精品解析：吉林长春市东北师范大学附属中学2026-2027学年上学期九年级数学期中试卷

初三年级数学学科综合练习 时长：120分钟分值：120分 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列函数是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 在中，，a、b、c分别是、、的对边，下列等式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 将抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度后的抛物线的函数表达式为（     ） A. B. C. D. 4. 为了解八年级学生的体能状况，某校对甲、乙两个班级学生的一分钟跳绳成绩进行了统计．制作了两个班级成绩的箱线图如图所示．下列说法正确的是（ ） A. 甲班的第一四分位数低于乙班的第一四分位数 B. 甲班学生的最好成绩高于乙班学生的最好成绩 C. 甲班学生的成绩比乙班学生的成绩更加分散 D. 甲班学生成绩的中位数高于乙班学生成绩的中位数 5. 二次函数在第三象限的图象从左到右（ ） A. 逐渐下降 B. 逐渐上升 C. 先上升再下降 D. 先下降再上升 6. 如图，在中，点是的中点，，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 7. 如图为长春市跨伊通河轻轨斜拉桥，其桥塔正面示意图是，其中，小明测得桥面宽度米，，则点到桥面的距离（单位：米）是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，点、在抛物线上，且轴，直线与轴交于，在平行四边形中，点、坐标分别为，，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 9. 二次函数的顶点坐标为___． 10. 已知二次函数（是常数）的图象与轴有两个不同的交点，则的取值范围是___________． 11. 如图，已知为的半径，且，弦于．若．则长为__________． 12. 有一组数据：5，4，3，6，7，则这组数据的方差是_____． 13. 如图，二次函数的图像与y轴交于点，对称轴为直线，当时，则x的取值范围是__________． 14. 如图，抛物线与x轴交于，，交轴负半轴于点，点为抛物线顶点，则下列结论：①；②；③(为任意实数）④直线与轴交点坐标为，其中正确的是____．（填序号） 三、解答题：本题共10小题，共78分． 15. 计算． （1）； （2）． 16. 在中，，，．求． 17. 已知抛物线的解析式为(、为常数），点、在抛物线上，请回答下列问题： （1）求抛物线的解析式； （2）当时，的取值范围为 . 18. 投壶源于射礼，是中国古代宴饮时做的一种投掷游戏，投壶的规则：由游戏者轮流站在离壶一定距离的地方，用手把箭投向壶中并计算得分．箭在空中飞行的轨迹可以近似看成抛物线．同学们受游戏启发，将箭抽象为一个动点，并建立了如图所示的平面直角坐标系（单位长度为）．某同学将箭从处抛出，且当箭距离投出点的水平距离为时，箭达到最大高度．把壶近似看作矩形，已知壶口的宽度，壶的高度． （1）求抛物线的解析式； （2）若箭刚好由点处擦边投入壶中，求人离壶的距离（的长）． 19. 如图是由边长为的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．仅用无刻度的直尺完成作图，并回答问题． （1）如图①，点、、均在格点上，则     ．请在网格中找到格点，连接，使得，且点和点在的两侧．由图可知，    度； （2）如图②，点在格点上，已知，，以点为顶点作，使得，并在图中标出和，此时     ． 20. 2026年3月14日是全球第六个“国际数学日”，今年的主题是“数学与扬帆”．某校在“国际数学日”当天举办了“数学节”活动，通过开展趣味数学游戏、知识拓展、数学创意展示等活动，展现数学魅力，传播数学文化．研究小组为了解学生数学素养竞赛的答题情况，从七、八年级各随机抽取了20名学生的成绩（百分制）进行整理和分析：所有学生的成绩均高于60分（成绩用表示，共分成四个等级： A．90<；B．80<；C．70<；D．60<)，下面给出了部分信息． 七年级20名学生的成绩： 100，98，97，95，94，93，89，88，87，86，86，85，84，82，79，79，79，68，66，65； 八年级20名学生的成绩在B等级的数据：89，89，87，85，82，81． 七、八年级所抽学生的竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 85 86 八年级 85 79 八年级所抽学生的竞赛成绩扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）    ，   ； （2）杨帆本次数学活动的最后得分是87分，在进行活动总结时，他说：“在我们年级抽取的20位同学中，我的得分是中等偏上”，若他的话没有问题，请判断杨帆是哪个年级的学生，并说明理由； （3）在本次数学活动中，得分在85分及以上的同学会被评为“数学达人”，该学校八年级共有600名同学，请估计八年级学生中获评为“数学达人”的人数． 21. 如图，已知抛物线与轴负半轴交于点，与轴交于点，过点和点作直线． （1）求直线的解析式； （2）若点在抛物线上且在直线上方，连接、，当的面积最大时，求点的坐标． 22. 【问题呈现】 杨帆在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在矩形中，，，点、分别在边、上，且，连接、，求的最小值； 【问题解决】 经过讨论，如图②，小组同学想利用构造全等三角形的方式将线段转移到线段的位置，从而利用“两点之间，线段最短”求的最小值，下面是解题过程： 解：延长至点，使，连接， ∴， 当点、、三点共线时，最小， ∵，， ∴ ∴ ∴ 在中，， ， ∴的最小值为， ∴的最小值为． （1）请补全缺失的证明过程； 【方法应用】 （2）如图③，在矩形中，，，点、分别在边、上，且，连接、，则的最小值为      ； （3）如图④，在中，，，点、分别在边、上，且，连接、，则的最小值为      ． 23. 如图，在矩形中，，．点在边上，连接，将 绕点逆时针旋转，使点的对应点落在上，点的对应点为点．连接、，与交于点． （1）线段的长为     ； （2）当时，求的长； （3）的最小值为     ； （4）当点为的三等分点时，直接写出的长． 24. 在平面直角坐标系中，点为抛物线上的点，横坐标为，点与点关于点对称，点和点关于点对称，连接． （1）抛物线的顶点坐标为    ； （2）求的长； （3）当直线与抛物线有两个交点时，设这两个点分别为点、（点在点左侧）． ①当点与抛物线顶点重合时，求的长； ②当点在第四象限时，作点关于点的对称点，点关于点的对称点，若，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三年级数学学科综合练习 时长：120分钟分值：120分 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列函数是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先排除非整式的选项，再根据自变量最高次数判断剩余选项． 【详解】解：A选项自变量最高次数为1，是一次函数，不符合． B选项符合二次函数定义，符合． C选项与D选项的分母均含自变量，不是整式函数，不符合． 2. 在中，，a、b、c分别是、、的对边，下列等式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直角三角形锐角三角函数的定义，逐一判断各选项即可． 【详解】解：∵在中，，a、b、c分别是、、的对边， 如图： 根据锐角三角函数定义： 对选项A，，不正确， 对选项B，，不正确， 对选项C，，正确， 对选项D，，不正确． 3. 将抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度后的抛物线的函数表达式为（     ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：将抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度后的抛物线的函数表达式为 ． 4. 为了解八年级学生的体能状况，某校对甲、乙两个班级学生的一分钟跳绳成绩进行了统计．制作了两个班级成绩的箱线图如图所示．下列说法正确的是（ ） A. 甲班的第一四分位数低于乙班的第一四分位数 B. 甲班学生的最好成绩高于乙班学生的最好成绩 C. 甲班学生的成绩比乙班学生的成绩更加分散 D. 甲班学生成绩的中位数高于乙班学生成绩的中位数 【答案】D 【解析】 【分析】箱线图能直接显示一组数据的最大值、最小值、中位数及上下四分位数，但无法直接显示平均数、方差及具体某个排名的数值． 【详解】解：．由箱线图知：甲班的第一四分位数是145，乙班的第一四分位数是140，则甲班的第一四分位数高于乙班的第一四分位数，故该选项不符合题意； ．由箱线图知：甲班学生的最好成绩是200，乙班学生的最好成绩是210，故甲班学生的最好成绩低于乙班学生的最好成绩，故该选项不符合题意； ．由箱线图知：甲班学生成绩的箱线图宽度较窄，则甲班成绩比乙班成绩集中，故该选项不符合题意； ．由箱线图知：甲班的中位数是165，乙班的中位数是160，甲班中位数高于乙班，该说法正确 ，故该选项符合题意. 5. 二次函数在第三象限的图象从左到右（ ） A. 逐渐下降 B. 逐渐上升 C. 先上升再下降 D. 先下降再上升 【答案】B 【解析】 【分析】先结合题意画出图象，再根据二次函数图象的性质可得答案． 【详解】解：如图： 由图可得，二次函数的图象是开口向下对称轴为的抛物线，且当时，函数值随着x的增大而增大， ∴二次函数在第三象限从左到右逐渐上升． 6. 如图，在中，点是的中点，，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，弦，弧，圆心角的关系，熟练掌握关系和定理是解题的关键． 先根据点是的中点，推出，再运用圆的性质和三角形的内角和性质求解即可． 【详解】解：∵点是的中点， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵在中， ∴， ∴． ∵在中，， ∴， ， ， ． 故选：D． 7. 如图为长春市跨伊通河轻轨斜拉桥，其桥塔正面示意图是，其中，小明测得桥面宽度米，，则点到桥面的距离（单位：米）是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点作的垂线，利用等腰三角形三线合一性质及锐角三角函数定义求解． 【详解】解：过点 作 于点 ， ∵，， ∴， 在 中，， ∴． 8. 如图，点、在抛物线上，且轴，直线与轴交于，在平行四边形中，点、坐标分别为，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用平行四边形性质求得长，结合抛物线对称性确定点坐标，代入解析式求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线，轴， ∴点，关于直线对称， ∴点的横坐标为， ∵直线与轴交于， ∴点的纵坐标为， 将点代入得，，解得． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 9. 二次函数的顶点坐标为___． 【答案】 【解析】 【详解】解：二次函数的顶点式为（），其顶点坐标为， 对比题目给出的函数，可得，，因此该二次函数的顶点坐标为． 10. 已知二次函数（是常数）的图象与轴有两个不同的交点，则的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】因为二次函数图象与x轴有两个不同交点，那么对应的一元二次方程有两个不相等的实数根，即根的判别式．代入二次项系数、一次项系数、常数项计算判别式，解关于a的一元一次不等式，即可得到a的取值范围． 【详解】∵二次函数（是常数）的图象与轴有两个不同的交点， ∴判别式 ，  解得． 11. 如图，已知为的半径，且，弦于．若．则长为__________． 【答案】12 【解析】 【分析】根据，，可求得的长，再根据垂径定理和勾股定理可计算出答案． 【详解】解：∵弦于M， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 12. 有一组数据：5，4，3，6，7，则这组数据的方差是_____． 【答案】2． 【解析】 【详解】解：首先计算出数据的平均数，再利用方差公式差S2= [（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]，可算出方差． 解： ==5， S2=×[（5﹣5）2+（4﹣5）2+（3﹣5）2+（6﹣5）2+（7﹣5）2]=2， 故答案为2． 13. 如图，二次函数的图像与y轴交于点，对称轴为直线，当时，则x的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查抛物线的对称性，二次函数与不等式的关系．熟练掌握抛物线的对称性，是解题的关键． 先求出点关于对称轴对称的点为，再由函数图象即可求解． 【详解】解：∵二次函数的图像与y轴交于点，对称轴为直线， ∴点关于对称轴对称的点为， ∴当时，则x的取值范围是， 故答案为：． 14. 如图，抛物线与x轴交于，，交轴负半轴于点，点为抛物线顶点，则下列结论：①；②；③(为任意实数）④直线与轴交点坐标为，其中正确的是____．（填序号） 【答案】 ②③④ 【解析】 【分析】根据抛物线与轴交点坐标确定对称轴及，，的符号，判断①；利用对称轴公式判断②；利用函数最小值性质判断③；求出，坐标及直线解析式，求其与轴交点判断④． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴． ∵抛物线与轴交于，， ∴对称轴为直线． ∴，即． ∵， ∴． ∵抛物线与轴交于负半轴， ∴， ∴，故①错误． ∵， ∴，故②正确． ∵当时，函数取得最小值， ∴对于任意实数，都有， ∴． ∴，即，故③正确． 设抛物线解析式为． ∴， ∵ 顶点的横坐标为， ∴． ∴． 设直线的解析式为． 将，代入得： ，解得． ∴直线的解析式为． 令，即，则， ∵， ∴． ∴直线与轴交点坐标为，故④正确． 综上所述，正确的结论是②③④． 三、解答题：本题共10小题，共78分． 15. 计算． （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 16. 在中，，，．求． 【答案】 【解析】 【分析】因为题目给出直角三角形的斜边和直角边的长度，所以首先利用勾股定理求出另一条直角边的长度，所以代入对边和邻边的长度，即可计算得到的值． 【详解】∵在中，，，，  ∴． ∴ ． 17. 已知抛物线的解析式为(、为常数），点、在抛物线上，请回答下列问题： （1）求抛物线的解析式； （2）当时，的取值范围为 . 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将已知两点坐标代入抛物线解析式，联立方程组求解、，即可得到解析式． （2）先确定抛物线的开口方向、对称轴与顶点坐标，结合的取值范围，通过比较区间端点到对称轴的距离确定函数最值，进而得到的取值范围． 【小问1详解】 解：将点、代入，得， 解得． ∴抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线． ∵，即顶点在给定的取值范围内， ∴当时，取得最大值，最大值为． ∵到对称轴的距离为，到对称轴的距离为，，且开口向下时，离对称轴越远，函数值越小， ∴当时，取得最小值，最小值为． 又∵在范围内， ∴的取值范围为． 18. 投壶源于射礼，是中国古代宴饮时做的一种投掷游戏，投壶的规则：由游戏者轮流站在离壶一定距离的地方，用手把箭投向壶中并计算得分．箭在空中飞行的轨迹可以近似看成抛物线．同学们受游戏启发，将箭抽象为一个动点，并建立了如图所示的平面直角坐标系（单位长度为）．某同学将箭从处抛出，且当箭距离投出点的水平距离为时，箭达到最大高度．把壶近似看作矩形，已知壶口的宽度，壶的高度． （1）求抛物线的解析式； （2）若箭刚好由点处擦边投入壶中，求人离壶的距离（的长）． 【答案】（1）抛物线解析式为 ； （2）人离壶的距离长为 【解析】 【分析】（1）因为已知抛物线的顶点坐标，所以选择设抛物线的顶点式解析式，再代入已知点A的坐标求解参数，得到抛物线解析式． （2）因为箭从D点擦边投入，所以先根据壶的尺寸确定D点的纵坐标，再将该纵坐标代入已求得的抛物线解析式，求出对应的横坐标，最后结合图形关系得到的长度． 【小问1详解】 解：∵箭抛出后，水平距离投出点时达到最大高度， ∴抛物线的顶点坐标为． 我们设抛物线的顶点式解析式为：， 将抛出点代入上式：  解得​． 展开整理得抛物线解析式：． 【小问2详解】 解：由题意可知：壶的高度， ∴壶口的点的纵坐标为． 将代入抛物线解析式： 整理得一元二次方程：． 求解方程：​ ． 得到两个解，． ∵箭的落点在x轴正方向，舍去负解， ∴点的横坐标为， 即． 又∵壶口宽度， ∴． 19. 如图是由边长为的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．仅用无刻度的直尺完成作图，并回答问题． （1）如图①，点、、均在格点上，则     ．请在网格中找到格点，连接，使得，且点和点在的两侧．由图可知，    度； （2）如图②，点在格点上，已知，，以点为顶点作，使得，并在图中标出和，此时     ． 【答案】（1）；45  （2）， 【解析】 【分析】（1）在上取格点E，连接，使，可求得．要满足，只需找到上方格点D，使，即可使． （2）作水平线段，向上倾斜线段，向下倾斜线段，则，，所以．可得，所以是直角三角形，，． 【小问1详解】  解：在上取格点E，连接，使， ∴． 要满足，只需找到上方格点D，使，满足． 理由：在上取点F，使， 则，格点D符合要求． 连接，则，， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∴， 即． 【小问2详解】  作水平线段，向上倾斜线段，向下倾斜线段， 则． 理由：在上取格点E，使，连接，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，， ． ​ 20. 2026年3月14日是全球第六个“国际数学日”，今年的主题是“数学与扬帆”．某校在“国际数学日”当天举办了“数学节”活动，通过开展趣味数学游戏、知识拓展、数学创意展示等活动，展现数学魅力，传播数学文化．研究小组为了解学生数学素养竞赛的答题情况，从七、八年级各随机抽取了20名学生的成绩（百分制）进行整理和分析：所有学生的成绩均高于60分（成绩用表示，共分成四个等级： A．90<；B．80<；C．70<；D．60<)，下面给出了部分信息． 七年级20名学生的成绩： 100，98，97，95，94，93，89，88，87，86，86，85，84，82，79，79，79，68，66，65； 八年级20名学生的成绩在B等级的数据：89，89，87，85，82，81． 七、八年级所抽学生的竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 85 86 八年级 85 79 八年级所抽学生的竞赛成绩扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）    ，   ； （2）杨帆本次数学活动的最后得分是87分，在进行活动总结时，他说：“在我们年级抽取的20位同学中，我的得分是中等偏上”，若他的话没有问题，请判断杨帆是哪个年级的学生，并说明理由； （3）在本次数学活动中，得分在85分及以上的同学会被评为“数学达人”，该学校八年级共有600名同学，请估计八年级学生中获评为“数学达人”的人数． 【答案】（1）79，88 （2）杨帆是七年级的学生． 理由如下： 七年级抽取的20名学生成绩中位数为86，杨帆得分， 说明他的成绩超过了七年级半数以上的学生，符合“中等偏上”的描述； 如果杨帆是八年级学生，八年级抽取的20名学生成绩中位数为88，， 说明他的成绩低于八年级的中等水平，属于中等偏下，和他的描述矛盾． 因此杨帆是七年级学生． （3）估计八年级学生中获评为“数学达人”的人数为360人 【解析】 【分析】（1）求七年级众数：因为众数是一组数据中出现次数最多的数，所以直接统计七年级20名学生成绩中各分数的出现次数，找到出现次数最多的分数即可得到．求八年级中位数：因为扇形统计图中各等级占比之和为，所以先根据已知的C、D等级占比，结合B等级的已知数据数量，计算出A、B等级的占比．因为中位数是将数据从小到大排列后，位于中间位置的数（20个数据的中位数为第10、11个数据的平均数），所以先根据各等级占比算出A、B、C、D四个等级的人数，再结合B等级的已知数据，确定第10、11个数据所在的等级，进而计算出中位数． （2）判断杨帆所在年级：因为“得分中等偏上”意味着该得分大于所在年级的中位数，所以将杨帆的87分分别与七、八年级的中位数对比，若得分大于某年级的中位数，则杨帆属于该年级． （3）估计八年级“数学达人”人数：因为样本中“数学达人”（85分及以上）的占比可用于估计总体占比，所以先计算样本中八年级85分及以上的人数占比，再用八年级总人数600乘以该占比，得到估计的“数学达人”人数． 【小问1详解】 解：众数是一组数据中出现次数最多的数． 观察七年级20名学生的成绩，79分共出现3次，出现次数最多， 因此． 中位数是将20个数据从小到大排序后，第10、第11个数据的平均数： 根据八年级扇形图，D等级人数为， C等级人数为， 因此D、C等级共6人，成绩都； 剩余B等级共6人，从小到大排序为81、82、85、87、89、89， 对应全局排序的第7到第12位． 因此第10个数据是87，第11个数据是89， 中位数． 【小问2详解】 略． 【小问3详解】 样本中，A等级共人， 所有成绩都，自然满足85分及以上； B等级里分的有85、87、89、89，共4人． 因此样本中85分及以上的总人数为， 占比为． 估计八年级600名学生中获“数学达人”的人数为：人． 21. 如图，已知抛物线与轴负半轴交于点，与轴交于点，过点和点作直线． （1）求直线的解析式； （2）若点在抛物线上且在直线上方，连接、，当的面积最大时，求点的坐标． 【答案】（1） （2）(−2,6) 【解析】 【分析】（1）先根据抛物线与坐标轴交点的坐标特征，分别求出点A、点B的坐标；再利用待定系数法，将A、B两点坐标代入一次函数解析式，求解得到直线的解析式． （2）设出抛物线上点P的坐标，过点P作x轴的垂线，与直线交于一点，用两点纵坐标的差表示出垂线段的长度；再结合的面积公式，将面积表示为关于点P横坐标的二次函数；最后利用二次函数的最值性质，求出面积最大时点P的横坐标，再代入抛物线解析式得到纵坐标． 【小问1详解】 解：令抛物线中， 即  ． 整理得， 因式分解为， 解得，． ∵A在x轴负半轴， ∴． 令抛物线中，得， ∴． 设直线的解析式为， 把代入得； 把和代入得， 解得． ∴直线的解析式为． 【小问2详解】 解：过点P作轴，交直线于点Q． 设点P的横坐标为， ∵P在抛物线上， ∴； ∵Q在直线上且横坐标为， ∴． ∵P在直线上方， ∴的长度为： ． ∵的面积可以拆分为和的面积和， 两个三角形共底，高的和为A、B两点横坐标的水平距离， ∴． 这是开口向下的二次函数， ∴当时，面积取得最大值． 将代入P点坐标表达式， 得． ∴面积最大时，点P的坐标为． 22. 【问题呈现】 杨帆在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在矩形中，，，点、分别在边、上，且，连接、，求的最小值； 【问题解决】 经过讨论，如图②，小组同学想利用构造全等三角形的方式将线段转移到线段的位置，从而利用“两点之间，线段最短”求的最小值，下面是解题过程： 解：延长至点，使，连接， ∴， 当点、、三点共线时，最小， ∵，， ∴ ∴ ∴ 在中，， ， ∴的最小值为， ∴的最小值为． （1）请补全缺失的证明过程； 【方法应用】 （2）如图③，在矩形中，，，点、分别在边、上，且，连接、，则的最小值为      ； （3）如图④，在中，，，点、分别在边、上，且，连接、，则的最小值为      ． 【答案】（1）∵四边形是矩形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴ （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用证得即可； （2）延长至点，使，利用两边成比例且夹角相等证，得，把转化为，当点、、三点共线时，最小，在中利用勾股定理求出的长，即为的最小值； （3）过点作射线，使，在射线上截取，连接，过点作，交的延长线于点，利用证得，把转化为，当点、、三点共线时，最小，由平角定义及三角形内角和定理证，得，在中结合正切定义及勾股定理求出、的长，在中利用勾股定理求出的长，即为的最小值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，延长至点，使，则，连接， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 当点、、三点共线时，最小， 在中，， ， ∴的最小值为， ∴的最小值为； 【小问3详解】 解：过点作射线，使，在射线上截取，连接，过点作，交的延长线于点， 在和中，， ∴， ∴， ∴， 当点、、三点共线时，最小， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， 在中，，， 设，，则， 解得， ∴，， ∴， 在中，， ∴的最小值为， ∴的最小值为． 23. 如图，在矩形中，，．点在边上，连接，将 绕点逆时针旋转，使点的对应点落在上，点的对应点为点．连接、，与交于点． （1）线段的长为     ； （2）当时，求的长； （3）的最小值为     ； （4）当点为的三等分点时，直接写出的长． 【答案】（1） （2）1.5 （3）1 （4）或 【解析】 【分析】（1）因为矩形中，已知，所以在中，利用锐角三角函数，代入已知条件即可求出的长度． （2）由旋转性质推出，根据，，得到，即可求出． （3）连接，过点D作于点G，由旋转知，，，可知点Q是在过点E垂直于的直线上运动，求出，，证明是等边三角形，得出 ，得，即得的最小值为1． （4）设，过点P作于点H，可得，得，推出，求出，得，可得，根据点为的三等分点，当时，当时，分两种情况解答即可． 【小问1详解】 解：在矩形中，， 在中，，， 由​， 得． 【小问2详解】 解：由旋转性质可知：， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 【小问3详解】 解：连接，过点D作于点G， 由旋转知，， ∴，， ∴点Q是在过点E垂直于的直线上运动， ∵， ∴， ∴， ∴，点E是的中点， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴的最小值为1． 【小问4详解】 解：设，过点P作于点H，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵点为的三等分点， ∴当时，， ∴， ∴， 解得； 当时，， ∴， ∴， 解得． 综上，的长为或． 24. 在平面直角坐标系中，点为抛物线上的点，横坐标为，点与点关于点对称，点和点关于点对称，连接． （1）抛物线的顶点坐标为    ； （2）求的长； （3）当直线与抛物线有两个交点时，设这两个点分别为点、（点在点左侧）． ①当点与抛物线顶点重合时，求的长； ②当点在第四象限时，作点关于点的对称点，点关于点的对称点，若，直接写出的值． 【答案】（1） （2）8 （3）①，②或 【解析】 【分析】（1）因为抛物线顶点坐标可通过配方法将一般式转化为顶点式得到，所以将给定抛物线解析式配方为顶点式，即可直接读出顶点坐标． （2）因为点A在抛物线上且横坐标为m，所以先代入抛物线解析式得到A的坐标；又因为点B与A关于原点对称、点C与A关于对称，根据中心对称的坐标变换规则，可得到B、C的坐标，再利用两点间距离公式计算的长度． （3）①因为点A与抛物线顶点重合，所以先确定此时A的坐标，进而得到B、C的坐标，求出直线的解析式；再联立直线与抛物线的解析式，得到一元二次方程，利用根与系数的关系求出两根之差的绝对值，即为的长度．②设，得，，设，根据中心对称得，，推导由，当时，当时，分两种情况解答即可． 【小问1详解】 解：将抛物线解析式配方， 得， ∴顶点坐标为． 【小问2详解】 解：∵点为抛物线上的点，横坐标为， ∴． ∵点与关于原点对称， ∴； ∵点与关于点对称， ∴， ∴． ∴和纵坐标相等， ∴轴， ∴． 【小问3详解】 解：①∵与顶点重合时， ∴， ∵点与点关于点对称，点和点关于点对称， ∴， ∵，， ∴， ∴直线的解析式为． 联立直线与抛物线解析式：， 得， 解得​，​． ∵两点纵坐标相同， ∴长度为横坐标差：． ②设， 由（2）知，，，， ∴，， ∵是关于的对称点、是关于的对称点， ∴设（都在上） ∵， ∴， ∵， ∴， ∴也在同一条水平线上！ ∴ ∵， ∴ ∵， ∴ ∴， 当时，， ∵直线解析式为， ∴联立抛物线，得， ∴， ∴，， ∴， 整理得， 解得，， 当时，， ∴， 解得，（舍去），（舍去）， 综上，的值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $