精品解析：北京市师达中学2026-2027学年度第一学期期中练习八年级数学

北京市师达中学2026－2027学年度第一学期期中练习 2026.11 （总分：100分，考试时间：90分钟） 一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1－8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（ ） A. 清华大学 B. 北京大学 C. 人民大学 D. 北京理工大学 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义（如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形）逐个判断即可． 【详解】解： A中图形不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B中图形是轴对称图形，故本选项符合题意； C中图形不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D中图形不是轴对称图形，故本选项不符合题意． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方、同底数幂除法等知识点，灵活运用相关运算法则是解题的关键． 运用同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方、同底数幂除法等知识点逐项判断即可解答． 【详解】解：A. ，故A选项计算正确，符合题意； B. ，故B选计算错误，不符合题意； C. ，故C选计算错误，不符合题意； D. ，故D选计算错误，不符合题意． 故选：A． 3. 利用直角三角板，作的高线，下列作法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形高线的定义，从三角形的一个顶点出发引对边的垂线，顶点与垂足所连线段即为三角形的高线，进行判断即可． 【详解】解：由三角形的高线的定义可知： A、作法错误，不符合题意； B、作法错误，不符合题意； C、作法正确，符合题意； D、作法错误，不符合题意； 故选C． 【点睛】本题考查三角形的高线．熟练掌握三角形的高线的定义，是解题的关键． 4. 若一个等腰三角形的两边长分别为 ，，则三角形的周长为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】分4cm长的边为腰和底两种情况进行讨论，并利用三角形的三边关系进行判断，再计算其周长即可． 【详解】解：当4cm的边长为腰时，三角形的三边长为：4cm、4cm、2cm，满足三角形的三边关系，其周长为4＋2＋4＝10（cm）； 当2cm的边长为腰时，三角形的三边长为：2cm、2cm、4cm，此时4＝2＋2，不满足三角形的三边关系，所以此三角形不存在． 故选： C． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，分两种情况讨论并利用三角形的三边关系进行判断是解题的关键． 5. 下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】判断因式分解需抓住两个核心：左边是多项式，右边是几个整式的积的形式． 【详解】解：A、左边是整式的积，右边是多项式，属于整式乘法，不符合； B、左边是多项式，右边是整式的积的形式，符合； C、右边不是积的形式，不符合； D、右边中是分式，不是整式，不符合． 6. 如图，在中，，，，，则（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 【答案】C 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质求出，根据三角形内角和定理求出，求出，根据等腰三角形的判定得出，根据含角的直角三角形的性质得出，再求出答案即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和判定，含30度角的直角三角形的性质，三角形内角和定理等知识点，能求出和的度数是解此题的关键． 7. 如图，在中，，的垂直平分线，交于点，点，在上.若，则的度数为( ) A. 67° B. 65° C. 55° D. 45° 【答案】A 【解析】 【分析】求出∠BAC的度数，又因为∠M与∠BAC互补，从而求出∠M的度数. 【详解】∵DM、EM分别是AB、AC的垂直平分线， ∴∠ADM=∠AEM=90°，AF=BF，AG=CG， ∴∠BAC+∠M=180°，∠B=∠BAF，∠C=∠CAG， ∵∠GAF=46°，△ABC内角和为180°， ∴2（∠B+∠C）+∠GAF=180°， ∴∠B+∠C=67°， ∴∠BAC=67°+46°=113°， ∴∠M=180°-∠BAC=180°-113°=67°，故选A. 【点睛】本题考查了垂直平分线的性质定理，根据垂直平分线的性质及三角形内角和定理求出∠BAC的度数是解题的关键. 8. 对于二次三项式（为常数），以下结论： ①当，且，则； ②当时，则； ③当的值恒为正数时，则； ④当，且，其中p、q为整数，则a的值有6种可能． 其中正确的是（ ） A. ①②③④ B. ①③④ C. ①②④ D. ②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式以及多项式乘以多项式，因式分解等知识点，熟练掌握多项式乘以多项式运算法则以及乘法公式是解本题的关键．根据完全平方公式、因式分解以及多项式乘以多项式的运算法则进而判断得出答案即可． 【详解】解：①当，， 则， 则， 故①正确，符合题意； ②当， 则， ∴， ∴， 故②正确，符合题意； ③， ∵ 则当的值恒为正数时，即可， ∴， 故③正确，符合题意； ④当，且， 则， ∴，， ∵p、q为整数， ∴p、q的值可为或或或或或 ∴或或8或或7或， 故④正确， ∴正确的有①②③④， 故选：A． 二、填空题（本题共24分，每小题3分） 9. 点关于x轴对称的点的坐标为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的性质，根据关于轴对称点的坐标特征：横坐标不变，纵坐标互为相反数，进行分析，即可作答． 【详解】解：依题意，点关于x轴对称的点的坐标为， 故答案为：． 10. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，先提公因式，再利用平方差公式因式分解即可，掌握因式分解的方法是解题的关键． 【详解】首先，观察式子可以发现，每一项都有公因式3，先提取公因式 3 ， 得到：． 然后，括号内的式子可以利用平方差公式， ， 原式分解因式的结果为． 故答案为：． 11. 若是一个完全平方式，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据完全平方公式的结构，明确式子中首尾两项与中间项的关系，解答即可． 【详解】解：∵是一个完全平方式，， ∴， ∴． 12. 已知，，则代数式的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】对所求代数式因式分解，将其转化为含已知条件与的形式，再整体代入对应数值，即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴． 13. 如图1，在边长为的大正方形中，剪去一个边长为3的小正方形，将余下的部分按图中的虚线剪开后，拼成如图2所示的长方形．根据两个图形阴影部分面积相等的关系，可以列出的等式为_________． 【答案】 【解析】 【分析】利用代数式分别表示图1，图2阴影部分面积即可解答． 【详解】解：由题可知，图1阴影部分面积为两个正方形的面积差，即， 图2是长为，宽为的长方形，因此面积为， ∵两个图形阴影部分面积相等， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了平方差公式的几何背景，解题关键是正确用代数式表示出两个图形中阴影部分面积． 14. 如图，正方形网格中，点、、都在格点上，则_______°． 【答案】45 【解析】 【分析】过点作延长线于点，由网格可得，是等腰直角三角形，再结合三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：如图，过点作延长线于点， 由网格可知，，， 是等腰直角三角形， ， ， ． 15. 如图，过边长为的等边三角形的边上一点，作于为延长线上一点，当时，连接交边于，则的长为______． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形及其性质、平行线的性质以及全等三角形的性质与判定，通过作辅助线，根据等边三角形的性质，得到，利用垂直得到，用证明出后得到，再利用线段关系计算． 【详解】过点作交于点， ，是等边三角形， ，是等边三角形， ． ， ． ， ． ， ． ． ， ， ， ． 故答案为： 16. 如图，等腰中，，，于点D，点E在的延长线上，点F在线段上，且．有下面四个结论：①；②；③是等边三角形；④．其中所有正确结论的序号是____________． 【答案】①③##③① 【解析】 【分析】根据等边对等角，求出的度数，即可判断①；易证，，即可判断②；连接，先根据三角形的内角和求出，再证明，可得出，求出，即可判断③； 根据三角形三边之间的关系，即可判断④． 【详解】解：①∵，， ∴， ∵， ∴， 故①正确； ②∵，，， ∴， ∴， 在中，， ∴ 与不全等， 故②不正确； ③连接， ∵，， ∴为的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， 由①可得 ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形； 故③正确； ④由③可知，是等边三角形； ∴， 在中，， ∴， 故④不正确； 综上：正确的有①③； 故答案为：①③． 【点睛】本题主要考查了等腰三角的性质，三角形的内角和，等边三角形的判定和性质，三角形三边之间的关系，熟练掌握相关内容并灵活运用是解题的关键． 三、解答题（本题共60分，第17题10分，第18－23题每题5分，第24题6分，第25－26题每题7分） 17. 计算： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）分别计算同底数幂乘法、幂的乘方、同底数幂除法，再合并同类项即可得出答案； （2）利用多项式乘多项式法则，展开多项式乘积，再合并同类项，即可得出答案； （3）将多项式的每一项分别除以单项式，根据同底数幂除法法则计算，即可得出答案． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 【小问3详解】 解： ． 18. 已知，求代数式的值． 【答案】 【解析】 【分析】先利用平方差公式及单项式乘以多项式运算法则化简，得出最简结果，根据得出，代入化简后的式子，即可得出答案． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴原式． 19. 如图，点B，F，C，E在一条直线上，，，．求证：． 【答案】证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】证明，即可求证． 【详解】略 20. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，与关于x轴对称． （1）画出； （2）直接写出点，的坐标； （3）在x轴找一点P，使得的周长最短，请在图中画出点P的位置．（不写画法，保留作图痕迹） 【答案】（1）见解析 （2）， （3）见解析 【解析】 【分析】（1）分别作三个顶点关于x轴的对称点，再首尾顺次连接即可； （2）根据点，的位置即可写出点，的坐标； （3）连接，与x轴的交点即为所求． 【小问1详解】 解：如图所示： ； 【小问2详解】 解：，； 【小问3详解】 解：如图所示，点P即为所求． 【点睛】本题主要考查作图-轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的定义和性质，并据此得出变换后的对应点． 21. 如图，点D，E在的边上，，，求证：． 【答案】 解：如图，过点作于点, ∵， ∴, 又∵， ∴, 同理得：, ∴, ∴ 【解析】 【分析】本题主要考查了三线合一，解决此题的关键是作出合理的辅助线；运用两次三线合一，在等腰三角形中，底边上的高是底边上的中线，根据线段的和差即可得到答案； 【详解】略 22. 已知：如图中，． 求作：点P，使得点P在上，且点P到的距离等于． 作法：以点B为圆心，以任意长为半径作弧，分别交射线、于点D、E； 分别以点D、E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内部交于点F； 作射线交于点P． 则点P即为所求． （1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面证明． 证明：连接、 在和中 （_______________）（填推理的依据） ，点P在上 作于点Q 点P在上 （_______________）（_______________）（填推理的依据）． 【答案】（1） 如图所示： （2）（或三边对应相等的两个三角形全等），，角平分线上的点到角两边的距离相等 【解析】 【分析】本题考查作图-复杂作图、角平分线的性质定理、全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本作图，灵活运用所学知识解决问题． （1）按照题目中的已知作法作图即可； （2）先根据得出，根据全等三角形的对应边相等得出，再根据角平分线的性质即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 小明在学习有关整式的知识时，发现一个有趣的现象：对于关于的多项式，由于，所以当取任意一对互为相反数的数时，多项式的值是相等的．例如，当，即或0时，的值均为3；当，即或时，的值均为6．于是小明给出一个定义：对于关于的多项式，若当取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于对称．例如关于对称．请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题： （1）多项式关于 对称； （2）若关于的多项式关于对称，求的值； （3）整式关于 对称． 【答案】（1）2 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）对多项式进行配方，根据新定义判断即可； （2）对多项式进行配方，根据新定义判断即可； （3）对多项式进行配方，根据新定义判定即可． 【小问1详解】 解：， ∴多项式关于对称； 【小问2详解】 解：∵， ∴关于的多项式关于对称， ∵关于的多项式关于对称， ∴， 解得：； 【小问3详解】 解： ∴整式关于对称． 24. 如图，四边形中，于点F，交于点E，连接，平分． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴； （2）4． 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，直角三角形全等的判定与性质，掌握这些知识是解题的关键． （1）利用角平分线的性质定理即可证明； （2）证明，得，由即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 25. 如图，在中，，，作直线，使得．过点B作于D，在的延长线上取点E，使． 连接，． （1）依题意补全图形； （2）若，求（用含的式子表示）； （3）用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 【答案】（1） 依题意，补全图形如图所示： （2） （3） 解：． 证明：如图，在延长线上取点F，使，连接． ∵，， ∴，则， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ，， ∴． 【解析】 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质等知识，添加合适的辅助线构造全等三角形是解答的关键． （1）根据题中要求补全图形即可； （2）根据等腰直角三角形的性质得到，进而根据图形进行角度的运算即可； （3）在延长线上取点F，使，连接，根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质证得，进而得到，证明得到，进而可得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵于D， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 【小问3详解】 略 26. 在平面直角坐标系中，直线过原点且经过第一、第三象限，与轴所夹锐角为．对于点和轴上的两点，，给出如下定义：记点关于直线的对称点为，若点的纵坐标为正数，且为等边三角形，则称点为，的点． （1）如图1，若点，，点为，的点，连接，． ①_______； ②求点的纵坐标； （2）已知点，． ①当时，点为，的点，且点的横坐标为，则______； ②当时，点为，的点，且点的横坐标为，则_____． 【答案】（1）①；② （2）①；②或 【解析】 【分析】（1）①连接，交于，根据点为，的点，得出，，，根据，，可得，利用外角性质得出，根据角的和差关系，结合轴对称的性质即可得出答案； ②过点作轴于，过点作于，根据等腰三角形“三线合一”的性质得出，进而得出，由（1）中结论可得，利用可证明，得出，即可得出答案； （2）①根据、坐标可得，根据点为，的点可得，与轴所夹锐角为，进而确定点在第二象限，点在第一象限，连接交直线于，交轴于，过点作轴于，交直线于，连接，交轴于，根据平行线的性质得出，根据含的直角三角形的性质得出，进而求出，即可得出，，即可得出答案； ②设直线与直线交于点，与轴交于，直线交轴于，根据轴对称的性质可得直线与的夹角，进而得出，分和两种情况，利用等边三角形的性质及含角的直角三角形的性质分别求解即可． 【小问1详解】 解：①如图，连接，交于， ∵点为，的点， ∴，是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点关于直线的对称点为， ∴，． ②如①中图，过点作轴于，过点作于， ∵， ∴， ∴， ∵是等边三角形，， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴点的纵坐标为． 【小问2详解】 解：①∵点，，， ∴， ∵点为，的点， ∴，与轴所夹锐角为， ∵点的横坐标为，点的纵坐标为正数， ∴点在第二象限，点在第一象限， 如图，连接交直线于，交轴于，过点作轴于，交直线于，连接，交轴于， ∴，，， ∵轴， ∴轴， ∴， ∴， ∵点与点关于直线对称， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ②∵时，点为，的点， ∴，，，， ∵点的横坐标为， ∴点在直线上， 设直线与直线交于点，与轴交于， ∴，，， ∵点与点关于直线对称， ∴直线与的夹角， 设直线交轴于， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，， 如图，当时，点在点右侧， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图，当时，点在点左侧， 同理可得，， ∴， ∴， 解得， ∴， 综上所述：的值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市师达中学2026－2027学年度第一学期期中练习 2026.11 （总分：100分，考试时间：90分钟） 一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1－8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（ ） A. 清华大学 B. 北京大学 C. 人民大学 D. 北京理工大学 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 利用直角三角板，作的高线，下列作法正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 若一个等腰三角形的两边长分别为 ，，则三角形的周长为（ ） A. B. C. D. 或 5. 下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，，，，则（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 7. 如图，在中，，的垂直平分线，交于点，点，在上.若，则的度数为( ) A. 67° B. 65° C. 55° D. 45° 8. 对于二次三项式（为常数），以下结论： ①当，且，则； ②当时，则； ③当的值恒为正数时，则； ④当，且，其中p、q为整数，则a的值有6种可能． 其中正确的是（ ） A. ①②③④ B. ①③④ C. ①②④ D. ②③④ 二、填空题（本题共24分，每小题3分） 9. 点关于x轴对称的点的坐标为_________． 10. 分解因式：______． 11. 若是一个完全平方式，则的值为_______． 12. 已知，，则代数式的值为_______． 13. 如图1，在边长为的大正方形中，剪去一个边长为3的小正方形，将余下的部分按图中的虚线剪开后，拼成如图2所示的长方形．根据两个图形阴影部分面积相等的关系，可以列出的等式为_________． 14. 如图，正方形网格中，点、、都在格点上，则_______°． 15. 如图，过边长为的等边三角形的边上一点，作于为延长线上一点，当时，连接交边于，则的长为______． 16. 如图，等腰中，，，于点D，点E在的延长线上，点F在线段上，且．有下面四个结论：①；②；③是等边三角形；④．其中所有正确结论的序号是____________． 三、解答题（本题共60分，第17题10分，第18－23题每题5分，第24题6分，第25－26题每题7分） 17. 计算： （1）； （2）； （3）． 18. 已知，求代数式的值． 19. 如图，点B，F，C，E在一条直线上，，，．求证：． 20. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，与关于x轴对称． （1）画出； （2）直接写出点，的坐标； （3）在x轴找一点P，使得的周长最短，请在图中画出点P的位置．（不写画法，保留作图痕迹） 21. 如图，点D，E在的边上，，，求证：． 22. 已知：如图中，． 求作：点P，使得点P在上，且点P到的距离等于． 作法：以点B为圆心，以任意长为半径作弧，分别交射线、于点D、E； 分别以点D、E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内部交于点F； 作射线交于点P． 则点P即为所求． （1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面证明． 证明：连接、 在和中 （_______________）（填推理的依据） ，点P在上 作于点Q 点P在上 （_______________）（_______________）（填推理的依据）． 23. 小明在学习有关整式的知识时，发现一个有趣的现象：对于关于的多项式，由于，所以当取任意一对互为相反数的数时，多项式的值是相等的．例如，当，即或0时，的值均为3；当，即或时，的值均为6．于是小明给出一个定义：对于关于的多项式，若当取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于对称．例如关于对称．请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题： （1）多项式关于 对称； （2）若关于的多项式关于对称，求的值； （3）整式关于 对称． 24. 如图，四边形中，于点F，交于点E，连接，平分． （1）求证：； （2）若，求的长． 25. 如图，在中，，，作直线，使得．过点B作于D，在的延长线上取点E，使． 连接，． （1）依题意补全图形； （2）若，求（用含的式子表示）； （3）用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 26. 在平面直角坐标系中，直线过原点且经过第一、第三象限，与轴所夹锐角为．对于点和轴上的两点，，给出如下定义：记点关于直线的对称点为，若点的纵坐标为正数，且为等边三角形，则称点为，的点． （1）如图1，若点，，点为，的点，连接，． ①_______； ②求点的纵坐标； （2）已知点，． ①当时，点为，的点，且点的横坐标为，则______； ②当时，点为，的点，且点的横坐标为，则_____． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $