精品解析：广东省深圳市南山实验教育集团华侨城高级中学2026-2027学年高一上学期期中质量监测数学试题

2026-2027学年度第一学期高一年级期中质量监测 数学 考生须知： 1．全卷共4页．选择题满分为58分，非选择题满分为92分，全卷共150分．考试时间120分钟． 2．请用2B铅笔将选择题答案填涂在答题卡上．非选择题答案必须与在答题卷的相应位置，直接做在试卷上无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 集合，则（ ） A. B. C. D. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 以下函数中既是偶函数，又在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列函数中最小值为4的是（ ） A. B. C. D. 5. 函数的单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，若互不相等的实数，，满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，若“时，使关于的不等式成立”是假命题，则的最小值为（ ） A. B. 2 C. D. 4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若，下列不等式一定成立的有（ ） A. B. C. D. 10. 下列命题中，正确的有（ ） A. 函数与函数表示同一函数 B. 若奇函数满足：当时，，则当时， C. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 D. 函数满足，则 11. 定义在上的函数满足，且当时，，则下列结论中正确的有（       ） A. B. 是增函数 C. 是奇函数 D. 二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，，则________. 13. ，若，则__________. 14. 已知点在函数的图象上，且有最小值，则常数的取值范围______． 四、解答题：本大题共5个大题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合． （1）当时，求； （2）若是的充分不必要条件，求正数的取值范围． 16. 已知幂函数是偶函数，且在上单调递增. （1）求函数的解析式； （2）若函数在上具有严格的单调性，求t的取值范围； （3）若实数a，满足，求的最小值. 17. 党的二十大报告明确要求继续深化国有企业改革，培育具有全球竞争力的世界一流企业.某企业抓住机遇推进生产改革，从单一产品转为生产两种产品，根据市场调查与市场预测，产品的利润与投资金额成正比，其关系如图①；产品的利润与投资金额的关系满足函数，如图②（注：单位为万元）. （1）分别求出两种产品的利润表示为投资金额的函数关系式； （2）该企业已筹集到10万元资金，并全部投入两种产品的生产，问：怎样分配这10万元资金，才能使企业获得最大利润，最大利润是多少？ 18. 已知定义在上的奇函数满足：对，且，都有成立，且. （1）若函数. ①求证：函数是偶函数; ②求函数的单调区间; （2）求不等式的解集. 19. 已知定义在 上的奇函数. （1）求的值； （2）判断的单调性并用定义证明. （3）若存在 ，使不等式有解，求实数的取值范围； （4）已知函数满足，且规定，若对任意 ，不等式恒成立，求实数的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度第一学期高一年级期中质量监测 数学 考生须知： 1．全卷共4页．选择题满分为58分，非选择题满分为92分，全卷共150分．考试时间120分钟． 2．请用2B铅笔将选择题答案填涂在答题卡上．非选择题答案必须与在答题卷的相应位置，直接做在试卷上无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】化简集合，根据集合交集的定义求解. 【详解】． 故选：． 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】因为自然数都是有理数，则“”是“”的充分条件， 而有理数不一定是自然数，则“”是“”的不必要条件， 所以“”是“”的充分不必要条件. 3. 以下函数中既是偶函数，又在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数奇偶性的定义判断奇偶性，根据初等函数的单调性判断单调性. 【详解】对于A，，所以是偶函数，在单调递减，故A错误； 对于B，函数定义域为，所以是非奇非偶函数，在单调递减，故B错误； 对于C，，所以是非奇非偶函数，在单调递减，故C错误； 对于D，，所以是偶函数，在单调递增，故D正确. 故选：D 4. 下列函数中最小值为4的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的性质，基本不等式及对勾函数的性质可得. 【详解】对于A：，则时，取最小值3，故A错误； 对于B：当时，，故B错误； 对于C：，则， 当且仅当，即时等号成立，则的最小值为4，故C正确； 对于D：令，则， 根据对勾函数的性质可知，当时，单调递增，则时，取最小值，故D错误. 故选：C. 5. 函数的单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先求出函数的定义域，然后再利用二次函数的单调性即可求解. 【详解】由题意可得，解得或， 又的单调递增区间为， 在上单调递增， 故函数的单调递增区间为. 故选：B. 6. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合待比较的三个数的指数，底数的特点，构造指数函数，幂函数，根据它们的单调性即可求解. 【详解】设，根据指数函数的单调性，在上单调递减，则，即； 设，根据幂函数的单调性，在上单调递增，则，即. 故. 故选：D 7. 已知函数，若互不相等的实数，，满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，作出函数的图象，结合图象可得出的取值范围，结合二次函数图象的对称性可得出，进而可求得的取值范围. 【详解】设，作出函数的图象如下图所示： 设， 当时，， 由图象可知，，则，可得， 由于二次函数的图象的对称轴为直线，所以， 因此，. 故选：A. 8. 已知，若“时，使关于的不等式成立”是假命题，则的最小值为（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】由题知“，关于的不等式恒成立”是真命题，再结合一次函数与二次函数的性质，得，最后利用基本不等式求最值即可. 【详解】因为“时，使关于的不等式成立”是假命题， 所以“，关于的不等式恒成立”是真命题， 由，则函数单调递增，且当时，；当时，. 因为时，恒成立，所以恒成立， 则当时，恒成立；当时，恒成立. 故有时，，则， 所以，当且仅当，即时取等号. 所以的最小值为 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若，下列不等式一定成立的有（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【详解】对于A，由，可知A正确. 对于B，取，则，所以B错误. 对于C，因为，所以C正确. 对于D，由，可知D错误. 10. 下列命题中，正确的有（ ） A. 函数与函数表示同一函数 B. 若奇函数满足：当时，，则当时， C. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 D. 函数满足，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，分别求出两个函数的定义域，由定义域不同判定二者不是同一函数；对于B，利用奇函数性质，将转化为代入已知式推导解析式；对于C，根据抽象函数括号内整体范围一致，解不等式得到复合函数定义域；对于D，通过替换为构造方程组，联立消元求出． 【详解】对于A，的定义域需满足，解得， 的定义域需满足，解得或， 显然两函数的定义域不同，因此两函数不是同一函数，A错误； 对于B，当时，， 当时，，， 所以，B正确； 对于C，由函数的定义域为，得， 解得，所以函数的定义域为，C正确； 对于D，由①， 得，即②， 联立①②得，D正确． 11. 定义在上的函数满足，且当时，，则下列结论中正确的有（       ） A. B. 是增函数 C. 是奇函数 D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】令，可得，令，可得与的关系，判断函数的奇偶性，可判断C的真假；再利用函数单调性的定义，判断函数在上的单调性；再利用赋值法，结合函数的奇偶性和单调性，可判断A，B，D的真假. 【详解】由，令得， 令，可得，，定义域关于原点对称，得是奇函数，C正确； 由是奇函数,得，A正确； 设，， 因为，所以，所以， 因为，所以，所以， 所以，所以，故是增函数，B正确； 由，因为是增函数，，所以，D错误. 二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，，则________. 【答案】 【解析】 【分析】利用指数幂的运算法则可计算得出所求代数式的值. 【详解】，，则. 故答案为：. 【点睛】本题考查指数幂的运算，考查计算能力，属于基础题. 13. ，若，则__________. 【答案】4 【解析】 【分析】令，可得为奇函数，再根据奇函数的性质求解. 【详解】令，则，为奇函数， 由，解得，所以. 所以. 故答案为：4. 14. 已知点在函数的图象上，且有最小值，则常数的取值范围______． 【答案】 【解析】 【分析】分别画出函数和的图象，再根据条件求解. 【详解】设，，分别绘制，的草图如下： 其中有最小值，且； 无最小值，且，. 因为函数有最小值，所以； 点在的图象上，所以. 综上. 故答案为： 四、解答题：本大题共5个大题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合． （1）当时，求； （2）若是的充分不必要条件，求正数的取值范围． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）解一元二次不等式化简集合，代入的值确定集合，利用并集和补集的定义求解； （2）将充分不必要条件转化为集合是集合的真子集，结合为正数列出不等式组求解． 【小问1详解】 ，则， 当时，， 则， 所以或． 【小问2详解】 是的充分不必要条件，所以 ， 因为为正数，即，所以，则， 由 ，可得，等号不同时成立，结合，解得， 所以正数的取值范围是． 16. 已知幂函数是偶函数，且在上单调递增. （1）求函数的解析式； （2）若函数在上具有严格的单调性，求t的取值范围； （3）若实数a，满足，求的最小值. 【答案】（1）； （2）； （3）2 【解析】 【分析】（1）根据幂函数的定义求得m，由单调性和偶函数求得k得解析式； （2）由二次函数的性质求解即可； （3）由基本不等式求得最小值． 【小问1详解】 由题意可得，解得， 又因为函数在上单调递增， 所以，解得， 即或2，又因为为偶函数，所以， 即； 【小问2详解】 因为，所以， 其开口向上，对称轴为， 又因为函数在上具有严格的单调性，所以或， 解得或， 所以实数t的取值范围为； 【小问3详解】 由题可知a，，且， 所以，可得， 所以， 当且仅当，即，时等号成立， 所以的最小值是 17. 党的二十大报告明确要求继续深化国有企业改革，培育具有全球竞争力的世界一流企业.某企业抓住机遇推进生产改革，从单一产品转为生产两种产品，根据市场调查与市场预测，产品的利润与投资金额成正比，其关系如图①；产品的利润与投资金额的关系满足函数，如图②（注：单位为万元）. （1）分别求出两种产品的利润表示为投资金额的函数关系式； （2）该企业已筹集到10万元资金，并全部投入两种产品的生产，问：怎样分配这10万元资金，才能使企业获得最大利润，最大利润是多少？ 【答案】（1）， （2）A产品投入6万元，B产品投入4万元，才能使企业获得最大利润，最大利润是7万元 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求得，根据图②的数据代入的解析式后可求参数的值，从而可求. （2）列出企业利润的函数解析式，结合换元法可求利润最大值. 【小问1详解】 由题设，由图知，故，故. 又，，所以，， 所以，故，故，故． 【小问2详解】 设A产品投入万元，则B产品投入万元，设企业利润为万元 则， 令，则， 所以当时，，此时. 故A产品投入6万元，B产品投入4万元，才能使企业获得最大利润，最大利润是7万元. 18. 已知定义在上的奇函数满足：对，且，都有成立，且. （1）若函数. ①求证：函数是偶函数; ②求函数的单调区间; （2）求不等式的解集. 【答案】（1）①∵是定义在上的奇函数，∴. ∴， ∴函数是偶函数. ②单调减区间是；单调增区间是. （2） 【解析】 【分析】（1）①由，根据偶函数的定义判断为偶函数； ②根据及，利用单调性的定义证明在上是减函数；再根据为偶函数，得到在上是增函数. （2）由，故可转化为或，再根据的单调性，可得不等式的解集. 【小问1详解】 ①略 ②设且，则， 由，得， ∴，即， 所以函数在上是减函数； 又∵函数是偶函数，∴在上是增函数； 所以的单调减区间是；单调增区间是. 【小问2详解】 ∵，是偶函数 ∴， 由，故可转化为或， 当时，由得，即， 因为在上是减函数，∴； 当时，由得，即， 因为在上是增函数，∴. 即不等式的解集为. 19. 已知定义在 上的奇函数. （1）求的值； （2）判断的单调性并用定义证明. （3）若存在 ，使不等式有解，求实数的取值范围； （4）已知函数满足，且规定，若对任意 ，不等式恒成立，求实数的最大值. 【答案】（1）参数为. （2）函数在上单调递减.证明如下. 任取，且.因为，所以指数函数在上单调递增，从而. 由（1）得. 因为，，，所以分子、分母均为正.因此，故在上单调递减. （3）取值范围为. （4）最大值为. 【解析】 【分析】（1）利用奇函数在原点的函数值及相反自变量的函数值求参数. （2）结合指数函数的单调性，用定义作差判断. （3）利用函数单调性去掉外层函数，配方确定不等式有解的条件. （4）先求出并建立与的关系，再分离参数，用基本不等式求最大值. 【小问1详解】 因为是定义在上的奇函数，所以，且，得. 由得，化简得，解得. 此时分母恒为正，且，符合题意. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）知在上单调递减， 则等价于， 即在上能成立. 因为，则可得. 即实数的取值范围为. 【小问4详解】 令，当时，， 由题设等式得 则，即. 当时，，同一表达式也成立. 因此，且. 所以原不等式对任意恒成立，等价于对任意恒成立. 因，当且仅当时等号成立. 由可得，解得，故等号可以取到. 因此，即的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $