第17章 因式分解练习卷（二）2026-2027学年人教版八年级数学上册

人教版八年级上册因式分解练习卷（二） 时间：90分钟 满分：100分 姓名： 班级： 一、单选题（共15小题，每题2分，共30分） 1．下列从左到右变形，是因式分解的有（     ） （1）；（2）；（3） （4）；（5）；（6） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据因式分解的定义，逐项分析即可求解． 【详解】解：（1），左边是单项式，不是因式分解； （2），右边不是整式的积的形式，不是因式分解； （3），右边含分式，不是因式分解； （4），变形方向为整式乘法，不是因式分解； （5），是因式分解； （6），等式不成立，不是因式分解； 综上，是因式分解的有1个． 2．算式的结果，下列说法不正确的是（    ） A．能被2024整除 B．能被2023整除 C．能被2025整除 D．能被2021整除 【答案】D 【分析】将原式因式分解之后分析所含因数进行判断． 【详解】解： 结果含因数2024、2023、2025， 能被2024、2023、2025整除， 结果的质因数为2、3、5、7、11、17、23，不含2021的质因数43、47， 结果不能被2021整除． 3．下列因式分解正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依据因式分解的定义及分解需彻底的要求验证各选项. 【详解】解：∵，∴A错误； ∵，选项B分解不彻底，∴B错误； ∵，∴C正确； ∵选项D等式右边是和的形式，不符合因式分解的定义，∴D错误. 4．已知，，则对于任意x，y的取值，M，N的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法判断 【答案】A 【分析】采用作差法比较与的大小，将差配方后根据平方的非负性判断符号． 【详解】解： ， ∵， ∴，即， ∴． 5．已知a，b满足则有（     ） A．最小值 B．最小值7 C．最大值 D．最大值7 【答案】C 【详解】解： 有最大值为． 故选：C． 6．多项式可以因式分解成，m和n为整数，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：， ∵多项式可以因式分解成， ∴， 又∵和都是整数， ∴，， ∴． 7．若能用完全平方公式进行因式分解，则常数的值是(     ) A．1 B． C．2 D．2或 【答案】D 【详解】解：∵能用完全平方公式进行因式分解， ∴， ∵， ∴， 即或． 8．下列各式中，能用完全平方公式因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据完全平方公式判断即可． 【详解】解：完全平方公式 A、常数项不是平方数，无法配成平方，不符合题意； B、，若，则；若，则，，不符合题意； C、，符合题意； D、，括号内不符合完全平方式的结构特征，无法用完全平方公式因式分解，不符合题意． 9．如图，有三种不同形状的卡片①②③各若干张．现用2张卡片①、8张卡片②和6张卡片③无重叠无缝隙地拼成一个长方形．已知该长方形的一边长为，则另一边长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三种卡片的面积之和等于拼成的长方形面积，通过因式分解求出长方形的另一边长． 【详解】解：所有卡片的总面积为 而 ∵长方形面积长宽，且已知一边长为， ∴另一边长为． 10．小明用四张如图所示的纸片拼成一个大长方形，并据此写出一个从左到右的变形属于因式分解的等式，则该等式是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据面积相等，面积的不同表示方法，建立等式解答即可． 【详解】解：根据题意，得原图形的面积为：，新图形的面积为， 故． 11．下面是课堂上投影屏上显示的抢答题，需要回答横线处应填的内容． 分解因式：． 解： ………… ① ………… ② 其中，从①到②所依据的运算律是　　　　　　　　　　． 下列回答错误的是（     ） A．①处依据的是 B．②处的结果是 C．“运算律”一空应填“乘法分配律” D．②处的结果还能继续分解 【答案】D 【分析】先明确因式分解步骤的变形依据：因为和互为相反数，所以原式中可变形为，对应①步的变形依据．分析①到②的变形：因为①式两项有公因式，所以提取公因式得到②式，判断该过程对应的运算律．逐一判断各选项描述是否符合因式分解的要求和步骤逻辑，选出错误选项． 【详解】对选项A，由， 可得，A正确． 对选项B，提取公因式， 得，B正确． 对选项C，从①到②逆用乘法分配律提取公因式，依据的运算律为乘法分配律，C正确. 对选项D，的各因式均不能继续分解， 故该多项式无法再分解，D错误． 12．定义：若一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，则称这个数为“和谐数”．例如，，所以13是“和谐数”，下列说法不正确的是（     ） A．17是“和谐数” B．（a，b是整数）一定是“和谐数” C．如果m，n都是和谐数（m≠n），则也是“和谐数” D．当（x，y是整数）是“和谐数”时， 【答案】D 【分析】根据和谐数定义，结合完全平方公式，通过配方、因式分解逐项判断． 【详解】解：A、∵， ∴17是和谐数，不符合题意； B、∵，且，是整数， ∴，均为整数， ∴一定是和谐数，不符合题意； C、∵， 又∵，都是和谐数，设，（，，，为整数）， ∴ ， ∴是和谐数，即原式是和谐数，不符合题意； D、∵ ， 若该式是和谐数，则需，即， ∴当该式是和谐数时，的说法错误，符合题意． 13．已知可以被10至20之间的两个整数整除，这两个整数是（    ） A．13，14 B．15，16 C．16，17 D．15，17 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解的应用，通过平方差公式因式分解，得到其因子，从中找出在10至20之间的整数即可． 【详解】解： ∴ 这两个整数是15和17。 故选D 14．已知是的三边长，则的取值为（   ） A．大于0 B．等于0 C．小于0 D．非负数 【答案】C 【分析】将原式因式分解，利用三角形三边关系（两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）判断各因子的正负，从而得出表达式的符号． 本题考查了因式分解，三角形三边关系定理，有理数的乘法，熟练掌握因式分解，三边关系定理是解题的关键． 【详解】解： ， ∵是的三边长，   ∴ ，，，， ∴， ∴， 故， 故选：C． 15．若多项式可因式分解成，其中，，，均为整数，则的值是（   ） A．5 B．6 C．25 D．30 【答案】A 【分析】本题利用分组分解法对多项式进行因式分解，得到符合形式的因式后，代入计算所求式子的值即可. 【详解】先整理原多项式，再用分组分解法因式分解：整理原式得： ， ， 得，乘以的情况不改变绝对值结果， 计算得：，， 二、填空题（共4小题，每小题2分，共8分） 16．因式分解：_________． 【答案】 【分析】观察原式的两个项，存在共同因式，通过提取公因式法即可完成因式分解. 【详解】解：∵ 原式的两项与均含有公共因式 ∴ 可将作为公因式提取出来 ∴ 原式 17．已知，那么__________． 【答案】 【分析】将已知等式拆分常数项配成完全平方的和，结合偶次幂的非负性求出、的取值，代入目标式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵任意实数的平方为非负数，两个非负数的和为0时，两个非负数均为0． ∴，， ∴，， ∴． 18．已知实数，b满足，，且，则的值为________ 【答案】 【分析】将两个已知等式作差，利用平方差公式因式分解，结合的条件消去公因式，即可求得的值． 【详解】解：∵，， ∴两式相减得， ∴由平方差公式因式分解左边，得， ∵，即， ∴等式两边同时除以，得． 19．阅读材料：若（m为常数）有一个因式为，则如何因式分解？ 解：因为有一个因式为，所以当时，，于是把代入得，解得，原代数式变为，接着可以通过列竖式做多项式除法的方式求出其它因式，如图所示，则因式分解． 若（m为常数）有一个因式为，则___________；则因式分解___________． 【答案】 【分析】仿照题干求出中的值，再通过列竖式做多项式除法的方式求出其它因式，即可解题． 【详解】解：（为常数）有一个因式为， 当时，有， 即当时，有， 解得， 多项式为， ． 三、解答题（共6小题，共62分）。 20．因式分解：(8分) (1)； (2) (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： . 21．数形结合是常用的一种数学思想方法．在本章的学习中，数形结合思想贯穿始终．（8分） (1)课本利用图形（如图），借助面积关系表示了一个等式，这个等式为 ； (2)若给定一个多项式，请将此多项式分解因式并画出相应的图形（请仿照第（1）小题，在几何图形上标出有关数量）． 【答案】(1) (2) 如图所示： 【分析】（1）大正方形的面积等于边长为a的正方形、边长为b的正方形、两个邻边为a，b的长方形面积的和，由此可列出等式． （2）多项式可分解为，仿照第（1）小题即可画出图形． 【详解】（1）解：这个等式为：； （2）略 【点睛】本题考查了多项式乘以多项式法则的几何背景，根据图形面积的不同求法（相等）列式是解答本题的关键． 22．先阅读下列材料，再解答下列问题：（10分） 材料：因式分解：． 解：将“”看成整体，令，则： 原式．再将“”还原，得原式． 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题： (1)因式分解： (2)证明：无论取何值时，的值一定是非负数． 【答案】(1) (2)证明：将“”看成整体，令， 则：原式， 再将“”还原，得原式， ， 无论取何值时，的值一定是非负数． 【分析】（1）令，代入原式，利用完全平方式因式分解，再将“”还原即可； （2）令，代入原式，化简后再利用完全平方式因式分解，再将“”还原，得原式，任何情况下，都是非负数，题目得证． 【详解】（1）解：将“”看成整体，令， 则：原式， 再将“”还原，得原式； （2）略 23．在乘法公式的学习中，我们采用了构造几何图形的方法研究问题，用不同的方法求同一个平面图形的面积验证了平方差公式和完全平方公式，我们把这种方法称为等面积法．同理，通过不同的方法求同一个立体图形的体积，我们把这种方法称为等体积法．(12分) 如图1，在一个棱长为的正方体一角挖掉一个棱长为的正方体，则剩余几何体的体积为．请解决下列问题： (1)将图1的几何体进行如图2所示方法切割，得到三个长方体（如图3），图3中三个长方体的体积依次表示为__________，__________，__________； (2)请利用“等体积法”将分解因式； (3)应用：利用（1）中所得到的等式进行因式分解：； (4)拓展：已知，求代数式的值． 【答案】(1)，，． (2) (3) (4) 【分析】（1）分别找出切割后三个长方体的长、宽、高，利用长方体体积公式依次算出体积，，． （2）利用等体积法，剩余几何体体积等于三个长方体体积相加，提取公因式得到立方差分解公式． （3）把写成，套用立方差公式，令完成因式分解． （4）先对提公因式再用立方差公式变形，由、算出，代入式子求出结果为． 【详解】（1）解：观察切割得到的第一个长方体，长为，宽为，高为． 观察切割得到的第二个长方体，长为，宽为，高为． 观察切割得到的第三个长方体，长为，宽为，高为． 所以三个长方体的体积依次表示为，，． （2）解：∵ 图 1 剩余几何体体积为， 切割后三个长方体体积之和为， ∴ （3）解： （4）解： ∵ ， ∴ ． ∴ ． ∴ 原式 ． 24．把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质解决问题，这种解题方法叫作配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等方面都有着广泛的应用．(12分) 例1．因式分解：． 解：原式． 例2．若，利用配方法求M的最小值． 解：． ，， ∴当时，M有最小值3． 请根据上述材料，解决下列问题： (1)是一个完全平方式，则________； (2)分解因式：； (3)若，求y的最大值； (4)若，求当m，n为何值时，W有最小值，并求出这个最小值． 【答案】(1) (2) (3)12 (4)，，W最小值为2024 【分析】（1）利用完全平方公式的结构特征即可确定出k的值； （2）把化为的形式，先用完全平方公式，再用平方差公式因式分解； （3）首先把y配方写成，根据平方的非负性得y的最大值； （4）用拆项的方法首先把多项式化为的形式，进一步分解因式，再根据平方的非负性求出多项式最小值． 【详解】（1）解：∵是一个完全平方式， ∴； （2）解： ； （3）解： ， ， ， ， 的最大值为12； （4）解： ， ∴当，时W有最小值， ∴当，，W最小值为2024． 25．小龙在学习整式的过程中发现，当或时，多项式的值为0，此时把x的值称为多项式A的“零点”．(12分) 例如，多项式的“零点”是3和． (1)多项式的“零点”为______； (2)若多项式的一个“零点”为2，则其另一个“零点”为______； (3)小龙研究了，和等多项式，发现每个多项式的“零点”均与3有特定的数量关系，他称这些多项式为“系多项式”，表示为．若多项式是“系多项式”，请你比较当时多项式的值和当时多项式的值的大小，并说明理由． 【答案】(1)和 (2) (3)解：，理由如下： ∵ 多项式是“系多项式”， ∴ 设（为常数）， 由平方差公式得， 将代入得， 将代入得， ∵ ， ∴ ． 【分析】（1）根据多项式的“零点”的含义可得或，进一步求解即可； （2）根据多项式的“零点”的含义可得当时，，再进一步求解即可； （3）设（为常数），由平方差公式得，再进一步证明即可． 【详解】（1）解：由题意可得：或， 解得：或， ∴的“零点”为，． （2）解：∵多项式的一个“零点”为2， ∴当时，， ∴， 解得：， ∴， 当时，， ∴多项式的一个“零点”为2，则其另一个“零点”为． （3）略 1 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教版八年级上册因式分解练习卷（二） 时间：90分钟 满分：100分 姓名： 班级： 一、单选题（共15小题，每题2分，共30分） 1．下列从左到右变形，是因式分解的有（     ） （1）；（2）；（3） （4）；（5）；（6） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．算式的结果，下列说法不正确的是（    ） A．能被2024整除 B．能被2023整除 C．能被2025整除 D．能被2021整除 3．下列因式分解正确的是（     ） A． B． C． D． 4．已知，，则对于任意x，y的取值，M，N的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法判断 5．已知a，b满足则有（     ） A．最小值 B．最小值7 C．最大值 D．最大值7 6．多项式可以因式分解成，m和n为整数，则的值是（     ） A． B． C． D． 7．若能用完全平方公式进行因式分解，则常数的值是(     ) A．1 B． C．2 D．2或 8．下列各式中，能用完全平方公式因式分解的是（     ） A． B． C． D． 9．如图，有三种不同形状的卡片①②③各若干张．现用2张卡片①、8张卡片②和6张卡片③无重叠无缝隙地拼成一个长方形．已知该长方形的一边长为，则另一边长为（     ） A． B． C． D． 10．小明用四张如图所示的纸片拼成一个大长方形，并据此写出一个从左到右的变形属于因式分解的等式，则该等式是（     ） A． B． C． D． 11．下面是课堂上投影屏上显示的抢答题，需要回答横线处应填的内容． 分解因式：． 解： ………… ① ………… ② 其中，从①到②所依据的运算律是　　　　　　　　　　． 下列回答错误的是（     ） A．①处依据的是 B．②处的结果是 C．“运算律”一空应填“乘法分配律” D．②处的结果还能继续分解 12．定义：若一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，则称这个数为“和谐数”．例如，，所以13是“和谐数”，下列说法不正确的是（     ） A．17是“和谐数” B．（a，b是整数）一定是“和谐数” C．如果m，n都是和谐数（m≠n），则也是“和谐数” D．当（x，y是整数）是“和谐数”时， 13．已知可以被10至20之间的两个整数整除，这两个整数是（    ） A．13，14 B．15，16 C．16，17 D．15，17 14．已知是的三边长，则的取值为（   ） A．大于0 B．等于0 C．小于0 D．非负数 15．若多项式可因式分解成，其中，，，均为整数，则的值是（   ） A．5 B．6 C．25 D．30 二、填空题（共4小题，每小题2分，共8分） 16．因式分解：_________． 17．已知，那么__________． 18．已知实数，b满足，，且，则的值为________ 19．阅读材料：若（m为常数）有一个因式为，则如何因式分解？ 解：因为有一个因式为，所以当时，，于是把代入得，解得，原代数式变为，接着可以通过列竖式做多项式除法的方式求出其它因式，如图所示，则因式分解． 若（m为常数）有一个因式为，则___________；则因式分解___________． 三、解答题（共6小题，共62分）。 20．因式分解：(8分) (1)； (2) (3)． (4)． 21．数形结合是常用的一种数学思想方法．在本章的学习中，数形结合思想贯穿始终．（8分） (1)课本利用图形（如图），借助面积关系表示了一个等式，这个等式为 ； (2)若给定一个多项式，请将此多项式分解因式并画出相应的图形（请仿照第（1）小题，在几何图形上标出有关数量）． 22．先阅读下列材料，再解答下列问题：（10分） 材料：因式分解：． 解：将“”看成整体，令，则： 原式．再将“”还原，得原式． 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题： (1)因式分解： (2)证明：无论取何值时，的值一定是非负数． 23．在乘法公式的学习中，我们采用了构造几何图形的方法研究问题，用不同的方法求同一个平面图形的面积验证了平方差公式和完全平方公式，我们把这种方法称为等面积法．同理，通过不同的方法求同一个立体图形的体积，我们把这种方法称为等体积法．(12分) 如图1，在一个棱长为的正方体一角挖掉一个棱长为的正方体，则剩余几何体的体积为．请解决下列问题： (1)将图1的几何体进行如图2所示方法切割，得到三个长方体（如图3），图3中三个长方体的体积依次表示为__________，__________，__________； (2)请利用“等体积法”将分解因式； (3)应用：利用（1）中所得到的等式进行因式分解：； (4)拓展：已知，求代数式的值． 24．把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质解决问题，这种解题方法叫作配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等方面都有着广泛的应用．(12分) 例1．因式分解：． 解：原式． 例2．若，利用配方法求M的最小值． 解：． ，， ∴当时，M有最小值3． 请根据上述材料，解决下列问题： (1)是一个完全平方式，则________； (2)分解因式：； (3)若，求y的最大值； (4)若，求当m，n为何值时，W有最小值，并求出这个最小值． 25．小龙在学习整式的过程中发现，当或时，多项式的值为0，此时把x的值称为多项式A的“零点”．(12分) 例如，多项式的“零点”是3和． (1)多项式的“零点”为______； (2)若多项式的一个“零点”为2，则其另一个“零点”为______； (3)小龙研究了，和等多项式，发现每个多项式的“零点”均与3有特定的数量关系，他称这些多项式为“系多项式”，表示为．若多项式是“系多项式”，请你比较当时多项式的值和当时多项式的值的大小，并说明理由． 1 1 学科网（北京）股份有限公司 $