北京市第八十中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试题

数学试卷 一、选择题：第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 2022年冬奥会会徽和冬残奥会会徽部分作品图中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知⊙的半径为，点到圆心的距离为，那么点与⊙的位置关系是（ ）． A. 点在⊙外 B. 点在⊙内 C. 点在⊙上 D. 无法确定 3. 如果在二次函数的表达式y=ax2+bx+c中，a＞0，b＜0，c＜0，那么这个二次函数的图象可能是（　　） A. B. C. D. 4. 如图，将绕点顺时针旋转得到，连接．若线段，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 5. 如图，在⊙O中，，. 则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 根据下列表格中二次函数的自变量x与函数值y的对应值，判断方程（，，，为常数）的一个解的范围是（ ） 6.17 6.18 6.19 6.20 0.02 0.04 A. B. C. D. 7. 如图，四边形内接于，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在边长为4的等边中，点D为边上的动点．设，，，则，与对应的x满足的函数关系分别是（ ） A. 二次函数，一次函数 B. 二次函数，二次函数 C. 一次函数，一次函数 D. 一次函数，正比例函数 二、填空题 9. 将抛物线向下平移个单位，则平移后的抛物线的解析式为______． 10. 二次函数的最小值为__________． 11. 若关于的一元二次方程有一个根是，则的值为______． 12. 将二次函数化成的形式为______． 13. 如图，在平面直角坐标系中，点，，的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧，则此圆弧的圆心坐标为_______． 14. 如图，在中，，，以点C为圆心．R为半径的圆与相切，则半径R为________． 15. 如图，是半径为4的弦，于点，交于点，若，则弦为_____ 16. 对于一个半径为，有如下几个结论：①存在无数个内接于．满足，但边的长是唯一确定的；②存在无数条弦，满足点到的距离等于，但的长是唯一确定的；③在所有与相离的直线中，至少存在一条直线，上存在一点到的距离等于．上述结论中，所有正确结论的序号是________， 三、解答题 17. 解方程：． 18. 如图，A，P，B，C是上四个点，．求证：是等边三角形． 19. 已知，是方程的两个实数根： （1）填空：______； ______． （2）求代数式的值． 20. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程的两个根都是正整数，求a的最小值． 21. 小明在画一个二次函数的图象时，列出了下面几组与的对应值． x … 0 1 2 … y … 3 4 3 0 … （1）求该二次函数的表达式，并画出二次函数图象； （2）当时，的取值范围是______； （3）当时，的取值范围是______． 22. 如图，点A的坐标为，点B的坐标为，作如下操作： （1）画出关于原点对称的图形，点的坐标为______． （2）以点A为旋转中心，将顺时针方向旋转，得到，在图中画出，点的坐标为______． 23. 下面是小元设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过程． 已知：如图，⊙O及⊙O上一点P． 求作：过点P的⊙O的切线． 作法：如图，作射线OP； ① 在直线OP外任取一点A，以A为圆心，AP为半径作⊙A，与射线OP交于另一点B； ②连接并延长BA与⊙A交于点C； ③作直线PC； 则直线PC即为所求．根据小元设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面证明： 证明：∵ BC是⊙A的直径， ∴ ∠BPC=90° （填推理依据）． ∴ OP⊥PC． 又∵ OP是⊙O的半径， ∴ PC是⊙O的切线 （填推理依据）． 24. 如图，是的外接圆，AB是的直径，于点E，P是AB延长线上一点，且． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 25. 悬索桥，又名吊桥，指的是以通过索塔悬挂并锚固于两岸(或桥两端)的缆索(或钢链)作为上部结构主要承重构件的桥梁．其缆索几何形状一般近似于抛物线．从缆索垂下许多吊杆(吊杆垂直于桥面)，把桥面吊住．某悬索桥(如图1)，是连接两个地区的重要通道．图2是该悬索桥的示意图，小明在游览该大桥时，被这座雄伟壮观的大桥所吸引，他