广东广州市番禺区大石中学2026-2027学年第一学期期中九年级数学试卷

2026学年第一学期大石中学初三级期中质量检测数学科（问卷） (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有 项是符合题目要求的。 1.下列是一元二次方程的是( ) A.ax2+bx+c=0 B.x-2=x2 C.x2-2=x(x-2) D.x2+是=0 2.二次函数y=(x-3)2-5的顶点坐标是（) A.(3-5)B.(-3,-5) C.(-3,5) D.(3,5) 3.已知x=2是方程x2+bx-2=0的一个根，则b的值为( 。A.1 B.-1 C.2 D.-2 4.如图，将△ABC绕点O顺时针旋转80°变为△DEF,则下列说法不正确的是() A.AB=DEB.∠CAB=∠FDE.C.∠AOE=8O° D.∠COF=80° 5.用配方法解一元二次方程x2-8x+5=0,将其化成(x+a)2=b的形式，则变形正确的 是( A.(x+4)2=11 B.(x-4)2=21 C.(x-8)2=11 D.(x-4)2=11 6.过元旦了，全班同学每两个人互发一条祝福短信，共发了380条，设全班有x名同学， 列方程为( A.x(x-1)=380 B.2x(x-1)=380 C.x(x+1)=380 D.2x(x+1)=380 7.若点A(-5,),B(1,),C(5,)都在反比例函数y=-5的图象上，则 乃，2，的大小关系是（) A.<y½<⅓ B.<y< C.<3<% D.<<% 8.在平面直角坐标系中，对于二次函数y=-2(x-2)2+1,下列说法中错误的是（ ) A.y的最大值是1 B.图象的顶点坐标为(2,1)，对称轴为直线x=2 C.它的图象可以由y=-2x向右平移两个单位长度，再向上平移1个单位长度得到 D.当x<2时，y随x的增大而减小， 9.在同一平面直角坐标系内，一次函数y=am+C与二次函数y=ax2+8x+c的图象可能是() ) CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 10.如图，抛物线y=ax+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x1,与x轴的一个交点坐标为(-1， 0),其部分图象如图所示，下列结论：①4ac<,②方程ax+bx+c0的两个根是x1=- 1,x2=3:③3a+c>0:④当y>0时，x的取值范围是-1<x<4;⑤当K0时，y随x的 增大而增大，其中正确的个数是（) A.4 B.3 C.2 D.1 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11.方程x2=-3x的解是 12.如图，点A是反比例函数y=上的一个动点，过点A作AB⊥x轴， AC1y轴，垂足分别为B,C,已知矩形AB0C的面积为4，则反比例函数 的k为 13.若x1,x2是一元二次方程x2+x-2=0的两个实数根，则x1+x2-4x1x2的值为一 14.已知抛物线y=x2-x+1经过点P(m,5),则代数式m2-m+100的值为 15.如图，将△ABC绕点A逆时针旋转，旋转角为a(0°<a<180),得到△ ADE,这时点B旋转后的对应点D恰好在直线BC上，则∠ACD ∠EAD.(填“>”“<”或“=” 16.已知函数y=x2-8x+10,设实数4，a2,4满足a2=4+1,4=a2+1,当x取4，a2,4时， 对应的函数值分别为片，，为·当片+y+为的值最小时，则4= 三、解答题：本题共9小题，.共102分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.（10分)解下列方程： (1)x2-4x-45=0: (2)x(x+4)=-3(x+4) 18.(6分)如图，点E是正方形ABCD的边BC上的一点，连接AE,将AE 绕点A逆时针旋转，使得点E的对应点F落在边CD的延长线上 求证：△ABE≌△ADF; 】 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 24.(14分)背景材料：某社区准备改造原半径为6m的水池中的喷泉设施（如图①)，综合 实践小组开展了优化设计方案的综合实践活动 【建模分析】 如图②，该小组把喷泉最外侧水流抽象成抛物线，测量出如下数据：喷水口位置在水池中心 点O的正上方且竖直高度为2.25，水流最高高度为3m,水流最高点距喷水管的水平距离为 Im. 任务1：以水池中心点O为原点，水平向右方向为x轴正半轴，以喷水管竖直问上方向为y轴 正半轴，建立平面直角坐标系：求原喷泉水流右攴抛物线的函数表达式，并计算喷泉水流到 喷水管的最大水平距离， 【优化设计】 社区要求：为了使喷泉喷出的水流达到美观效果，要求喷出的水流所在抛物线最大高度AB与 水平宽度BC的比接近黄金比0.618 如图③，该小组进一步提出优化设计，若优化后水流离喷水管最大水平距离为5.5m,喷水口 的竖直高度为1.1m,喷出的水流的最高高度为3.6m. 任务2：求进一步优化后喷出的水流所在抛物线的函数表达式，并通过计算说明该小组所设 计喷泉是否达到美观效果， 01 5.5 图① 图② 图③ 25.(14分)如图，已知抛物线与x轴交于A(-1,0)、B(3,0)两点，与y轴相交于点C,直线 y=-2x+3经过点CG,与x轴交于点D. (1)求该抛物线的解析式： (2)在抛物线的对称轴上找·点Q,使AACQ的周长最小，求点Q的坐标： (3)点P是(1)中抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为t(0<t<3),是否存在△PCD 是以CD为底的等腰三角形？若存在，求点P坐标，若不存在，请说明理由 B 备用图 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 19.(10分)己知二次函数y=a(x-力)，当x=4时有最高点，且此函数的图象经过 点(1，-3) (1)求此二次数的解析式： (2)当x为何值时，y随x的增大而减小？ 20.(10分)李师傅去年开了一家商店，今年1月份开始盈利，2月份盈利2100元，4月份 的盈利达到3456元，且从2月到4月，每月盈利的平均增长率都相同. (1)求2月到4月每月盈利的平均增长率： (2)按照这个平均增长率，预计5月份这家商店的盈利将达到多少元？ 21.(12分)如图，次函数y=x+1与反比例函数y-的图象相交于点4〔2.)、B(6,-). (1)求反比例函数的表达式： (2)话直接写出关于x的不等式+1>的解集 22.（12分)已知关于x的一元二次方程x2-3x+k-1-0有两个不相等的实数根， (1)求k的取值范围： (2)设m是方程的-个实数根，H满足(m2-3m+3k+1)=-6,求k的值. 23.(14分)1图，抛物线y=x2+bx+c经过点A(-1,0),点B(2,-3),.与y轴交于点C,抛物 线的顶点为D. 个 (1)求抛物线的解析式： (2)抛物线上是否存在点P,使△PBC的面积是△BCDi积的A 倍，若在：，请求出点P的坐标：若不存在，请说明理由. CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描App 2026学年第-一学期初三级 由旋转的性质得，AE=AF 在Rt△ABE和RUAADE中 期中检测数学科 (AB=AD 参考答案 AE=AF -、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 :.RtAA3E≌RtAADF(HL) 左每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 的。 0 19.（10分=6-4)解：(1)二次函数y=a(x-h)2, 当x=4时有最高点 ∴.h=4 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 :此数的图象经过点(1，-3) 11.x1=0,x3=-312.4·13.7, ∴.-3=Q(1-4)2 14.104_15..2_16.3 解得：Q=- 三、解答题：本题共9小题，共102分。解答应写 “二次函数的解析式为y=-(红-4) 出文字说明、证明过程或演算步骤。 (2)解：，二次的数的对称釉为直线x=4, 1?.(共10分，每小题5分) (1)解：x2-4x=45 a=-g<0 x2-4x+4=49 当x>4时，y随x的增大而减小 (x-2)2=49 x-2=土7 20,(10分=7+3)解：(1)设每月盆利的平均增长 X1=9,x2=-5 车为x,根据题意得：2400(1+x)=3456 (2)解：x(x+4)=-3(x+4) 解得：x=0.2=20%,x2=-2.2(不台题意，舍 x(x+4)+3(x+4)=0 去) (x+4)(x+3)=0 答：每月盈利的平均增长率为20%。 x+4=0或x+3=0 (2)由(1)得每月盆利的平均增长率为20%： x1=-4,x2=-3 依题意，3456(+20%)=4147.2（元) 18.(6分)证明：：正方形ABCD, 答：预计5月份这家商店的盈利将达到4147.2元。 ,AB=AD,∠B=∠ADF=90° CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 21(12分-8+4)(1)解：把A(么a)代入y=x+1, 23.(14分=5+9)解：(1)解：，抛物线y=x2+bx+c 2 得a=x2+1=2, 过点A(-l,0),点B(2,-3) 2 :-b+c=0 A(22) 4+2b+c=-3 把42,2)代入y=太.得 [b=-2 解得 c=-31 2-登得=4 ∴.抛物线的解析式为：y=x之2-2x-3」 心反比例函数的表达式为y=4 （2)解：存在 (2)解：把B(,-)代入y=2x+1,得 y=x2-2x-3=(x-1)}-4, D(4,4) b+1=-1,解得b=4. 将x=0代入得，y=-3, ∴B(-4,-):文A(22), .C(0,-3) 由图可知， +1>的解集为-4<x<0或x>2 又B(2,3), .BCir轴， 22.（12分-5+7)解：(1)根据题意得 .D到线段BC的距离为I,C=2, 4=(-3)°-4(k-1)>0, .5.m2l. 解得：k< 4 ∴S=4S,xD=4, (2)m是方程的一个实数根 设P(m,m2-2m-3),由题意可知点P在直线BC m2-3m+k-1=0,即m2-3m=1-k 上方， 代入m2-3m+3k+=-6中.得： 则5m-克x2xx2-2m-3+)=4, (0-k+3张+)=6 整理得，m2-2m=4, 整理得，k2-3k-I0=0 解得m=1+5.或m,=1-5. 解得(=5或2=2 +5,,B-5,, <号 ∴.存在点P,使△PC的面积是aB、 3的4倍， k=-2 点P的坐标为R+5),-5,: CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 24.（14分=5，：(1)根据题意得，设抛物线 ∴.BC=5.5-（-0.5)=6 的解析式为y=a(x-1)'+3 ∴.AB:BC=3.6:6=0.6接近黄金比0.618 将(0,2.25，八懈析式得，2.25=a(0-1)2+3 .该小组所设计的喷泉达到美观效果。 解得a=-0.75 25.(14分=3+5+6)解：（1)设抛物线的表达式 .抛物线的函数表达式为y=0.75(x-1)+3, 为：y=a(x+1)(x-3)=a(x2-2x-3) (x20): 对于-次函数y=一2x+3 当y=0时，-0.75(x-}2+3=0 当x=0时，y=3 .C(0,3) 解得 x=3,x=-K不合题意，舍去) 将点C的坐标代入抛物线表达式得：3a=一3 “喷泉水流到喷水管的最大水平距离为3米。 则a=-1 (2)根据抛物线得，设抛物线的解析式为 即抛物线的表达式为：y=一x2+2x+3 y=a(x-h)°+3.6 (2)如图，点A关于抛物线对称轴的对称点) 将(0,1.).(5.50)代入解析式得 点B,连接BC文抛物线对称轴于点Q,则此时 1.i=a,h°+3.6 AACQ的周长最小， 0=a(5.5-h)2,3.6 解得a,h2=-2.50,a,(5.5-h)-3.6② .a,≠0.h≠0 ②：①得 55-n- h 解得h=2.5(负值已舍去) 痺由：△ACQ的周长=AC+CQ+AQ=AC 代入①得4，=0.4 BQ+CQ=AC+BC为最小 ∴.优化后抛物线的函数表达式为 设直线BC的表达式为y=kx+b y=-0.4(x-2.5)+3.6 把B(3,0)C(0,3)代入得： 当y=0时，0.4(x-2.5)+3.6=0 。,解收=3 解得x1=-0.5.x=5.5 '.直绽BC的表达式为：y=-x+3 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 由抛物线的悲达式知，其对称轴为x=1 当x=1时，y=-x+3=2,即点Q(1,2) (3)存在，理由： 设点P(e,-2+2t+3) 汽线y=-2x+3与轴的交点为D 当y=0时，x= ∴D(G,0) △PCD是以CD为底的等腰三角形 ∴PC兰PD (t-0)2+(~2r2)=（c-)+ (-t2+2t+3)2, 6t2-12t-15=0, t=2ty3网 ,0<t<3 .t=3+v39 4 即P点的坐标为(，2〉 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP