精品解析：陕西省榆林市榆阳区刘千河乡中学2025-2026学年上学期期中考试九年级数学试卷

2025~2026学年度第一学期期中考试九年级数学试题 （总分120分，用时120分钟） 第一部分选择题 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 2. 如下列各图片所示的景德镇瓷器中，主视图和左视图一样的是（不考虑瓷器花纹等因素）（ ） A. B. C. D. 3. 一个不透明的口袋中装有4个红球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.2附近，则估计口袋中白球的个数是（ ） A. 8 B. 10 C. 16 D. 20 4. 在中，，，，那么的余弦值是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，下列条件中，能判定四边形ABCD是矩形的是（ ） A. AB∥DC，AB＝CD B. AB∥CD，AD∥BC C. AC＝BD，AC⊥BD D. OA＝OB＝OC＝OD 6. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的值可以是（ ） A. 13 B. 12 C. 11 D. 8 7. 如图，，分别是的边，上的点，且，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，正方形的对角线、交于点O．点E在上，且， 连接交于点F，若，则正方形的边长为（ ） A. 7 B. C. 6 D. 8 第二部分非选择题 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 已知关于的方程是一元二次方程，则的值为__________． 10. 如图，二胡是中国古老的民族拉弦乐器之一，音乐家发现，二胡的千斤线绑在琴弦的黄金分割点处时，奏出来的音调最和谐、最悦耳，一把二胡的琴弦长为，千斤线绑在点处，则点下方的琴弦长为______． 11. 如图，小明家的客厅有一张高米的圆桌，直径为米，在距地面米的处有一盏灯，圆桌的影子最外侧两点分别为，，依据题意建立平面直角坐标系，其中点的坐标为，则点的坐标是_______． 12. 如图，在边长为1个单位长度的正方形网格中，的三个顶点均在格点上，则的正弦值为___________． 13. 在反比例函数y=的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），当x1＜0＜x2时，有y1＜y2，则m的取值范围是_____． 14. 如图，在矩形中，E，F分别是边上的动点，P是线段的中点，，G，H为垂足，连接．若，则的最小值是_____． 三、解答题（共12小题，计78分，解答应写出过程） 15. 解下列方程 （1）2x2+3x﹣1＝0 （2）（2x﹣3）2＝5（3﹣2x） 16. 计算： （1） （2） 17. 如图，已知直线分别截直线于点A，B，C，截直线于点D，E，F，且， （1）如果，求的长； （2）如果，求的长． 18. 如图，已知等边三角形ABC，点M为BC边的中点，连接AM，请利用直尺和圆规在边AB上找一点P，使得△MPB∽△AMC．（保留作图痕迹，不写做法） 19. 人工智能是数字经济高质量发展的引擎，也是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动．人工智能市场分为决策类人工智能，人工智能机器人，语音类人工智能，视觉类人工智能四大类型，将四个类型的图标依次制成A，B，C，D四张卡片（卡片背面完全相同），将四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上． （1）随机抽取一张，抽到决策类人工智能的卡片的概率为______； （2）从中随机抽取一张，记录卡片的内容后放回洗匀，再随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法求抽取到的两张卡片内容一致的概率． 20. 如图，在矩形中，对角线的垂直平分线与相交于点M，与相交于点O，与相交于N，连接，求证：四边形是菱形． 21. 如图，在已知的平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，若A，B两点的坐标分别是A（﹣1，0），B（0，3）． （1）以点O为位似中心，与△ABC位似的△A1B1C1满足A1B1：AB=2：1，请在网格内画出△A1B1C1； （2）A1的坐标是　 　，C1的坐标是　 　． 22. 平安路上，多“盔”有你．在“交通安全宣传月”期间，某商店销售一批头盔，进价为每顶元，售价为每顶元，平均每周可售出顶．商店计划将头盔降价销售，每顶售价不高于元，经调查发现：每降价2元，平均每周可多售出顶．若该商店希望平均每周获得元的销售利润，则每顶头盔应降价多少？ 23. 如图，在中，是角平分线，点在边上，且．连接． （1）求证：； （2）若，求的长． 24. 如图，已知水平地面上方有一个水平的平台，该平台上有一个竖直的建筑物．在处测得建筑物顶端的仰角为，在处测得的仰角为，斜坡的坡度米，．（点在同一竖直平面内）． （1）求平台的高度； （2）求建筑物的高度（即的长）． 25. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于A，B两点，与x轴相交于点C，已知点A，B的坐标分别为和． （1）求反比例函数的解析式； （2）点P为反比例函数图象上任意一点，若，求点P的坐标． 26. 【问题探究】 （1）如图1，已知：，垂足分别为，点是上使的值最小的点．，则___________． （2）如图2，在中，，，是线段上一动点（不与重合），连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，点和点分别是边的中点．探究与的数量关系，并说明理由． 【问题解决】 （3）如图3，正方形是一块花卉种植基地，边长为4千米，对角线为该基地内的一条小路，管理人员计划在小路上确定一点（不与点重合）．连接，以线段为斜边，在右侧建等腰直角区域（），用来种植新品花卉，并在处设立观赏台．点和点为基地的两个景观点，在上且．现要沿修建观赏步道，请确定步道的最小值．并求出当最小时，花卉种植区域的面积（即的面积）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第一学期期中考试九年级数学试题 （总分120分，用时120分钟） 第一部分选择题 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的知识点是比例的性质，解题关键是熟练运用比例的性质． 先由推出，再代入即可得解． 【详解】解：， ， ． 故选：． 2. 如下列各图片所示的景德镇瓷器中，主视图和左视图一样的是（不考虑瓷器花纹等因素）（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据简单几何体的三视图即可判定． 【详解】解：A选项的几何体的主视图和左视图是一样的，故符合题意； B、C、D选项的几何体的主视图和左视图是不一样的，故都不符合题意， 故选：A． 【点睛】此题主要考查了简单几何体的三视图，正确把握观察的角度是解题关键． 3. 一个不透明的口袋中装有4个红球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.2附近，则估计口袋中白球的个数是（ ） A. 8 B. 10 C. 16 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查用频率估计概率，概率公式．由摸到红球的频率稳定在0.2附近，可得摸到红球的概率为0.2，设口袋中有x个白球，根据概率公式列方程即可． 【详解】解：设口袋中有x个白球， 则， 解得， 故选C． 4. 在中，，，，那么的余弦值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了求一个数的余弦值，结合，代入数值化简计算，即可作答． 【详解】解：∵，，， 则 故选：D 5. 如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，下列条件中，能判定四边形ABCD是矩形的是（ ） A. AB∥DC，AB＝CD B. AB∥CD，AD∥BC C. AC＝BD，AC⊥BD D. OA＝OB＝OC＝OD 【答案】D 【解析】 【分析】根据矩形的判定方法，一一判断即可解决问题． 【详解】解：A、AB∥DC，AB=CD，得出四边形ABCD是平行四边形，无法判断四边形ABCD是矩形．故错误； B、AB∥CD，AD∥BC，得出四边形ABCD是平行四边形，无法判断四边形ABCD是矩形．故错误； C、AC=BD，AC⊥BD，无法判断四边形ABCD是矩形．故错误； D、OA=OB=OC=OD可以判断四边形ABCD是矩形．正确； 故选：D． 【点睛】本题考查矩形的判定方法、熟练掌握矩形的判定方法是解决问题的关键，记住对角线相等的平行四边形是矩形，有一个角是90°的平行四边形是矩形，有三个角是90°的四边形是矩形，属于中考常考题型． 6. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的值可以是（ ） A. 13 B. 12 C. 11 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根． 利用一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】解：由题意得， 解得：， 故选：D． 7. 如图，，分别是的边，上的点，且，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是灵活运用相似三角形的判定及其性质来分析、判断、推理或解答．由，求证，，根据相似三角形性质得到，进而由相似三角形的性质即可解决问题． 【详解】解：过作于点F，如图所示： ，， ， ， ， ， ，， ， ， 故选：C． 8. 如图，正方形的对角线、交于点O．点E在上，且， 连接交于点F，若，则正方形的边长为（ ） A. 7 B. C. 6 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】过点E作，交于点G；根据正方形的性质，通过证明，得；设，结合正方形、直角等腰三角形的性质，分别得GE，OB ，OG，通过求解一元一次方程，即可得到，从而完成求解． 【详解】过点E作，交于点G ∴ ∵正方形的对角线、交于点O ∴，即 ∵ ∴ ∴ 设 ∵ ∴ ∴ ∵正方形 ∴，，， ∴为等腰直角三角形 ∴ ∴ 又∵正方形 ∴ ∵ ∴为等腰直角三角形 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴，即正方形的边长为7 故选：A． 【点睛】本题考查了正方形、等腰直角三角形、相似三角形、勾股定理、一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握正方形、等腰直角三角形、相似三角形的性质，从而完成求解． 第二部分非选择题 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 已知关于的方程是一元二次方程，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义：含一个未知数，含未知数的项的最高次数为2的整式方程，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：，且， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查根据一元二次方程的定义求参数的值，解题的关键是掌握一元二次方程的定义． 10. 如图，二胡是中国古老的民族拉弦乐器之一，音乐家发现，二胡的千斤线绑在琴弦的黄金分割点处时，奏出来的音调最和谐、最悦耳，一把二胡的琴弦长为，千斤线绑在点处，则点下方的琴弦长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查黄金分割，熟知黄金分割的定义是解题的关键．根据黄金分割的定义即可解决问题． 【详解】解：二胡的千斤线绑在琴弦的黄金分割点处时， 即点B为黄金分割点， 设B点下方的琴弦长为， 且二胡的琴弦长为 则有， 解得， 故答案为：． 11. 如图，小明家的客厅有一张高米的圆桌，直径为米，在距地面米的处有一盏灯，圆桌的影子最外侧两点分别为，，依据题意建立平面直角坐标系，其中点的坐标为，则点的坐标是_______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了中心投影，将中心投影问题转化为相似三角形问题是解题的关键．过点作轴于点，根据题意得：，，，由可得：，推出，求出，即可求解． 【详解】解：过点作轴于点， 根据题意得：，，， 点的坐标为， ， ， ， ，即， 解得：， ， 点的坐标是， 故答案为：． 12. 如图，在边长为1个单位长度的正方形网格中，的三个顶点均在格点上，则的正弦值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，三角形的正弦．过点B作于点D，过点A作，交的延长线于点E．由题意可得，，，，根据的面积即可求出，再根据正弦的定义即可解答． 【详解】解：过点B作于点D，过点A作，交的延长线于点E． 由题意可得，，，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 13. 在反比例函数y=的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），当x1＜0＜x2时，有y1＜y2，则m的取值范围是_____． 【答案】m＞﹣ 【解析】 【详解】∵反比例函数y=的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），当x1＜0＜x2时，有y1＜y2， ∴1+2m＞0， 故m的取值范围是：m＞﹣， 故答案为：m＞﹣. 【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，对于反比例函数，当k＞0,反比例函数图象的两个分支在第一、三象限,在每一象限内,y随x的增大而减小；当 k＜0,反比例函数图象的两个分支在第二、四象限,在每一象限内,y随x的增大而增大. 14. 如图，在矩形中，E，F分别是边上的动点，P是线段的中点，，G，H为垂足，连接．若，则的最小值是_____． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理等知识；连接，由勾股定理求出，再由直角三角形斜边上的中线性质得，然后证四边形是矩形，得，当A、P、C三点共线时，最小，即可求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵P是线段的中点， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 当A、P、C三点共线时，最小， ∴的最小值是7， 故答案为：7． 三、解答题（共12小题，计78分，解答应写出过程） 15. 解下列方程 （1）2x2+3x﹣1＝0 （2）（2x﹣3）2＝5（3﹣2x） 【答案】(1);(2) 【解析】 【分析】（1）用公式法求解即可； （2）用因式分解法求解即可. 【详解】（1）这里a＝2，b＝3，c＝﹣1 △＝b2﹣4ac＝32﹣4×2×（﹣1）＝17 ∴x＝， ∴x1＝，x2＝； （2）整理方程得，2x2﹣x﹣3＝0， ∴（2x﹣3）（x+1）＝0， ∴2x﹣3＝0或x+1＝0， 解答：x1＝，x2＝﹣1． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 16. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查特殊角的三角函数值、绝对值、负指数运算． （1）直接代入特殊角的三角函数值计算； （2）先计算绝对值、负指数，再结合三角函数值进行运算． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 如图，已知直线分别截直线于点A，B，C，截直线于点D，E，F，且， （1）如果，求的长； （2）如果，求的长． 【答案】（1）6； （2）10 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握相关知识，准确识图是解题的关键． 对于（1），由平行线分线段成比例定理得到，代入已知线段长度即可得到的长； 对于（2），由平行线分线段成比例定理得到，由得到，即，即可得到的长． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得：； 【小问2详解】 ∵， ∴， ∵， ∴， 解得． 18. 如图，已知等边三角形ABC，点M为BC边的中点，连接AM，请利用直尺和圆规在边AB上找一点P，使得△MPB∽△AMC．（保留作图痕迹，不写做法） 【答案】如图所示： 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定即可画图． 【详解】解：作MP⊥AB于点P， 则点P即为所求作的点． ∵ABC等边三角形 ∴△MPB∽△AMC． 本题主要结合相似三角形的判定方法考查尺规作图，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键. 19. 人工智能是数字经济高质量发展的引擎，也是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动．人工智能市场分为决策类人工智能，人工智能机器人，语音类人工智能，视觉类人工智能四大类型，将四个类型的图标依次制成A，B，C，D四张卡片（卡片背面完全相同），将四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上． （1）随机抽取一张，抽到决策类人工智能的卡片的概率为______； （2）从中随机抽取一张，记录卡片的内容后放回洗匀，再随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法求抽取到的两张卡片内容一致的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）直接根据概率公式求解即可； （2）根据题意画出树状图得出所有等可能结果，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案． 【小问1详解】 解：共有4张卡片， 从中随机抽取一张，抽到决策类人工智能的卡片的概率为； 【小问2详解】 解：根据题意画图如下： 共有16种等可能的结果数，其中抽取到的两张卡片内容一致的结果数为4， 所以抽取到的两张卡片内容一致的概率为． 20. 如图，在矩形中，对角线的垂直平分线与相交于点M，与相交于点O，与相交于N，连接，求证：四边形是菱形． 【答案】 证明：∵矩形， ∴， ∴， ∵是对角线的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， 又， ∴四边形是菱形． 【解析】 【分析】本题考查菱形的判定，矩形的性质，证明，得到，即可得证． 【详解】略 21. 如图，在已知的平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，若A，B两点的坐标分别是A（﹣1，0），B（0，3）． （1）以点O为位似中心，与△ABC位似的△A1B1C1满足A1B1：AB=2：1，请在网格内画出△A1B1C1； （2）A1的坐标是　 　，C1的坐标是　 　． 【答案】(1) 如图所示，即为所求； （2）（2，0）、（4，﹣4）． 【解析】 【详解】试题分析：（1）连接并延长到长度找到各点的对应点，顺次连接即可． （2）从坐标系中读出各点的坐标即可． 试题解析：（1）略 （2）由（1）知，的坐标是 的坐标是 故答案为 22. 平安路上，多“盔”有你．在“交通安全宣传月”期间，某商店销售一批头盔，进价为每顶元，售价为每顶元，平均每周可售出顶．商店计划将头盔降价销售，每顶售价不高于元，经调查发现：每降价2元，平均每周可多售出顶．若该商店希望平均每周获得元的销售利润，则每顶头盔应降价多少？ 【答案】每顶头盔应降价元； 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据利润等于利润单价乘以数量列方程求解即可得到答案； 【详解】解：设每顶头盔应降价元，由题意可得， ， 解得：，， ∵售价不高于元， ∴不符合题意舍去， ∴， 答：每顶头盔应降价元． 23. 如图，在中，是角平分线，点在边上，且．连接． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：是的平分线， ． ， ， ． （2） 【解析】 【分析】（1）根据是的平分线可得，由可得出，进而即可证出； （2）证明可得出，根据三角形内角和定理及平角等于，即可得出，结合公共角相等可得出，再利用相似三角形的性质即可求出的长度，则可求出的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ． ，， ． 又， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质以及三角形内角和定理，熟练掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 24. 如图，已知水平地面上方有一个水平的平台，该平台上有一个竖直的建筑物．在处测得建筑物顶端的仰角为，在处测得的仰角为，斜坡的坡度米，．（点在同一竖直平面内）． （1）求平台的高度； （2）求建筑物的高度（即的长）． 【答案】（1）10米 （2）米 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，矩形的判定及性质． （1）过点B作于点E，则，根据斜坡的坡度，得到，从而在中，根据勾股定理构造方程，求解即可； （2）延长交于点F，得到四边形是矩形，因此米，，设米，则（米），通过解直角三角形在中，求得（米），在中，求得∴（米），进而根据列出方程，求解即可． 【小问1详解】 解：过点B作于点E，则 ∵斜坡的坡度， ∴， ∵在中，， 即， ∴米， ∴平台的高度是10米． 【小问2详解】 解：延长交于点F， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴米，， 设米，则（米）， ∵在中，， ∴（米）， ∵在中，， ∴（米）， ∴米， 由（1）有（米）， ∵， ∴， 解得， ∴（米）， 即建筑物的高度（即的长）为米． 25. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于A，B两点，与x轴相交于点C，已知点A，B的坐标分别为和． （1）求反比例函数的解析式； （2）点P为反比例函数图象上任意一点，若，求点P的坐标． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合： （1）先把点A坐标代入一次函数解析式中求出点A坐标，再把点A坐标代入反比例函数解析式中求出反比例函数解析式即可； （2）先求出点C的坐标，进而求出的面积，进而根据三角形面积公式求出点P的纵坐标即可得到答案． 【小问1详解】 解：把代入中得：， 解得， ∴， 把代入中得：， 解得， ∴反比例函数解析式为； 【小问2详解】 解：在中，当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，当时，， 当时，， ∴点P的坐标为或． 26. 【问题探究】 （1）如图1，已知：，垂足分别为，点是上使的值最小的点．，则___________． （2）如图2，在中，，，是线段上一动点（不与重合），连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，点和点分别是边的中点．探究与的数量关系，并说明理由． 【问题解决】 （3）如图3，正方形是一块花卉种植基地，边长为4千米，对角线为该基地内的一条小路，管理人员计划在小路上确定一点（不与点重合）．连接，以线段为斜边，在右侧建等腰直角区域（），用来种植新品花卉，并在处设立观赏台．点和点为基地的两个景观点，在上且．现要沿修建观赏步道，请确定步道的最小值．并求出当最小时，花卉种植区域的面积（即的面积）． 【答案】（1）； （2），理由如下： 如图，连接，， ， ， ， ， ， ， 同理可得，， ， ， ， ， ， ， ； （3）运输轨道的最小值为千米，的面积为平方千米． 【解析】 【分析】（1）以为轴作A点对称点，连接交于C，则就是最小值，延长使，连接；根据矩形的判定得到四边形是矩形，由矩形的性质得，的长，在中运用勾股定理求得的长，即可求得的最小值； （2）由题意连接，，先得出，同理可得，，进一步利用即可进行证明； （3）首先确定出的运动轨迹，由两点之间线段最短可知，当三点共线时，取最小值，继而在中，由勾股定理得出，根据角平分线的性质以及三角形的面积公式求得，即可进一步求的面积． 【详解】解：（1）以为轴作A点对称点，连接交于C， 则， 就是的最小值； 延长使，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：； （2） 略 （3）取中点，连接， 由正方形可得 ， ， ， ， ， 又∵是的中点， ∴， ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴最小值等于最小值， 由两点之间线段最短可知，当三点共线时，取最小值， 正方形边长为4千米，是中点，则 在中，由勾股定理得千米， ， 千米，千米， 千米， 在中，由勾股定理得千米， 即运输轨道的最小值为千米， ∵ ∴是的角平分线， ∴到的距离相等，设距离为，设到的距离为 ∵ ∴ ∴ ∴此时的面积为平方千米． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，轴对称的性质等知识，解决问题的关键作辅助线，构造相似三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $