精品解析：北京理工大学附属中学2026-2027学年八年级上学期期中数学试题

2026-2027学年度第一学期初二年级 数学期中练习 2026.11 注 意 事 项 1．本试卷共6页，满分100分，时间90分钟． 2．在试卷和答题卡上准确填写班级名称、姓名和学号． 3．试卷答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 一、选择题（共30分，每题3分）第1-10题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 在研学活动中，初二同学参观博物馆时发现，各大博物馆的标识都蕴含丰富寓意．在下面四个博物馆的标识中，其文字上方的标识是轴对称图形的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 利用含角的直角三角板，画的边上的高（加粗的线段），下列画法正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 图中有两个全等三角形，其中的字母表示三角形的边长，则等于（ ） A. B. C. D. 5. 如图，，点D，E分别在，上，在下列条件中，①；②；③；④．能判断的条件的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. “数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”是我国著名数学家华罗庚对数形结合思想在数学学科中所具有的重要价值与意义的高度概括．如图，从边长为的正方形中剪掉一个边长为1的正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的长方形，根据图形的变化过程得到的正确的等式是( ) A. B. C. D. 7. 若与的乘积中不含x的一次项，则m的值为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 8. 如图，已知线段，分别以点A，B为圆心，长为半径画弧，两弧在上方交于点C，在下方交于点D，连接交于点O．以点O为圆心，长为半径画弧，交线段于点M，连接，，则的大小为（ ）． A. B. C. D. 9. 如图所示的网格是正方形网格，点，，是网格线交点，为等腰三角形，符合条件的点有（ ） A. 10个 B. 8个 C. 6个 D. 4个 10. 如图，在等边中，点为直线下方一点，连接，使，连接，，过点作于点，交线段的延长线于点，连接．给出下列四个结论： ①； ②； ③； ④． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①②③ B. ②③④ C. ①②④ D. ①③④ 二、填空题（共18分，每题3分） 11. 在平面直角坐标系xOy中，点关于x轴对称的点的坐标是________． 12. 计算：________． 13. 若一个等腰三角形的两边长分别为和，则它的周长为_____． 14. 若，则的值为________． 15. 如图所示，已知一张三角形纸片（如图甲），其中．将纸片沿过点B的直线折叠，使点C落到边上的E点处，折痕为（如图乙）．再将纸片沿过点E的直线折叠，点A恰好与点D重合，折痕为（如图丙）．原三角形纸片中，的度数为______． 16. 如图，锐角三角形的面积为64，，，点是内部一点，点，分别是边，上的动点．当的面积为8时，点到边的距离为________，周长的最小值为________． 三、解答题（共52分，第17题6分，第18-19题每题5分，第20-25题每题6分） 解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算： （1） （2） 18. 如图，点B，D在上，，，，求证：． 19. 已知，求代数式的值． 20. 如图，是等边三角形，点D在边上，，．求的度数． 21. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出，使和关于x轴对称； （2）写出点C关于y轴的对称点的坐标________； （3）点Q在x轴上，画出使的周长最小时的点Q的位置． 22. 小明同学想出了一种新的画一个角的平分线的方法，如图所示，方法如下： （1）在的两边上分别取点M，N，使得； （2）把两个完全一样的含有角的直角三角板按如图所示的位置进行摆放，两个直角三角板的斜边交于点P； （3）连接并延长． 小明说：“射线是的平分线”． 小明将他的画图方法抽象成为一个数学问题： 如图，，在射线、上分别取点M、N，使，点P在内部，，连接并延长． 求证：射线是的平分线． 23. 对于整式A，B，若的结果可以写成一个整式的平方，则称整式A，B互为“搭档平方式”． 例如：，，，则称A与B互为“搭档平方式”． （1）已知，B为常数，若A，B互为“搭档平方式”，则________； （2）若，则下列整式中与整式A互为“搭档平方式”的是________（填写序号）； ① ② ③ ④ （3）若，（m，n为常数），整式A，B互为“搭档平方式”．若A的最大值为8，则n的值为________． 24. 在中，，，的垂直平分线分别交，于点，，点在射线上，连接，． （1）如图1，当时，用等式表示与的数量关系，并证明； （2）如图2，点在射线上，连接，，，当时，求的度数． 25. 在平面直角坐标系中，直线，直线，直线与交于点．对于点，先将点关于直线对称得到点，再将点关于直线对称得到点，则称点为点关于“镜轴”的镜心点． （1）已知，，点的坐标为，点关于“镜轴”的镜心点的坐标为________； （2）已知，，点在线段上．若第一、三象限角平分线上存在点关于“镜轴”的镜心点，求的取值范围； （3）已知，，，点在线段上．若第一、三象限角平分线与第二、四象限角平分线上都存在点关于“镜轴”的镜心点，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度第一学期初二年级 数学期中练习 2026.11 注 意 事 项 1．本试卷共6页，满分100分，时间90分钟． 2．在试卷和答题卡上准确填写班级名称、姓名和学号． 3．试卷答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 一、选择题（共30分，每题3分）第1-10题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 在研学活动中，初二同学参观博物馆时发现，各大博物馆的标识都蕴含丰富寓意．在下面四个博物馆的标识中，其文字上方的标识是轴对称图形的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【详解】解：第一个图形不是轴对称图形，第二个图形是轴对称图形，第三个图形是轴对称图形，第四个图形是轴对称图形， 综上所述，轴对称图形共有3个． 2. 利用含角的直角三角板，画的边上的高（加粗的线段），下列画法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】从三角形的一个顶点出发引对边的垂线，顶点与垂足所连线段即为三角形的高线． 【详解】解：A、作法错误，不符合三角形的高线的定义，不符合题意； B、作法正确，符合三角形的高线的定义，符合题意； C、作法错误，不符合三角形的高线的定义，不符合题意； D、作法错误，不符合三角形的高线的定义，不符合题意． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、和不是同类项，不能合并，故A项错误； B、，故B项错误； C、，故C项错误； D、，故D项正确． 4. 图中有两个全等三角形，其中的字母表示三角形的边长，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据全等三角形对应边所夹的角相等，确定． 【详解】解：由图可知，左侧三角形中边、边的夹角为， ∵两个三角形全等， ∴对应角相等， ∵在右侧三角形中，边、边的夹角为， ∴． 5. 如图，，点D，E分别在，上，在下列条件中，①；②；③；④．能判断的条件的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定方法进行判断即可. 【详解】解：在和中，， ∴当时，利用能判断； 当时，利用能判断； 当时，则（等角的补角相等），利用能判断； 当时，不能判断； 综上，能判断的条件有①②③共3个. 6. “数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”是我国著名数学家华罗庚对数形结合思想在数学学科中所具有的重要价值与意义的高度概括．如图，从边长为的正方形中剪掉一个边长为1的正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的长方形，根据图形的变化过程得到的正确的等式是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：左图阴影部分面积为 ．右图长方形的长为 ，宽为 ，面积为 ． ∵剪拼前后面积相等 ∴ ． 故选D． 7. 若与的乘积中不含x的一次项，则m的值为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘多项式，先根据多项式乘多项式法则展开，再合并同类项，根据与的乘积中不含的一次项得出，再求出即可． 【详解】 ， 与的乘积中不含的一次项， ， ． 故选：A． 8. 如图，已知线段，分别以点A，B为圆心，长为半径画弧，两弧在上方交于点C，在下方交于点D，连接交于点O．以点O为圆心，长为半径画弧，交线段于点M，连接，，则的大小为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，由题意可得，，，则为等边三角形，为等腰直角三角形，进而可得，，即可得出结果． 【详解】解：如图：连接， 由题意可得：，，， ∴为等边三角形，为等腰直角三角形， ∴，， ∴． 9. 如图所示的网格是正方形网格，点，，是网格线交点，为等腰三角形，符合条件的点有（ ） A. 10个 B. 8个 C. 6个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据等腰三角形的定义结合网格的特点画图求解即可． 【详解】解：如图所示， 以A为顶角顶点的三角形有3个， 以B为顶角顶点的三角形有3个， 以为底边的三角形有2个， ∴一共有8个三角形满足题意，即满足题意的点C有8个． 10. 如图，在等边中，点为直线下方一点，连接，使，连接，，过点作于点，交线段的延长线于点，连接．给出下列四个结论： ①； ②； ③； ④． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①②③ B. ②③④ C. ①②④ D. ①③④ 【答案】C 【解析】 【分析】根据等边三角形的性质，等量代换得到，三线合一得到垂直平分，得到，进而得到，等边对等角结合四边形的内角和为360度求出的度数，进而求出的度数，进一步求出的度数，得到的度数即可. 【详解】解：是等边三角形， ， ， ， 是等腰三角形， ，故①正确； ∴垂直平分， ∴， ∴；故②正确； ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴；故④正确； ∵， ∴，即 ∴， ∴；故③错误； 综上正确的有①②④. 二、填空题（共18分，每题3分） 11. 在平面直角坐标系xOy中，点关于x轴对称的点的坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据关于x轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，可得答案． 【详解】点P（-2，5）关于x轴对称的点的坐标是（-2，-5）， 故答案为（-2，-5）． 【点睛】本题考查了关于x轴对称的点的坐标，利用关于x轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数是解题关键 12. 计算：________． 【答案】 【解析】 【分析】直接去括号，计算即可 【详解】解：． 13. 若一个等腰三角形的两边长分别为和，则它的周长为_____． 【答案】19或23 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，构成三角形的条件，分腰长为和腰长为两种情况，根据构成三角形的条件讨论求解即可． 【详解】解：当腰长为时，则该三角形的三边长分别为，，， ∵， ∴此时能构成三角形，符合题意， ∴此时该三角形的周长为； 当腰长为时，则该三角形的三边长分别为，，， ∵， ∴此时能构成三角形，符合题意， ∴此时该三角形的周长为； 综上所述，该三角形的周长为或， 故答案为：19或23． 14. 若，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】将已知等式变形得到，通过幂的乘方逆运算、同底数幂的乘法法则把所求代数式转化为含的幂的形式，整体代入求值即可． 【详解】解：， ， 原式， ， ， ． 15. 如图所示，已知一张三角形纸片（如图甲），其中．将纸片沿过点B的直线折叠，使点C落到边上的E点处，折痕为（如图乙）．再将纸片沿过点E的直线折叠，点A恰好与点D重合，折痕为（如图丙）．原三角形纸片中，的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】如图，连接，由折叠的性质得：，，则，由，可得，根据，计算求解即可． 【详解】解：如图，连接，由折叠的性质得：，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠的性质，等边对等角，三角形内角和定理，三角形外角的性质．明确角度之间的数量关系是解题的关键． 16. 如图，锐角三角形的面积为64，，，点是内部一点，点，分别是边，上的动点．当的面积为8时，点到边的距离为________，周长的最小值为________． 【答案】 ①. 2 ②. 14 【解析】 【分析】过点作直线，过点作于点，交直线于点，求出，推出的最小值为，再作点关于的对称点，连接，证明出是等边三角形，且边长等于，由此可解决问题． 【详解】解：过点作直线，过点作于点，交直线于点，如图， 由题意，知为的边上的高，等于的边上的高， 锐角的面积为， ， ， 的面积为8，， ，点是直线上的动点， ， 即点到边的距离为； ， ， 的最小值为， 作点关于的对称点，连接， 则，， 周长， 由两点之间线段最短知，周长的最小值为的长， ， ， 是等边三角形， ， 周长的最小值为． 三、解答题（共52分，第17题6分，第18-19题每题5分，第20-25题每题6分） 解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 如图，点B，D在上，，，，求证：． 【答案】证明：∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】利用“”证明，再根据同位角相等，两直线平行即可证明． 【详解】见答案 19. 已知，求代数式的值． 【答案】11 【解析】 【详解】解：原式， ， ， ， ， 原式， ， ． 20. 如图，是等边三角形，点D在边上，，．求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】结合等边三角形的性质、平行线的性质证明，再证明，即可得，进而有，问题随之得解． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 21. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出，使和关于x轴对称； （2）写出点C关于y轴的对称点的坐标________； （3）点Q在x轴上，画出使的周长最小时的点Q的位置． 【答案】（1） （2） （3），点Q即为所作 【解析】 【分析】（1）根据轴对称的特点，结合网格确定，，三个点的位置，依次连接即可作答； （2）关于y轴对称的两个点，其纵坐标相等，横坐标互为相反数，据此作答即可； （3）根据为定值，要使的周长最小，就要使得的值最小，此为“将军饮马”问题，连接交x轴于点Q，问题得解． 【小问1详解】 见答案 【小问2详解】 解：∵关于y轴对称的两个点，其纵坐标相等，横坐标互为相反数，， ∴点C关于y轴的对称点的坐标为； 【小问3详解】 ∵使的周长最小， ∴要使得的值最小， ∵为定值， ∴要使得的值最小， 此为“将军饮马”问题， 连接交x轴于点Q，连接，作图见答案， 如图， 此时构成的的周长最小， 证明：∵和关于x轴对称， ∴， ∴， 若选择下图中的点T处为Q点位置， 根据对称有， 有：， ∴此时构成的的周长大于的周长， 即点Q，即为所作． 22. 小明同学想出了一种新的画一个角的平分线的方法，如图所示，方法如下： （1）在的两边上分别取点M，N，使得； （2）把两个完全一样的含有角的直角三角板按如图所示的位置进行摆放，两个直角三角板的斜边交于点P； （3）连接并延长． 小明说：“射线是的平分线”． 小明将他的画图方法抽象成为一个数学问题： 如图，，在射线、上分别取点M、N，使，点P在内部，，连接并延长． 求证：射线是的平分线． 【答案】证明：过点 O 作 ， ，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴射线是的平分线． 【解析】 【分析】过点 O作 ，，证明，得到，，再证明，得到，角的和差关系得到，即可得证. 【详解】略 23. 对于整式A，B，若的结果可以写成一个整式的平方，则称整式A，B互为“搭档平方式”． 例如：，，，则称A与B互为“搭档平方式”． （1）已知，B为常数，若A，B互为“搭档平方式”，则________； （2）若，则下列整式中与整式A互为“搭档平方式”的是________（填写序号）； ① ② ③ ④ （3）若，（m，n为常数），整式A，B互为“搭档平方式”．若A的最大值为8，则n的值为________． 【答案】（1） （2） ②③④ （3） 【解析】 【小问1详解】 解：∵，，B为实数，A，B互为“搭档平方式”， ∴； 【小问2详解】 解：不是一个整式的平方，不符合题意； ，符合题意； ，符合题意； ，符合题意； 综上，符合题意的是②③④； 【小问3详解】 解：∵，， ∴； ∵A，B互为搭档平方式， ∴是整式的平方， ∵， ∴， ∵， ∵， ∴， ∵A的最大值为8， ∴， ∵， ∴. 24. 在中，，，的垂直平分线分别交，于点，，点在射线上，连接，． （1）如图1，当时，用等式表示与的数量关系，并证明； （2）如图2，点在射线上，连接，，，当时，求的度数． 【答案】（1），证明如下： ∵的垂直平分线分别交，于点，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）根据垂直平分线的性质得到，根据30度角的性质得到，根据三角形内角和及对顶角相等得到，可知，根据30度角的性质得到，根据线段的和差即可得到与的数量关系； （2）根据垂直平分线的性质得到，，作交延长线于点Q，根据30度角的性质得到，证明，得到，设，，根据角的和差得到，可知，即，在线段上截，证明，得到，，根据角的和差得到，证明，可知． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵的垂直平分线分别交，于点，， ∴，， 如图，作交延长线于点Q， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，， 则，， 即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在线段上截，连接， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 25. 在平面直角坐标系中，直线，直线，直线与交于点．对于点，先将点关于直线对称得到点，再将点关于直线对称得到点，则称点为点关于“镜轴”的镜心点． （1）已知，，点的坐标为，点关于“镜轴”的镜心点的坐标为________； （2）已知，，点在线段上．若第一、三象限角平分线上存在点关于“镜轴”的镜心点，求的取值范围； （3）已知，，，点在线段上．若第一、三象限角平分线与第二、四象限角平分线上都存在点关于“镜轴”的镜心点，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用点关于竖直线、水平线对称的坐标规律，代入计算镜心点坐标． （2）设出线段上点的坐标，根据镜心点在一三象限角平分线上的条件，建立与点横坐标的关系，结合横坐标的取值范围求解． （3）先确定线段上点的镜心点横坐标为定值，再分别根据镜心点在两条角平分线上的条件求出的范围，取公共解集得结果． 【小问1详解】 解：设点， ∵点关于对称的点的纵坐标与相同，横坐标满足， ∴ ，即． ∵点关于对称的点的横坐标与相同，纵坐标满足， ∴ ，即镜心点的坐标为． 当，，时， ， ， ∴镜心点坐标为． 【小问2详解】 解：∵点在线段上，，， ∴设，其中． 点P关于直线对称的点为， 点关于直线对称的点为， ∵第一、三象限角平分线上存在镜心点，即存在使得镜心点满足， ∴ ，整理得． ∴ ， 解左边： ， 解右边： ， ∴ ． 【小问3详解】 解：∵点在线段上，，， ∴设，其中．又， ∴镜心点的横坐标为，纵坐标为，取值范围是． 若镜心点在第一、三象限角平分线()上，则镜心点为， ∴ ， 解得． 若镜心点在第二、四象限角平分线()上，则镜心点为， ∴ ， 解得． ∵两条角平分线上都存在镜心点， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $