精品解析：北京市海淀实验中学2026-2027学年八年级上学期期中数学试题

八年级数学2026．11 一、选择题（本题共10小题，共30分） 1. 下列长度的各组线段能组成一个三角形的是（ ） A. 15，10，7 B. 4，5，10 C. 3，8，5 D. 14，5，6 【答案】A 【解析】 【分析】比较每组线段中较短两条的长度和与最长线段的长度，判断能否构成三角形． 【详解】解：∵， ∴长为15，10，7的线段能组成三角形，A符合题意， ∵，，， ∴B、C、D选项中的线段均不能组成三角形． 2. 下列是几种著名的数学曲线： 其中不是轴对称图形的是（ ） A. 蝴蝶曲线 B. 笛卡尔心形线 C. 科赫曲线 D. 费马螺线 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．解题的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，本题根据轴对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A．该曲线所表示的图形是轴对称图形，故此选项不符合题意； B．该曲线所表示的图形是轴对称图形，故此选项不符合题意； C．该曲线所表示的图形是轴对称图形，故此选项不符合题意； D． 该曲线所表示的图形不是轴对称图形，故此选项符合题意． 故选：D． 3. 下列各图中，作边上的高，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形的高即从三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段即为该边上的高线，解答即可． 【详解】解：A．不是的高，故该选项不符合题意； B．是的边上的高，故该选项不符合题意； C．不是的高，故该选项不符合题意； D．是的边上的高，故该选项符合题意． 4. 等腰三角形的底角为，则顶角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质解题． 【详解】解：∵等腰三角形的底角为， ∴顶角的度数为． 5. 图中的两个三角形全等，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形的对应边相等，对应角相等，进行作答即可． 【详解】解：观察图中的两个全等三角形，对应边相等，对应角相等， 即， 故选：D． 6. 如图，用尺规作图“过点C作”的实质就是作，其作图依据是（ ） A. SAS B. SSS C. ASA D. AAS 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了作图—基本作图，全等三角形的判定和性质，平行线的判定，掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．直接利用基本作图方法结合全等三角形的判定方法即可得出答案． 【详解】解：由作法可知，，， ， ， ， 故选：B． 7. 如图是战机在空中展示的轴对称队形．以飞机，所在直线为轴、队形的对称轴为轴，建立平面直角坐标系．若飞机的坐标为，则飞机的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵飞机与飞机D关于y轴对称， ∴飞机D的坐标为． 8. 如图，在中，，，和的平分线交于O点，过点作的平行线交于点，交于点，则的周长为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 14 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了等腰三角形的性质，以及平行线的性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．利用角平分线及平行线性质，结合等腰三角形的判定得到，，将周长转化为，求出即可． 【详解】解：∵为的平分线，为的平分线， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∵，， ∴周长为， 故选：C． 9. 如图，在中，，将沿翻折后，点A落在边上的点F处，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，根据折叠得出，，进而得出，根据三角形内角和定理求出，进而即可求解． 【详解】解：∵将沿翻折后，点落在边上的点处， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴, 故选：C． 10. 如图，中，，是中线，有下面四个结论：①与的面积相等；②；③若点是线段上的一个动点（点不与点，重合），连接，，则的面积比的面积大；④点是所在直线上的两个动点（点与点不重合），若，连接，，则，所有正确结论的序号是（ ） A. ①②③④ B. ①②④ C. ②③ D. ①③④ 【答案】B 【解析】 【分析】由三角形中线平分三角形面积，可得①正确；看到中线不等式，利用倍长中线构造全等，再利用三角形三边关系即可求证②正确；判断面积大小，利用“同高则面积比等于底之比”即可求证③错误；利用全等三角形证明角相等，进而证明平行即可． 【详解】解：验证结论①：与的面积相等， ∵在中，，是中线， ∴ 过点作于点，则 ， ∵， ∴，①正确； 验证结论②：， 延长到，使，连接， 在和中，有， ∴， ∴， 在中，根据三角形三边关系有 ∵， ∴ ∴，②正确； 验证结论③：若点是线段上的一个动点（点不与点，重合），连接，，则的面积比的面积大； 过点作交于点，则 ∵， ∵， ∴， 由①得 ∴, ∴，③错误； 验证结论④：点是所在直线上的两个动点（点与点不重合），若，连接，，则， 在和中，有， ∴， ∴， ∴，④正确； 综上可得：①②④正确． 二、填空题（本题共6小题，共18分） 11. 如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，若AB=6，CD=4，则△ABC的周长是_______. 【答案】20 【解析】 【分析】本题利用等腰三角形的三线合一的性质得出即可. 【详解】解： ， ∴ ， ∵ ， ∴, ∴的周长为 . 故答案为：20. 12. 中，，则是______三角形． 【答案】直角 【解析】 【分析】本题考查的是三角形内角和定理．设，则，，再根据三角形内角和定理求出的值，进而可得出结论． 【详解】解：在中，， 设，则，． ，即， 解得， ， 是直角三角形． 故答案为：直角． 13. 如图，已知，且，则的度数是___________． 【答案】##80度 【解析】 【分析】根据，可得，，根据三角形的外角性质可知，进一步根据三角形的外角性质可知，即可求出的度数，进而求出的度数． 【详解】解：， ，， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形的外角性质，理清各个角之间的关系是解答本题的关键． 14. 如图，在中，平分，于E．若，，则______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线上的点到角两边的距离相等． 过点作于，根据角平分线的性质得到，再根据三角形面积公式计算． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵平分， ∴， ， ∴， 故答案为：4． 15. 如图，，，要使用“ASA”判定，应添加的条件是______． 【答案】## 【解析】 【分析】由可得，又有，要使用“ASA”判定还缺少角，结合图形即可解答． 【详解】解：添加， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴； 故答案为：． 【点睛】此题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：．添加时注意：、不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键． 16. 如图，在锐角中，，于点，，，，其中，、、分别为线段、、上的点（均不与点，、重合），对于每一个确定的点，将周长的最小值记为．给出下列三个结论： ①过点向、作垂线、垂足分别为、，此时的周长即为； ②在点从点向点运动过程中，的最小值为； ③当时，点能在两个不同的位置取到相同的值． 其中所有正确结论的序号是________． 【答案】②③##③② 【解析】 【分析】作点关于的对称点，点关于的对称点，交于，交于，连接，交于，交于，连接，，，由两点之间线段最短可判断①；根据轴对称的性质证明，是等边三角形，由垂线段最短可判断②、③，进而得结论． 【详解】解：作点关于的对称点， 点关于的对称点，交于，交于， 连接，交于，交于， 连接，，，， 根据轴对称的性质可得：，， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， 的周长， 的周长， ， ， 与重合时，，即最小，故①错误；故②正确； 当时，点能在两个不同的位置取到相同的值， 分别在点两侧且关于点对称，故③正确， 故答案为：②③． 【点睛】本题考查三角形中的动点问题、轴对称的性质、垂线段最短、等腰三角形的性质，等边三角形的性质及判定，熟知相关性质，做到数形结合是正确解决本题的关键． 三、解答题（共52分，其中第17、18、19、20、22、26题5分，第23、24、25题6分，第21题4分） 17. 如图，，比小，，求证：．     【答案】证明：∵ ∴ 解得 ∵ ∴ ∴ 【解析】 【分析】由三角形的内角和为及已知条件求出的大小，再由即可证明． 【详解】略 18. 如图，点、、、在直线上（、之间不能直接测量），点、在异侧，测得，，． （1）求证：； （2）若，，求的长度． 【答案】（1） 证明：， ， 在和中， ， ． （2）． 【解析】 【分析】本题考查的知识点是平行线的性质、全等三角形的判定与性质，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． （1）先由平行线性质得到，再结合题中所给条件，，即可通过“角边角”证明全等； （2）根据全等三角形的性质得，再推得，即可由得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ， ， ，， ． 19. 上午8时，一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北航行，10时到达海岛B处，从A、B望灯塔C，测得，，求从海岛B到灯塔C的距离． 【答案】30海里 【解析】 【分析】由上午8时，一条船从海岛A出发，以15海里的时速向正北航行，10时到达海岛B处，可求得AB的长，又由，，可得∠C=∠NAC，即可证得BC=AB，则可得从海岛B到灯塔C的距离． 【详解】解：根据题意得：AB=2×15=30（海里）， ∵，， ∴∠C=∠NBC-∠NAC=42°， ∴∠C=∠NAC， ∴BC=AB=30海里， 即从海岛B到灯塔C的距离是30海里． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定，注意掌数形结合思想，应用三角形的外角性质是解题关键． 20. 如图，在中，是的中点，于，于点，且．求证：平分． 【答案】 证明：是的中点， ， ，， ， 在和中， ， ， 平分． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．根据题意可证，得到，即可得到结论． 【详解】略 21. 如图，，，点C在的垂直平分线上． （1），，的长度有什么关系？ （2）与有什么关系？请说明理由． 【答案】（1） （2） 解：， 理由是：∵， ∵， ∴， 【解析】 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，熟记线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解本题的关键； （1）先证明，再证明，从而可得答案； （2）由（1）的结论，结合，可得答案． 【小问1详解】 解：，理由如下： ∵，， ∴； 又∵点C在的垂直平分线上， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 22. 如图所示，由每一个边长均为1的小正方形构成的正方形网格中，点，，，，均在格点上（小正方形的顶点为格点），利用网格画图． （1）画出关于直线对称的； （2）的面积为                        ． （3）在线段上找一点，使得．（保留必要的画图痕迹，并标出点位置） 【答案】（1）如图，即为所求； （2）3 （3）如图，点即为所求 【解析】 【分析】（1）分别作出三个顶点关于直线的对称点，再首尾顺次连接即可； （2）用割补法求解即可； （3）连接，与直线的交点即为所求，根据对称性可得，． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：． 【小问3详解】 略 23. 小明发现，任意一个直角三角形都可以分割成两个等腰三角形． 已知：在中，． 求作：线段，使得线段将分割成两个等腰三角形． 下面是小明设计的尺规作图的作法： ①作直角边的垂直平分线，与斜边相交于点D；②连接． 则线段为所求． （1）请你按照小明设计的作法，使用无刻度的直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：直线是线段的垂直平分线，点D在直线上， ．（ ）（填推理的依据） ________． ， ． ________． ． ．（ ）（填推理的依据） 和都是等腰三角形． 【答案】（1） 如图所示，即为所求． （2）线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等；；；等角对等边 【解析】 【分析】本题考查了作图——尺规作图、等腰三角形的判定、垂直平分线的性质： （1）根据作法补全图形即可求解； （2）根据垂直平分线的性质得，再根据角的等量代换得，进而可证得，由等腰三角形的判定即可求证结论； 熟练掌握尺规作法作垂直平分线的方法及等腰三角形的判定的解题的关键． 【小问1详解】 解：作法：①以点为圆心，大于为半径画弧，以点为圆心，以相同长度为半径画弧，与前弧相交， ②连接两个交点得直线交于点， ③连接． 【小问2详解】 直线是线段的垂直平分线，点在直线上， ．（线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等）， ． ， ．． ． ．（等角对等边）， 和都是等腰三角形． 故答案为：线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等；；；等角对等边． 24. 如图，是等腰三角形，，点D是上一点，过点D作交于点E，交的延长线于点F． （1）证明：是等腰三角形； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 而， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）6 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质和判定，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质等知识点， （1）由，可知，再由，可知，然后余角的性质可推出，再根据对顶角相等进行等量代换即可推出，于是得到结论； （2）根据含30度的直角三角形的性质和等边三角形的性质即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 25. 在中，，，点D是射线上一点（点D不与点B，C重合），连接，将线段 绕点A逆时针旋转，旋转后且，连接，，延长线段交直线于点F． （1）如图1，证明：是等边三角形； （2）当点D在如图所示的位置时： ①求证：； ②直接用等式表示线段， 和之间的数量关系； （3）当点D在线段上时（点D不与点B，C重合），直接用等式表示线段、和之间的数量关系． 【答案】（1） 证明：，， ∴， 是等边三角形； （2） ①证明：延长至点G，使， 连接，， ，， ， ，， ， 是等边三角形， ，， ， ． 在和中 ， ∴， ，， ， ， ， 在和中 ， ， ， ； ② （3） 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质； （1）由，可得是等边三角形； （2）①延长至点G，使， 连接，，先证明，得到，，再证明，得到，； ②由，得到，再结合，得到； （3）根据题意画出图形同（2）的辅助线和方法证明即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略 ②解：∵在中，，， ∴， 由①得， ∴； 【小问3详解】 解：， 如图：延长至点G，使， 连接，， ， ． ，， 是等边三角形，. ． 在和中 ≌． ， ， ， ， 在和中 ≌， ， ， ∵在中，，， ∴， ∴． 26. 在平面直角坐标系中，已知点，直线l经过点T且与x轴垂直．对于图形M和图形N，给出如下定义：将图形M关于y轴对称的图形记为，图形关于直线l对称的图形记为，若图形与图形N有公共点，则称图形M是图形N的“双称图形”． 例如，如图1，当时，对于点和第三象限角平分线，点P关于y轴的对称点是，点关于直线l的对称点在射线上，则点P是射线的“双称图形”． 已知点，，图形N是以线段为一边在直线上方所作的正方形． （1）当时，直线l和正方形如图2所示． ①在，，这三个点中，点 是图形N的“双称图形”； ②点，，，是图形N的“双称图形”，求m的取值范围； （2）若图形N是它自身的“双称图形”，直接写出t的取值范围． 【答案】（1）①，；②或 （2） 【解析】 【分析】本题考查了轴对称，坐标与图形，不等式组的应用； （1）①根据题意在坐标系中描出两次对称的点，根据新定义，即可求解； ②根据题意求得两次对称的点的坐标，结合新定义，列出不等式组，解不等式组，即可求解； （2）根据新定义，求得点关于两次对称后的点的坐标，列出不等式组，解不等式组，即可求解． 【小问1详解】 解：①如图所示， ∴，；是图形N的“双称图形”； ②设点关于轴的对称点为，则，设点关于直线的对称点为， 则，即 ∴ 同理可得，关于轴和直线两侧对称后的对称点分别为， ∵是图形N的“双称图形”， ∴与正方形有交点， ∴或， 解得：或 【小问2详解】 解：∵已知点，， ∴关于轴的对称点为，关于轴对称的点的为 设点关于的对称点为， 则，即 ∴， 设点关于的对称点为， 则，即 ∴， ∵图形N是它自身的“双称图形”， ∴①或② 解不等式组①得 解不等式组②得 综上所述， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学2026．11 一、选择题（本题共10小题，共30分） 1. 下列长度的各组线段能组成一个三角形的是（ ） A. 15，10，7 B. 4，5，10 C. 3，8，5 D. 14，5，6 2. 下列是几种著名的数学曲线： 其中不是轴对称图形的是（ ） A. 蝴蝶曲线 B. 笛卡尔心形线 C. 科赫曲线 D. 费马螺线 3. 下列各图中，作边上的高，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 等腰三角形的底角为，则顶角的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 图中的两个三角形全等，则等于（ ） A. B. C. D. 6. 如图，用尺规作图“过点C作”的实质就是作，其作图依据是（ ） A. SAS B. SSS C. ASA D. AAS 7. 如图是战机在空中展示的轴对称队形．以飞机，所在直线为轴、队形的对称轴为轴，建立平面直角坐标系．若飞机的坐标为，则飞机的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，和的平分线交于O点，过点作的平行线交于点，交于点，则的周长为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 14 9. 如图，在中，，将沿翻折后，点A落在边上的点F处，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，中，，是中线，有下面四个结论：①与的面积相等；②；③若点是线段上的一个动点（点不与点，重合），连接，，则的面积比的面积大；④点是所在直线上的两个动点（点与点不重合），若，连接，，则，所有正确结论的序号是（ ） A. ①②③④ B. ①②④ C. ②③ D. ①③④ 二、填空题（本题共6小题，共18分） 11. 如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，若AB=6，CD=4，则△ABC的周长是_______. 12. 中，，则是______三角形． 13. 如图，已知，且，则的度数是___________． 14. 如图，在中，平分，于E．若，，则______． 15. 如图，，，要使用“ASA”判定，应添加的条件是______． 16. 如图，在锐角中，，于点，，，，其中，、、分别为线段、、上的点（均不与点，、重合），对于每一个确定的点，将周长的最小值记为．给出下列三个结论： ①过点向、作垂线、垂足分别为、，此时的周长即为； ②在点从点向点运动过程中，的最小值为； ③当时，点能在两个不同的位置取到相同的值． 其中所有正确结论的序号是________． 三、解答题（共52分，其中第17、18、19、20、22、26题5分，第23、24、25题6分，第21题4分） 17. 如图，，比小，，求证：．     18. 如图，点、、、在直线上（、之间不能直接测量），点、在异侧，测得，，． （1）求证：； （2）若，，求的长度． 19. 上午8时，一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北航行，10时到达海岛B处，从A、B望灯塔C，测得，，求从海岛B到灯塔C的距离． 20. 如图，在中，是的中点，于，于点，且．求证：平分． 21. 如图，，，点C在的垂直平分线上． （1），，的长度有什么关系？ （2）与有什么关系？请说明理由． 22. 如图所示，由每一个边长均为1的小正方形构成的正方形网格中，点，，，，均在格点上（小正方形的顶点为格点），利用网格画图． （1）画出关于直线对称的； （2）的面积为                        ． （3）在线段上找一点，使得．（保留必要的画图痕迹，并标出点位置） 23. 小明发现，任意一个直角三角形都可以分割成两个等腰三角形． 已知：在中，． 求作：线段，使得线段将分割成两个等腰三角形． 下面是小明设计的尺规作图的作法： ①作直角边的垂直平分线，与斜边相交于点D；②连接． 则线段为所求． （1）请你按照小明设计的作法，使用无刻度的直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：直线是线段的垂直平分线，点D在直线上， ．（ ）（填推理的依据） ________． ， ． ________． ． ．（ ）（填推理的依据） 和都是等腰三角形． 24. 如图，是等腰三角形，，点D是上一点，过点D作交于点E，交的延长线于点F． （1）证明：是等腰三角形； （2）若，求的长． 25. 在中，，，点D是射线上一点（点D不与点B，C重合），连接，将线段 绕点A逆时针旋转，旋转后且，连接，，延长线段交直线于点F． （1）如图1，证明：是等边三角形； （2）当点D在如图所示的位置时： ①求证：； ②直接用等式表示线段， 和之间的数量关系； （3）当点D在线段上时（点D不与点B，C重合），直接用等式表示线段、和之间的数量关系． 26. 在平面直角坐标系中，已知点，直线l经过点T且与x轴垂直．对于图形M和图形N，给出如下定义：将图形M关于y轴对称的图形记为，图形关于直线l对称的图形记为，若图形与图形N有公共点，则称图形M是图形N的“双称图形”． 例如，如图1，当时，对于点和第三象限角平分线，点P关于y轴的对称点是，点关于直线l的对称点在射线上，则点P是射线的“双称图形”． 已知点，，图形N是以线段为一边在直线上方所作的正方形． （1）当时，直线l和正方形如图2所示． ①在，，这三个点中，点 是图形N的“双称图形”； ②点，，，是图形N的“双称图形”，求m的取值范围； （2）若图形N是它自身的“双称图形”，直接写出t的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $