精品解析：　陕西榆林市榆阳区榆林高新区第二中学2026-2027学年度第一学期期中九年级数学试题

陕西榆林市榆阳区榆林高新区第二中学2026－2027学年度第一学期期中九年级数学试题 （满分：120分 时间：120分钟） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 抛物线的对称轴是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：抛物线的对称轴为直线． ∵中， ∴对称轴为直线． 2. 下列函数中，是的反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】反比例函数就是形如的函数，其中是不等于0的常数，自变量也不能取0． 【详解】解：A、是正比例函数，故不符合题意； B、是一次函数，故不符合题意； C、是反比例函数，符合题意； D、中的次数为，不是反比例函数，故不符合题意． 3. 若是方程的一个根，则代数式的值为（ ） A. 4 B. 9 C. 11 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用方程的根的定义得到的整体值，整体代入计算． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， ∴， ∴． 4. 下列各点中，在反比例函数的图象上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据反比例函数解析式可得，然后对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：∵， ∴， A、，不符合题意； B、，不符合题意； C、，不符合题意； D、，符合题意． 5. 已知抛物线（、、为常数，）的对称轴是直线，它与轴的一个交点坐标为，则它与轴的另一个交点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用抛物线与轴的两交点关于对称轴对称的性质列方程求解． 【详解】解：设抛物线与轴的另一个交点坐标为， ∵抛物线对称轴为直线，与轴的一个交点为， ∴， 解得， 即另一个交点坐标为． 6. 若等腰三角形的两条边长分别是方程的两个根，则这个等腰三角形的周长为（ ） A. 12或18 B. 12 C. 18 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】先用因式分解法解一元二次方程，再根据等腰三角形的定义以及三角形的三边关系求解即可． 【详解】解：， 因式分解得， ∴或， 解得，， ∵等腰三角形的两条边长为方程的两根， 当三边长为时，，不能构成三角形； 当三边长为时，满足三角形三边关系， ∴周长为． 7. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数（k为常数，）的图像可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数及一次函数图象，分别根据的符号判断反比例函数和一次函数的图象所在象限即可． 【详解】解：对于反比例函数，当时，反比例函数过第一、三象限，一次函数过第一、三、四象限， 故选项B，C错误； 对于反比例函数，当时，反比例函数过第二、四象限，一次函数过第一、二、四象限， 故选项A正确，选项D错误； 故选：A． 8. 校园科技节上举行水火箭比赛．如图，发射架与地面垂直，以点为原点，和所在直线分别为轴和轴建立平面直角坐标系（单位：m）．水火箭从发射架顶端处发射，其飞行路线可近似看成抛物线的一部分，，当水火箭与点的水平距离为时，它达到最大高度，则水火箭落地点与点的水平距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意得抛物线的顶点坐标为，抛物线图象经过点，运用待定系数法设，把点代入，求得，得抛物线解析式，再令，求出的值，取正值即可得出结论． 【详解】解：由题意得抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为， 又抛物线图象经过点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为， ∵水火箭落地点在地面上， ∴令， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∴水火箭落地点与点的水平距离为． 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 写出一个二次项系数为1，且有一个根为2的一元二次方程：__________________________． 【答案】x2-3x+2=0（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义及一元二次方程解的概念即可完成． 【详解】∵一个二次项系数为1 ∴设所写的一元二次方程为 ∵方程有一个根为2 ∴ ∴c=2 ∴这个方程是x2-3x+2=0 但由于一次项系数还可以取其它任意实数，故所写的满足条件的方程不唯一 故答案为：x2-3x+2=0(答案不唯一) 【点睛】本题考查了一元二次方程的概念及一元二次方程的解，利用已知可以写一个关于x的一元二次方程，可以先确定一次项，常数项待定，将x=2代入可确定常数项，即可得到一个二次项系数为1，且有一个根为2的一元二次方程． 10. 将抛物线先向左平移3个单位长度，再向下平移5个单位长度，所得抛物线的解析式为_________．（写顶点式） 【答案】 【解析】 【分析】利用二次函数顶点式的平移规律，保持二次项系数不变，通过顶点坐标的平移推导新的解析式． 【详解】解：原抛物线解析式为，对应顶点坐标为， 将抛物线向左平移3个单位长度，顶点横坐标变为， 将抛物线向下平移5个单位长度，顶点纵坐标变为， 平移后新的顶点坐标为， 因此所得抛物线的顶点式为． 11. 用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程，先利用配方法将一元二次方程化为，从而得到的值，最后代入计算即可． 【详解】解： 故答案为：． 12. 若二次函数（为常数）的图象与轴有两个不同的交点，则的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】二次函数图象与轴有两个不同交点等价于对应的一元二次方程有两个不相等的实数根，利用根的判别式列不等式求解即可． 【详解】解：二次函数的图象与轴有两个不同的交点， 对应的一元二次方程有两个不相等的实数根， 根的判别式， 整理，得， 展开，得， 解得， 的取值范围是． 13. 如图，点在反比例函数（为常数，的图象上，轴于点，点在轴的负半轴上，且，连接．若的面积为9，则的值为_________． 【答案】6 【解析】 【分析】设，则，由可得，再根据的面积为9列式得，故可求出． 【详解】解：设，则，，； ∵， ∴， ∴， ∵的面积为9， ∴， ∴， 解得：． 14. 如图，P是抛物线在第一象限上的点，过点P分别向x轴和y轴引垂线，垂足分别为A，B，则四边形周长的最大值为______． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的最值及二次函数的图像上点的坐标特征，最后根据二次函数的性质求最值是解题的关键． 设点P的坐标为，，根据四边形的周长得到：，再由二次函数的性质即可求得最大值． 【详解】解：当，则， 解得：， 设点P的坐标为，， 由题意可知：四边形的周长， ∴， ∵， 当时，C有最大值8． 故答案为：8． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 解方程． 【答案】， 【解析】 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 解得，． 16. 已知反比例函数（为常数），在每一个象限内，随的增大而增大，求的取值范围． 【答案】 【解析】 【分析】根据反比例函数的增减性，可得反比例函数的比例系数小于0，据此列不等式求解即可． 【详解】解：∵反比例函数在每一个象限内，随的增大而增大， 解得， 的取值范围为． 17. 已知代数式和的值相等，求的值． 【答案】，． 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程的应用．先根据题意得出方程，再求出方程的解即可． 【详解】解：根据题意，得， 整理，得，移项，得， 配方，得，即， 开平方，得或， 解得，． 18. 已知抛物线（为常数）的顶点在直线上，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】先将抛物线化为顶点式，求出顶点坐标后代入直线中求解即可． 【详解】解：将抛物线化为顶点式， ， ， ∴抛物线的顶点坐标为． ∵抛物线的顶点在直线上， 将点代入， 得 解得， 的值为． 19. 某示范区内一块试验田种植的新品种小麦在2024年亩产为500kg，经过品种改良与科学管理，2026年亩产达到605kg，求这两年该小麦亩产量的年平均增长率． 【答案】 【解析】 【分析】设这两年该小麦亩产量的年平均增长率为，根据题意，得，进一步解方程即可． 【详解】解：设这两年该小麦亩产量的年平均增长率为， 根据题意，得， 解得（舍去）， 答：这两年该小麦亩产量的年平均增长率为． 20. 秦岭是我国重要的生态安全屏障．某生态修复志愿服务队计划在秦岭北麓一处退化坡地上种植棵华山松树苗，设平均每天种植棵，完成种植任务需要天． （1）求关于的函数解析式； （2）若该服务队平均每天种植棵，则完成种植任务需要多少天？ 【答案】（1） （2）天 【解析】 【分析】（1）根据每天种植棵数种植天数种植总数可得，即可求出关于的函数解析式； （2）把代入（1）中所求解析式，求出值，即可得出答案． 【小问1详解】 解：∵平均每天种植棵，完成种植任务需要天，计划种植棵， ∴， ∴， ∴关于的函数解析式为． 【小问2详解】 解：∵关于的函数解析式为， ∴当时，， ∴完成种植任务需要天． 21. 某博物馆文创店销售一款以馆藏唐代文物为原型设计的文创摆件，当售价为每件40元时，每天可售出30件；在此基础上，每件的售价每降低1元，每天可多售出3件．店家希望销售这款摆件每天的销售额为1800元，同时要尽可能让利给顾客．求每件摆件应降价多少元？ 【答案】20元 【解析】 【详解】解：设每件摆件降价元， 根据题意，得， 解得，， ∵要尽可能让利给顾客， ∴应该降价更多， ， 答：每件摆件应降价20元． 22. 已知抛物线（，为常数）经过点和． （1）求，的值，并求该抛物线的顶点坐标； （2）将该抛物线关于轴对称得到一个新抛物线，求这个新抛物线的解析式． 【答案】（1），，顶点坐标为 （2） 【解析】 【分析】（1）把点和代入，解方程组求出，即可得出抛物线解析式，把解析式配方，即可求出顶点坐标； （2）根据轴对称的性质，开口方向相反，形状、大小不变，顶点坐标变为，即可得出答案． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点和， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∴顶点坐标为． 【小问2详解】 解：∵将该抛物线关于轴对称 ∴抛物线关于轴对称后，开口方向相反、形状大小不变， ∴顶点坐标变为， ∴所得抛物线的解析式为． 23. 已知关于的方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个根分别为a、b，且，求的值． 【答案】（1）证明： ， ∴方程总有两个不相等的实数根． （2） 【解析】 【分析】（1）证明即可； （2）由根与系数的关系得：，再建立方程求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由根与系数的关系得：． ， ， 解得． 24. 如图，直线与反比例函数（为常数，且的图象交于点，与轴交于点． （1）求反比例函数的解析式； （2）点是反比例函数图象在第二象限上的一点，连接OC、BC，若，求点的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据一次函数的解析式求出点A的坐标，再将点A的坐标代入反比例函数解析式即可作答； （2）先求出B点坐标进而求出，根据，即可作答． 【小问1详解】 解：（1）将代入，得， ∴点的坐标为（3，－3）． 将代入，得， ， ∴反比例函数的解析式为． 【小问2详解】 如图， 在中，当时，， ∴点的坐标为，则， ． 即， 由点在第二象限，得，则， ∴点的坐标为． 25. 在画二次函数（、、为常数，且）的图象时，列表如下： … … … … （1）在所给的平面直角坐标系中画出这个二次函数的大致图象； （2）下列关于该二次函数的说法中，正确的有_________；（填序号） ；；当时，的值随值的增大而减小；若点都在该函数的图象上，则． （3）若将该二次函数的图象沿轴向右平移个单位长度后，与轴的交点为，求点的坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将图表中所给坐标点在图中标出后连线即可． （2）由顶点坐标可列出二次函数的顶点式，再将除顶点外任意一点坐标代入，即可得到二次函数的解析式，由解析式逐项判断即可． （3）由二次函数平移的性质可知，对于函数，向左平移个单位长度，平移后的解析式为，向右平移个单位长度，平移后的解析式为，求解平移后的解析式与轴交点坐标即可． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 解：顶点坐标为， 设二次函数为， 将点代入，得， 解得， 则原函数为， 展开，得， ，，， ，，正确； 由图象可知，二次函数开口向下，对称轴为， 当时，的值随值的增大而增大，错误； 若点都在该函数的图象上， ， ， ，正确， 综上所述，正确的有． 【小问3详解】 解：由（2）可知，二次函数的解析式为， 则沿轴向右平移4个单位长度后得到的二次函数解析式， 整理后得， 与轴的交点为， 当时，， 点的坐标为． 26. 【问题探究】 （1）如图1，在矩形中，，点从点出发以每秒1个单位长度的速度沿向终点运动，同时点从终点出发以每秒2个单位长度的速度向终点运动，其中一点到达终点后，另一点随之停止运动，连接．设点运动的时间为，的面积为． ①的长用表示为_________； ②当时，求的值． 【问题解决】 （2）如图2，矩形是某景区的一片花海的示意图（周围空地可用），现要对其进行规划扩建，分别从B、D向、边铺设两条小路和（点E、F分别在线段、上，且不与端点重合），再从点铺设一条与平行且相等的小路（即，），要求点在的右侧，过作交的延长线于点，连接，在区域种植向日葵，为节省开支，要求的面积尽可能小．已知，求的面积最小时点与点之间的距离．（小路的宽度忽略不计） 【答案】（1）①；②． （2）． 【解析】 【分析】（1）根据，写出代数式即可；根据题意列出S关于t的关系式，列方程求解即可； （2）连接，先证明四边形是平行四边形，四边形是矩形，四边形是正方形，设，根据列出代数式配方判断最小值即可． 【小问1详解】 解：①∵矩形 ∴， ∴． ②由题意可得， 当时，得， 解得． ∵四边形是矩形，， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意， ∴当时，． 【小问2详解】 解：如下图，连接． ∵四边形是矩形，， ∴四边形是平行四边形， ，则． ∴四边形是矩形． ，则四边形是正方形， 设， 则， 当时，的面积最小，此时， ∴当的面积最小时点与点之间的距离为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 陕西榆林市榆阳区榆林高新区第二中学2026－2027学年度第一学期期中九年级数学试题 （满分：120分 时间：120分钟） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 抛物线的对称轴是( ) A. B. C. D. 2. 下列函数中，是的反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 若是方程的一个根，则代数式的值为（ ） A. 4 B. 9 C. 11 D. 4. 下列各点中，在反比例函数的图象上的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知抛物线（、、为常数，）的对称轴是直线，它与轴的一个交点坐标为，则它与轴的另一个交点坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 若等腰三角形的两条边长分别是方程的两个根，则这个等腰三角形的周长为（ ） A. 12或18 B. 12 C. 18 D. 20 7. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数（k为常数，）的图像可能是（ ） A. B. C. D. 8. 校园科技节上举行水火箭比赛．如图，发射架与地面垂直，以点为原点，和所在直线分别为轴和轴建立平面直角坐标系（单位：m）．水火箭从发射架顶端处发射，其飞行路线可近似看成抛物线的一部分，，当水火箭与点的水平距离为时，它达到最大高度，则水火箭落地点与点的水平距离为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 写出一个二次项系数为1，且有一个根为2的一元二次方程：__________________________． 10. 将抛物线先向左平移3个单位长度，再向下平移5个单位长度，所得抛物线的解析式为_________．（写顶点式） 11. 用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为______． 12. 若二次函数（为常数）的图象与轴有两个不同的交点，则的取值范围是_________． 13. 如图，点在反比例函数（为常数，的图象上，轴于点，点在轴的负半轴上，且，连接．若的面积为9，则的值为_________． 14. 如图，P是抛物线在第一象限上的点，过点P分别向x轴和y轴引垂线，垂足分别为A，B，则四边形周长的最大值为______． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 解方程． 16. 已知反比例函数（为常数），在每一个象限内，随的增大而增大，求的取值范围． 17. 已知代数式和的值相等，求的值． 18. 已知抛物线（为常数）的顶点在直线上，求的值． 19. 某示范区内一块试验田种植的新品种小麦在2024年亩产为500kg，经过品种改良与科学管理，2026年亩产达到605kg，求这两年该小麦亩产量的年平均增长率． 20. 秦岭是我国重要的生态安全屏障．某生态修复志愿服务队计划在秦岭北麓一处退化坡地上种植棵华山松树苗，设平均每天种植棵，完成种植任务需要天． （1）求关于的函数解析式； （2）若该服务队平均每天种植棵，则完成种植任务需要多少天？ 21. 某博物馆文创店销售一款以馆藏唐代文物为原型设计的文创摆件，当售价为每件40元时，每天可售出30件；在此基础上，每件的售价每降低1元，每天可多售出3件．店家希望销售这款摆件每天的销售额为1800元，同时要尽可能让利给顾客．求每件摆件应降价多少元？ 22. 已知抛物线（，为常数）经过点和． （1）求，的值，并求该抛物线的顶点坐标； （2）将该抛物线关于轴对称得到一个新抛物线，求这个新抛物线的解析式． 23. 已知关于的方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个根分别为a、b，且，求的值． 24. 如图，直线与反比例函数（为常数，且的图象交于点，与轴交于点． （1）求反比例函数的解析式； （2）点是反比例函数图象在第二象限上的一点，连接OC、BC，若，求点的坐标． 25. 在画二次函数（、、为常数，且）的图象时，列表如下： … … … … （1）在所给的平面直角坐标系中画出这个二次函数的大致图象； （2）下列关于该二次函数的说法中，正确的有_________；（填序号） ；；当时，的值随值的增大而减小；若点都在该函数的图象上，则． （3）若将该二次函数的图象沿轴向右平移个单位长度后，与轴的交点为，求点的坐标． 26. 【问题探究】 （1）如图1，在矩形中，，点从点出发以每秒1个单位长度的速度沿向终点运动，同时点从终点出发以每秒2个单位长度的速度向终点运动，其中一点到达终点后，另一点随之停止运动，连接．设点运动的时间为，的面积为． ①的长用表示为_________； ②当时，求的值． 【问题解决】 （2）如图2，矩形是某景区的一片花海的示意图（周围空地可用），现要对其进行规划扩建，分别从B、D向、边铺设两条小路和（点E、F分别在线段、上，且不与端点重合），再从点铺设一条与平行且相等的小路（即，），要求点在的右侧，过作交的延长线于点，连接，在区域种植向日葵，为节省开支，要求的面积尽可能小．已知，求的面积最小时点与点之间的距离．（小路的宽度忽略不计） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $