精品解析：上海市浦东中学2026-2027学年第一学期高二期中考试数学试卷

2026学年第一学期高二年级期中考试 数学试卷 (满分100分，考试时间90分钟) 一、填空题(本大题共有12小题，每小题3分，满分36分) 1. 过直线外的一个点，可作____________ 条直线和这条直线平行. 【答案】 【解析】 【分析】根据平行公理判断即可. 【详解】由平行公理可知过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行. 2. 在正方体中，直线与底面所成角的大小为__________． 【答案】 【解析】 【详解】在正方体中，平面， 则是直线与底面所成的角， 在中，，则， 即直线与底面所成角为. 3. 已知圆锥的底面半径为3，母线长为5，则该圆锥的体积是 ____________(结果保留 ). 【答案】 【解析】 【详解】设圆锥的高为，由圆锥的高、底面半径与母线长满足的勾股关系，得， 所以圆锥的体积为． 4. 已知 为等差数列，若 ， ，则 ____________. 【答案】 【解析】 【详解】设等差数列的公差为，由等差数列通项公式得，所以． 所以． 5. 已知圆柱的高为2，体积为，则该圆柱的全面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由圆柱的体积公式求出底面半径，再由求出侧面积，最后求出表面积即可. 【详解】由圆柱的体积公式可得，由， 所以侧面积，故 故答案为： 6. 水平放置的的直观图如图所示，若，，则原 周长是____________. （图：水平放置的的直观图） 【答案】 【解析】 【详解】依据斜二测画法可知，所以， 又因为，， 所以，， 可得， 那么原周长是. 7. 棱长均为的正四棱锥的体积为__________． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：正四棱锥的高为，底面为正方形，面积为1，所以体积为 考点：正四棱锥的体积 【方法点睛】求锥体的体积方法——公公式法、分割法、补形法、等体积法. 8. 正方体中，异面直线与所成角的大小为________． 【答案】 【解析】 【分析】设，线段的中点为，求直线和的夹角即可. 【详解】设，线段的中点为， 因为为正方形，所以为中点，则是的中位线，则， 因为，所以、全等， 则，则，则， 故异面直线与所成角的大小为. 9. 如图，在棱长为的正方体中，点为线段上的动点，则线段的最小值为_______． 【答案】 【解析】 【详解】根据正方体结构，将面以为轴旋转展开，与面在同一个平面内， 易知：要使最小，即为上述所得平面内． 10. 将一个棱长为2 cm的正方体木料沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥后，剩余几何体的表面积为_______． 【答案】 【解析】 【详解】如图，， ， ， ， 剩余几何体的表面积为 . 11. 一个底面直径为6cm、高为12cm的实心圆锥工件，沿平行于底面的平面，从顶端切下一个高为4cm的小圆锥.将剩余部分熔铸成相等体积的一个底面直径为4cm的圆柱，不计损耗，则圆柱的高为____________ cm. 【答案】 【解析】 【分析】根据圆锥的体积公式计算出大圆锥和切去的小圆锥的体积，从而得到剩余部分的体积，利用熔铸前后体积不变，结合圆柱体积公式列方程求解即可． 【详解】设大圆锥的底面半径为，高为，切去的小圆锥的底面半径为，高为， 圆柱的底面半径为，高为． 由题意可知，，，，所以． 因为小圆锥与大圆锥相似，所以，即，解得． 大圆锥的体积， 小圆锥的体积， 所以剩余部分的体积． 因为熔铸成圆柱后体积不变，所以圆柱的体积． 由题意得，解得．故圆柱的高为． 12. 正四面体ABCD的棱长为1，棱AB∥平面α，则正四面体上的所有点在平面α内的射影构成的图形面积的取值范围是___________ 【答案】 【解析】 【详解】本题考查立体几何的动态性问题，应“以静制动，极端位置”破题．如图，边长为的正方体中有棱长为1的正四面体，当平面与底面平行或重合时，正四面体的射影为四边形，最大面积；取CD的中点O，连接OA，OB，则 CD平面OAB，当平面与平面OAB平行时，正四面体的射影为与OAB全等的三角形，此时，故最小面积，所以射影构成的图形面积的取值范围是(另法：由题意，，则AB在平面内的射影为边长为1的线段，当C，D射影重合于一点时，射影图形面积最小，最小面积；当时，射影图形面积最大，最大面积，所以范围为)． 二、选择题(本大题共有4小题，每小题3分，满分12分) 13. 下列说法错误的是（ ） A. 三点唯一确定一个平面 B. 一条直线和直线外一点唯一确定一个平面 C. 平面不具有边缘，平面无限延展 D. 若A、B两点均在平面内，则直线也在内 【答案】A 【解析】 【详解】对于A，过不在同一直线上的三点有且只有一个平面，故A错误； 对于B，经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面，故选项B正确； 对于C，由平面的概念可知，平面不具有边缘，平面无限延展，故选项C正确； 对于D，A、B两点均在平面内，则直线也在内，故选项D正确， 14. 已知直线 、 和平面 ，且 ，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【详解】因，由，则直线有两种情况：或，故不能推出，即充分性不成立； 由，则直线与可以平行、相交或异面，故推不出，即必要性不成立. 故“”是“”的既不充分也不必要条件. 15. 设，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，给出下列命题： ①若，，则； ②若，，则； ③若，，则； ④若，，，则 其中真命题的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【详解】对于①，若，，则与可能平行或相交，如正方体中两两垂直的三个相邻平面，两个侧面均垂直于底面，但两个侧面互相垂直，故①错误； 对于②，若，，则或，故②错误； 对于③，若，，则与的位置关系可能为平行、相交或，故③错误； ④若，，，则与的位置关系可能为平行、相交或，故④错误； 综上所述，四个命题均为假命题，真命题的个数为0. 16. 已知点M为正方体内部（不包含表面）的一点．给出下列两个命题： ：过点M有且只有一个平面与和都平行； ：过点M至少可以作两条直线与和所在的直线都相交． 则以下说法正确的是（ ） A. 命题是真命题，命题是假命题 B. 命题是假命题，命题是真命题 C. 命题，都是真命题 D. 命题，都是假命题 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意作出图形，根据异面直线定义和线面平行判断即可. 【详解】已知点为正方体内（不包含表面）的一点，过点的平面为， 如图所示： 对于，在平面与平面之间与平面与平面平行的平面均与和平行，如平面 ，当点为正方体内（不包含表面）的一点，满足要求的平面有且只有一个，故命题是真命题； 对于，点M在正方体内部（不包含表面），假设过点M至少可以作两条直线与和所在的直线都相交，则由平面的基本性质可得，，M在同一平面内，与和异面矛盾，所以假设错误，所以命题是假命题. 故选：A. 三、解答题(本大题共有4小题，满分52分) 17. 在等差数列中，，，、、成等比数列，的前n项和为． （1）求数列的通项公式； （2）求的最大值． 【答案】（1）； （2）169. 【解析】 【分析】（1）由已知可知，公差.根据等比中项的性质，可得，解得，即得数列的通项公式； （2）经化简可求出，即可得到最大值. 【小问1详解】 设公差为，因为，所以. 则由、、成等比数列可得，即， 整理可得，又，所以， 又，所以，. 【小问2详解】 由（1）知，，， 所以， 所以，当时，有最大值，为169. 18. 如图，在长方体中，，，. （1）求异面直线与所成的角； （2）求三棱锥的体积. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【详解】试题分析：（1）由 是异面直线与所成的角或其补角.（2）利用等积法求三棱锥的体积. 试题解析： （1） 是异面直线与所成的角或其补角. 在等腰中， 易得. 即：异面直线与所成的角. （2） . 点睛：求锥体的体积要充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题求解，注意求体积的一些特殊方法——分割法、补形法、等体积法. ①割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决．②等积法：等积法包括等面积法和等体积法．等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值． 19. 如图，在四棱锥 中，已知 底面，底面是正方形， · （1）求证:平面 平面 · （2）求直线 与平面 所成的角的大小. 【答案】（1）证明：由  底面，底面，得， 由底面是正方形，得， 由平面，可得平面， 又因平面， 故平面平面. （2） 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用线面垂直的性质、判定及面面垂直的判定推理得证. （2）由（1）的信息，利用几何法求出线面角的大小. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 令，连接， 由（1）知平面，则是直线 与平面 所成的角， 令，由，得， 在正方形中，， 在中，则，得， 即直线 与平面 所成角的大小为. 20. 如图，PA、PB、PC为圆锥三条母线，． （1）证明：； （2）若圆锥侧面积为8π，BC为底面直径，，求二面角B－PA－C的大小． 【答案】（1）取中点，连接， 因为，，所以，. 而，平面，所以平面， 因为平面，所以. （2） 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，易证平面，即可证出； （2）由题易知，过点作，交于点，连接，由二面角定义可知，即为二面角的平面角，再解三角形即可求出. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为底面直径，所以底面半径为2. 设圆锥的母线长为，则，解得，即. 因为，，，所以， 过点作，交于点，连接，所以，， 即为二面角的平面角. ， ，解得，所以， 在中，由余弦定理得， 所以二面角B－PA－C的大小为. 21. 如图，已知四棱锥的底面是边长为2的菱形，点为中点. （1）若点是线段上的动点，求证：直线与直线不相交； （2）若平面，，，求点到平面的距离. 【答案】（1） 连接交于点，连接， 如图所示： 因为四边形为菱形，所以为的中点， 所以在中有，由分别是的中点， 所以， 又平面，平面， 所以平面， 又因为平面， 所以直线与直线没有公共点， 即直线与直线不相交. （2） 【解析】 【分析】（1）先证明平面，然后分析直线与直线交点情况即可证明； （2）利用等体积法求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，点为中点， 所以平面即平面， 所以为三棱锥的高，且， 因为四边形为菱形，且， 所以菱形为边长是2正方形， 所以， 且，即， 又， 在中，， 即为的高， 所以， 设点到平面的距离为， 由等体积法得：， 即， 解得：， 所以点到平面的距离为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026学年第一学期高二年级期中考试 数学试卷 (满分100分，考试时间90分钟) 一、填空题(本大题共有12小题，每小题3分，满分36分) 1. 过直线外的一个点，可作____________ 条直线和这条直线平行. 2. 在正方体中，直线与底面所成角的大小为__________． 3. 已知圆锥的底面半径为3，母线长为5，则该圆锥的体积是 ____________(结果保留 ). 4. 已知 为等差数列，若 ， ，则 ____________. 5. 已知圆柱的高为2，体积为，则该圆柱的全面积为__________． 6. 水平放置的的直观图如图所示，若，，则原 周长是____________. （图：水平放置的的直观图） 7. 棱长均为的正四棱锥的体积为__________． 8. 正方体中，异面直线与所成角的大小为________． 9. 如图，在棱长为的正方体中，点为线段上的动点，则线段的最小值为_______． 10. 将一个棱长为2 cm的正方体木料沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥后，剩余几何体的表面积为_______． 11. 一个底面直径为6cm、高为12cm的实心圆锥工件，沿平行于底面的平面，从顶端切下一个高为4cm的小圆锥.将剩余部分熔铸成相等体积的一个底面直径为4cm的圆柱，不计损耗，则圆柱的高为____________ cm. 12. 正四面体ABCD的棱长为1，棱AB∥平面α，则正四面体上的所有点在平面α内的射影构成的图形面积的取值范围是___________ 二、选择题(本大题共有4小题，每小题3分，满分12分) 13. 下列说法错误的是（ ） A. 三点唯一确定一个平面 B. 一条直线和直线外一点唯一确定一个平面 C. 平面不具有边缘，平面无限延展 D. 若A、B两点均在平面内，则直线也在内 14. 已知直线 、 和平面 ，且 ，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 15. 设，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，给出下列命题： ①若，，则； ②若，，则； ③若，，则； ④若，，，则 其中真命题的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 16. 已知点M为正方体内部（不包含表面）的一点．给出下列两个命题： ：过点M有且只有一个平面与和都平行； ：过点M至少可以作两条直线与和所在的直线都相交． 则以下说法正确的是（ ） A. 命题是真命题，命题是假命题 B. 命题是假命题，命题是真命题 C. 命题，都是真命题 D. 命题，都是假命题 三、解答题(本大题共有4小题，满分52分) 17. 在等差数列中，，，、、成等比数列，的前n项和为． （1）求数列的通项公式； （2）求的最大值． 18. 如图，在长方体中，，，. （1）求异面直线与所成的角； （2）求三棱锥的体积. 19. 如图，在四棱锥 中，已知 底面，底面是正方形， · （1）求证:平面 平面 · （2）求直线 与平面 所成的角的大小. 20. 如图，PA、PB、PC为圆锥三条母线，． （1）证明：； （2）若圆锥侧面积为8π，BC为底面直径，，求二面角B－PA－C的大小． 21. 如图，已知四棱锥的底面是边长为2的菱形，点为中点. （1）若点是线段上的动点，求证：直线与直线不相交； （2）若平面，，，求点到平面的距离. 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