精品解析：上海市民办立达中学2026-2027学年第一学期期中质量检测八年级数学试卷

2026学年第一学期期中质量检测 初二年级数学试卷 （完卷时间：100分钟分值：150分） 一、选择题（本大题共6题，每题4分，共24分） 1. 下列说法：①的平方根是；②没有立方根；③无限小数都是无理数；④所有实数在数轴上都有唯一的对应点．其中正确的个数有（ ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【详解】解：①∵， ∴的平方根是，故①错误． ②∵负数有立方根， ∴有立方根，故②错误． ③∵无限循环小数是有理数，且属于无限小数， ∴无限小数不都是无理数，故③错误． ④所有实数在数轴上都有唯一的对应点，故④正确． 综上，正确的说法共1个． 2. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵，被开方数含能开得尽方的因数， ∴A不是最简二次根式； ∵，被开方数含分母， ∴B不是最简二次根式； ∵的被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式， ∴C是最简二次根式； ∵，被开方数含能开得尽方的因式， ∴D不是最简二次根式． 3. 下列方程中，是一元二次方程的是（） A. B. C. D. （为常数） 【答案】B 【解析】 【分析】需注意一元二次方程是整式方程且二次项系数不为0，据此判断各选项． 【详解】解：A选项方程含两个未知数，不是一元二次方程． B选项方程是只含的整式方程，且未知数最高次数为2，是一元二次方程． C选项方程分母含未知数，不是整式方程，不是一元二次方程． D选项当时，方程的二次项系数为0，变为一元一次方程，不一定是一元二次方程． 4. 10.2万是由四舍五入取得的近似数，则它是精确到（ ） A. 十分位 B. 万位 C. 十万位 D. 千位 【答案】D 【解析】 【详解】解：将万还原为原数，得，数字位于千位，该近似数精确到千位． 5. 如图，一个矩形被分割成四部分．已知图形①②③都是正方形，且正方形①的边长为1，阴影部分的面积为，则正方形③的面积为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据阴影部分面积和正方形①边长求出阴影部分宽，进而得出正方形②边长，利用矩形边长关系得出正方形③边长，最后计算面积． 【详解】解：∵正方形①的边长为，阴影部分的面积为 ∴阴影部分的宽为： ∴正方形②的边长为： ∴正方形③的边长为： ∴正方形③的面积为：． 6. 小明同学在解关于的一元二次方程时，不小心将一次项系数写成了，将常数项写成了，解出错误方程的两个根分别是和．现有以下两种说法：①：原方程必定有一个根是；②：原方程有两个不相等的实数根．则下列判断正确的是（） A. ①正确，②错误 B. ①错误，②正确 C. ①、②都正确 D. ①、②都错误 【答案】B 【解析】 【分析】由错误方程的两根推导，与的数量关系，再分别判断两个说法的正误． 【详解】解：由题意得错误方程为，其两根为和． ∴由根与系数的关系得，， ∴，． ①：将代入原方程左边，得， 将，代入，得， ∵， ∴，即不是原方程的根，①错误． ②：原方程的判别式， 将，代入，得， ∵， ∴，即， ∴原方程有两个不相等的实数根，②正确． 二、填空题（本大题共11题，每题4分，共44分） 7. 64的立方根是_______． 【答案】4 【解析】 【分析】根据立方根的定义即可求解. 【详解】解：∵43=64， ∴64的立方根是4， 故答案为：4. 【点睛】此题主要考查立方根的定义，解题的关键是熟知立方根的定义. 8. 若在实数范围内有意义，则的取值范围是_________________. 【答案】x≤3且x≠-1. 【解析】 【分析】根据二次根式与分式的性质即可求解. 【详解】依题意得 解得x≤3且x≠-1. 【点睛】此题主要考查分式的性质，解题的关键是熟知二次根式的性质. 9. 比较大小：______．（填“>”，“<”或“=”） 【答案】 【解析】 【详解】解： ∵ ∴ ∴ ∵正实数的平方越大，对应的原数越大 ∴ 10. 不等式：的解集是_______． 【答案】 【解析】 【分析】通过移项、合并同类项、判断系数正负化系数为1、分母有理化的步骤求解一元一次不等式，注意不等号方向的变化规则． 【详解】解：移项得 合并同类项得 ∵ ∴两边同时除以，不等号方向不变，得 解得： 11. 北斗卫星导航系统是中国正在实施的自主发展，独立运行的全球卫星导航系统，作为中国“智造”的靓丽名片，未来“北斗星座”将更加闪亮．已知某北斗卫星绕地球运动的速度是，当卫星绕地球运行时，所走过的路程用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．根据单项式乘以单项式进行计算即可解答. 【详解】由题意可得， (米). 答：卫星绕地球运行所行的路程是米. 12. 如图，由内到外依次为正方形，，，若的面积为7，的面积为10，则的边长可以是整数_______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据题意得出的边长，即可求解． 【详解】解：∵的面积为7，的面积为10， ∴的边长为，的边长为． ∵由内到外依次为正方形， ∴的边长的边长的边长， ∴的边长． ∵， ∴，且，即 ∴的边长可以是整数3． 13. 若关于x的一元二次方程的一个根为0，则m的值等于____________ 【答案】2 【解析】 【分析】把代入，转化为m的方程求解即可．本题考查了一元二次方程的定义及解法，方程根的定义即使方程左右两边相等的未知数的值，转化求解是解题的关键． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个根为0， ∴，且， 解得（舍去）， 故答案为：2． 14. 在实数范围内因式分解：______. 【答案】 【解析】 【分析】先在实数范围内提公因式得：，然后利用配方法以及平方差公式将括号里的进行因式分解变形得出答案 【详解】===== 故答案为 【点睛】本题主要考查了因式分解的基本方法，熟练掌握相关方法是关键 15. 某商品两次价格上调后，单价从元变为元，则平均每次调价的百分率为_______． 【答案】 【解析】 【分析】设平均每次调价的百分率为x，根据两次价格上调后的最终单价列一元二次方程，结合实际意义舍去不合题意的根，即可求得结果 【详解】解：设平均每次调价的百分率为 ∵商品初始单价为元，经过两次价格上调后单价为元． ∴第一次调价后的单价为． ∴第二次调价后的单价为． 根据题意列方程： 方程两边同时除以4，得 对等式两边开平方，得． ∵价格上调，调价百分率x为正数，即． ∴取，解得． 另一解，即，不符合价格上调的实际意义，舍去． ∴平均每次调价的百分率为． 16. 关于的一元二次方程()，若它的两个根为和，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】已知一元二次方程的两个根，可通过根与系数的关系建立、、的等量关系，代入目标代数式化简求值即可． 【详解】解：∵一元二次方程()的两个根为和， ∴由根与系数的关系可得， 两根之和：， 两根之积：， 由，整理得， 由，整理得， 将，代入，得， ． 17. 我们知道，一元二次方程没有实数根，即不存在一个实数的平方等于．若我们定义一个新数“”，使其满足（即方程有一个根为），并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有运算律和运算法则仍然成立，于是有，，例如：．则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查新定义运算与规律探究，根据新定义得出的指数的循环规律，每4个为一个循环，每个循环的和为0，计算总项数除以4的余数，再根据余数计算最终结果即可 【详解】解：由题意得： ，，，，， 可得的指数每4个一循环，且一个循环的和为， ， 即共有506个完整循环，剩余2项为和， ，， 三．解答题（本大题共7题，18、19题每小题10分，20、21、22每小题12分，23题13分，24题13分，共82分） 18. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 【小问2详解】 解：原式 19. 解方程 （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【小问1详解】 解：， ， ， ∵，，， ∴， ∴， ∴，； 【小问2详解】 解：， ， ∴或， ∴，． 20. 已知，，求下列各式的值： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先对x、y做分母有理化化简，然后把变形为代入计算即可； （2）把变形为代入计算即可． 【小问1详解】 解：∵，． ∴，，． ∴ ； 【小问2详解】 解：∵，， ∴ ． 21. 已知关于的一元二次方程． （1）若方程有两个实数根，求的取值范围； （2）如果方程的两个实数根、满足：，求、的值以及的值． 【答案】（1） （2），， 【解析】 【分析】（1）由方程有两个实数根得判别式非负，列不等式求解的取值范围． （2）利用根与系数的关系得到两根之和，与已知等式联立成方程组求解两根，再由两根之积计算的值． 【小问1详解】 解：∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴， 即， 解得． 【小问2详解】 解：∵方程的两个实数根为、， ∴根据根与系数的关系，得， 又∵， 联立得方程组， 用第二个方程减去第一个方程，得， 将代入，得， 即方程组的解为， ∴． 22. 如图，从一个大正方形木板中裁去面积分别为和的两个小正方形木板． （1）求原大正方形木板的边长； （2）求剩余木板（阴影部分）的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出两个小正方形木板的边长，求和即可求出答案； （2）原大正方形木板的面积减去两个小正方形的面积即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵两个小正方形木板的面积分别为和， ∴两个小正方形木板的边长分别为，， ∴原大正方形木板的边长为． 【小问2详解】 解：原大正方形木板的面积为：（）， ∴剩余木板（阴影部分）的面积为（）． 23. 综合与实践 【问题背景】国家对地下车库设计的核心标准是：过道的宽度不仅是为了“通过”，更是为了车辆安全、顺利地转弯、停入和驶出车位．为保证车辆交会时能安全通过，采取“宁宽勿窄”的原则，设计在条件允许的情况下，双向行驶车道的宽度标准为米． 【数据收集】我市某小区地下车库分为等多个区域，其中A区域为长40米，宽22米的标准矩形场地，规划如图所示，停车场内车道宽度均为x米．另据调查分析，该小区每个车位的月租金为200元时，可全部租出；若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位，设小区每个车位月租金上涨金额为y元． 【建立模型】 （1）当车库A区域停车位（图中阴影）的占地面积为时，通过计算判断车道宽度是否符合标准？ （2）若该小区E区域共有停车位50个，当每个车位的月租金上涨多少元时，该区域停车场的月租金收入为10125元？ 【答案】（1）车道宽度符合标准 （2）每个车位月租金上涨25元 【解析】 【分析】（1）通过平移计算车库A区域停车位（图中阴影）的占地面积，再列方程求解即可； （2）设该区域每个车位月租金上涨y元，则租出的车位数量为个，再根据“该区域停车场的月租金收入为10125元”列方程求解即可． 【小问1详解】 解：先将图形平移，如解图， 由题意，得， 或（不符合实际，舍去）， ， ∴车道宽度符合标准． 【小问2详解】 解：设该区域每个车位月租金上涨y元，则租出的车位数量为个， 由题意得． 解得， ∴每个车位月租金上涨25元． 24. 阅读材料：用配方法求最值． 已知，为非负实数， ， ，当且仅当“”时，等号成立． 例1：已知，求函数的最小值． 解：令，则有，得， 当且仅当，即时，函数取到最小值，最小值为4． 例2：已知，求函数的最大值． ，又， 当且仅当时，有最小值，， ∴当时，有最小值，最小值为， ∴此时有最大值为：； 根据以上信息回答下列问题． （1）已知，则函数取到最小值，最小值为_____，已知，则的最小值是_______； （2）已知，则自变量_______时，函数取到最大值？最大值为_______？ （3）如图，四边形的对角线，交于点，，，当四边形的面积能取到最小值时，边、需满足什么条件？（直接写出答案，不需要证明） 【答案】（1）， （2）， （3）当时，四边形的面积能取到最小值 【解析】 【分析】（1）根据阅读材料中的例的解题思路求解即可； （2）根据阅读材料中的例的解题思路求解即可； （3）令，，则有，根据阅读材料中的解题思路可知当且仅当时，取最小值，最小值为，即，则可得到，根据三角形的面积公式可得：当时，四边形的面积能取到最小值． 【小问1详解】 解：令，， 由阅读材料可知， ， 当且仅当时，有最小值，的最小值是； ， ， 可得：， 令，， 由阅读材料可知， ， 当且仅当时，有最小值，最小值为 的最小值是， 的最小值是， 当且仅当时， 有最小值，最小值是； 【小问2详解】 解：， ， 令，， 由阅读材料可知， ， 当且仅当时，有最小值，最小值为， 此时， ， ， ， 当时，有最大值，最大值为； 【小问3详解】 解：令，， ， ， ， 当且仅当时，取最小值，最小值为， 即， ， ， 和底边上的高相等， 即点和点到边上的垂线段相等， ， 即当时，四边形的面积能取到最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026学年第一学期期中质量检测 初二年级数学试卷 （完卷时间：100分钟分值：150分） 一、选择题（本大题共6题，每题4分，共24分） 1. 下列说法：①的平方根是；②没有立方根；③无限小数都是无理数；④所有实数在数轴上都有唯一的对应点．其中正确的个数有（ ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（） A. B. C. D. 3. 下列方程中，是一元二次方程的是（） A. B. C. D. （为常数） 4. 10.2万是由四舍五入取得的近似数，则它是精确到（ ） A. 十分位 B. 万位 C. 十万位 D. 千位 5. 如图，一个矩形被分割成四部分．已知图形①②③都是正方形，且正方形①的边长为1，阴影部分的面积为，则正方形③的面积为( ) A. B. C. D. 6. 小明同学在解关于的一元二次方程时，不小心将一次项系数写成了，将常数项写成了，解出错误方程的两个根分别是和．现有以下两种说法：①：原方程必定有一个根是；②：原方程有两个不相等的实数根．则下列判断正确的是（） A. ①正确，②错误 B. ①错误，②正确 C. ①、②都正确 D. ①、②都错误 二、填空题（本大题共11题，每题4分，共44分） 7. 64的立方根是_______． 8. 若在实数范围内有意义，则的取值范围是_________________. 9. 比较大小：______．（填“>”，“<”或“=”） 10. 不等式：的解集是_______． 11. 北斗卫星导航系统是中国正在实施的自主发展，独立运行的全球卫星导航系统，作为中国“智造”的靓丽名片，未来“北斗星座”将更加闪亮．已知某北斗卫星绕地球运动的速度是，当卫星绕地球运行时，所走过的路程用科学记数法表示为______． 12. 如图，由内到外依次为正方形，，，若的面积为7，的面积为10，则的边长可以是整数_______． 13. 若关于x的一元二次方程的一个根为0，则m的值等于____________ 14. 在实数范围内因式分解：______. 15. 某商品两次价格上调后，单价从元变为元，则平均每次调价的百分率为_______． 16. 关于的一元二次方程()，若它的两个根为和，则_______． 17. 我们知道，一元二次方程没有实数根，即不存在一个实数的平方等于．若我们定义一个新数“”，使其满足（即方程有一个根为），并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有运算律和运算法则仍然成立，于是有，，例如：．则______． 三．解答题（本大题共7题，18、19题每小题10分，20、21、22每小题12分，23题13分，24题13分，共82分） 18. 计算： （1）； （2）． 19. 解方程 （1）； （2）． 20. 已知，，求下列各式的值： （1）； （2）． 21. 已知关于的一元二次方程． （1）若方程有两个实数根，求的取值范围； （2）如果方程的两个实数根、满足：，求、的值以及的值． 22. 如图，从一个大正方形木板中裁去面积分别为和的两个小正方形木板． （1）求原大正方形木板的边长； （2）求剩余木板（阴影部分）的面积． 23. 综合与实践 【问题背景】国家对地下车库设计的核心标准是：过道的宽度不仅是为了“通过”，更是为了车辆安全、顺利地转弯、停入和驶出车位．为保证车辆交会时能安全通过，采取“宁宽勿窄”的原则，设计在条件允许的情况下，双向行驶车道的宽度标准为米． 【数据收集】我市某小区地下车库分为等多个区域，其中A区域为长40米，宽22米的标准矩形场地，规划如图所示，停车场内车道宽度均为x米．另据调查分析，该小区每个车位的月租金为200元时，可全部租出；若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位，设小区每个车位月租金上涨金额为y元． 【建立模型】 （1）当车库A区域停车位（图中阴影）的占地面积为时，通过计算判断车道宽度是否符合标准？ （2）若该小区E区域共有停车位50个，当每个车位的月租金上涨多少元时，该区域停车场的月租金收入为10125元？ 24. 阅读材料：用配方法求最值． 已知，为非负实数， ， ，当且仅当“”时，等号成立． 例1：已知，求函数的最小值． 解：令，则有，得， 当且仅当，即时，函数取到最小值，最小值为4． 例2：已知，求函数的最大值． ，又， 当且仅当时，有最小值，， ∴当时，有最小值，最小值为， ∴此时有最大值为：； 根据以上信息回答下列问题． （1）已知，则函数取到最小值，最小值为_____，已知，则的最小值是_______； （2）已知，则自变量_______时，函数取到最大值？最大值为_______？ （3）如图，四边形的对角线，交于点，，，当四边形的面积能取到最小值时，边、需满足什么条件？（直接写出答案，不需要证明） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $