级数学学科训练题二 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为，， 所以. 2. 已知函数，则（ ） A. B. C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据分段函数解析式运算求解即可. 【详解】因为函数， 所以. 故选：C. 3. 设，则有（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对作差，然后利用配方法和平方的非负性判断正负，即可得到. 【详解】由已知，， 所以. 故选：D. 4. 下列哪一组中的函数与是同一函数（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】分别求每个选项的两个函数的定义域和对应关系即可得正确选项. 【详解】对于A：的定义域为 ，定义域为 ， 定义域不同，所以不是同一函数，故选项A不正确； 对于B：的定义域为，的定义域为， 对应关系不同，所以不是同一函数，故选项B错误； 对于C：的定义域为，的定义域为， 定义域和对应关系都相同，所以是同一函数，故选项C正确； 对于D：的定义域为， 的定义域为，定义域不同，所以不是同一函数，故选项D错误； 故选：C. 5. 已知命题：①若，则；②若，则；③若，则；④.其中真命题的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【详解】①当时，有，所以命题为假命题； ②若，则，所以，所以命题为真命题； ③若，则，则，所以命题为真命题； ④要证，只需证，化简得，不成立，所以命题为假命题； 综上，真命题的个数是2个. 6. 某班全体学生中，参加数学兴趣小组的有28人，参加物理兴趣小组的有24人，两个小组都参加的有10人，两个小组都不参加的有8人，则该班总人数为（ ） A. 42 B. 50 C. 58 D. 62 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合的运算和元素的互异性进行计算，画出Venn图，借助图形直观理解． 【详解】集合A表示参加数学兴趣小组的学生，集合B表示参加物理兴趣小组的学生； 由条件可知，，且， 则两组都参加的人数为： ； 故该班总人数为人． 7. 若关于的不等式的解集为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次不等式解集的特征求出，进而求出的定义域. 【详解】因为关于的不等式的解集为， 所以和2是方程的两根，则，得， ， 所以且，解得. 所以函数的定义域为. 故选：B. 8. 《礼记·中庸》中写道：“辟如天地之无不持载，无不覆帱．辟如四时之错行，如日月之代明．”若一个集合是另一个集合的子集，则称这两个集合构成覆帱；若两个集合有公共元素，且互不为对方的子集，则称这两个集合构成错行．已知，是集合的两个非空子集，则所有构成错行的集合对的个数为（ ） A. 3 B. 6 C. 4 D. 8 【答案】B 【解析】 【详解】由题意得， 根据题意可得，且互不为对方的子集，则共有以下6种情况． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若实数a为无理数，则也为无理数 B. 集合的真子集有7个 C. 已知集合，若，则m的值为 D. 集合与集合表示同一集合 【答案】BC 【解析】 【详解】对于A，取为无理数，此时为有理数，故A错误； 对于B，集合的真子集个数为个，故B正确； 对于C，，则或，当时，得，此时，不符合集合元素的互异性，舍去；当时，得或（舍去），当时，，故C正确； 对于D，集合是一个点集，集合是一个数集，不是同一集合，故D错误. 10. 下列选项中正确的是（   ） A. 已知函数，则函数的解析式为 B. 已知一次函数满足，则的解析式为 C. 已知函数满足，则的解析式为 D. 已知函数，则 【答案】CD 【解析】 【分析】利用整体代换法求得的解析式判断A；利用待定系数法求得的解析式判断B；用替换可得，解方程组求得解析式判断C；分类讨论求得解析式求得解析式判断D. 【详解】对于A，，且，所以，故A错误； 对于B，设，则， 所以，解得或，则或，故B错误； 对于C，因为，所以， 即 ，解得，故C正确； 对于D，当时，，此时，则， 当时，，此时，则， 当时，，，则， 综上所述，，故D正确. 故选：CD． 11. 高斯（1777-1855)被认为是世界上最重要的数学家之一，享有“数学王子”的美誉．函数称为取整函数，也称高斯函数，其中表示不超过实数的最大整数，例如，．下列命题正确的是（　　　） A. 不等式的解集为 B. 不等式的解集为 C. 方程恰有两个不同实数解 D. 若不等式的解集为，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，将换成，根据求根公式求出解，判断区间内是否存在整数即可得出答案；对于B，根据取整函数的性质即可得出答案；对于C，根据取整函数的性质可以得出肯定是整数，根据求根公式即可得出答案；对于D，将换成，根据，求出的值，代入即可得出答案. 【详解】对于A，令，则为整数， 原式等价于无解， 令， 因为，所以，， 则，因为区间内没有整数，所以无解， 即不等式的解集为； 对于B，因为，根据取整函数的性质， 若，则，与不符，故，同理可得， 所以不等式的解集为； 对于C，因为为整数，所以也是整数，则为整数， 所以原式等价于求的解的个数， 解得，所以方程仅有一个实数解； 对于D，令，原式转化为 因为，所以， 当时有，解得， 取，此时有，解得， 所以若不等式的解集为，则， 综上所述选ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 不等式的解集为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据分式不等式的解法求解. 【详解】由， 解得， 所以不等式的解集为. 故答案为： 13. 已知，命题，命题，若命题均为真命题，则实数的取值范围是__________. 【答案】或. 【解析】 【分析】根据全称命题和存在性命题都为真命题，结合不等式的恒成立和方程的有解，分别求得实数的范围，结合命题均为真命题，进而求得实数的取值范围 【详解】由命题为真命题，即为不等式在上恒成立， 因为时，，所以； 又由命题，即方程在上有解， 则满足，解得或， 若命题均为真命题，则或，所以实数的取值范围是或. 故答案为：或. 14. 已知a，b都是正数，则的最大值为________________． 【答案】 【解析】 【分析】令，换元后，再由基本不等式求最值即可. 【详解】设，， 所以，， 所以， 当且仅当时,即时，取等号． 所以的最大值是． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 画出下列函数的图象并求出其值域： （1）； （2）． 【答案】（1），值域为 （2），值域为 【解析】 【分析】（1）根据二次函数及反比例函数图象即可作图，观察图象得值域； （2）去掉绝对值号转化为分段函数作图，由图象得值域. 【小问1详解】 由，根据二次函数及反比例函数图象可得图象： 由图可得其值域为； 【小问2详解】 将原解析式中的绝对值去掉，化为分段函数 它的图象如图所示： 由图象得函数的值域为． 16. 设全集，集合，集合． （1）若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围． （3）若命题“，”是真命题，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意，根据集合的包含关系列不等式组计算求解即可； （2）分集合，两种情况，结合交集的概念计算求解即可； （3）由题意可得，结合（2）计算求解即可. 【小问1详解】 由题意，得． ∵“”是“”的充分条件，． 又， ，解得， ∴实数的取值范围为． 【小问2详解】 ①当时，，，满足； ②当时，，若，则或， 解得或，所以， 综上：当时，， 【小问3详解】 ∵命题“，”是真命题，． 由（2）知，实数的取值范围为． 17. 如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱．设箱体的长度为米，高度为米．现有制箱材料60平方米． （1）问当，各为多少米时，该沉淀箱的体积最大，并求体积的最大值． （2）求的最小值． 【答案】（1）当，各为6米，3米时，该沉淀箱的体积最大，最大为36立方米． （2） 【解析】 【分析】（1）建立，的关系式，使用基本不等式求解； （2）通过，的关系式消元，使用基本不等式求解. 【小问1详解】 由题意，，即，，， 所以，即， 解得，当且仅当，即，时等号成立， 因为，所以． 即当，各为6米，3米时，该沉淀箱的体积最大，最大为36立方米． 【小问2详解】 由得 所以 当且仅当即时，等号成立． 所以的最小值是 法二：由得， ，当且仅当 即时，等号成立． 所以的最小值是 18. 已知二次函数． （1）若函数定义域为R，求实数a的取值范围； （2）若，不等式恒成立，求实数a的取值范围； （3）解关于x的不等式（其中）． 【答案】（1）； （2）； （3）当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 【解析】 【分析】（1）由函数定义域的意义，转化为一元二次不等式在实数集上恒成立求解. （2）分离参数，利用基本不等式求出最小值即可. （3）分类求解含参的一元二次不等式. 【小问1详解】 由函数的定义域为R，得在R上恒成立， 则，解得， 所以实数k的取值范围为. 【小问2详解】 不等式，依题意，，恒成立， 而，当且仅当，即时取等号， 即的最小值为，因此， 所以实数a的取值范围为. 【小问3详解】 不等式化为，即， 当时，不等式化为，解得； 当时，不等式化为，解得或； 当时，不等式化为，若，不等式无解， 若，则，解得，若，则，解得， 所以当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 19. 已知集合，n是正整数，，都是实数.若，则称A为n元“M集”，记作. （1）判断是否为真命题； （2）若，x、y均为正实数，求的取值范围； （3）若，，，且，.记，.证明：当时，对任意实数x恒成立. 【答案】（1）为真命题 （2）； （3） ， 同理， 由于，故， 所以，同理可得， 又， 所以 ， 因为，，，所以， ， 故， 即恒成立. 【解析】 【分析】（1）验证满足，故为真命题； （2）由题意得到，变形得到，结合，求出，进而得到的取值范围； （3）首先得到，，又，作差变形得到，从而得到. 【小问1详解】 为真命题，理由如下： ，， 所以满足，为真命题； 【小问2详解】 由题意得，故，， ， 因为x、y均为正实数，故，所以， 令，， 则时，取得最大值， 且，则值域为， 所以取值范围为. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $