2026-2027学年鲁教版（五四制）数学七年级上册期中测试培优试题

2026-2027鲁教版数学七年级上册期中测试培优试题 一．选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分） 1．下列图形中，不是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2.如图，在△ABC中，边AB上的高是（　　） A．AF B．BE C．CE D．BD 3.如图，工人师傅要检查人字梁的∠B和∠C是否相等，但他手边没有量角器，只有一个刻度尺．于是，他首先分别在BA和CA上取BE＝CG；接着在BC上取BD＝CF．如果工人师傅想得到正确的结果，那么他还需要测量（　　） A．AG的长度 B．DF的长度 C．DE和FG的长度 D．AE和DF的长度 4.勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一．如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度BE＝1m，将它往前推6m至C处时（即水平距离CD＝6m），踏板离地的垂直高度CF＝4m，它的绳索始终拉直，则绳索AC的长是（　　） A． B． C．6m D． 5．如图，在中，，，，记长为x，长为y．当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（　　） A． B． C． D． 6．如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝8．在高线AD所在直线上任取一点P（不与点A，D重合），连结PB，PC，则PB2﹣PC2的值为（　　） A．6 B．18 C．36 D．72 7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以A点，B点为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于E，F，连接EF交AB于点D，交AC于点H．连接CD，以C为圆心，CD长为半径作弧，交AC于G点，若AB＝10cm，BC＝6cm，则GH的长度为（　　） A． B． C．3cm D． 8．如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，在直线BC或AC上取一点P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的P点有（　　） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 9．如图，在中，，，，，是的平分线．若，分别是和上的动点，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 10．如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H，则下列结论：①∠APB＝135°；②PF＝PA；③AH+BD＝AB；④连接DH，△PDH为等腰直角三角形；⑤连接DE，S四边形ABDE，其中正确的个数是（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分） 11．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，满足（a﹣b）+|a2+b2﹣c2|＝0，则△ABC是　　 三角形． 12．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD⊥DC，DE⊥BC于点E，且AB＝EB＝3，若CD＝8，则CE的长为 　　 ． 13．在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线与直线AC相交所成锐角的度数为40°，则此等腰三角形底角的度数为　　 ． 14．如图，在△ABC中，已知AB＝AC＝7，BC＝5，AB的垂直平分线交AB于点N，交AC于点M，P为直线MN上一点，连接PB、PC，则△PBC周长的最小值是　　 ． 15．如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，过点B作BE⊥AD，交AD的延长线于点E，过点C作CF⊥AD于点F，在DA延长线上取一点G，连接GC，使∠G＝∠BAD，则 　　 ． 三、解答题（共8小题，共90分。请写出必要的解答过程。） 16.如图，在四边形ABCD中，点E为对角线BD上一点，∠A＝∠BEC，AD∥BC，且AD＝BE． （1）证明：△ABD≌△ECB； （2）若BC＝15，AD＝6，请求出DE的长度． 17．小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得图中风筝的高度CE，他们进行了如下操作： ①测得BD的长为15米（注：BD⊥CE）； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为25米； ③牵线放风筝的小明身高1.7米． （1）求风筝的高度CE． （2）过点D作DH⊥BC，垂足为H，求BH的长度． 18．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，BD是∠ABC的平分线，交AC于点D，E是AB的中点，连接ED并延长，交BC的延长线于点F，连接AF．求证： （1）EF是AB的垂直平分线； （2）△ACF为等腰三角形． 20．两个大小不同的等腰直角三角板按如图1所示方式放置，图2是由图1抽象出的几何图形，其中AB＝AC，AE＝AD，∠BAC＝∠EAD＝90°，B，C，E在同一条直线上．连接DC． （1）请找出图2中与△ABE全等的三角形，并给予证明； （2）试判断DC和BE的位置关系，并说明理由． 21．综合与实践 台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如题22图﹣1所示，有一台风中心沿东西方向AB由A向B移动，已知点C为一海港，且点C与直线AB上的两点A，B的距离分别为AC＝300km，BC＝400km，又AB＝500km，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域． （1）求∠ACB的度数． （2）海港C受台风影响吗？为什么？ （3）如题22图﹣2所示，若台风的速度为20千米/小时，当台风运动到点E处时，海港C刚好受到影响，当台风运动到点F时，海港C刚好不受影响，即CE＝CF＝250km，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 22.如图，△ABC中，AB＝BC＝AC＝12cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动． （1）点M、N运动几秒时，M、N两点重合？ （2）点M、N运动几秒时，可得到等边三角形AMN？ （3）当点M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰三角形AMN？如存在，请求出此时M、N运动的时间． 23．△ABC中，AB＝AC，点D为射线BC上一个动点（不与B、C重合），以AD为一边向AD的左侧作△ADE，使AD＝AE，∠EAD＝∠BAC，过点E作BC的平行线，交直线AB于点F，连接BE． （1）如图1，若∠EAD＝∠BAC＝60°，则△BEF是 　等边　 三角形； （2）若∠EAD＝∠BAC≠60°： ①如图，当点D在线段BC上移动，判断△BEF的形状并证明； ②当点D在线段BC的延长线上移动，△BEF是什么三角形，请直接写出结论并画出相应的图形． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027鲁教版数学七年级上册期中测试培优试题 一．选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分） 1．下列图形中，不是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【解析】C 2.如图，在△ABC中，边AB上的高是（　　） A．AF B．BE C．CE D．BD 【解析】解：△ABC中，过点C作边AB的垂线，与直线AB相交，点C与交点之间的线段是边AB上的高，由图可知：CE是边AB上的高， 故答案选：C． 3.如图，工人师傅要检查人字梁的∠B和∠C是否相等，但他手边没有量角器，只有一个刻度尺．于是，他首先分别在BA和CA上取BE＝CG；接着在BC上取BD＝CF．如果工人师傅想得到正确的结果，那么他还需要测量（　　） A．AG的长度 B．DF的长度 C．DE和FG的长度 D．AE和DF的长度 【解析】解：要证明∠B和∠C是否相等，得证明△BDE与△CFG是否全等， 当DE＝FG时， 在△BDE和△CFG中， ， ∴△BDE≌△CFG（SSS）， 故可以测量DE和FG的长度来判断△BDE与△CFG是否全等， 故选：C． 4.勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一．如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度BE＝1m，将它往前推6m至C处时（即水平距离CD＝6m），踏板离地的垂直高度CF＝4m，它的绳索始终拉直，则绳索AC的长是（　　） A． B． C．6m D． 【解析】解：设AC＝AB＝xm． ∵四边形EFCD是矩形， ∴CF＝DE＝4m， ∵BE＝1m， ∴AD＝AE﹣BE＝x+1﹣4＝（x﹣3）m， 在Rt△ADC中，AC2＝AD2+CD2， ∴x2＝（x﹣3）2+62， 解得x， ∴ACm． 故选：B． 5．如图，在中，，，，记长为x，长为y．当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（　　） A． B． C． D． 【解析】解：过点A作于点E， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴的值不变． 故选：D． 6．如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝8．在高线AD所在直线上任取一点P（不与点A，D重合），连结PB，PC，则PB2﹣PC2的值为（　　） A．6 B．18 C．36 D．72 【解析】解：PB2﹣PC2＝（BD2+PD2）﹣（CD2+PD2） ＝BD2﹣CD2 ＝（BD2+AD2）﹣（CD2+AD2） ＝AB2﹣AC2 ＝102﹣82 ＝36． 即PB2﹣PC2的值为36， 综上所述，只有选项C正确，符合题意， 故选：C． 7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以A点，B点为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于E，F，连接EF交AB于点D，交AC于点H．连接CD，以C为圆心，CD长为半径作弧，交AC于G点，若AB＝10cm，BC＝6cm，则GH的长度为（　　） A． B． C．3cm D． 【解析】解：连接BH，如图所示： 根据作图可知，EF垂直平分AB， ∴BH＝AH，AD＝BD， ∵△ABC为直角三角形， ∴， ∴CG＝CD＝5cm， 根据勾股定理得：， ∴AG＝AC﹣CG＝8﹣5＝3（cm）， 设AH＝BH＝xcm，则CH＝（8﹣x）cm， 根据勾股定理得：BC2+CH2＝BH2， 即62+（8﹣x）2＝x2， 解得：， ∴， 故选：B． 8．如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，在直线BC或AC上取一点P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的P点有（　　） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【解析】解：如图，第1个点在CA延长线上，取一点P，使BA＝AP； 第2个点在CB延长线上，取一点P，使AB＝PB； 第3个点在AC延长线上，取一点P，使AB＝PB； 第4个点在BC延长线上，取一点P，使AB＝PA； 第5个点在AC延长线上，取一点P，使AB＝AP； 第6个点在AC上，取一点P，使∠PBA＝∠PAB； ∴符合条件的点P有6个点． 故选：B． 9．如图，在中，，，，，是的平分线．若，分别是和上的动点，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【解析】解：如下图所示，作点关于的对称点，连接，，则，，当点C、P、M共线，且时，的值最小， 在中，，，，， ， ， 解得：， 的最小值是． 故选：A． 10．如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H，则下列结论：①∠APB＝135°；②PF＝PA；③AH+BD＝AB；④连接DH，△PDH为等腰直角三角形；⑤连接DE，S四边形ABDE，其中正确的个数是（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 【解析】解：在△ABC中，AD、BE分别平分∠BAC、∠ABC， ∵∠ACB＝90°， ∴∠A+∠B＝90°， 又∵AD、BE分别平分∠BAC、∠ABC， ∴∠BAD+∠ABE（∠A+∠B）＝45°， ∴∠APB＝135°，故①正确． ∴∠BPD＝45°， 又∵PF⊥AD， ∴∠FPB＝90°+45°＝135°， ∴∠APB＝∠FPB， 又∵∠ABP＝∠FBP，BP＝BP， ∴△ABP≌△FBP（AAS）， ∴∠BAP＝∠BFP，AB＝FB，PA＝PF，故②正确． ∵∠APH＝∠FPD＝90°，∠PAH＝∠BAP＝∠BFP，PA＝PF， ∴△APH≌△FPD（AAS）， ∴AH＝FD， 又∵AB＝FB， ∴AB＝FD+BD＝AH+BD．故③正确． 连接HD，ED． ∵△ABP≌△FBP，△APH≌△FPD， ∴S△APB＝S△FPB，S△APH＝S△FPD，PH＝PD， ∵∠HPD＝90°， ∴△PDH为等腰直角三角形，故④正确； ∴∠HDP＝∠DHP＝45°＝∠BPD， ∴HD∥EP， ∴S△EPH＝S△EPD， ∵S四边形ABDE＝S△ABP+S△AEP+S△EPD+S△PBD ＝S△ABP+（S△AEP+S△EPH）+S△PBD ＝S△ABP+S△APH+S△PBD ＝S△ABP+S△FPD+S△PBD ＝S△ABP+S△FBP ＝2S△ABP，故⑤错误． 故选：B． 二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分） 11．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，满足（a﹣b）+|a2+b2﹣c2|＝0，则△ABC是　等腰直角　 三角形． 【解析】解：由题意得，a﹣b＝0且a2+b2﹣c2＝0， ∴a＝b且a2+b2＝c2， ∴△ABC是等腰直角三角形， 故答案为：等腰直角． 12．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD⊥DC，DE⊥BC于点E，且AB＝EB＝3，若CD＝8，则CE的长为 　5　 ． 【解析】解：在四边形ABCD中，AB∥CD，AD⊥DC，DE⊥BC于点E，如图，连接BD． ∴∠ADC＝90°，∠DEB＝90°，∠A+∠ADC＝180°，∠CDB＝∠DBA， ∴∠A＝180°﹣∠ADC＝90°． 在Rt△DAB和Rt△DEB中， ， ∴Rt△DAB≌Rt△DEB（HL）， ∴∠DBA＝∠DBE， ∴∠DBE＝∠CDB， ∴BC＝CD， ∵AB＝EB＝3，CD＝8， ∴BC＝8． ∴CE＝BC﹣EB＝8﹣3＝5， 故答案为：5． 13．在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线与直线AC相交所成锐角的度数为40°，则此等腰三角形底角的度数为　65°或25°　 ． 【解析】解：如图，DE垂直平分AB，∠AED＝40°， ∵DE垂直平分AB， ∴∠ADE＝90°， ∵∠AED＝40°， ∴∠A＝90°﹣40°＝50°， ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C（180°﹣∠A）＝65°； 如图，MN垂直平分AB，∠MNA＝40°， ∵MN垂直平分AB， ∴∠AMN＝90°， ∵∠MNA＝40°， ∴∠MAN＝90°﹣40°＝50°， ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∵∠B+∠C＝∠MAN， ∴∠B∠MAN＝25°， ∴此等腰三角形底角的度数为65°或25°． 故答案为：65°或25°． 14．如图，在△ABC中，已知AB＝AC＝7，BC＝5，AB的垂直平分线交AB于点N，交AC于点M，P为直线MN上一点，连接PB、PC，则△PBC周长的最小值是　12　 ． 【解析】解：连接AP， ∵MN是AB的垂直平分线， ∴PA＝PB， ∴△PBC的周长BC+PB+PC＝BC+PA+PC， 又∵当A、P、C三点共线时，PA+PC有最小值，最小值为AC， ∴BC+PA+PC＝BC+AC＝5+7＝12， ∴△PBC周长的最小值为12． 故答案为：12． 15．如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，过点B作BE⊥AD，交AD的延长线于点E，过点C作CF⊥AD于点F，在DA延长线上取一点G，连接GC，使∠G＝∠BAD，则 　　 ． 【解析】解：BE⊥AD，CF⊥AD于点F， ∴∠BED＝∠CFD＝90°， 在△ABC中，AD为BC边上的中线， ∴BD＝CD， 在△BED与△CFD中， ， ∴△BED≌△CFD（AAS）， ∴CF＝BE，FD＝ED， 在△GFC与△AEB中， ， ∴△GFC≌△AEB（AAS）， ∴GF＝AE， ∴GA＝FE， 又∵FD＝ED， ∴GA＝2DE， ∴， 故答案为：． 三、解答题（共8小题，共90分。请写出必要的解答过程。） 16.如图，在四边形ABCD中，点E为对角线BD上一点，∠A＝∠BEC，AD∥BC，且AD＝BE． （1）证明：△ABD≌△ECB； （2）若BC＝15，AD＝6，请求出DE的长度． 【解析】（1）证明：∵AD∥BC， ∴∠ADB＝∠EBC， 在△ABD和△ECB中， ， ∴△ABD≌△ECB（ASA）． （2）解：△ABD≌△ECB， ∴DB＝BC＝15，AD＝EB＝6， ∴DE＝DB﹣EB＝15﹣6＝9， ∴DE的长度是9． 17．小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得图中风筝的高度CE，他们进行了如下操作： ①测得BD的长为15米（注：BD⊥CE）； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为25米； ③牵线放风筝的小明身高1.7米． （1）求风筝的高度CE． （2）过点D作DH⊥BC，垂足为H，求BH的长度． 【解析】解：（1）在Rt△CDB中，由勾股定理，得：CD2＝252﹣152＝202， ∴CD＝20（米）， ∴CE＝CD+DE＝20+1.7＝21.7（米）， 答：风筝的高度CE为21.7米． （2）由等积法知：，解得：（米）． 在Rt△BDH中，由勾股定理得：， 答：BH的长度为9米． 18．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，BD是∠ABC的平分线，交AC于点D，E是AB的中点，连接ED并延长，交BC的延长线于点F，连接AF．求证： （1）EF是AB的垂直平分线； （2）△ACF为等腰三角形． 【解析】证明：（1）∵在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°， ∴∠ABC＝∠ACB＝72°， ∵BD是∠ABC的平分线， ∴， ∴∠ABD＝∠BAD＝36°， ∴AD＝BD， ∵E是AB的中点， ∴DE⊥AB，AE＝BE， ∴EF是AB的垂直平分线； （2）∵EF是AB的垂直平分线， ∴AF＝BF， ∴∠FAB＝∠FBA＝72°， ∴∠CAF＝∠CFA＝36°， ∴△ACF为等腰三角形． 19．△ABC和△ADE按如图方式摆放，AB＝AC，AE＝AD，∠BAC＝∠EAD． （1）试判断BE与CD的数量关系，并说明理由． （2）已知∠ABC＝∠ACB＝65°，当B、E、D三点共线时，求∠BDC的度数． 【解析】解：（1）BE＝CD；理由如下： ∵∠EAD﹣∠EAC＝∠CAD，∠BAC＝∠EAD，∠BAC﹣∠EAC＝∠BAE， ∴∠BAE＝∠CAD， 在△ABE和△ACD中， ， ∴△ABE≌△ACD（SAS）， ∴BE＝CD； （2）由（1）知△ABE≌△ACD， ∴∠ABE＝∠ACD， ∴∠CBD+∠BCD＝∠CBD+∠ACB+∠ACD＝∠CBD+∠ACB+∠ABE＝∠ABC+∠ACB， ∵∠ABC＝∠ACB＝65°， ∴∠CBD+∠BCD＝65°+65°＝130°， ∵∠ABC＝∠ACB＝65°，∠BDC+∠CBD+∠BCD＝180°， ∴∠BDC＝180°﹣（∠CBD+∠BCD）＝180°﹣130°＝50°． 20．两个大小不同的等腰直角三角板按如图1所示方式放置，图2是由图1抽象出的几何图形，其中AB＝AC，AE＝AD，∠BAC＝∠EAD＝90°，B，C，E在同一条直线上．连接DC． （1）请找出图2中与△ABE全等的三角形，并给予证明； （2）试判断DC和BE的位置关系，并说明理由． 【解析】解：（1）△ABE≌△ACD． 证明：∵∠BAC＝∠EAD＝90°， ∴∠BAC+∠CAE＝∠EAD+∠CAE，即∠BAE＝∠CAD， 在△ABE与△ACD中， ， ∴△ABE≌△ACD（SAS）； （2）DC⊥BE． 理由如下：∵AB＝AC，∠BAC＝90°， ∴∠ABC＝∠ACB＝45°， 由（1）可知：△ABE≌△ACD， 则∠ACD＝∠ABE＝45°． ∴∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝90°， ∴DC⊥BE． 21．综合与实践 台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如题22图﹣1所示，有一台风中心沿东西方向AB由A向B移动，已知点C为一海港，且点C与直线AB上的两点A，B的距离分别为AC＝300km，BC＝400km，又AB＝500km，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域． （1）求∠ACB的度数． （2）海港C受台风影响吗？为什么？ （3）如题22图﹣2所示，若台风的速度为20千米/小时，当台风运动到点E处时，海港C刚好受到影响，当台风运动到点F时，海港C刚好不受影响，即CE＝CF＝250km，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 【解析】解：（1）因为300+24002＝5002，即AC2+BC2＝AB2， ∴△ABC是直角三角形， ∴∠ACB＝90°； （2）海港C受台风影响，理由如下： 过点C作CD⊥AB， ∵AC＝300km，BC＝400km，AB＝500km， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴△ABC是直角三角形， ∴AC×BC＝CD×AB， ∴300×400＝500×CD， ∴CD＝240（km）， ∵以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域， ∴海港C受台风影响； （3）当EC＝250km，FC＝250km时，正好影响C港口， ∵ED70（km）， ∴EF＝140km， ∵台风的速度为20千米/小时， ∴140÷20＝7（小时）， 答：海港C受台风影响的时间会持续7小时． 22.如图，△ABC中，AB＝BC＝AC＝12cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动． （1）点M、N运动几秒时，M、N两点重合？ （2）点M、N运动几秒时，可得到等边三角形AMN？ （3）当点M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰三角形AMN？如存在，请求出此时M、N运动的时间． 【解析】解：（1）设点M、N运动x秒时，M、N两点重合， x×1+12＝2x， 解得：x＝12； （2）设点M、N运动t秒时，可得到等边三角形AMN，如图①， AM＝t×1＝t，AN＝AB﹣BN＝12﹣2t， ∵三角形AMN是等边三角形， ∴t＝12﹣2t， 解得t＝4， ∴点M、N运动4秒时，可得到等边三角形AMN． （3）当点M、N在BC边上运动时，可以得到以MN为底边的等腰三角形， 由（1）知12秒时M、N两点重合，恰好在C处， 如图②，假设△AMN是等腰三角形， ∴AN＝AM， ∴∠AMN＝∠ANM， ∴∠AMC＝∠ANB， ∵AB＝BC＝AC， ∴△ACB是等边三角形， ∴∠C＝∠B， 在△ACM和△ABN中， ∵， ∴△ACM≌△ABN（AAS）， ∴CM＝BN， 设当点M、N在BC边上运动时，M、N运动的时间y秒时，△AMN是等腰三角形， ∴CM＝y﹣12，NB＝36﹣2y，CM＝NB， y﹣12＝36﹣2y， 解得：y＝16．故假设成立． ∴当点M、N在BC边上运动时，能得到以MN为底边的等腰三角形AMN，此时M、N运动的时间为16秒． 23．△ABC中，AB＝AC，点D为射线BC上一个动点（不与B、C重合），以AD为一边向AD的左侧作△ADE，使AD＝AE，∠EAD＝∠BAC，过点E作BC的平行线，交直线AB于点F，连接BE． （1）如图1，若∠EAD＝∠BAC＝60°，则△BEF是 　等边　 三角形； （2）若∠EAD＝∠BAC≠60°： ①如图，当点D在线段BC上移动，判断△BEF的形状并证明； ②当点D在线段BC的延长线上移动，△BEF是什么三角形，请直接写出结论并画出相应的图形． 【解析】解：（1）∵AB＝AC，AD＝AE，∠EAD＝∠BAC＝60°， ∴△AED和△ABC为等边三角形，∠C＝∠ABC＝60°，∠EAB＝∠DAC， 在△EAB和△DAC中， ∴△EAB≌△DAC（SAS）， ∠EBA＝∠C＝60° ∵EF∥BC， ∴∠EFB＝∠ABC＝60° 在△EFB中，∠EFB＝∠ABC＝60°， ∴△EFB为等边三角形． 故答案为：等边； （2）①结论：△EFB为等腰三角形． 理由：∵AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE， ∴△AED和△ABC为等腰三角形， ∴∠C＝∠ABC，∠EAB＝∠DAC． 同法可证△EAB≌△DAC（SAS）， ∴∠EBA＝∠C ∵EF∥BC， ∴∠EFB＝∠ABC 在△EFB中，∠EFB＝∠EBA， ∴△EFB为等腰三角形； ②图形如图3所示，结论：△BEF是等腰三角形． 理由：∵AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE， ∴△AED和△ABC为等腰三角形， ∴∠ACB＝∠ABC， ∴∠EAB＝∠DAC， 同法可证△EAB≌△DAC（SAS）， ∴∠EBA＝∠ACD， ∴∠EBF＝∠ACB， ∵EF∥BC， ∴∠AFE＝∠ABC， ∵∠ABC＝∠ACB， ∴∠AFE＝∠ACB， 在△EFB中，∠EBD＝∠AFE， ∴△EFB为等腰三角形． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $