第17章因式分解分层作业-2026-2027学年人教版 数学八年级上册

**基本信息** 分层设计清晰，基础巩固单一知识点，提优强化综合应用，通过问题情境培养抽象能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础过关|提公因式法、平方差公式等单一知识点|以选择、填空、直接分解题型为主，如分解因式x³-4x| |提优过关|分组分解法、配方法及实际应用|结合几何图形、密码生成等情境，如利用因式分解判断三角形形状|

（分层作业）第17章因式分解-2026-2027学年数学八年级上册人教版（2024） 基础过关 一、单选题 1．分解因式：（   ） A． B． C． D． 2．下列多项式在有理数域能使用平方差公式进行因式分解的是（   ） A． B． C． D． 3．下列因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 4．对多项式分解因式，正确的选项是（   ） A． B． C． D． 5．已知为正整数，则四个连续正整数可表示为，，，，它们的乘积为，当时，的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 6．已知，，是的三边长，且，则的形状为（   ） A．钝角三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 7．若，则的值为（   ） A．16 B．4 C．2 D．1 8．一个正整数若能表示成两个正整数的平方差，则称这个数为c．例，3和8都是一个．所有的“流星数”从小到大排列后，第13个“流星数”是（  ） A．18 B．19 C．20 D．21 二、填空题 9．分解因式：______． 10．已知，则代数式的值是____． 11．若，，则的值为________． 12．若，是等腰三角形的两边长，且满足关系式，则的周长是________． 13．如图，一块大的长方形分成3个正方形和3个完全相同的小长方形，观察图形，可将多项式因式分解为______． 14．定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m，n的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，，16就是一个智慧优数，可以利用进行研究．若将智慧优数从小到大排列，则第2个智慧优数是______． 三、解答题 15．把下列多项式分解因式： (1)； (2)； (3)． 16．在一块边长的正方形空地的四角均留出一块边长的正方形空地修建花坛，其余的地方种植草坪．问：草坪的面积有多大？ 17．我们已经学习过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和公式法，其实分解因式的方法还有拆项法和分组分解法等等． ①拆项法：例： ②分组分解法：例： (1)仿照上面方法分解因式： ①__________；②__________； (2)已知，，为的三条边，，求的周长． 提优过关 18．小七同学对数学科目的学习兴趣浓厚．本学期在学习十七章因式分解的课堂中了解到因式分解的方法有很多种，如提公因式法、公式法、十字相乘法等．他回家主动查阅网络资料后了解到，还有一种分组分解法．即要将多项式分解因式，可以先把它的前两项分成一组，再把它的后两项分成一组，两组分别进行因式分解后，两项具有相同的公因式，再运用提公因式法进行分解从而解决问题，步骤如下： 这种分解因式的方法称为分组分解法． 根据以上方法回答下列问题： (1)分解因式分组分解法体现的数学思想有（     ） A．方程思想     B．数形结合思想     C．分类讨论思想     D．整体思想 (2)解决问题：因式分解：； (3)拓展应用：已知三角形的三边长分别为a，b，c，且满足，试判断这个三角形的形状，并说明理由． 19．人类使用密码的历史悠久，以下是利用因式分解生成密码的一种方法：先将确定的多项式分解因式，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，将因式码按从小到大的顺序排列就可以形成密码．例如多项式，将其分解因式为，若因式分解结果中的所有单项式乘积看作一个因式，取，，则有，，，其中75，17，13分别为因式码．将这三个因式码按从小到大的顺序排列就形成密码131775． (1)已知多项式，当取时，求出用上述方法生成的密码； (2)已知多项式，当n取正整数时，用上述方法生成的密码中，第一个因式码为11，求完整的密码． 20．阅读并解决问题：对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去整个式子的值不变，于是有： 解： ． 像这样，先添一适当项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”． (1)利用“配方法”分解因式：． (2)若，求a、b的值； (3)当a为何值时，二次三项式有最小值？最小值为多少？ 第1页（共4页） ◎ 第2页（共4页） 第1页（共4页） ◎ 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 《（分层作业）第17章因式分解-2026-2027学年数学八年级上册人教版（2024）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A B D B A B D C 1．A 【分析】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，熟练掌握运算方法是解题的关键． 先提取公因式x，再利用完全平方公式继续进行因式分解． 【详解】解：． 故选：A． 2．B 【分析】本题考查平方差公式进行因式分解，熟记平方差公式的结构特点是求解的关键．根据平方差公式的结构特点，两个平方项，并且符号相反，对各选项分析判断即可求解． 【详解】解：A、，不能进行因式分解，不符合题意； B、，可以使用平方差公式进行因式分解，符合题意； C、，不能使用平方差公式进行因式分解，不符合题意； D、，不能在有理数域使用平方差公式进行因式分解，不符合题意； 故选：B． 3．D 【分析】本题主要考查了因式分解，直接根据因式分解的方法和定义逐一判断即可． 【详解】解：A、，原式因式分解错误，不符合题意； B、，原式因式分解错误，不符合题意； C、，原式因式分解错误，不符合题意； D、，原式因式分解正确，符合题意； 故选：D． 4．B 【分析】本题主要考查了提公因式法与公式法的综合运用，关键是在分解因式时首先要考虑提取公因式，再考虑公式法进行分解，首先提取公因式，然后再利用平方差进行二次分解． 【详解】解：， 故选：B． 5．A 【分析】此题考查了有理数的混合运算，分解因式（因数），熟练掌握是解本题的关键． 根据，，，得． 【详解】证明: ∵，， ∴． ∵，需要将其组合为四个连续正整数的乘积， ∴四个连续数中必有两个偶数，且其中一个是4的倍数，另一个是2的倍数；同时必有一个数是3的倍数，一个数是5的倍数（或含因数5）． ∴，恰好为四个连续正整数． ∴． 故选：A． 6．B 【分析】本题考查了完全平方式，熟悉掌握完全平方式公式是解题的关键． 利用完全平方式变形运算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，，， ∴， ∴为等边三角形， 故选：B． 7．D 【分析】此题主要考查了因式分解的应用，正确分解因式是解题关键．先用完全平方公式分解因式，把已知数据代入得出答案． 【详解】解：， ， 原式． 故选：D． 8．C 【分析】此题主要考查了平方差公式，有一定的难度，主要是对题中新定义的理解与把握．如果一个数是“流星数”，就能表示为两个正整数的平方差，设这两个数分别m、n，设，即杨梅数，因为m，n是正整数，因而和就是两个自然数．要判断一个数是否是“流星数”，可以把这个数分解因数，分解成两个整数的积，看这两个数能否写成两个正整数的和与差． 【详解】解 ∶1不能表示为两个正整数的平方差，所以1不是“流星数”，对于大于1的奇正整数，有 所以大于1的奇正整数都是“流星数”， 对于被4整除的偶数，有， 即大于4的被4整除的数都是”流星数”，而4不能表示为两个正整数平方差，所以4不是“流星数”， 对于被4除余2的数， 设，其中，为正整数， 当，奇偶性相同时，被4整除，而不被4整除； 当，奇偶性相异时，为奇数，而为偶数，矛盾， 所以不存在自然数，使得．即形如的数均不为“流星数”， 因此，在正整数数列中前四个正整数只有3为“流星数”， 此后，每连续四个数中有三个“流星数”． ∴第4个“流星数”为， 第7个“流星数”为， 第10个“流星数”为， ∴第个流星数为， 故选：C． 9． 【分析】本题考查因式分解，提取公因式分解因式即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 10． 【分析】本题考查代数式的整体代入求解、因式分解，关键在于如何将代数式转换成条件中的整体． 由题意可得，把原式变形为，再整体代入即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ 故答案为： 11． 【分析】本题考查了因式分解的应用，根据已知得出，原式化为即可求解． 【详解】解：∵，， ∴ 即 ∴ 故答案为：． 12． 【分析】本题考查了因式分解的应用，等腰三角形的定义、非负数的性质及三角形三边关系；根据关系式得出，再根据是腰长和底边长两种情况讨论求解． 【详解】解：∵，即， ∴， ，， ①若是腰长，则三角形的三边长为：、、，不能组成三角形； ②若是底边长，则三角形的三边长为：、、，能组成三角形 周长为． 故答案为：． 13． 【分析】本题主要考查了因式分解与几何图形的面积，弄清图形中的面积关系是解题关键． 图中大长方形的面积有两种求法，一是由三个正方形的面积与三个小长方形的面积之和计算，二是由大长方形的长与宽的乘积计算，两者相等即可确定多项式因式分解的结果． 【详解】解：结合图形，可得长方形的面积为， 还可得长方形的长为，宽为， ∴长方形的面积也可以为， ∴． 故答案为：． 14．12 【分析】本题考查数字类规律探究、因式分解的应用，理解题意，利用平方差公式求解是解答的关键．先根据已知 【详解】解：∵两个正整数m，n满足， ∴或或或或，……， 当时，则， ∴， 得到的智慧优数为8，12，16，……； 当时，则， ∴， 得到的智慧优数为15，21，27，……； 当时，则， ∴， 得到的智慧优数为24，32，……； 当时，则， ∴， 得到的智慧优数为35，45，……； 当时，则， ∴， 得到的智慧优数为48，60，……； ……， 把这些智慧优数从小到大排列为8，12，15，16，21，24，27，32，35，45，48，60，……， 故第2个智慧优数是12， 故答案为：12． 15．(1) (2) (3) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 16． 【分析】用大正方形的面积减去小正方形的面积得出草坪的面积即可． 【详解】解：草坪的面积为： ． 17．(1)①；②； (2) 【分析】（1）①仿照题干中的方法把拆成，然后再利用完全平方公式和平方差公式分解因式； ②利用分组分解因式的方法，可得：原式，然后再利用完全平方公式和平方差公式分解因式； （2）利用拆项法可得：，利用完全平方公式分解因式可得，根据平方的非负性可得，，，再根据三角形的周长公式求解． 【详解】（1）①解： ； ②解： ； （2）解：， ， ， ，，， ，，， ． 18．(1)D (2) (3)解：这个三角形是等边三角形．理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴这个三角形是等边三角形． 【分析】（1）因式分解中把相同的公因式看成整体，再运用提公因式法进行分解，因此体现了整体思想； （2）运用材料的分组分解法求解即可； （3）运用分组分解法将化为，根据平方的非负性求得，即可判断的形状． 【详解】（1）解：分组分解法体现的数学思想有整体思想． （2）解： ． （3）略 19．(1)用上述方法生成的密码为； (2)完整的密码为． 【分析】本题考查因式分解，已知字母的值，求代数式的值． （1）分解因式为，将代入各因式，将因式码按从小到大的顺序排列即可； （2）分解因式为，根据题意可得，可得，分别代入，，将因式码按从小到大的顺序排列，即可得完整的密码． 【详解】（1）解： ， 当时，，， 因式码为，，， ∴将这三个因式码按从小到大的顺序排列就形成密码． （2）解： ， ∵为正整数， ∴为偶数， 又∵，第一个因式码为11， ∴， ∴， ∴，， ∴完整的密码为． 20．(1) (2) (3)当时，式有最小值，最小值为1； 【分析】（1）该式变形为，再利用平方差公式分解可得； （2）先化为，根据可得答案； （3）先化为，进而可得答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ∴ ∴ ∵ ∴ ∴； （3）解：∵ ∴当时，式有最小值，最小值为1． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $