精品解析：上海市黄浦区震旦外国语中学2025-2026学年上学期八年级数学期中试题

上海市震旦外国语中学2025学年第一学期八年级期中考试数学试卷 （考试时间100分钟） 一、选择题 1. 已知下列各数：，，，，0.010010001，其中无理数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了无理数的定义，算术平方根与立方根，注意带根号的要开方开不尽的才是无理数，无限不循环小数为无理数．如，，（每两个8之间依次多1个等形式．先化简，再根据有理数、无理数的定义判断即可． 【详解】解：， 在实数中，无理数有，，共2个． 故选：． 2. 下列各式中，的有理化因式是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了有理化因式，如果两个含有二次根式的非零代数式相乘，它们的积不含有二次根式，就说这两个非零代数式互为有理化因式．单项二次根式的有理化因式是它的同类二次根式；其他代数式的有理化因式可用平方差公式来进行分步确定． 对于形如的表达式，其有理化因式通常为，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：依题意，，为有理数， ∴的有理化因式是， 故选：D． 3. 若是关于的一元二次方程，则的值是（ ） A. B. C. 1 D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的定义，关键是掌握一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．根据一元二次方程的定义可得：且，再解即可． 【详解】解：由题意得：且， 解得， 故选：． 4. 若，，那么等于（   ） A. 57.68 B. 115.36 C. 26.776 D. 53.552 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了立方根，根据立方根的性质：立方根中，被开方数的小数点每向右移动三个单位，它的立方根的小数点向相同的方向移动一位，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 5. 已知是无理数，但是有理数，则下列各式是有理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了多项式的化简，将多项式化简后，得出带有字母的多项式，再将选项整理观察与已知相同的部分．去括号，合并同类项，或通过多项式乘法展开可得是有理数． 【详解】解： ， 是无理数，但是有理数， 是有理数，是有理数， ．，因和5为有理数，a为无理数，则为无理数，故为无理数，故选项错误； ．，因和为有理数，a为无理数，则为无理数，故为无理数，故选项错误； ．，因和1为有理数，a为无理数，则为无理数，故为无理数，故选项错误； ．，是有理数，是有理数，故选项正确； 故选：． 6. 定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如 和有且仅有一个相同的实数根．所以这两个方程为“同伴方程”，若关于的方程 的参数同时满足 和．且该方程与 互为“同伴方程”， 则的值为（ ） A. 1或 B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】由和可得关于x的方程两个实数根为，由，可得的根为或，根据与互为“同伴方程”，即得或．掌握“同伴方程”的定义是解题的关键． 【详解】解：∵同时满足和， 关于的方程两个 实数根为 ， 或， 的根为或 ， 与互为“同伴方程”， 或． 故答案为： 1或． 二、填空题 7. 化简：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，利用二次根式的性质进行化简即可，解题的关键是正确理解二次根式的性质． 【详解】解：， 故答案为：． 8. 比较大小：______（填“＞”或“＜”）． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了二次根式大小比较，正确掌握二次根式的性质是解题关键．直接利用二次根式的性质比较得出答案． 【详解】解：，， ， ． ． 故答案为：． 9. 若，化简______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的性质及化简、完全平方公式，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先判断，，再根据二次根式的性质化简，进而得出答案． 【详解】解：原式， ， ，， 原式 ． 故答案为：． 10. 在数轴上表示的点与表示数2的点之间的距离是______． 【答案】2． 【解析】 【分析】在数轴上表示和2，在左边，2在右边，即可确定两个点之间的距离． 【详解】在数轴上表示和2，在左边，2在右边， 在数轴上表示的点与表示数2的点之间的距离是： 2-（）=2． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了数轴，解题的关键是知道确定两个点之间的距离，就是用右边的数减去左边的数． 11. .不等式的解集是______________． 【答案】 【解析】 【分析】根据解一元一次不等式基本步骤:移项、合并同类项、系数化为1可得. 【详解】移项,得: , 合并同类项,得: , 系数化为1,得: , 故答案为 . 【点睛】本题主要考查解一元一次不等式基本步骤，熟悉掌握是关键. 12. 方程的解是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，掌握因式分解法是关键． 通过移项将方程化为标准形式，然后因式分解，利用零乘积性质求解． 【详解】解：化为一般式得，， ∴因式分解得，， ∴， 故答案为：． 13. 若最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式，则的值为______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了同类二次根式，最简二次根式，解一元二次方程因式分解法，掌握同类二次根式的定义，最简二次根式的定义，解一元二次方程的方法是解题的关键．根据最简二次根式和同类二次根式的定义可得：，再根据解一元二次方程的方法解方程即可． 【详解】解；最简二次根式与是同类二次根式， ，即， ， 或， 解得：，， 当时，，不是最简二次根式； 当时，，是最简二次根式， 的值为5． 故答案为：5． 14. 若是方程的一个根，则代数式的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解的特征．把代入方程得到，将原式转化为，然后代入求值即可． 【详解】解：是方程的一个根， ∴， ， ， 故答案为：． 15. 水由氢、氧两种元素组成，一个水分子包含两个氢原子和一个氧原子，1个氢原子的质量约为，一个氧原子的质量约为，一个水分子的质量大约是______．（结果用科学记数法表示） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法—表示较小的数，读懂题意是解题的关键．根据一个水分子的质量两个氢原子的质量一个氧原子的质量，列式计算即可得出答案． 【详解】解： ， 故答案为：． 16. 在实数范围内分解因式：_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数范围内分解因式．先求出方程的两个根，再根据即可因式分解．设多项式等于0，解出方程两根，再分解因式即可． 【详解】解：令， ， ， ． 故答案为：． 17. 如果一元二次方程的两个根为，，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的知识点是一元二次方程中根与系数的关系，解题关键是熟练掌握根与系数的关系． 由根与系数的关系可得，，，根据该一元二次方程求出所对应的值后，代入即可求解． 【详解】解：根据根与系数的关系可得： ，， ， 原式， ， ， ． 故答案为：． 18. 阅读下列材料： 当为实数时，求的最大值．设，将其化为关于的一元二次方程，得．因为为实数，就是这个方程有实数根，所以，得，即的最大值为，则为实数时，的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，将函数化为关于的一元二次方程，利用根的判别式求函数的最值是本题的关键．设，将化为关于的一元二次方程，若此方程有实数解，则根的判别式，从而得到关于的不等式，解此不等式即可求得原函数的最小值． 【详解】解：设， 将化为关于的一元二次方程． 关于的一元二次方程有实数解， ， 解得， ，的最小值是． 故答案为：． 三、解答题 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式，熟练掌握运算法则是解题的关键． （）根据二次根式乘除运算法则即可求解； （）先分母有理化，二次根式乘法运算，然后进行二次根式加减运算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 解方程： （1） （2） （3）（用配方法） （4） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键． （1）用因式分解法解一元二次方程即可； （2）将一元二次方程化为一般形式，再用因式分解法解一元二次方程即可； （3）用配方法解一元二次方程即可； （4）先将一元二次方程变为一般形式，再用公式法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：， 因式分解得：， ∴或， 解得：； 【小问2详解】 解：， 原方程可变为：， 因式分解得：， ∴或， 解得：； 【小问3详解】 解：， 移项得：， 方程两边同除以3得：， 配方得：， 开平方得：， ∴； 【小问4详解】 解：， 变为一般形式得：， ，，， ， ∴， 即． 21. 先化简，后求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，先根据二次根式的混合运算化简，再代入字母的值进行计算即可求解． 【详解】解：原式 当，时， 原式． 22. 已知关于的方程有两个相等的实数根，且方程有一个根为． （1）判断以、、为边的三角形的形状，并说明理由； （2）若方程的两根为、，求的值． 【答案】（1） 解：等边三角形．理由如下： ∵关于x的方程有两个相等的实数根， ∴，即：， ∴， ∵方程有一个根为， ∴把代入得：， 联立①②，解得：， ∴以 a、b、c为边的三角形是等边三角形． （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，以及一元二次方程根的判别式与根的关系，当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根． （1）由方程有两个相等的实数根，可得，再结合方程有一个根为得，联立即可求出a，b，c的关系；（2）根据（1）求出的a，b的关系，可以得出方程有两个相等的实数根，由即可求出m． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：方程的两根为a、b， 由（1）可知，， ∴方程有两个相等的实数根， ∴，即：， 化简得：， 解得：． 当时，方程变为，则，即，此时与方程有一个根为矛盾，舍去. 当时，方程变为，则，符合题意. 所以. 23. 已知数轴上有A、B、C、D四个点，其中A、B分别表示和，点C向左移动4个单位后与点A重合． （1）点C表示的数是 ； （2）对于数轴上三个点，若其中两个点关于第三个点对称，则称这三个点有“优美关系”．如果点A、B、D有“优美关系”，则点D表示的数为 ； （3）若点C所表示的数的整数部分为，小数部分为，求的值． 【答案】（1） （2）或1或 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了实数与数轴，熟练掌握数轴上点的特征是解题的关键． （1）点C向左平移4个单位长度后与点A重合，也就是点A向右平移4个单位长度得到点C解答即可． （2）分三种情况考虑，利用数轴上点的特征和对称性解答即可． （3）通过估算的取值范围，求出x和y的值，然后代入计算即可． 【小问1详解】 解：点C向左平移4个单位后与点A重合， 点C表示的数是 故答案为：； 【小问2详解】 解：设点D表示的数为， 点A、点B、点D为优美关系，且点A、B分别表示数和． 当点B和点D关于点A对称时，则点A为线段的中点，即， 即， 解得； 当点B和点A关于点D对称时，则点D为线段的中点，即， 即， 解得； 当点A和点D关于点B对称时，则点B为线段的中点，即， 即， 解得； 点D对应的实数为或1或 故答案为：或1或； 【小问3详解】 解：∵ ∴ ∴ ∴ ∵点C所表示的数的整数部分为，小数部分为， ∴ ∴ ． 24. 已知关于的方程（），满足，就把这个一元二次方程称为“波浪方程”． （1）判断方程是不是“波浪方程”： ；（填“是”或“不是”） （2）已知是关于的“波浪方程”，它有一个根是，则 ， ； （3）若一个“波浪方程”的两个根分别是，，求的值． 【答案】（1）是 （2）， （3）的值为7． 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解二元一次方程组等知识，解题的关键是读懂题意，理解“波浪方程”的定义． （1）计算，知方程是“波浪方程”； （2）由是关于的“波浪方程”，它有一个根是，可得，即可解得答案； （3）由的两个根分别是，，得，，即，，而是“波浪方程”，有，再解出，，的值，代入计算即可． 【小问1详解】 解：在中，，，， ， 方程是“波浪方程”； 故答案为：是； 【小问2详解】 解：是关于的“波浪方程”，它有一个根是， ， 解得， 故答案为：，； 【小问3详解】 解：的两个根分别是，， ，， ，， 是“波浪方程”， ， ， 解得， ，， ， 即的值为7． 25. 综合理解： 一元二次方程，当，它有两个实数根和，有以下关系式：，． （1）设方程的两个根为、，则 ， ； （2）设关于的方程的两个实数根为、，且，则的值为 ； （3）已知，且及，求的值． 【答案】（1）； （2）3或 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，理解题意，是解题的关键． （1）根据根与系数的关系进行求解即可； （2）解关于的方程得出，，根据，得出或，求出结果即可； （3）将变形为，得出、可看作方程的两个根，从而得出，，再代入求值即可． 【小问1详解】 解：∵的两个根为、，，，， ∴，， ∴； 【小问2详解】 解：∵关于的方程可变形为：， ∴，， 解得：，， ∵， ∴或， 解得：或． 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴、可看作方程的两个根， ∴，， ∴ ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市震旦外国语中学2025学年第一学期八年级期中考试数学试卷 （考试时间100分钟） 一、选择题 1. 已知下列各数：，，，，0.010010001，其中无理数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 下列各式中，的有理化因式是（ ）． A. B. C. D. 3. 若是关于的一元二次方程，则的值是（ ） A. B. C. 1 D. 0 4. 若，，那么等于（   ） A. 57.68 B. 115.36 C. 26.776 D. 53.552 5. 已知是无理数，但是有理数，则下列各式是有理数的是（ ） A. B. C. D. 6. 定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如 和有且仅有一个相同的实数根．所以这两个方程为“同伴方程”，若关于的方程 的参数同时满足 和．且该方程与 互为“同伴方程”， 则的值为（ ） A. 1或 B. C. 1 D. 2 二、填空题 7. 化简：______． 8. 比较大小：______（填“＞”或“＜”）． 9. 若，化简______． 10. 在数轴上表示的点与表示数2的点之间的距离是______． 11. .不等式的解集是______________． 12. 方程的解是_____． 13. 若最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式，则的值为______． 14. 若是方程的一个根，则代数式的值为______． 15. 水由氢、氧两种元素组成，一个水分子包含两个氢原子和一个氧原子，1个氢原子的质量约为，一个氧原子的质量约为，一个水分子的质量大约是______．（结果用科学记数法表示） 16. 在实数范围内分解因式：_________． 17. 如果一元二次方程的两个根为，，则_________． 18. 阅读下列材料： 当为实数时，求的最大值．设，将其化为关于的一元二次方程，得．因为为实数，就是这个方程有实数根，所以，得，即的最大值为，则为实数时，的最小值是______． 三、解答题 19. 计算： （1）； （2）． 20. 解方程： （1） （2） （3）（用配方法） （4） 21. 先化简，后求值：，其中，． 22. 已知关于的方程有两个相等的实数根，且方程有一个根为． （1）判断以、、为边的三角形的形状，并说明理由； （2）若方程的两根为、，求的值． 23. 已知数轴上有A、B、C、D四个点，其中A、B分别表示和，点C向左移动4个单位后与点A重合． （1）点C表示的数是 ； （2）对于数轴上三个点，若其中两个点关于第三个点对称，则称这三个点有“优美关系”．如果点A、B、D有“优美关系”，则点D表示的数为 ； （3）若点C所表示的数的整数部分为，小数部分为，求的值． 24. 已知关于的方程（），满足，就把这个一元二次方程称为“波浪方程”． （1）判断方程是不是“波浪方程”： ；（填“是”或“不是”） （2）已知是关于的“波浪方程”，它有一个根是，则 ， ； （3）若一个“波浪方程”的两个根分别是，，求的值． 25. 综合理解： 一元二次方程，当，它有两个实数根和，有以下关系式：，． （1）设方程的两个根为、，则 ， ； （2）设关于的方程的两个实数根为、，且，则的值为 ； （3）已知，且及，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $