第29章 圆单元自测基础卷- 2026-2027学年人教版九年级数学上册

第29章 圆单元自测基础卷 考试时间：60分钟　　满分：100分 适用：人教版九年级单元基础测试、周测 1、 选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．（26-27九年级上·全国·期中）下列说法中，错误的是（     ） A．同圆的半径相等 B．直径是圆中最长的弦 C．能够重合的两个圆叫等圆 D．长度相等的两条弧是等弧 【答案】D 解：A、B、C均为圆的基本概念，说法正确， D、只有在同圆或等圆中，长度相等的两条弧才是等弧，仅长度相等不能判定为等弧，说法错误． 2．（26-27九年级上·全国·期中）直角三角形的两条直角边分别为和，则它的外接圆的半径为（     ） A．5 B．6 C．6.5 D．13 【答案】C 【分析】解题关键是明确直角三角形外接圆直径等于斜边长． 解：由勾股定理得，直角三角形斜边长为， ∵直角三角形外接圆的直径等于斜边长， ∴外接圆半径为． 3．（25-26九年级上·云南德宏·期末）如图，在中，弦的长为8，圆心到的距离，则的半径长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由垂径定理可得，再利用勾股定理求解． 解：在中，弦的长为8，圆心到的距离， ， ， 在中，， 的半径长为． 4．（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，是的直径，弦，垂足为C，则下列结论中错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 解：是的直径，， ，，， ， 由于的位置不确定，与的长度没有必然的相等关系， 所以不成立， 则下列结论中错误的是B． 5．（26-27九年级上·山东菏泽·阶段检测）如图，是的直径，点C、D在上，．则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用同弧所对圆周角相等求出，结合直径所对圆周角为直角，在直角三角形中求解． 解：∵与均为所对的圆周角， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴． 6．（25-26九年级上·海南省直辖县级单位·期末）正方形的边长为2，则正方形外接圆的直径是（   ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】考查了正多边形和圆以及正多边形的性质，解决本题的关键是理解正方形外接圆直径为正方形的对角线长．明确正方形外接圆直径为正方形的对角线长，求出对角线长即可． 解：正方形外接圆直径为正方形的对角线长． 正方形的边长为2， 正方形的对角线长为， 外接圆直径为． 故选：D． 7．（2026·海南·模拟预测）等宽曲线是指在任何方向上的直径都相等的一种几何图形，它在我们的日常生活中应用比较广泛，例如可以利用等宽曲线设计自行车的车轮等．如图，分别以等边三角形的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形就是等宽曲线（图中阴影部分），如果，那么这个等宽曲线的周长是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等边三角形的性质得到，，再根据弧长公式求解即可． 解：∵是等边三角形， ∴，， ∴的长为，的长为，的长为， ∴这个等宽曲线的周长为． 8．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图①是古典园林中的门洞，它的示意图近似为一个圆形拱门，如图②所示，若点O为圆心，测得的半径为，圆形拱门的最高点到最低点的距离为，则底端的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由垂径定理可得，再由勾股定理计算即可得解． 解：由题意可得：， ∴， 由勾股定理可得：， 解得：， ∴， 答：底端的长为． 2、 填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9．（24-25九年级上·河北唐山·期中）外一点到圆周上一点的最长距离为，最短距离为，则的直径长为________． 【答案】6 【分析】本题考查了圆的直径，半径，熟练掌握直径是圆的最大弦是解题的关键． 根据直径是圆中最大的弦解答即可． 解：如图，设圆的圆心为点O， ∵直径是圆中最大的弦， ∴过P，O作圆的直径，则，， ∴， ∴圆的直径为， 故答案为：6． 10．（25-26八年级下·辽宁锦州·期末）“若，则”，用反证法证明这个结论时，应先假设________． 【答案】 解：若，则，用反证法证明这个结论时，应先假设． 11．（25-26九年级上·福建泉州·期末）如图，在半径为的中，，弦于点，则等于_________． 【答案】5 【分析】根据垂径定理可知的长度，再根据勾股定理即可求解． 解：根据题意，, 由垂径定理可知：， ∵, 由勾股定理可得：． 12．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在中，若，，则的长为_____． 【答案】 【分析】根据在同一个圆中，相等的弧所对的弦相等求解即可． 解：∵， ∴， ∴． 13．（26-27九年级上·江苏镇江·阶段检测）如图，以原点O为圆心的圆交x轴于A、B两点，交y轴的正半轴于点C，D为第一象限内上的一点，若，则______． 【答案】 【分析】先由圆周角定理求出圆心角，再算出，最后利用等腰三角形性质求出． 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故． 14．（2026·安徽·二模）生物社团的学生采集树叶制作标本，图1是一枚树叶标本，树叶主体近似形如以一个正方形的顶点B，D为圆心，边长为半径的两条弧构成的曲边图形，如图2所示．经测量，正方形的边长为4cm，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】 解：根据图2可知，图形是由2个完全相同的扇形重叠在一起得到的， ∴阴影部分的面积2个扇形面积正方形的面积， ∵正方形的边长为4cm， ∴扇形的半径为4cm， ∴阴影部分的面积（）． 三、解答题（本大题共7小题，共58分） 15.（8分）（2025九年级·全国·专题练习）石拱桥是中国传统桥梁四大基本形式之一．如图①，某石拱桥的桥拱是圆弧形，其示意图如图②所示，其中桥顶到水面的距离，桥拱的半径．求此时水面的宽度AB． 【答案】此时水面的宽度AB为8m 【分析】本题考查了垂径定理的应用以及勾股定理，解题的关键是掌握垂径定理的应用． 连接OA，根据垂径定理可知，再利用勾股定理即可求出的长，进而可得出的长，此题得解． 解：如图，连接OA，则． 由题意可知，， ． 在中，，， ， ． 故此时水面的宽度AB为m． 16.（8分）（25-26九年级上·广东汕头·期末）将图中的破轮子复原，已知弧上三点． （1）用尺规作出该轮的圆心O，并保留作图痕迹； （2）若半径，劣弧的度数为，求扇形的面积．（结果保留π） 【答案】（1）解：如图点O即为所求， （2） 【分析】本题考查作线段的垂直平分线确定圆心，扇形的面积公式； （1）作、的垂直平分线即可； （2）根据扇形的面积公式计算即可． 解：（1）略 （2）解：∵半径，劣弧的度数为， ∴． 17.（8分）（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，已知是的直径，过点的弦平行于半径，若． （1）求的度数； （2）的长度为__________． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了圆周角定理，求弧长，熟知圆周角定理是解题的关键． （1）由圆周角定理可得的度数，再由平行线的性质可得答案； （2）连接，由圆周角定理可得的度数，再由弧长计算公式求解即可． （1）解：∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图所示，连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴的长度． 故答案为： 18.（8分）（25-26九年级上·江苏盐城·期中）如图，四边形是的内接四边形，点G在边的延长线上． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1）解：∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴； （2） 【分析】本题主要考查圆内接四边形，同弧或等弧所对圆周角相等，掌握以上知识，数形结合分析是关键． （1）根据圆内接四边形的性质求解即可； （2）根据圆内接四边形的性质得到，则，由同弧所对圆周角相等即可求解． 解：（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 19.（8分）（25-26九年级上·广东珠海·期中）如图，已知中弦，点是上一动点，连接，过点作于点于点，连接． （1）若点运动到的中点，此时点到弦的距离为2，求的半径； （2）在点运动过程中，线段的长是否发生改变？如果不变，求出线段的长；如果改变，请说明理由． 【答案】（1）的半径为5；（2）线段的长不变，且． 【分析】（1）连接，连接交于点H，设的半径为，在中，利用勾股定理即可求解； （2）利用垂径定理求得，，再利用三角形中位线定理求解即可． （1）解：连接，连接交于点H，设的半径为， ∵点是的中点， ∴， ∴， 由题意得，则， 在中，，即， 解得，即的半径为5； （2）解：线段的长不变，且，理由如下： ∵，， ∴，， ∴是是中位线， ∴． 【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，三角形中位线定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 20.（8分）（2025九年级下·江西·专题练习）已知的直径为10，弦，点E为上一点，过点E 作弦． （1）如图（1），若 ，连接，求的长； （2）如图（2），过点C作于点G，连接，当过点O 时，若 ，求的长． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）过点 O 作，，垂足分别为 M，N，则四边形 为矩形，利用勾股定理求出，可得矩形 为正方形，再利用勾股定理求出，可得，进而计算即可； （2）连接，先利用勾股定理求出，再根据列式计算即可． （1）解：如图（1），过点 O 作，，垂足分别为 M，N，则四边形 为矩形，， ∵，， ∴， ∴， 连接，，则， ， ∴， ∴矩形 为正方形， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， ∴； （2）如图（2），连接， ∵是的直径， ∴， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了垂径定理，正方形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理，直径所对的圆周角是直角，作出合适的辅助线构造出直角三角形是解题的关键． 21.（10分）（25-26九年级下·江西九江·期中）课本再现 如图1，的直径为，弦为，的平分线交于点． （1）分别求和的长． 拓展延伸 （2）如图2，若于点，连接． ①求证：直线垂直平分． ②求的长． 【答案】（1）；；（2）①连接，延长交与点，如图： 为的直径， ， 是的角平分线，且， ， ， ，（公共边）， ， ， ，， 直线垂直平分； ② 【分析】本题考查了勾股定理、全等三角形的判定及性质、等腰三角形的判定及性质、圆周角定理： （1）根据圆周角定理得，在和中，利用勾股定理即可求解； （2）①连接，延长交与点，根据等角对等边可证得，再根据可证得，进而可证得，根据等腰三角形的三线合一性质即可求证结论； ②由（1）得：，由①得：，点是的中点，进而可得，根据即可求解； 添加适当的辅助线解决问题是解题的关键． 解：（1）为的直径， ， 在中，，， ， 是的角平分线， ， ， 在中，， ； （2）①略 ②由（1）得：， 由①得：，点是的中点， 是的中位线， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第29章 圆单元自测基础卷 考试时间：60分钟　　满分：100分 适用：人教版九年级单元基础测试、周测 1、 选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．（26-27九年级上·全国·期中）下列说法中，错误的是（     ） A．同圆的半径相等 B．直径是圆中最长的弦 C．能够重合的两个圆叫等圆 D．长度相等的两条弧是等弧 2．（26-27九年级上·全国·期中）直角三角形的两条直角边分别为和，则它的外接圆的半径为（     ） A．5 B．6 C．6.5 D．13 3．（25-26九年级上·云南德宏·期末）如图，在中，弦的长为8，圆心到的距离，则的半径长为（     ） A． B． C． D． 4．（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，是的直径，弦，垂足为C，则下列结论中错误的是（     ） A． B． C． D． 5．（26-27九年级上·山东菏泽·阶段检测）如图，是的直径，点C、D在上，．则（     ） A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·海南省·期末）正方形的边长为2，则正方形外接圆的直径是（   ） A．2 B．4 C． D． 7．（2026·海南·模拟预测）等宽曲线是指在任何方向上的直径都相等的一种几何图形，它在我们的日常生活中应用比较广泛，例如可以利用等宽曲线设计自行车的车轮等．如图，分别以等边三角形的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形就是等宽曲线（图中阴影部分），如果，那么这个等宽曲线的周长是（    ） A． B． C． D． 8．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图①是古典园林中的门洞，它的示意图近似为一个圆形拱门，如图②所示，若点O为圆心，测得的半径为，圆形拱门的最高点到最低点的距离为，则底端的长为（     ） A． B． C． D． 2、 填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9．（24-25九年级上·河北唐山·期中）外一点到圆周上一点的最长距离为，最短距离为，则的直径长为________． 10．（25-26八年级下·辽宁锦州·期末）“若，则”，用反证法证明这个结论时，应先假设________． 11．（25-26九年级上·福建泉州·期末）如图，在半径为的中，，弦于点，则等于_________． 12．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在中，若，，则的长为_____． 13．（26-27九年级上·江苏镇江·阶段检测）如图，以原点O为圆心的圆交x轴于A、B两点，交y轴的正半轴于点C，D为第一象限内上的一点，若，则______． 14．（2026·安徽·二模）生物社团的学生采集树叶制作标本，图1是一枚树叶标本，树叶主体近似形如以一个正方形的顶点B，D为圆心，边长为半径的两条弧构成的曲边图形，如图2所示．经测量，正方形的边长为4cm，则图中阴影部分的面积为______． 三、解答题（本大题共7小题，共58分） 15.（8分）（2025九年级·全国·专题练习）石拱桥是中国传统桥梁四大基本形式之一．如图①，某石拱桥的桥拱是圆弧形，其示意图如图②所示，其中桥顶到水面的距离，桥拱的半径．求此时水面的宽度AB． 16.（8分）（25-26九年级上·广东汕头·期末）将图中的破轮子复原，已知弧上三点． （1）用尺规作出该轮的圆心O，并保留作图痕迹； （2）若半径，劣弧的度数为，求扇形的面积．（结果保留π） 17.（8分）（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，已知是的直径，过点的弦平行于半径，若． （1）求的度数； （2）的长度为__________． 18.（8分）（25-26九年级上·江苏盐城·期中）如图，四边形是的内接四边形，点G在边的延长线上． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 19.（8分）（25-26九年级上·广东珠海·期中）如图，已知中弦，点是上一动点，连接，过点作于点于点，连接． （1）若点运动到的中点，此时点到弦的距离为2，求的半径； （2）在点运动过程中，线段的长是否发生改变？如果不变，求出线段的长；如果改变，请说明理由． 20.（8分）（2025九年级下·江西·专题练习）已知的直径为10，弦，点E为上一点，过点E 作弦． （1）如图（1），若 ，连接，求的长； （2）如图（2），过点C作于点G，连接，当过点O 时，若 ，求的长． 21.（10分）（25-26九年级下·江西九江·期中）课本再现 如图1，的直径为，弦为，的平分线交于点． （1）分别求和的长． 拓展延伸 （2）如图2，若于点，连接． ①求证：直线垂直平分． ②求的长． 学科网（北京）股份有限公司 $