精品解析：北京市陈经纶中学2026-2027学年上学期九年级期中数学试卷

陈经纶中学2026—2027第一学期初三数学期中练习 时间：90分钟 满分：100分 一．选择题：本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的． 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项判断即可； 【详解】解：A选项图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B选项图形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； C选项图形不是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D选项图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意． 2. 抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：抛物线向左平移1个单位，得，再向下平移2个单位，得． 3. 用配方法解一元二次方程，下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】按照配方法的步骤，先移项，再在方程两边加上一次项系数一半的平方，完成配方后即可判断正确选项． 【详解】解： 移项得，， 配方得，，即． 4. 已知反比例函数，下列结论中，不正确的是（ ） A. 图象必经过点 B. 图象在第一、三象限内 C. 在图象的每个象限内，随的增大而增大 D. 若，则0＜ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的图象与系数的关系是解题的关键．根据反比例函数的性质对选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、， ∴图象必经过点，正确，不符合题意； B、， ∴图象在第一、三象限内，正确，不符合题意； C、， ∴图象在第一、三象限内，在每一象限内y随x的增大而减小，原说法错误，符合题意； D、∵当时，， ，正确，不符合题意， 故选：C． 5. 关于抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴是直线，则 C. 最大值为 D. 时，随增大而增大 【答案】C 【解析】 【详解】解：对于A，由题知二次项系数为，开口向下，故A错误； 对于B，对称轴为直线，故B错误； 对于C，二次函数开口向下，最大值为，故C正确； 对于D，时，随增大而减小，故D错误． 6. 如图，将绕点C顺时针旋转得，若，则下列说法不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 与的夹角是 【答案】A 【解析】 【分析】由旋转的性质得出，，，与的夹角是．再由直角三角形两个锐角互余得出，进而可得出，即可得出答案． 【详解】解：由旋转的性质可知：，，，与的夹角是． ∵， ∴， ∴， ∴， 故选项B，C，D正确， ∵，的大小未知， ∴不一定等于． 7. 定义符号的含义为：当时，；当时，．如：，．则的最大值是（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】的含义就是取二者中的较小值，画出函数图象草图，利用函数图象的性质可得结论． 【详解】解：在同一坐标系中，画出二次函数与正比例函数的图象，如图所示， 设它们交于点，令，即，解得：或， ， 观察图象可知： ①当时，，函数值随的增大而增大，其最大值为； ②当时，，函数值随的增大而减小，其最大值小于； ③当时，，函数值随的增大而减小，最大值为． 综上所述，的最大值是． 8. 设函数(a，h，k是实数，)，当时，，当时，（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法、二次函数的性质等知识，熟练掌握待定系数法是解题的关键．当时，；当时，代入函数解析式整理得，将的值分别代入即可得出结果． 【详解】解：当时，；当时，；代入函数式得： ， ， 整理得： 若，则，故A错误； 若，则，故B错误； 若，则，故C正确； 若，则，故D错误； 故选：C． 二．填空题：本大题共8个小题，每小题3分，共24分． 9. 点关于原点的对称点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得答案． 【详解】解：关于原点的对称点的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，利用了关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数． 10. 若，是一元二次方程的两个根，则______  ． 【答案】 【解析】 【详解】解：，是一元二次方程的两个根， ，， ． 11. 已知抛物线经过点，，则________．（填“”“”或“”） 【答案】 < 【解析】 【分析】由抛物线顶点式确定开口方向与对称轴，比较两点到对称轴的水平距离，结合开口向下的函数值变化规律判断大小 【详解】解：由抛物线解析式，可知其对称轴为直线，抛物线开口向下， ∴抛物线上的点到对称轴的水平距离越远，对应的函数值越小， 点到直线的距离为， 点到直线的距离为， ∵，即点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离， ∴． 12. 如图是二次函数的部分图象，由图象可知方程的解是______． 【答案】， 【解析】 【分析】根据抛物线的对称轴的定义、抛物线的图象来求该抛物线与x轴的两交点的横坐标，即可求得对应方程的根． 【详解】解：由图象可知二次函数的对称轴， ∵与x轴的一个交点横坐标是， ∴设与x轴的另外一个交点横坐标是， ∴对称轴， 解得：， ∴方程的解是：，． 13. 如图，点A在函数的图象上，过点A作轴于点H，点P是x轴上一点，则的面积为____________． 【答案】3 【解析】 【分析】连接，由反比例函数的几何意义可得，由题意可得，即可得出． 【详解】解：如图，连接， ∵点A在函数的图象上，过点A作轴于点H， ∴， ∵点P是x轴上一点， ∴， ∴， ∴的面积为． 14. 若关于x的一元二次方程的一个根为0，则k的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】结合一元二次方程的定义可得，再将代入方程计算即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的一个根为0， ∴，且， 解得． 15. 已知二次函数经过点，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】二次函数上纵坐标相等的两个点关于对称轴对称，先求出对称轴，再结合二次函数对称轴公式计算的值． 【详解】解：∵ 二次函数经过和，两点纵坐标相等， ∴ 两点关于二次函数的对称轴对称，可得二次函数对称轴为直线． ∵ 对于二次函数，对称轴公式为，本题中，， ∴ 本题中对称轴为， ∴ ． 16. 二次函数的图像如图所示．下列结论：①；②为任意实数，则；③若两点均在函数图像上，且，则；④；⑤．其中正确结论有______． 【答案】①②⑤ 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图像和性质，根据二次函数的图像和对称轴可得，，，即可判定①；根据二次函数的性质可判定②和③；由函数图像可知，当时，即得，即可判定④；由时，得，由时，得，即得到，即可判定⑤，综上即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线开口向下，与轴相交于正半轴上， ∴，， 又∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵抛物线的对称轴为直线，开口向下， ∴当时，函数取最大值为， ∴为任意实数，有， 即，故②正确； ∵抛物线的对称轴为直线，开口向下， ∴当时，的值随着的增大而增大， ∵两点均在函数图像上，且， ∴，故③错误； 由函数图像可知，当时， 即， ∵， ∴， ∴，故④错误； ∵抛物线的对称轴为直线，且时， ∴时， ∴， ∴， 又∵时， ∴ ∴， ∴， ∴，故⑤正确； 综上，正确结论有①②⑤， 故答案为：①②⑤． 三．解答题：共52分，第17题4分，18—23题每题5分，第24—26题每题6分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程．先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【详解】解：分解因式得：， ， ，． 18. 已知关于x的一元二次方程 （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若该方程的一个根为m，求m的值． 【答案】（1）证明：∵ ， ∴方程总有两个实数根； （2）2 【解析】 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式解答即可； （2）把代入方程，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：把代入方程得： 解得：． 19. 在画二次函数（c为常数）的图象时，列表如下． x … 0 1 … y … 0 m 0 … （1）c的值为_______，表中的=_______； （2）在如图所示的平面直角坐标系中，用描点法画出这个二次函数的大致图象，并根据图象写出当时，y的取值范围． 【答案】（1）； （2）； 【解析】 【分析】（1）把代入解析式求出c的值，则可得到二次函数的解析式，再求出时的函数值即可得到m的值； （2）先画出函数图象，再根据函数图象即可得到y的取值范围． 【小问1详解】 解：把代入解析式得， 解得， ∴二次函数的解析式为， 当时，，即； 【小问2详解】 解：函数图象见答案， 由函数图象可知，当时，y的取值范围． 20. 如图，的顶点坐标分别为，，，将绕点逆时针旋转得到，点，的对应点分别是，． （1）请在图中画出； （2）点，之间的距离是________． 【答案】（1）如图， （2） 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质得出点的对应点，再顺次连接，可得； （2）根据两点间距离公式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由旋转得，， ∴． 21. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，且． （1）分别求出和的数值； （2）求点的坐标； （3）直接写出时，的取值范围． 【答案】（1）， （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）直接将A点坐标代入到两个函数解析式中，即可求解； （2）因为A，B两点是两个函数交点，故联立两个函数解析式，解方程组即可求解； （3）当或时，两个函数值相同，故根据图象，当一次函数值大于或等于反比例函数值时，直接写出取值范围即可，注意要分和两类来看． 【小问1详解】 解：因为A点是一次函数与反比例函数交点，分别代入到两个函数解析式中得， ，， ∴,； 【小问2详解】 解：由（1）得：一次函数表示式为，反比例函数表达式为， 联立， 整理得，， ∴或， 当时，， 因为A，B两点是一次函数与反比例函数交点， ∴点B的坐标为； 【小问3详解】 解：∵A，B两点是一次函数与反比例函数交点， 故根据图象，如图1，当或时，，即x的取值范围为：或． 22. 某草莓采摘园计划通过互联网销售草莓，需设计一款底面积为的有盖子的长方体快递包装盒，所用的材料为长，宽的长方形硬纸板．制作方法如下：在每一张纸板的四个角上分别剪去两个相同的正方形和两个相同的长方形（如方案图所示）．然后折叠成一个有盖纸盒（盒盖与盒底大小形状相同） 为了优化设计，草莓采摘园的老板借助提出了一种改进方案（称为方案），方案也需要在四个角上分别剪去两个相同的正方形和两个相同的长方形．对方案的优点给出了如下评价： 1．节省材料，成本更低：两种方案体积相同，底面积相同，但方案表面积更小，用料更省，长期生产可降低包装成本． 2．结构更稳固：方案底面更接近正方形，重心更稳，抗压性更好，运输时不易变形、挤压，能更好保护物品． 接下来请你帮助老板解决以下问题： （1）设方案中剪去的正方形的边长为，求的值及包装盒的表面积； （2）在备用图中画出方案． 【答案】（1）；表面积为 （2）如图， 【解析】 【分析】（1）根据方案1的裁剪方式，求出盒底的长和宽，根据盒底的面积列方程，求解方程即可； （2）转变思路，根据“在纸板宽的一侧裁剪两个正方形”的思路构图即可作答 【小问1详解】 解：根据方案1的裁剪方式，盒底的长为，盒底的宽为，根据题意得： 整理方程得：， 解得，（不合题意，舍去） ∴； ∴纸盒的长为，宽为高为， ∴纸盒的表面积 【小问2详解】 解：图略， 理由：设小正方形的边长为，则包装盒的长度为：，包装盒的宽度为，高度：， 使用的纸板面积为：； 综合比较：方案2使用的纸板面积更少，即减少纸张浪费；相比于方案1的纸盒，方案2的纸盒在高度相等的同时，底部的长宽比例更接近，图形更接近于正方形；相比于方案1的“长条形”纸盒，方案2的纸盒则更加方正． 23. 在投掷铅球时，球以一定的速度斜向上抛出，不计空气阻力，在空中划过的运动路线可以看作是抛物线的一部分．如图，建立平面直角坐标系，铅球从出手到落地的过程中，它的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足二次函数关系，记出手点与落地点的水平距离为投掷距离．小亮投掷铅球时，记录部分数据如下表． 1 2 4 6 7 … 3 … （1）写出抛物线的顶点坐标； （2）求与的函数表达式； （3）当铅球的投掷距离超过时，得分为满分．请通过计算说明小亮在此次投掷中是否得满分． 【答案】（1） （2） （3）小亮在此次投掷中没有得满分 【解析】 【分析】（1）根据二次函数的对称性结合表格判断即可； （2）依据题意，通过待定系数法计算可以得解； （3）依据题意，将代入，求出的值与满分标准比较，进而判断得出答案． 【小问1详解】 解：观察表格数据：当和时，值都为， 根据二次函数的对称性，抛物线的对称轴为这两个点横坐标的中点：， 再结合表格中时对应的，因此抛物线的顶点坐标为； 【小问2详解】 解：由题意得，抛物线顶点为， 可设抛物线的解析式为， 根据表格中的数据，将代入，得， 解得， ， 即与的函数表达式为； 【小问3详解】 解：由（1）可得与的函数表达式为， 将代入， ， 则， 解得（不合题意，舍去）， 当铅球的投掷距离超过时，得分为满分，而， 小亮在此次投掷中没有得满分． 24. 已知二次函数． （1）此二次函数图象的对称轴为直线____________； （2）设此二次函数在的范围内的最大值为，最小值为，且，求实数的取值范围． （3）若关于的方程，在范围内有实数根，直接写出实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 或 （3） 【解析】 【分析】（1）直接利用好对称轴公式进行计算即可； （2）分两种情况进行讨论求解即可； （3）利用因式分解法求出方程的两个根，根据题意，列出不等式进行求解即可. 【小问1详解】 解：二次函数的对称轴为直线； 【小问2详解】 解：∵二次函数， ∴当时，；当时，， ①当时，抛物线的开口向上，在的范围内随着的增大而增大， 则， ∴， ∴； ②当时，抛物线的开口向下，在的范围内随着的增大而减小， 则， ∴， ∴ ∴； 综上：或； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∵关于的方程，在范围内有实数根， ∴， 解得. 25. 在中，， ，P是平面内的一点（不与点A重合），连接 ，以A为中心顺时针旋转线段 ，得到线段 ． （1）如图1，点P在边上，连接 ，若，补全图形并直接写出此时线段 的旋转角度（小于）（用含 的式子表示）； （2）如图2，点P在外，将线段 作（1）中同样的旋转，得到线段 ，将射线 绕点B逆时针旋转后交 的延长线于点N，且 ，判断线段 与 的数量关系，并证明． 【答案】（1）； （2）解：，证明如下： 如图所示，延长到点G，使得，连接， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； 由（1）和旋转的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； 如图所示，延长到点H，使得 ，连接 ， ∴ ， 又∵， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据题意补全图形，由平行线的性质得到 的度数，由旋转的性质得到 ，则可得到 的度数，再求出 的度数即可得到答案； （2）延长到点G，使得 ，连接 ，证明，得到 ，则 ；由（1）和旋转的性质可得 ，证明，得到 ；求出，则；延长到点H，使得 ，连接 ，证明，得到 ，则可证明 ，再证明，即可得到 ． 【小问1详解】 解：补全图形见答案； ∵， ∴ ， 由旋转的性质可得 ， ∴ ， ∴， ∴线段 的旋转角度为 ； 【小问2详解】 略 26. 在平面直角坐标系中，已知正方形，其中，，，，，为该正方形外两点，．给出如下定义：记线段的中点为，平移线段得到线段，使点，分别落在正方形的相邻两边上，或线段与正方形的边重合（，，分别为点，，的对应点），线段长度的最小值称为线段到正方形的“平移距离”． （1）如上图，平移线段，得到正方形内两条长度为的线段，，则这两条线段的位置关系是________；若，分别为，的中点，在点，中，连接点与点________的线段的长度等于线段到正方形的“平移距离”； （2）如图，已知点，若，都在直线上，记线段到正方形的“平移距离”为，画出最小时，的位置，并直接写出的最小值； （3）若线段的中点的坐标为，记线段到正方形的“平移距离”为，直接写出的最小值． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据线段到正方形的“平移距离”的定义解决问题即可． （2）如图2，当M，N分别在，上时，存在最小值，最小值等于点到的距离． （3）当与重合时，的中点为K，此时线段到正方形的“平移距离”为的值最小． 【小问1详解】 解：由题图可得，，， ∴， 而， ∴连接点P与点的线段的长度是等于线段到正方形的“平移距离”； 【小问2详解】 解：如图2，当M，N分别在，上时，存在最小值，最小值等于点B到的距离． ∵，，，， ∴， ∵， ∴四边形是正方形，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，在上取一点T，使得，则， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴点B到直线的距离， ∴的最小值为． 【小问3详解】 解：如图3， 当与重合时，的中点为K，此时线段到正方形的“平移距离”为的值最小， ∵ ，， ∴， ∴ 所以，最小值的值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 陈经纶中学2026—2027第一学期初三数学期中练习 时间：90分钟 满分：100分 一．选择题：本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的． 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 3. 用配方法解一元二次方程，下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知反比例函数，下列结论中，不正确的是（ ） A. 图象必经过点 B. 图象在第一、三象限内 C. 在图象的每个象限内，随的增大而增大 D. 若，则0＜ 5. 关于抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴是直线，则 C. 最大值为 D. 时，随增大而增大 6. 如图，将绕点C顺时针旋转得，若，则下列说法不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 与的夹角是 7. 定义符号的含义为：当时，；当时，．如：，．则的最大值是（ ） A. B. C. 1 D. 2 8. 设函数(a，h，k是实数，)，当时，，当时，（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 二．填空题：本大题共8个小题，每小题3分，共24分． 9. 点关于原点的对称点的坐标是______． 10. 若，是一元二次方程的两个根，则______  ． 11. 已知抛物线经过点，，则________．（填“”“”或“”） 12. 如图是二次函数的部分图象，由图象可知方程的解是______． 13. 如图，点A在函数的图象上，过点A作轴于点H，点P是x轴上一点，则的面积为____________． 14. 若关于x的一元二次方程的一个根为0，则k的值为___________． 15. 已知二次函数经过点，则_________． 16. 二次函数的图像如图所示．下列结论：①；②为任意实数，则；③若两点均在函数图像上，且，则；④；⑤．其中正确结论有______． 三．解答题：共52分，第17题4分，18—23题每题5分，第24—26题每题6分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 解方程：． 18. 已知关于x的一元二次方程 （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若该方程的一个根为m，求m的值． 19. 在画二次函数（c为常数）的图象时，列表如下． x … 0 1 … y … 0 m 0 … （1）c的值为_______，表中的=_______； （2）在如图所示的平面直角坐标系中，用描点法画出这个二次函数的大致图象，并根据图象写出当时，y的取值范围． 20. 如图，的顶点坐标分别为，，，将绕点逆时针旋转得到，点，的对应点分别是，． （1）请在图中画出； （2）点，之间的距离是________． 21. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，且． （1）分别求出和的数值； （2）求点的坐标； （3）直接写出时，的取值范围． 22. 某草莓采摘园计划通过互联网销售草莓，需设计一款底面积为的有盖子的长方体快递包装盒，所用的材料为长，宽的长方形硬纸板．制作方法如下：在每一张纸板的四个角上分别剪去两个相同的正方形和两个相同的长方形（如方案图所示）．然后折叠成一个有盖纸盒（盒盖与盒底大小形状相同） 为了优化设计，草莓采摘园的老板借助提出了一种改进方案（称为方案），方案也需要在四个角上分别剪去两个相同的正方形和两个相同的长方形．对方案的优点给出了如下评价： 1．节省材料，成本更低：两种方案体积相同，底面积相同，但方案表面积更小，用料更省，长期生产可降低包装成本． 2．结构更稳固：方案底面更接近正方形，重心更稳，抗压性更好，运输时不易变形、挤压，能更好保护物品． 接下来请你帮助老板解决以下问题： （1）设方案中剪去的正方形的边长为，求的值及包装盒的表面积； （2）在备用图中画出方案． 23. 在投掷铅球时，球以一定的速度斜向上抛出，不计空气阻力，在空中划过的运动路线可以看作是抛物线的一部分．如图，建立平面直角坐标系，铅球从出手到落地的过程中，它的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足二次函数关系，记出手点与落地点的水平距离为投掷距离．小亮投掷铅球时，记录部分数据如下表． 1 2 4 6 7 … 3 … （1）写出抛物线的顶点坐标； （2）求与的函数表达式； （3）当铅球的投掷距离超过时，得分为满分．请通过计算说明小亮在此次投掷中是否得满分． 24. 已知二次函数． （1）此二次函数图象的对称轴为直线____________； （2）设此二次函数在的范围内的最大值为，最小值为，且，求实数的取值范围． （3）若关于的方程，在范围内有实数根，直接写出实数的取值范围． 25. 在中，， ，P是平面内的一点（不与点A重合），连接 ，以A为中心顺时针旋转线段 ，得到线段 ． （1）如图1，点P在边上，连接 ，若，补全图形并直接写出此时线段 的旋转角度（小于）（用含 的式子表示）； （2）如图2，点P在外，将线段 作（1）中同样的旋转，得到线段 ，将射线 绕点B逆时针旋转后交 的延长线于点N，且 ，判断线段 与 的数量关系，并证明． 26. 在平面直角坐标系中，已知正方形，其中，，，，，为该正方形外两点，．给出如下定义：记线段的中点为，平移线段得到线段，使点，分别落在正方形的相邻两边上，或线段与正方形的边重合（，，分别为点，，的对应点），线段长度的最小值称为线段到正方形的“平移距离”． （1）如上图，平移线段，得到正方形内两条长度为的线段，，则这两条线段的位置关系是________；若，分别为，的中点，在点，中，连接点与点________的线段的长度等于线段到正方形的“平移距离”； （2）如图，已知点，若，都在直线上，记线段到正方形的“平移距离”为，画出最小时，的位置，并直接写出的最小值； （3）若线段的中点的坐标为，记线段到正方形的“平移距离”为，直接写出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $