第二十九章圆单元检测卷-2026-2027学年人教版九年级数学上册

第二十九章圆单元检测卷 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列说法正确的个数是（     ）． ①弦是直径； ②半径相等的两个半圆是等弧； ③长度相等的两条弧是等弧； ④优弧一定大于劣弧． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆的基本概念：直径是过圆心的弦，但弦不一定是直径；半径相等的半圆属于等弧；只长度相等，半径不同的不是等弧；只有在同圆或等圆中，优弧才一定大于劣弧，逐一分析各项即可． 【详解】解：∵弦是连接圆上任意两点的线段，直径是经过圆心的特殊弦， ∴弦不一定是直径，故①错误； ∵半径相等的两个半圆能够完全重合，是等弧， ∴②正确； ∵长度相等，半径相同的是等弧， ∴只有长度相等的两条弧不一定是等弧，故③错误； ∵只有在同圆或等圆中，优弧才一定大于劣弧， ∴不在同圆或等圆中，优弧不一定大于劣弧，故④错误． 综上所述，正确的说法有个． 2．如图，在边长为4的等边三角形中，，分别是，的中点，以点为圆心，3为半径作，则下列判断错误的是（    ） A．点在外 B．点在外 C．点在上 D．点在内 【答案】C 【分析】本题考查点与圆的位置关系，等边三角形性质，勾股定理等．根据题意可知，继而利用题意即可对选项进行判断． 【详解】解：∵边长为4的等边三角形， ∴， ∵，分别是，的中点， ∴，， ∴以点为圆心，3为半径作，点在外，点在外，点在内， ∵， ∴点在外， j则，选项点在上判断错误， 故选：C． 3．如图，A，B，C，D是上的点，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出，再根据得出，进而求出． 【详解】解：∵， ， ， ， ． 4．如图，一块直角三角板的角的顶点落在上，两边分别交于、两点，若的半径为，则弦长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆周角定理得到，进而证明为等边三角形，利用等边三角形的性质可求解． 【详解】解：如图，连接， ， ， ， 为等边三角形， ． 5．如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴正半轴上，经过O，A，C三点，且为的直径，若，，则点C的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过连接辅助线构造直角三角形，利用直角三角形的性质求出线段长度，从而确定点的坐标． 【详解】解：如图，连接， ∵为的直径， ∴． ∵，， ∴， ∴，， ∴点C的坐标为． 6．如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接，．若．则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴. 7．如图，已知的对角线，将绕其对称中心O旋转，则点D所转过的路径长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将平行四边形旋转后，点D所转过的路径是以线段为直径的半圆，已知直径的长利用弧长公式求得即可． 【详解】解：将绕其对称中心O旋转，点D所转过的路径为以为直径的半圆， ∴其长度为． 8．如图，是的直径，弦交于点，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由圆周角定理可得，，作差可求出，最后利用三角形外角的性质求出． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴． 9．如图，过原点，且与两坐标轴分别交于点 A、B，点 A 的坐标为，点 M是第三象限内圆上一点，，则的半径为（   ）    A．4 B．5 C．6 D．2 【答案】A 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，含角的直角三角形的性质，圆周角定理，坐标与图形，根据圆内接四边形对角互补得到，再由的圆周角所对的弦是直径得到是直径，求出，进而求出，是解题的关键． 【详解】解：∵、、、都在圆上，， ∴， ∵， ∴是的直径，， ∵， ∴， ∴， ∴的半径为4， 故选：A． 10．如图，已知点在上，点在内，和均为直角，的半径为，，则的长度为（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】两个直角给出；过圆心作弦的垂线，一方面由垂径定理算出圆心到的距离，另一方面借矩形把已知的、搬到辅助线上，再用勾股定理求出，相减即得． 【详解】解：∵，， ∴． 过圆心作于点，延长交的延长线于点（如图）， ∵，且是的弦， ∴点是的中点， ∴． 在中，， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，． ∴． 在中，， ∴． ∴． 【点睛】本题考查垂径定理、矩形的判定与勾股定理的综合运用．关键有两步：一是由得，从而两平行线间的距离就是；二是过圆心作弦的垂线，先用垂径定理求出与，再由矩形把搬到、把搬到，由得，最后在中求，由得解． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．如图，阴影部分是以点为圆心，分别以，为半径，圆心角形成的扇面，若，，则阴影部分的面积为______（结果保留）． 【答案】 【分析】根据，利用扇形的面积公式求解即可． 【详解】解： ． 12．已知在中，，将绕边所在的直线旋转一周得到一个圆锥，则该圆锥的全面积为_______． 【答案】 【分析】先利用勾股定理求出斜边的长度，确定旋转得到的圆锥的底面半径和母线长，再分别计算圆锥的侧面积和底面积，求和得到全面积． 【详解】解：∵ 在中，，，， ∴ 由勾股定理得 ． 将绕所在直线旋转一周后，得到的圆锥底面半径， 母线长， 圆锥的侧面积为 ， 圆锥的底面积为 ， ∴ 圆锥的全面积为 ． 13．编织草帽是云南各民族擅长的工艺，其中“云南十八怪”中就有“摘下草帽当锅盖”的顺口溜．某校九年级学生参加社会实践，学习编织草帽（该草帽为圆锥形，如图所示），若这种圆锥形草帽的母线长为36cm，底面圆的半径为20cm，该草帽展开为扇形，则这个扇形的圆心角的度数是_______ ． 【答案】 【分析】根据展开图的扇形的弧长等于圆锥底面周长计算． 【详解】解：设圆心角为， ∵母线长为36cm，底面圆半径为20cm， ∴， 解得：， ∴该圆锥侧面展开扇形圆心角度数为． 14．如图，在中，，在斜边上分别截取，，，O是的外心，则O到三边距离之和是_______ 【答案】9 【分析】先证明点O是的内心，根据三角形的内心到三边距离相等，该距离为的内切圆半径，得出，即可解决问题． 【详解】如图，连接、、、、， 由知O在的垂直平分线上， 又，则平分， 同理平分，故O是的内心， 到的三边距离均与的内切圆的半径相等， 半径， 故所求之和为9． 【点睛】本题考查三角形的外接圆与外心、三角形的内心与内切圆等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题． 15．如图，在矩形中，，，以为斜边在矩形所在平面作，，点为的中点，则的最小值为________． 【答案】1 【分析】取的中点，连接，，，先求出的长，再得出点的运动轨迹，利用圆的性质求最值即可． 【详解】解：如图，取的中点，连接，，， ∵在矩形中，，， ∴，， ∴在中，， ∵点为的中点，点为的中点， ∴， ∵在中，，点为斜边的中点， ∴， ∴点在以点为圆心、长为半径的圆上， ∴当点与和线段的交点重合时，的值最小，最小值为． 【点睛】本题的难点在于正确找出点的运动轨迹． 16．已知的半径为，弦，且，，则与之间的距离为______． 【答案】或 【分析】由于弦，需分两种情况讨论：当与在圆心同侧时，距离为圆心到两弦距离之差；当在圆心两侧时，距离为圆心到两弦距离之和，利用垂径定理和勾股定理求出圆心到各弦的距离． 【详解】过点作于点，则为中点，连接， ∴， 在中，， 由勾股定理得， 过点作于点，则为中点， ∴， 在中，， 由勾股定理得， 如图所示，当与在圆心同侧时，与之间的距离为； 如图所示，当与在圆心两侧时，与之间的距离为． 故答案为：或． 【点睛】本题考查垂径定理和勾股定理的应用，通过作圆心到弦的垂线，将弦长、半径和弦心距转化为直角三角形的三边关系，实现几何量的计算；解决本题的关键是利用分类讨论的思想，当两条平行弦在圆内时，需分弦的圆心同侧和弦在圆心两侧两种情况． 三、解答题（本大题共8小题，每小题9分，共72分） 17．已知：如图，是上的点，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明：， ， ， ， ； (2) 【分析】（1）根据圆心角，弦，弧之间的关系，证明即可； （2）根据圆的性质，三角形内角和，圆心角，弦，弧之间的关系，解答即可． 【详解】（1）略． （2）解：， ， ， 由（1）可知，， ， 的度数为． 18．如图，是的直径，是的弦，如果 (1)求的度数． (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角得到，据此求出的度数，再由同弧所对的圆周角相等可得答案； （2）根据直径所对的圆周角是直角得到，再由同弧所对的圆周角相等得到，据此可得答案． 【详解】（1）解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵是的直径， ∴； ∵， ∴， ∴． 19．如图，是的直径，C是延长线上一点，点D在上，且，的延长线交于点E，． (1)求的度数； (2)若圆的半径为6，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接，利用半径相等和等腰三角形的性质求得，从而利用三角形的外角的性质求解； （2）过点作于点，根据垂径定理得，再根据含30度角的直角三角形的性质得到，然后由勾股定理求出，最后根据线段的和差即可求解． 【详解】（1）解：连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图，过点作于点， ∴， ∵，圆的半径为6，即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 20．如图，公园内有一块半径为的扇形草坪，从A地走到B地有观赏路（弧）和便民路（线段），且． (1)求扇形草坪的面积（结果取整数）； (2)王芳从A地走到B地，走便民路比走观赏路少走多少米（结果保留小数点后一位）？ 【答案】(1)扇形草坪的面积约为； (2)走便民路比走观赏路少走． 【分析】（1）根据扇形面积公式直接求解； （2）过点作于点，先在直角三角形中求出，再结合三线合一得到，最后求出的长度，作差求解． 【详解】（1）解：扇形草坪的面积， 答：扇形草坪的面积约为； （2）解：如图，过点作于点， ，， ，， 在中，， ， ， ， ， 走便民路比走观赏路少走． 21．课外研学活动中，数学探究小组准备估算古石拱桥拱弧所在圆的半径．这座古桥拱由横截面为矩形的花岗岩条石堆砌修建，上下层条石交错排布，上层石块顶点恰好对齐下层石块长边的中点位置（如图1）．实地勘测后标记拱弧上两点A、B．点A是拱弧的顶端，落在相邻两块条石的接缝位置，B点为花岗岩条石的棱角顶点（如图2）． 小组现场测量：单块花岗岩条石长，高． (1)通过观察，拱桥跨度的长为 ；A到的距离为 ； (2)利用测得的数据，计算这座石拱桥拱弧所在圆的半径． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）结合花岗岩条石的数量计算即可； （2）设这座石拱桥拱弧所在圆的圆心为O，连接，其中交于点D，则，设圆的半径为，由（1）可知，，根据垂径定理得到，根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如图， 可知拱桥跨度的长为， A到的距离为； （2）解：如图，设这座石拱桥拱弧所在圆的圆心为O，连接，其中交于点D，则， 设圆的半径为，由（1）可知，， ∵，即， ∴，， ∴， 解得：， 即圆的半径为． 22．年月日的月全食恰逢中国农历正月十五元宵节，这是天文历法与天体运行的一次自然巧合，观赏时机非常难得，全国大部分地区都将看到“带食月出”的景象，如图1．月全食的原理是月、地、日运行至一条直线时，月球进入地球的本影，太阳投射在月球上的光完全被地球挡住，由于地球大气层对太阳光有折射和散射作用，其中波长最长的红光落在月面上最多，因而出现“红月亮”．小智在观看的过程中在纸上画了如图2所示的图形，若的半径为，是弦的中点，是半圆上的一点，且．      (1)连接、，则与的位置关系是________； (2)求的度数； (3)求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由垂径定理的推论即可得解； （2）由勾股定理可得的长，即可得到，从而可得是等腰直角三角形，即可得解； （3）连接，由垂径定理可得的长，证明，再由列式计算即可． 【详解】（1）解：是圆心，是弦的中点， ； （2）解：是半圆上的一点，且， ， ， ， 是等腰直角三角形， ； （3）解：如图，连接， 由（2）知，，， 是弦的中点，， ，， ． 23．如图，为的直径，点C为的中点，交直线于D点．    (1)求证：； (2)若，求的直径． 【答案】(1) 证明：连接，如图，    ∵为的直径， ∴，即， ∵点C为的中点， ∴， ∴， ∴； (2)5 【分析】（1）证明，即可得出结论； （2）设交于点T，证明四边形是矩形，设，利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：设交于点T，如图，    ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 设， 则， ∴， ∴，即的直径为5； 【点睛】本题考查圆周角定理，垂径定理，矩形的判定和性质, 勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题． 24．定义：内接于，为的内心，若关于该三角形某条边的对称点恰好在上，则称为的“完美三角形”． (1)【初步认识】下列内接三角形一定是的“完美三角形”的有______（填序号）： ①等边三角形；②等腰直角三角形；③有一个角为的直角三角形． (2)【探索本质】如图1，是的“完美三角形”，其内心关于的对称点在上． ①求的度数； ②若，求的半径． (3)【理解应用】如图2，的半径为，弦．是上一点，为的“完美三角形”，请直接写出所有可能的值． 【答案】(1)①③ (2)①；② (3)9，15，21 【分析】（1）设的内心关于边的对称点恰好在上，证明，可得，，由为的内心，可得，，由四边形内接于，可得，可得当为其外接圆的“完美三角形”时，有一个内角为，即可得结论； （2）①连接，，，，同理（1）即可得； ②连接，，过点作于点，则，利用等腰三角形的性质和勾股定理即可求解； （3）分，，三种情况，即可求解． 【详解】（1）解：如图，设的内心关于边的对称点恰好在上， 由对称可得，，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵为的内心， ∴，分别平分，， ∴，， ∴，， ∴， ∵四边形内接于， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴当为其外接圆的“完美三角形”时，有一个内角为， ∴当三角形为等边三角形和有一个角为的直角三角形时，一定是的“完美三角形”，故①③符合． （2）解：①如图，连接，，，， 由对称可得，，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵为的内心， ∴，分别平分，， ∴，， ∴，， ∴， ∵四边形内接于， ∴，即， ∴， ∴， ∴． ②如图，连接，，过点作于点，则， 由①可知，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴，即的半径为． （3）解：由（2）可知，有一个角为， 当时，如图，连接，，过点作于点，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 过点作于点，则， ∵， ∴， ∴在中，， ∴， 在中，， ∴； 当时，过点作交延长线于点，则，， ∴； 当时，如图， 同理当时，其对边， ∴当时，其对边； 同理，若，则其对边，与已知不符合，故不存在； 综上所述，所有可能的值为9，15，21． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十九章圆单元检测卷 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列说法正确的个数是（     ）． ①弦是直径； ②半径相等的两个半圆是等弧； ③长度相等的两条弧是等弧； ④优弧一定大于劣弧． A． B． C． D． 2．如图，在边长为4的等边三角形中，，分别是，的中点，以点为圆心，3为半径作，则下列判断错误的是（    ） A．点在外 B．点在外 C．点在上 D．点在内 3．如图，A，B，C，D是上的点，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 4．如图，一块直角三角板的角的顶点落在上，两边分别交于、两点，若的半径为，则弦长为（     ） A． B． C． D． 5．如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴正半轴上，经过O，A，C三点，且为的直径，若，，则点C的坐标为（     ） A． B． C． D． 6．如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接，．若．则的度数为（     ） A． B． C． D． 7．如图，已知的对角线，将绕其对称中心O旋转，则点D所转过的路径长为（     ） A． B． C． D． 8．如图，是的直径，弦交于点，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 9．如图，过原点，且与两坐标轴分别交于点 A、B，点 A 的坐标为，点 M是第三象限内圆上一点，，则的半径为（   ）    A．4 B．5 C．6 D．2 10．如图，已知点在上，点在内，和均为直角，的半径为，，则的长度为（） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．如图，阴影部分是以点为圆心，分别以，为半径，圆心角形成的扇面，若，，则阴影部分的面积为______（结果保留）． 12．已知在中，，将绕边所在的直线旋转一周得到一个圆锥，则该圆锥的全面积为_______． 13．编织草帽是云南各民族擅长的工艺，其中“云南十八怪”中就有“摘下草帽当锅盖”的顺口溜．某校九年级学生参加社会实践，学习编织草帽（该草帽为圆锥形，如图所示），若这种圆锥形草帽的母线长为36cm，底面圆的半径为20cm，该草帽展开为扇形，则这个扇形的圆心角的度数是_______ ． 14．如图，在中，，在斜边上分别截取，，，O是的外心，则O到三边距离之和是_______ 15．如图，在矩形中，，，以为斜边在矩形所在平面作，，点为的中点，则的最小值为________． 16．已知的半径为，弦，且，，则与之间的距离为______． 三、解答题（本大题共8小题，每小题9分，共72分） 17．已知：如图，是上的点，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 18．如图，是的直径，是的弦，如果 (1)求的度数． (2)若，求的长． 19．如图，是的直径，C是延长线上一点，点D在上，且，的延长线交于点E，． (1)求的度数； (2)若圆的半径为6，求的长． 20．如图，公园内有一块半径为的扇形草坪，从A地走到B地有观赏路（弧）和便民路（线段），且． (1)求扇形草坪的面积（结果取整数）； (2)王芳从A地走到B地，走便民路比走观赏路少走多少米（结果保留小数点后一位）？ 21．课外研学活动中，数学探究小组准备估算古石拱桥拱弧所在圆的半径．这座古桥拱由横截面为矩形的花岗岩条石堆砌修建，上下层条石交错排布，上层石块顶点恰好对齐下层石块长边的中点位置（如图1）．实地勘测后标记拱弧上两点A、B．点A是拱弧的顶端，落在相邻两块条石的接缝位置，B点为花岗岩条石的棱角顶点（如图2）． 小组现场测量：单块花岗岩条石长，高． (1)通过观察，拱桥跨度的长为 ；A到的距离为 ； (2)利用测得的数据，计算这座石拱桥拱弧所在圆的半径． 22．年月日的月全食恰逢中国农历正月十五元宵节，这是天文历法与天体运行的一次自然巧合，观赏时机非常难得，全国大部分地区都将看到“带食月出”的景象，如图1．月全食的原理是月、地、日运行至一条直线时，月球进入地球的本影，太阳投射在月球上的光完全被地球挡住，由于地球大气层对太阳光有折射和散射作用，其中波长最长的红光落在月面上最多，因而出现“红月亮”．小智在观看的过程中在纸上画了如图2所示的图形，若的半径为，是弦的中点，是半圆上的一点，且．      (1)连接、，则与的位置关系是________； (2)求的度数； (3)求图中阴影部分的面积． 23．如图，为的直径，点C为的中点，交直线于D点．    (1)求证：； (2)若，求的直径． 24．定义：内接于，为的内心，若关于该三角形某条边的对称点恰好在上，则称为的“完美三角形”． (1)【初步认识】下列内接三角形一定是的“完美三角形”的有______（填序号）： ①等边三角形；②等腰直角三角形；③有一个角为的直角三角形． (2)【探索本质】如图1，是的“完美三角形”，其内心关于的对称点在上． ①求的度数； ②若，求的半径． (3)【理解应用】如图2，的半径为，弦．是上一点，为的“完美三角形”，请直接写出所有可能的值． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $