第14讲 函数y＝Asin(ωx＋φ)和三角函数的应用专题练习-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第十四讲 函数y＝Asin(ωx＋φ)和三角函数的应用—专题练习 【知识点梳理】 函数y＝Asin(ωx＋φ) 知识点一、φ，ω，A对函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响 1．φ对y＝sin(x＋φ)，x∈R图象的影响 2．ω(ω>0)对y＝sin(ωx＋φ)图象的影响 3．A(A>0)对y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响 知识点二、函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象 1.由y＝sinx的图像的得到y＝Asin(ωx＋φ)（ω>0）的图像的两种途径. 方法一：先平移，后伸缩 ①先画出函数的图像，再把正弦曲线向左（右）平移个单位长度. ②得到函数的图像，然后使曲线上各点的横坐标变为原来倍，纵坐标不变. ③得到函数 的图像，最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的A倍，这时的图像就是的图像. 方法二：先伸缩，后平移 ①先画出函数的图像；再使曲线上各点的横坐标变为原来倍，纵坐标不变. ②得到函数的图像，然后把正弦曲线向左（右）平移个单位长度. ③得到函数的图像，最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的A倍，这时的图像就是的图像. 2.用“五点法”作函数的图像的步骤 第一步：列表 0 0 A 0 -A 0 第二步：在同一平面直角坐标系中描出各点. 第三步：用光滑的曲线连接这些点，形成图像 三角函数的应用 知识点一、三角函数模型在物理学中的应用 1.简谐运动：在物理学中，把物体受到的力（总是指向平衡位置）正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”. 2.描述简谐运动的函数模型 在物理中，描述简谐运动的物理量，如振幅、周期和频率等都与函数y=Asin(ωx+φ)，x∈[0,+∞)（其中A>0，ω>0）中的常数有关. 振幅 振幅A是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离 周期 ，它是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间 频率 ，它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数 相位 ωx+φ称为相位 初相 x =0时的相位φ称为初相 知识点二、三角函数模型在日常生活中的应用 三角函数的常见应用类型 （1）三角函数在物体简谐运动问题中的应用. 物体的简谐运动是一种常见的运动，它的特点是周而复始，因此可以用三角函数来模拟这种 运动状态. （2）三角函数在几何、实际生活中的圆周运动问题中的应用. 物体的旋转显然具有周期性，因此也可以用三角函数来模拟这种运动状态. （3）三角函数在生活中的周期性变化问题中的应用. 大海中的潮汐现象、日常生活中的气温变化、季节更替等都具有周期性，因此常用三角函数 模型来解决这些问题. 【专题练习】 考点一：函数y＝Asin(ωx＋φ) 1.三角函数图像变换 例1.(多选)函数y＝3sin的图象，可由函数y＝sin x的图象经过下列哪项变换而得到(　　) A．向左平移个单位长度，横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标伸长到原来的3倍 B．向左平移个单位长度，横坐标缩短到原来的，纵坐标伸长到原来的3倍 C．横坐标缩短到原来的，向左平移个单位长度，纵坐标伸长到原来的3倍 D．横坐标缩短到原来的，向左平移个单位长度，纵坐标伸长到原来的3倍 例2.若将的图象进行变换，使得其与的图象重合，则下列变换正确的是（    ） A．先将的图象向右平移个单位，再将图象上所有点的横坐标缩短到原来的 B．先将的图象向左平移个单位，再将图象上所有点的横坐标缩短到原来的 C．先将图象上所有点的横坐标缩短到原来的，再将图象向左平移个单位 D．先将图象上所有点的横坐标缩短到原来的，再将图象向右平移个单位 随堂练习： 1.已知曲线，，则（     ） A．把上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，再把得到的曲线上的所有点向左平移个单位长度，得到曲线 B．把上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，再把得到的曲线上的所有点向右平移个单位长度，得到曲线 C．把上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再把得到的曲线上的所有点向左平移个单位长度，得到曲线 D．把上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再把得到的曲线上的所有点向右平移个单位长度，得到曲线 2.要得到函数y＝sin的图象，只要将函数y＝sin x的图象(　　) A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 3.要得到函数的图象，可以将函数的图象（   ） A．向左平移个单位长度而得到 B．向右平移个单位长度而得到 C．向左平移个单位长度而得到 D．向右平移个单位长度而得到 4.将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到的图象，则（   ） A． B． C． D． 5.将函数图像上所有点的横坐标缩小到原来的倍，纵坐标不变，再把所得的图像向右平移个单位长度，则所得新函数的解析式为（     ） A． B． C． D． 6.把函数的图象向左平移个单位长度，再把所得图象上各点横坐标放大到原来的2倍，则所得函数的解析式为（    ）． A． B． C． D． 7.函数y＝sin图象上所有点的横坐标保持不变，将纵坐标 (填“伸长”或“缩短”)为原来的 倍，将会得到函数y＝3sin的图象． 8.由y＝3sin x的图象变换得到y＝3sin的图象主要有两个过程：先平移后伸缩和先伸缩后平移，前者需向左平移 个单位长度，后者需向左平移 个单位长度． 2.用“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及相关题型 例1.已知函数f(x)＝cos，在给定坐标系中作出函数f(x)在[0，π]上的图象． 随堂练习： 1.用五点法作函数的图像时，得到如下表格： x 0 π 2π y 0 4 0 0 则A，ω，φ的值分别为（    ） A．4，2， B．4，， C．4，2， D．4，， 2.函数y＝sin在区间上的简图是(　　) 3.某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： 0 x 0 5 0 根据表格中的数据，函数的解析式可以是（    ） A． B． C． D． 4.已知函数f(x)＝sin. （1）请用“五点法”画出函数f(x)在一个周期的闭区间上的简图； （2）求函数f(x)的单调递增区间； （3）试问f(x)是由g(x)＝sin x经过怎样变换得到？ 5.已知函数y＝sin，x∈R. （1）用“五点法”作出它在一个周期内的简图； （2）该函数的图象可由y＝sin x(x∈R)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？ 3.由图像求三角函数解析式 例1.已知函数的部分图象如图所示，则（    ）   A． B．将的图象上所有点横坐标变为原来2倍，再向左平移个单位，得到的图象，则 C．的对称中心为， D．若，且，则 例2.已知函数的部分图象如图所示，给出下列结论： ①； ②当时，； ③函数的单调递增区间为，； ④将的图象向右平移个单位，得到的图象；其中正确的结论个数是 ． 随堂练习： 1.已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（     ） A． B．图象的对称中心为 C．直线是图象的一条对称轴 D．将的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象 2.已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A． B．将的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象 C．直线是图象的一条对称轴 D．图象的对称中心为 3.已知函数（其中）的部分图象如图所示，点是函数图象与轴的交点，点是函数图象的最高点，且是边长为2的正三角形，，则的解析式可以是（    ） A． B． C． D． 4.函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A>0，ω>0)的部分图象如图所示，则f(0)＝ ． 5.若函数的部分图象如图所示，则下列结论错误的为（   ） A．实数有且仅有一个值 B．实数有且仅有一个值 C．的单调递增区间为 D．若，则 6.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B的一部分图象如图所示，若A>0，ω>0，|φ|<，则(　　) A．B＝4 B．φ＝ C．ω＝1 D．A＝4 7.已知函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为 ． 8.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的一段图象如图所示． （1）求f(x)的解析式； （2）把f(x)的图象向左至少平移多少个单位长度，才能使得到的图象对应的函数为偶函数？ 考点二：三角函数的应用 1.已知函数的模型解决实际问题 例1.已知弹簧上挂着的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移s(cm)随时间t(s)的变化规律为s＝4sin，t∈[0，＋∞)．用“五点法”作出这个函数的简图，并回答下列问题： （1）小球在开始振动(t＝0)时的位移是多少？ （2）小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少？ （3）经过多长时间小球往复振动一次？ 例2.健康成年人的收缩压和舒张压一般为120～140 mmHg和60～90 mmHg.心脏跳动时，血压在增加或减小．血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数120/80 mmHg为标准值．记某人的血压满足函数式p(t)＝115＋25sin(160πt)，其中p(t)为血压(mmHg)，t为时间(min)，试回答下列问题： （1）求函数p(t)的周期； （2）求此人每分钟心跳的次数； （3）求出此人的血压在血压计上的读数，并与正常值比较． 随堂练习： 1.电流强度I(A)随时间t(s)变化的关系式是I＝5sin，则当t＝s时，电流强度I为(　　) A．5 A B．2.5 A C．2 A D．－5 A 2.某个弹簧振子在完成一次全振动的过程中的位移（单位：）与时间（单位：）之间满足关系式，则该弹簧振子运动的最小正周期为（    ） A．0.6 B．0.5 C．0.4 D．0.3 3.一根长l cm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s(cm)与时间t(s)的函数关系式为s＝3cos，其中g是重力加速度，当小球摆动的周期是1 s时，线长l＝ cm. 4.如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sin＋k.据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为 ． 5.商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数，五一某商场的人流量满足函数F(t)＝50＋4sin(t≥0)，则下列时间段内人流量是增加的是(　　) A．[0,5] B．[5,10] C．[10,15] D．[15,20] 6.已知某地一天从4～16时的温度变化曲线近似满足函数y＝10sin＋20，x∈[4,16]． （1）求该地这一段时间内温度的最大温差； （2）若有一种细菌在15 ℃到25 ℃之间可以生存，那么在这段时间内，该细菌最多能生存多长时间？ 2.建立三角函数模型解决实际问题 例1.通常情况下，同一地区一天的温度随时间变化的曲线接近函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的图象．某年2月下旬某地区连续几天最高温度都出现在14时，最高温度为14 ℃；最低温度出现在凌晨2时，最低温度为零下2 ℃. （1）求出该地区该时段的温度函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0，|φ|<π，x∈[0,24))的表达式； （2）29日上午9时某高中将举行期末考试，如果温度低于10 ℃，教室就要开空调，请问届时学校后勤应该开空调吗？ 随堂练习： 1.如图，摩天轮的半径为，点距地面的距离为，摩天轮按逆时针方向匀速转动，每转一圈，若摩天轮上点的起始位置在最高点处，则在摩天轮转动的过程中，（   ） A．转动后点距离地面 B．第和第点距离地面的高度相同. C．转速减半时转动一圈所需的时间变为原来的 D．转动一圈内，点距离地面的高度不低于的时长为 2.已知被弹簧牵引的小球相对于平衡位置的位移与时间之间的函数关系为，，若小球1s内运动4次，则的值为（   ） A．4 B．8 C． D． 3.如图是一个半径为3米的水轮，水轮的圆心O距离水面2米，已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点P到水面的距离y(米)与时间t(秒)满足关系式y＝Asin(ωt＋φ)＋2，则(　　) A．ω＝，A＝3 B．ω＝，A＝3 C．ω＝，A＝5 D．ω＝，A＝5 4.如图，点P为射线与以原点O为圆心的单位圆的交点，一动点在圆O上以点P为起始点，沿逆时针方向运动，每2秒转一圈．则该动点横坐标关于运动时间t的函数的解析式是（    ） A． B． C． D． 5.国际油价在某一时间内呈现出正弦波动规律：P＝Asin＋60(美元)(A>0，ω>0)，现采集到下列信息：最高油价80美元，当t＝150(天)时达到最低油价，则ω的最小值为 ． 6.某港口水深（米是时间（，单位：小时）的函数，下表是水深数据： （小时） 0 3 6 9 12 15 18 21 24 （米 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0 根据上述数据描成的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似地看成正弦函数的图象.    （1）试根据数据表和曲线，求出 的表达式； （2）一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5米是安全的，如果某船的吃水度（船底与水面的距离）为7米，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？（忽略离港所用的时间） 7.在校园美化､改造活动中，要在半径为，圆心角为的扇形空地的内部修建一矩形观赛场地，如图所示.取的中点，记. （1）写出矩形的面积与角的函数关系式； （2）求当角为何值时，矩形的面积最大？并求出最大面积. 8.一个半径为6m的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面3m，已知水轮每分钟逆时针转动4圈，且当水轮上的点P从水中浮现时（图中点）开始计算时间． （1）将点P距离水面的高度y（单位：m．在水面下，则y为负数）表示为时间x（单位：s）的函数； （2）在转动的一个周期内，点P在水中的时间是多少？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十四讲 函数y＝Asin(ωx＋φ)和三角函数的应用—专题练习 【知识点梳理】 函数y＝Asin(ωx＋φ) 知识点一、φ，ω，A对函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响 1．φ对y＝sin(x＋φ)，x∈R图象的影响 2．ω(ω>0)对y＝sin(ωx＋φ)图象的影响 3．A(A>0)对y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响 知识点二、函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象 1.由y＝sinx的图像的得到y＝Asin(ωx＋φ)（ω>0）的图像的两种途径. 方法一：先平移，后伸缩 ①先画出函数的图像，再把正弦曲线向左（右）平移个单位长度. ②得到函数的图像，然后使曲线上各点的横坐标变为原来倍，纵坐标不变. ③得到函数 的图像，最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的A倍，这时的图像就是的图像. 方法二：先伸缩，后平移 ①先画出函数的图像；再使曲线上各点的横坐标变为原来倍，纵坐标不变. ②得到函数的图像，然后把正弦曲线向左（右）平移个单位长度. ③得到函数的图像，最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的A倍，这时的图像就是的图像. 2.用“五点法”作函数的图像的步骤 第一步：列表 0 0 A 0 -A 0 第二步：在同一平面直角坐标系中描出各点. 第三步：用光滑的曲线连接这些点，形成图像 三角函数的应用 知识点一、三角函数模型在物理学中的应用 1.简谐运动：在物理学中，把物体受到的力（总是指向平衡位置）正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”. 2.描述简谐运动的函数模型 在物理中，描述简谐运动的物理量，如振幅、周期和频率等都与函数y=Asin(ωx+φ)，x∈[0,+∞)（其中A>0，ω>0）中的常数有关. 振幅 振幅A是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离 周期 ，它是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间 频率 ，它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数 相位 ωx+φ称为相位 初相 x =0时的相位φ称为初相 知识点二、三角函数模型在日常生活中的应用 三角函数的常见应用类型 （1）三角函数在物体简谐运动问题中的应用. 物体的简谐运动是一种常见的运动，它的特点是周而复始，因此可以用三角函数来模拟这种 运动状态. （2）三角函数在几何、实际生活中的圆周运动问题中的应用. 物体的旋转显然具有周期性，因此也可以用三角函数来模拟这种运动状态. （3）三角函数在生活中的周期性变化问题中的应用. 大海中的潮汐现象、日常生活中的气温变化、季节更替等都具有周期性，因此常用三角函数 模型来解决这些问题. 【专题练习】 考点一：函数y＝Asin(ωx＋φ) 1.三角函数图像变换 例1.(多选)函数y＝3sin的图象，可由函数y＝sin x的图象经过下列哪项变换而得到(　　) A．向左平移个单位长度，横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标伸长到原来的3倍 B．向左平移个单位长度，横坐标缩短到原来的，纵坐标伸长到原来的3倍 C．横坐标缩短到原来的，向左平移个单位长度，纵坐标伸长到原来的3倍 D．横坐标缩短到原来的，向左平移个单位长度，纵坐标伸长到原来的3倍 解：方法一：先平移后伸缩 将y＝sin x的图象向左平移个单位得到y＝sin的图象，再将横坐标缩短为原来的得到y＝sin的图象，在再将纵坐标伸长为原来的3倍得到y＝3sin的图象． 方法二：先伸缩后平移 将y＝sin x的图象横坐标缩短为原来的得到y＝sin 2x的图象，再将横坐标向左平移个单位长度得到y＝sin的图象，再将纵坐标伸长为原来的3倍得到y＝3sin的图象． 故选：BD. 例2.若将的图象进行变换，使得其与的图象重合，则下列变换正确的是（    ） A．先将的图象向右平移个单位，再将图象上所有点的横坐标缩短到原来的 B．先将的图象向左平移个单位，再将图象上所有点的横坐标缩短到原来的 C．先将图象上所有点的横坐标缩短到原来的，再将图象向左平移个单位 D．先将图象上所有点的横坐标缩短到原来的，再将图象向右平移个单位 解：对于A，先将的图象向右平移个单位，得， 再将图象上所有点的横坐标缩短到原来的， 得，故A错误； 对于B，先将的图象向左平移个单位，得， 再将图象上所有点的横坐标缩短到原来的，得，故B错误； 对于C，先将图象上所有点的横坐标缩短到原来的，得， 再将图象向左平移个单位，得，故C正确； 对于D，先将图象上所有点的横坐标缩短到原来的，得， 再将图象向右平移个单位，得，故D错误. 故选：C. 随堂练习： 1.已知曲线，，则（     ） A．把上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，再把得到的曲线上的所有点向左平移个单位长度，得到曲线 B．把上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，再把得到的曲线上的所有点向右平移个单位长度，得到曲线 C．把上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再把得到的曲线上的所有点向左平移个单位长度，得到曲线 D．把上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再把得到的曲线上的所有点向右平移个单位长度，得到曲线 解：对于A，所得曲线为，A正确； 对于B，所得曲线为，B错误； 对于C，所得曲线为，C错误； 对于D，所得曲线为，D错误. 故选：A. 2.要得到函数y＝sin的图象，只要将函数y＝sin x的图象(　　) A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 解：将函数y＝sin x的图象上所有点向左平移个单位长度，就可得到函数y＝sin的图象．故选：A. 3.要得到函数的图象，可以将函数的图象（   ） A．向左平移个单位长度而得到 B．向右平移个单位长度而得到 C．向左平移个单位长度而得到 D．向右平移个单位长度而得到 解：因为，所以将函数的图象向左平移个单位长度而得.故选：A. 4.将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到的图象，则（   ） A． B． C． D． 解：将函数的图象向左平移个单位长度，可得函数的图象； 再将所得图象上所有点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，可得的图象.故选：B. 5.将函数图像上所有点的横坐标缩小到原来的倍，纵坐标不变，再把所得的图像向右平移个单位长度，则所得新函数的解析式为（     ） A． B． C． D． 解：由题可知：.故选：B. 6.把函数的图象向左平移个单位长度，再把所得图象上各点横坐标放大到原来的2倍，则所得函数的解析式为（    ）． A． B． C． D． 解：函数的图象向左平移个单位长度，即的图象，再把图象上各点的横坐标放大到原来的2倍，得的图象． 故选：B. 7.函数y＝sin图象上所有点的横坐标保持不变，将纵坐标 (填“伸长”或“缩短”)为原来的 倍，将会得到函数y＝3sin的图象． 解：A＝3>1，故函数y＝sin图象上所有点的横坐标保持不变，将纵坐标伸长为原来的3倍即可得到函数y＝3sin的图象．故答案为：伸长，3. 8.由y＝3sin x的图象变换得到y＝3sin的图象主要有两个过程：先平移后伸缩和先伸缩后平移，前者需向左平移 个单位长度，后者需向左平移 个单位长度． 解：（1）y＝3sin x向左平移个单位长度得到y＝3sin将横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变得到y＝3sin. （2）y＝3sin x横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变得到y＝3sin，再向左平移个单位长度得到y＝3sin.故答案为：. 2.用“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及相关题型 例1.已知函数f(x)＝cos，在给定坐标系中作出函数f(x)在[0，π]上的图象． 解：f(x)＝cos，列表如下． 2x－ － 0 π π π x 0 π π π f(x) 1 0 －1 0 图象如图． 随堂练习： 1.用五点法作函数的图像时，得到如下表格： x 0 π 2π y 0 4 0 0 则A，ω，φ的值分别为（    ） A．4，2， B．4，， C．4，2， D．4，， 解：根据图像表格，易知,，又，得到， 又由图像表格及的图像与性质知，，得到.故选：A. 2.函数y＝sin在区间上的简图是(　　) 解：当x＝0时，y＝sin＝－<0，故排除B，D；当x＝时，sin＝sin 0＝0，排除C.故选：A. 3.某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： 0 x 0 5 0 根据表格中的数据，函数的解析式可以是（    ） A． B． C． D． 解：由题意得最大值为5，最小值为-5，所以A=5， ，解得，解得，又，解得， 所以的解析式可以是故选：A. 4.已知函数f(x)＝sin. （1）请用“五点法”画出函数f(x)在一个周期的闭区间上的简图； （2）求函数f(x)的单调递增区间； （3）试问f(x)是由g(x)＝sin x经过怎样变换得到？ 解：（1）列表如下： 2x－ 0 π 2π x f(x) 0 1 0 －1 0 描点连线，图象如图所示． （2）令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z， 解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z， 所以函数f(x)的单调递增区间是，k∈Z. （3）先将g(x)的图象向右平移个单位长度，再将所得函数图象的横坐标缩短为原来的，即可得到f(x)的图象． 5.已知函数y＝sin，x∈R. （1）用“五点法”作出它在一个周期内的简图； （2）该函数的图象可由y＝sin x(x∈R)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？ 解：（1）列表： 2x＋ 0 π 2π x － y＝sin 0 0 － 0 描点、连线，如图所示． (2)函数y＝sin x的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝sin的图象，再保持纵坐标不变，把横坐标缩短为原来的倍，得到函数y＝sin的图象，再保持横坐标不变，把纵坐标缩短为原来的倍，得到函数y＝sin的图象． 3.由图像求三角函数解析式 例1.已知函数的部分图象如图所示，则（    ）   A． B．将的图象上所有点横坐标变为原来2倍，再向左平移个单位，得到的图象，则 C．的对称中心为， D．若，且，则 解：由图知，故，又过点，且该点在函数增区间上，故，则，则，结合，则，故，A错误； 将的图象上所有点横坐标变为原来2倍，可得的图象，再向左平移个单位，得到的图象，则，B错误； 令，则，即的对称中心为，，C错误； 因为，且，令， 则，则，则，故，D正确，故选：D. 例2.已知函数的部分图象如图所示，给出下列结论： ①； ②当时，； ③函数的单调递增区间为，； ④将的图象向右平移个单位，得到的图象；其中正确的结论个数是 ． 解：由图象可知：， ， 由 ，又，所以. 所以，因为，故①正确； 当时，，所以，所以，故②错误； 由， ，，所以函数的单调递增区间为，.故③正确； 将的图象向右平移个单位，得到 的图象，故④错误． 故答案为：2． 随堂练习： 1.已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（     ） A． B．图象的对称中心为 C．直线是图象的一条对称轴 D．将的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象 解：由函数图象可知，函数的最大值为，因为，且为正弦型函数的振幅，所以. 设函数的周期为，根据正弦函数图象性质，，则，所以，此时. 已知函数图象过点，将其代入可得，即.因为，所以，，解得，那么.   对于A，将代入，得，所以选项A错误. 对于B，对于正弦函数，其对称中心的横坐标满足，.令，，解得，，此时，所以图象的对称中心为，，选项B正确. 对于C，对于正弦函数，其对称轴方程满足，.令，，解得，.当时，，，所以直线不是图象的一条对称轴，选项C错误. 对于D，将的图象向左平移个单位长度，根据“左加右减”的原则，得到.根据诱导公式，，所以选项D错误. 故选：B. 2.已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A． B．将的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象 C．直线是图象的一条对称轴 D．图象的对称中心为 解：由函数图象可知，函数的最大值为，因为，所以. 设函数的周期为，则，则，所以， 此时. 已知函数图象过点，则， 即，所以，，因为，解得，那么. 对于A，，所以选项A错误； 对于B，将的图象向左平移个单位长度，得到，所以选项B错误； 对于C，因，所以直线不是图象的一条对称轴，选项C错误； 对于D，令，，解得，，此时，所以图象的对称中心为，，选项D正确. 故选：D. 3.已知函数（其中）的部分图象如图所示，点是函数图象与轴的交点，点是函数图象的最高点，且是边长为2的正三角形，，则的解析式可以是（    ） A． B． C． D． 解：过点作轴的垂线，垂足为，则为的中点， 是边长为2的正三角形，， ，，，，， 又，，解得，， 将点代入得，， ，，，.故选：A. 4.函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A>0，ω>0)的部分图象如图所示，则f(0)＝ ． 解：由图象可得A＝，周期为4×＝π，所以ω＝2，将代入得2×＋φ＝2kπ＋，k∈Z，即φ＝2kπ＋，k∈Z，所以f(0)＝sin φ＝sin＝.故答案为：. 5.若函数的部分图象如图所示，则下列结论错误的为（   ） A．实数有且仅有一个值 B．实数有且仅有一个值 C．的单调递增区间为 D．若，则 解：B选项，由图易得：，又因为图像过点，所以，，得或又因为该点位于单调递增区间，所以，所以，B对. A选项，因为图像过，即，，，设函数最小正周期为，则由图得，即，故，又，所以只有当时，满足要求，A对. C选项，，令，解得，故单调递增区间为，，C错. D选项，时，，又，关于对称，所以，解得，D对.故选：C. 6.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B的一部分图象如图所示，若A>0，ω>0，|φ|<，则(　　) A．B＝4 B．φ＝ C．ω＝1 D．A＝4 解：由函数图象可知f(x)min＝0，f(x)max＝4.所以A＝＝2，B＝＝2. 由周期T＝＝4知ω＝2.由f ＝4得2sin＋2＝4，sin＝1， 又|φ|<，故φ＝.故选：B. 7.已知函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为 ． 解：根据函数的部分图象知，，，所以， 由，得，，解得，； 又，所以，所以． 故答案为：. 8.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的一段图象如图所示． （1）求f(x)的解析式； （2）把f(x)的图象向左至少平移多少个单位长度，才能使得到的图象对应的函数为偶函数？ 解：（1）由题意知A＝3，T＝＝5π，所以ω＝. 由f(x)＝3sin(x＋φ)的图象过点(，0)，得sin(＋φ)＝0， 又|φ|<，所以φ＝－，所以f(x)＝3sin(x－). （2）由f(x＋m)＝3sin＝3sin为偶函数(m>0)， 知(k∈Z)，即m＝kπ＋(k∈Z)． 因为m>0，所以mmin＝. 故至少把f(x)的图象向左平移个单位长度，才能使得到的图象对应的函数是偶函数． 考点二：三角函数的应用 1.已知函数的模型解决实际问题 例1.已知弹簧上挂着的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移s(cm)随时间t(s)的变化规律为s＝4sin，t∈[0，＋∞)．用“五点法”作出这个函数的简图，并回答下列问题： （1）小球在开始振动(t＝0)时的位移是多少？ （2）小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少？ （3）经过多长时间小球往复振动一次？ 解：列表如下： 2t＋ 0 π 2π t s 0 4 0 －4 0 描点、连线，图象如图所示． （1）将t＝0代入s＝4sin，得s＝4sin ＝2，所以小球开始振动时的位移是2 cm. （2）小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是4 cm和－4 cm. （3）因为振动的周期是π，所以小球往复振动一次所用的时间是π s. 例2.健康成年人的收缩压和舒张压一般为120～140 mmHg和60～90 mmHg.心脏跳动时，血压在增加或减小．血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数120/80 mmHg为标准值．记某人的血压满足函数式p(t)＝115＋25sin(160πt)，其中p(t)为血压(mmHg)，t为时间(min)，试回答下列问题： （1）求函数p(t)的周期； （2）求此人每分钟心跳的次数； （3）求出此人的血压在血压计上的读数，并与正常值比较． 解：（1）T＝＝＝(min)． （2）f＝＝80. （3）p(t)max＝115＋25＝140(mmHg)，p(t)min＝115－25＝90(mmHg)， 即收缩压为140 mmHg，舒张压为90 mmHg.此人的血压在血压计上的读数为140/90 mmHg，在正常值范围内． 随堂练习： 1.电流强度I(A)随时间t(s)变化的关系式是I＝5sin，则当t＝s时，电流强度I为(　　) A．5 A B．2.5 A C．2 A D．－5 A 解：将t＝代入I＝5sin，得I＝2.5 A.故选：B. 2.某个弹簧振子在完成一次全振动的过程中的位移（单位：）与时间（单位：）之间满足关系式，则该弹簧振子运动的最小正周期为（    ） A．0.6 B．0.5 C．0.4 D．0.3 解：由已知可得该弹簧振子振动的最小正周期.故选：A. 3.一根长l cm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s(cm)与时间t(s)的函数关系式为s＝3cos，其中g是重力加速度，当小球摆动的周期是1 s时，线长l＝ cm. 解：由已知得，所以=＝2π，＝4π2，l＝.故答案为：. 4.如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sin＋k.据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为 ． 解：根据图象得函数的最小值为2，有－3＋k＝2，k＝5，最大值为3＋k＝8.故答案为：8. 5.商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数，五一某商场的人流量满足函数F(t)＝50＋4sin(t≥0)，则下列时间段内人流量是增加的是(　　) A．[0,5] B．[5,10] C．[10,15] D．[15,20] 解：由2kπ－≤≤2kπ＋，k∈Z，知函数F(t)的增区间为[4kπ－π，4kπ＋π]，k∈Z.当k＝1时，t∈[3π，5π]，而[10,15]⊆[3π，5π].故选C. 6.已知某地一天从4～16时的温度变化曲线近似满足函数y＝10sin＋20，x∈[4,16]． （1）求该地这一段时间内温度的最大温差； （2）若有一种细菌在15 ℃到25 ℃之间可以生存，那么在这段时间内，该细菌最多能生存多长时间？ 解：（1）当x＝14时函数取最大值，此时最高温度为30 ℃， 当x＝6时函数取最小值，此时最低温度为10 ℃， 所以最大温差为30 ℃－10 ℃＝20 ℃. （2）令10sin＋20＝15，得sin＝－， 而x∈[4,16]，所以x＝. 令10sin＋20＝25，得sin＝，而x∈[4,16]，所以x＝. 当x∈时，∈，所以函数y在上单调递增． 故该细菌能存活的最长时间为－＝小时． 2.建立三角函数模型解决实际问题 例1.通常情况下，同一地区一天的温度随时间变化的曲线接近函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的图象．某年2月下旬某地区连续几天最高温度都出现在14时，最高温度为14 ℃；最低温度出现在凌晨2时，最低温度为零下2 ℃. （1）求出该地区该时段的温度函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0，|φ|<π，x∈[0,24))的表达式； （2）29日上午9时某高中将举行期末考试，如果温度低于10 ℃，教室就要开空调，请问届时学校后勤应该开空调吗？ 解：（1）由题意知，解得， 易知＝14－2，所以T＝24，所以ω＝， 易知8sin＋6＝－2， 即sin＝－1，故＝－＋2kπ，k∈Z，又|φ|<π，得φ＝－， 所以y＝8sin＋6(x∈[0,24))． （2）当x＝9时，y＝8sin＋6 ＝8sin ＋6<8sin ＋6＝10.所以届时学校后勤应该开空调． 随堂练习： 1.如图，摩天轮的半径为，点距地面的距离为，摩天轮按逆时针方向匀速转动，每转一圈，若摩天轮上点的起始位置在最高点处，则在摩天轮转动的过程中，（   ） A．转动后点距离地面 B．第和第点距离地面的高度相同. C．转速减半时转动一圈所需的时间变为原来的 D．转动一圈内，点距离地面的高度不低于的时长为 解：设转动过程中，点离地面距离的函数为：， 由题意得：，又， 即，故，，所以 所以， 选项A，转到后，点距离地面的高度为，故A错误； 选项B，因为 ，，所以，即第和第点距离地面的高度相同，故B正确； 选项C，若摩天轮转速减半，则转动一圈所需的时间变为原来的2倍，故C不正确； 选项D，令，则，由，解得，考虑第一圈时，点距离地面的高度不低于的时长，可得当时，，当时，，即摩天轮转动一圈，点距离地面的高度不低于m的时间为，故D错误；故选：B. 2.已知被弹簧牵引的小球相对于平衡位置的位移与时间之间的函数关系为，，若小球1s内运动4次，则的值为（   ） A．4 B．8 C． D． 解：因为小球1s内运动4次，即小球运动的频率为4，所以，则. 故选：D. 3.如图是一个半径为3米的水轮，水轮的圆心O距离水面2米，已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点P到水面的距离y(米)与时间t(秒)满足关系式y＝Asin(ωt＋φ)＋2，则(　　) A．ω＝，A＝3 B．ω＝，A＝3 C．ω＝，A＝5 D．ω＝，A＝5 解：由题意知A＝3，ω＝＝.故选：B. 4.如图，点P为射线与以原点O为圆心的单位圆的交点，一动点在圆O上以点P为起始点，沿逆时针方向运动，每2秒转一圈．则该动点横坐标关于运动时间t的函数的解析式是（    ） A． B． C． D． 解：动点的运动速度为，射线对应的角度为， 故动点行程的射线对应的角度为，故.故选：C. 5.国际油价在某一时间内呈现出正弦波动规律：P＝Asin＋60(美元)(A>0，ω>0)，现采集到下列信息：最高油价80美元，当t＝150(天)时达到最低油价，则ω的最小值为 ． 解：因为国际油价在某一时间内呈现出正弦波动规律：P＝Asin＋60，最高油价80美元，所以A＝20. 当t＝150(天)时达到最低油价，即sin＝－1， 此时150ωπ＋＝2kπ－，k∈Z，因为ω>0，所以令k＝1，得150ωπ＋＝2π－，解得ω＝. 故ω的最小值为. 6.某港口水深（米是时间（，单位：小时）的函数，下表是水深数据： （小时） 0 3 6 9 12 15 18 21 24 （米 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0 根据上述数据描成的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似地看成正弦函数的图象.    （1）试根据数据表和曲线，求出 的表达式； （2）一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5米是安全的，如果某船的吃水度（船底与水面的距离）为7米，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？（忽略离港所用的时间） 解：（1）根据数据，， ，，， ， 函数的表达式为； （2）由题意，水深， 即， ， ，，1， 或； 所以，该船在至或至能安全进港， 若欲于当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过16小时. 7.在校园美化､改造活动中，要在半径为，圆心角为的扇形空地的内部修建一矩形观赛场地，如图所示.取的中点，记. （1）写出矩形的面积与角的函数关系式； （2）求当角为何值时，矩形的面积最大？并求出最大面积. 解：（1）由题可知，在中，， ， 在中，， ； （2）， 当，即时， 故当时，矩形的面积最大，最大值为. 8.一个半径为6m的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面3m，已知水轮每分钟逆时针转动4圈，且当水轮上的点P从水中浮现时（图中点）开始计算时间． （1）将点P距离水面的高度y（单位：m．在水面下，则y为负数）表示为时间x（单位：s）的函数； （2）在转动的一个周期内，点P在水中的时间是多少？ 解：（1）如图，建立平面直角坐标系， 设角是以Ox为始边，为终边的角， 易知OP在xs内所转过的角为，    故点P的纵坐标为，则， 当时，，可得，所以，则． （2）在转动的一个周期内，点P在水中转动，而， 故点P在水中的时间是s． 1 学科网（北京）股份有限公司 $