第14讲 拓展二：三角函数中参数ω的取值范围问题综合训练（4类热点题型讲练）-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 聚焦三角函数参数取值范围，整合单调性、对称性、最值、零点四大核心性质，通过典例-变式题组构建“性质分析-参数限定”的逻辑链条，发展几何直观与推理能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |单调性结合|2典例+3变式|给定区间单调性求参数范围|从单调区间条件出发，转化为不等式组，结合周期性质推导参数限定| |对称性结合|2典例+3变式|轴对称/中心对称求参数最小值|利用对称性定义构建方程，结合参数正性求最小取值| |最值结合|2典例+3变式|区间最值存在性求参数范围|通过最值点位置分析，结合定义域限定参数取值区间| |零点结合|2典例+3变式|零点个数与参数范围关联|转化为方程根的个数问题，结合图像交点分析参数范围|

第14讲 第五章 三角函数 拓展提升二 三角函数中参数的取值范围问题 题型01 的取值范围与单调性相结合 【典例1】（26-27高二上·浙江·开学考试）已知函数（）在区间上单调递增，且在区间内恰有两个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由和求出范围，由题中条件得到，由得到，由题中条件得到，通过解这个不等式组得到的取值范围. 【详解】因为，且， ， 因为函数（）在区间上单调递增， 所以， 解第一个不等式， 即，即，即， 解第二个不等式， 解得，即，即， 又，则， 因为，在区间内恰有两个零点， 所以， 则，解得，即， 又，则， 则的取值范围是. 【典例2】（25-26高一下·四川凉山·期末）若函数在区间上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过整体代换法，令给定区间内产生的相位范围成为余弦函数基本单调递增区间的子集，联立求解不等式组得出的取值范围. 【详解】设，， 由题意得， 即，， ，， 联立得，其中且，解得， 所以，. 【变式1】已知函数（）在区间上单调递增，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时，， 的递增区间为， 取，由得 ， 解得，于是， 故最大值为. 【变式2】（25-26高一下·贵州遵义·期中）已知函数图象在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，利用函数在上单调递增，列不等式求解即得. 【详解】因为，且，则， 因函数在上单调递增，且， ，解得， 所以的取值范围是. 【变式3】（25-26高一下·云南昆明·阶段检测）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出内层函数的取值范围，结合余弦函数的单调递增区间列不等式进行求解. 【详解】因为，， 令，则， 余弦函数的单调递增区间为， 因为在上单调递增， 因此区间需为某一单调递增区间的子集， 取时的递增区间为适配区间， 所以，解得，即的取值范围是. 题型02 的取值范围与对称性相结合 【典例1】（2025·湖南张家界·模拟预测）将函数的图象向左平移个单位长度后，得到的图象关于轴对称，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据三角函数图象平移规则得到平移后的函数解析式，再结合图象关于轴对称的相位特征列方程，求解的最小值． 【详解】将函数的图象向左平移个单位长度后， 所得函数解析式为， 因为的图象关于轴对称，即为偶函数， 所以，解得， 因为，所以当时，取得最小值． 【典例2】（25-26高一下·辽宁大连·期末）已知点是函数的图象的一个对称中心，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】化简函数的解析式，根据余弦型函数的对称性可得出关于的等式，结合可得出的最小值. 【详解】因为， 且点是函数的图象的一个对称中心， 所以，解得， 因为且，故当时，取最小值. 【变式1】（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数的图象关于点中心对称，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】的图象关于点中心对称， 所以，即， 所以的最小值为4． 【变式2】（2026·山东威海·二模）设函数，若，且的图象在上存在对称轴，则的最小值为（    ） A． B．1 C． D．3 【答案】D 【分析】先化简函数解析式，结合周期可得为正整数，利用对称轴可得答案. 【详解】，因为，所以是的一个周期， 所以，即，其中； 令，则， 因为的图象在上存在对称轴，所以，即； 当时，不合题意；当时，解得，且为正整数， 所以的最小值为3，此时对称轴为，符合题意； 当时，解得，综上，的最小值为3. 【变式3】（25-26高一下·广西梧州·期末）已知函数（）在区间内恰有3条对称轴，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出函数的图象对称轴方程，再结合已知列出不等式组求解. 【详解】函数，由，得， 由，函数的图象在内恰有3条对称轴，得且， 解得，所以的取值范围是. 题型03 的取值范围与三角函数的最值相结合 【典例1】（26-27高三上·江苏常州·开学考试）已知函数的最大值为，则的最大值为（    ） A．6 B．5 C．7 D．8 【答案】B 【分析】根据条件判断出的最大值为等价于的最大值小于等于，可得；也可依次代入每个选项验证是否满足该条件即可. 【详解】因为，所以， 因为最大值为， 且当时，恰为. 因此只需保证对恒成立， 则，故. 另法：依次代入每个选项验证是否满足该条件. 当时，，最大值为1，不满足题意. 当时，，最大值为，满足题意. 当时，，最大值为，不满足题意. 当时，，最大值为，不满足题意. 综上所述，的最大值为5. 【典例2】（2024·广西桂林·三模）已知函数在上有最小值没有最大值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用差角的余弦公式化简函数，再由指定范围求出相位范围，结合余弦函数的性质列式求解即得. 【详解】依题意，， 当时，，若在上有最小值没有最大值， 则，所以. 故选：D 【变式1】（25-26高一下·海南海口·期末）若函数在上有最大值没有最小值，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出的范围，根据题意得到不等式，求出答案 【详解】时，， 因为在上有最大值没有最小值， 所以，解得 【变式2】（25-26高一下·广东广州·期末）已知函数的图象经过点，若在上有且只有两个最值点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出，再求出取最值时自变量的值，将问题转化为存在两个连续整数使得，即可求出. 【详解】因为，所以， 因为，所以，则， 令，得， 因为在上有且只有两个最值点， 所以存在两个连续整数使得，即， 则，得， 故的取值范围是. 【变式3】（24-25高一下·陕西渭南·期末）已知函数（）在区间内有且仅有一个，使得，则的最大值为（    ） A．11 B．10 C．9 D．8 【答案】A 【分析】问题化为在内有且仅有一个最小值，结合余弦函数的性质列不等式求参数范围. 【详解】由题设在区间内有且仅有一个最小值，此时， 故在内有且仅有一个最小值，则， 所以，则的最大值为11. 故选：A 题型04的取值范围与三角函数的零点相结合 【典例1】（25-26高一上·广东广州·期末）已知函数在区间有且仅有2个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用二倍角公式及辅助角公式化简函数，再由零点的意义，结合余弦函数的性质列式求出范围. 【详解】函数， 由，得，当时，， 由函数在上有且仅有2个零点，得，解得， 所以的取值范围是. 故选：A 【典例2】已知函数（），若在区间上有且仅有个零点和个最大值点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，将问题转化为在区间上有且仅有4个零点和1个最大值点，结合函数的图象可得答案. 【详解】由，设； 在区间上有且仅有4个零点和1个最大值点， 即在区间上有且仅有4个零点和1个最大值点. 作出的图象如图. 由在区间上有且仅有个零点，得①； 又在区间上有且仅有个最大值点，得②； 依题意需同时满足①②式，于是得， 即，解得， 故的取值范围是. 故选：A 【变式1】（23-24高一上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知函数在上有且仅有2个零点.则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据所给角的范围求出的范围，再由余弦函数的图象与性质建立不等式得解. 【详解】当时，. 因为在上有且仅有2个零点， 所以，解得. 故选：C 【变式2】（2026·江西宜春·模拟预测）已知函数，若实数，满足，，在上至少存在3个零点，则的最小值为（    ） A．18 B．9 C．6 D．3 【答案】B 【分析】根据正弦函数最值结合正弦函数性质计算周期即可求解参数最小值. 【详解】由题意得，分别为的最小值（最大值）与最大值（最小值）， 当在上恰好有3个零点时， 的最小正周期最大，最小，此时，，. 【变式3】（25-26高一下·北京海淀·期中）若函数在区间内恰有两个最值点和三个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C．D． 【答案】B 【分析】按照的正负分类讨论，根据正弦函数的图象和性质列不等式求解即可. 【详解】当时，，则， 根据在的图象可知， 无法使得在区间内恰有两个最值点和三个零点，所以不能为正； 当时，，则， 由函数在区间内恰有两个最值点和三个零点， 故根据在的图象可知， 需满足，解得. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第14讲 第五章 三角函数 拓展提升二 三角函数中参数的取值范围问题 题型01 的取值范围与单调性相结合 【典例1】（26-27高二上·浙江·开学考试）已知函数（）在区间上单调递增，且在区间内恰有两个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高一下·四川凉山·期末）若函数在区间上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知函数（）在区间上单调递增，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高一下·贵州遵义·期中）已知函数图象在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高一下·云南昆明·阶段检测）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 题型02 的取值范围与对称性相结合 【典例1】（2025·湖南张家界·模拟预测）将函数的图象向左平移个单位长度后，得到的图象关于轴对称，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高一下·辽宁大连·期末）已知点是函数的图象的一个对称中心，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数的图象关于点中心对称，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】（2026·山东威海·二模）设函数，若，且的图象在上存在对称轴，则的最小值为（    ） A． B．1 C． D．3 【变式3】（25-26高一下·广西梧州·期末）已知函数（）在区间内恰有3条对称轴，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型03 的取值范围与三角函数的最值相结合 【典例1】（26-27高三上·江苏常州·开学考试）已知函数的最大值为，则的最大值为（    ） A．6 B．5 C．7 D．8 【典例2】（2024·广西桂林·三模）已知函数在上有最小值没有最大值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高一下·海南海口·期末）若函数在上有最大值没有最小值，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高一下·广东广州·期末）已知函数的图象经过点，若在上有且只有两个最值点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25高一下·陕西渭南·期末）已知函数（）在区间内有且仅有一个，使得，则的最大值为（    ） A．11 B．10 C．9 D．8 题型04的取值范围与三角函数的零点相结合 【典例1】（25-26高一上·广东广州·期末）已知函数在区间有且仅有2个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【典例2】已知函数（），若在区间上有且仅有个零点和个最大值点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高一上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知函数在上有且仅有2个零点.则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·江西宜春·模拟预测）已知函数，若实数，满足，，在上至少存在3个零点，则的最小值为（    ） A．18 B．9 C．6 D．3 【变式3】（25-26高一下·北京海淀·期中）若函数在区间内恰有两个最值点和三个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C．D． 学科网（北京）股份有限公司 $