精品解析：广东广州市天河外国语学校2026-2027学年高一第一学期期中考试数学试卷

2026学年第一学期期中考试试卷高一年级数学 考试时长：120分钟 满分150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 设全集为，集合，，韦恩图如下图，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 已知集合， ，则集合的子集个数为（ ） A. 16 B. 8 C. 4 D. 2 3. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 5. 若存在，使不等式成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 设幂函数的图象经过原点，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数满足对任意都有成立，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知时，函数的图象在x轴上方，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 下列命题正确的是（ ） A. 在上恒成立，则实数的取值范围是 B. 关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是. C. 若关于的方程的一根比1大且另一根比1小，则的取值范围是 D. 若不等式的解集为或，则 10. 设正实数，满足，则（ ） A. 的最大值是 B. 的最大值为2 C. 的最小值为 D. 的最小值是 11. 已知定义在上的奇函数满足，且时，，则下列结论中正确的有（    ） A. B. 函数在上是单调递减 C. 函数的图象关于点成中心对称 D. 函数的图象关于直线成轴对称 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. ______. 13. 方程有两实数解，则的取值范围是___________. 14. 已知符号函数，若函数，则不等式的解集为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知集合和集合． （1）求； （2）求． 16. 已知对任意实数恒成立. （1）求实数的取值所构成的集合; （2）在（1）的条件下，设函数在上的值域为集合，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 17. 如图，互相垂直的两条小路，旁有一长方形花坛，其中，．现欲经过点C修一条直路l，l交小路，分别为点P，Q．计划准备将长方形花坛扩建成一个更大的三角形花坛，要求的长不小于且不大于．记三角形花坛的面积为． （1）设，试用x表示，并求x的取值范围； （2）当长是多少时，S取最大和最小值？最大和最小值是多少？ 18. 已知函数. （1）判断并证明函数的单调性； （2）若函数为奇函数，求实数的值； （3）在（2）的条件下，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 19. 给定函数，若实数使得，则称为函数的不动点，若实数使得，则称为函数的稳定点，函数的不动点一定是该函数的稳定点. （1）求函数的不动点； （2）若函数恰有两个不相等且均大于1的不动点、，求的取值范围； （3）设，，且恰好有两个不相等的稳定点、，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026学年第一学期期中考试试卷高一年级数学 考试时长：120分钟 满分150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 设全集为，集合，，韦恩图如下图，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据韦恩图确定集合与的关系，结合充分必要条件的定义进行判断即可 【详解】由韦恩图可知，集合包含于集合，即. 若，由可知，，故充分性成立； 若，由于中存在不属于的元素，则不一定属于，故必要性不成立. 所以“”是“”的充分不必要条件. 2. 已知集合， ，则集合的子集个数为（ ） A. 16 B. 8 C. 4 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】先求集合，再求，根据元素个数即可求解. 【详解】由，解得或，所以，所以， 所以的子集个数为. 3. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】由存在命题的否定是全称命题，即可得到结果. 【详解】，的否定是，. 4. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数定义域的求解规则，偶次根式被开方数非负、分式分母不为0，列不等式组求解后取交集即可. 【详解】要使函数有意义，需同时满足：且， 由，得； 由，得，解得且； 取上述两个解集的交集，由于已自动排除的情况，因此函数定义域为. 5. 若存在，使不等式成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对不等式分离参数可得，进而求解参数范围即可. 【详解】对于，变形得， 因为，所以不等式等价为， 即存在，使不等式成立， 对于式子，由基本不等式可得， 当且仅当时，等号成立，即，符合条件， 所以在上的最大值为，所以. 6. 设幂函数的图象经过原点，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由是幂函数且图象经过原点确定的值及的解析式，再利用的单调性即可得解． 【详解】因为是幂函数，所以，解得或， 又的图象经过原点，所以，即 因为，所以 ， 又因为在上单调递增， 所以 7. 已知函数满足对任意都有成立，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为满足对任意都有，可知在R上单调递减， 则，解得，即 8. 已知时，函数的图象在x轴上方，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】令，再参变分离得到，求得的最大值，进而可求解. 【详解】令，因为，所以 ， 则恒成立，等价于：  恒成立， 两边同除以，得， 令，由 得， 令， 是开口向下的二次函数， 对称轴，在区间单调递减， 因此最大值为： ，  要使对所有​恒成立， 只需， 整理得： ， 解得， 故 实数a的取值范围是. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 下列命题正确的是（ ） A. 在上恒成立，则实数的取值范围是 B. 关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是. C. 若关于的方程的一根比1大且另一根比1小，则的取值范围是 D. 若不等式的解集为或，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】A：令，则即可求得的范围； B：根据题意求出和的关系，化简即可求出解集； C：令，则即可求得的范围； D：根据二次方程根与系数的关系求出间的关系，即可判断的符号. 【详解】A：在上恒成立，令， 则，即，解得，故A正确； B：关于的不等式的解集是， 则关于的不等式等价于，即， 解得或，故B正确； C：要使关于的方程的一根比1大且另一根比1小， 令，则有，即， 解得，故C错误； D：若不等式的解集为或， 则，且， 又，故D正确. 故选：ABD. 10. 设正实数，满足，则（ ） A. 的最大值是 B. 的最大值为2 C. 的最小值为 D. 的最小值是 【答案】CD 【解析】 【分析】对于ABC：利用基本不等式运算求解即可；对于D：利用乘“1”法结合基本不等式运算求解即可. 【详解】因为正实数满足. 对于选项A：因为，即，解得， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以的最大值是，故A错误； 对于选项B：因为，即，可得， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以的最大值为，故B错误； 对于选项C：因为， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以的最小值为，故C正确； 对于选项D：因为， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值是，故D正确. 11. 已知定义在上的奇函数满足，且时，，则下列结论中正确的有（    ） A. B. 函数在上是单调递减 C. 函数的图象关于点成中心对称 D. 函数的图象关于直线成轴对称 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用奇函数的性质求出负半轴上相应区间的解析式，再结合已知函数关系求函数值、判断单调性；利用对称中心处的函数值排除C，将函数关系转化为轴对称的判定等式判断D. 【详解】由为奇函数，得. 当时，，于是. 结合已知条件可得，当时，. 对于A，在中令，得. 又，所以，A正确. 对于B，当时，. 由已知关系得，所以函数在上单调递减，B正确. 对于C，若函数的图象关于点成中心对称，则必有，即， 而，C错误. 对于D，由可得对任意均成立， 故函数的图象关于直线成轴对称，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. ______. 【答案】. 【解析】 【分析】根据幂的运算性质可直接求得结果. 【详解】因为. 故答案为：. 13. 方程有两实数解，则的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】方程有两实数解等价于与直线有两个交点，画出图象即可求解 【详解】方程有两实数解等价于与直线有两个交点. 画出曲线与直线的图象如图所示， 由图象可得，如果曲线与直线的图象有两个公共点，则的取值范围是 故答案为： 14. 已知符号函数，若函数，则不等式的解集为__________． 【答案】或或 【解析】 【分析】分，和三种情况讨论，解分式不等式即可求解. 【详解】当时，则， 即，解得或，又，所以； 当时，，符合题意； 当时，则， 即，解得或，又，所以； 综上所述，不等式的解集为或或. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知集合和集合． （1）求； （2）求． 【答案】（1）. （2）. 【解析】 【小问1详解】 ， 等价于 ，即 ， 等价于，即 或，则或 ， 所以； 【小问2详解】 或 ，或， 则 16. 已知对任意实数恒成立. （1）求实数的取值所构成的集合; （2）在（1）的条件下，设函数在上的值域为集合，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）通过讨论实数是否为时，即可通过解不等式求出实数的取值所构成的集合； （2）求出集合，即可求出实数的取值范围. 【小问1详解】 由题意， 对恒成立， 当时，原不等式变为，符合题意; 当时，对恒成立的充要条件为 解得：. 综上可知，实数的取值所构成的集合 【小问2详解】 由题意， ， ∴， ∵是的充分不必要条件， ∴解得：， 经检验知满足题意， 故实数的取值范围为：. 17. 如图，互相垂直的两条小路，旁有一长方形花坛，其中，．现欲经过点C修一条直路l，l交小路，分别为点P，Q．计划准备将长方形花坛扩建成一个更大的三角形花坛，要求的长不小于且不大于．记三角形花坛的面积为． （1）设，试用x表示，并求x的取值范围； （2）当长是多少时，S取最大和最小值？最大和最小值是多少？ 【答案】（1）， （2）时，S最小值为；当时，S最大值为 【解析】 【分析】（1）根据题意，由两三角形相似求出，即得，由得范围求出x的范围即可； （2）依题列出S的表达式，整理后利用对勾函数的单调性即可求得其最小值． 【小问1详解】 依题意可得∽，则有， 即，可得，因此． 又要求的长不小于且不大于，即， 解得，即，． 【小问2详解】 由图知， 所以， 单调递减；单调递增； 由对勾函数可得： 当时，S取得最小值2400， 当时，S取值2500， 当时，S取值3750， 因此当时，S取得最小值，最小值为． 因此当时，S取得最大值，最大值为． 18. 已知函数. （1）判断并证明函数的单调性； （2）若函数为奇函数，求实数的值； （3）在（2）的条件下，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）增函数，证明如下： 函数的定义域为，对任意，设， 则， 因为，所以，所以 所以为单调递增函数； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用定义法证明函数的单调性，即可求解； （2）根据函数为奇函数，则，从而求解； （3）利用函数的单调性与奇函数的性质，从而求解. 【小问1详解】 增函数，证明略； 【小问2详解】 因为函数为奇函数且定义域为，所以，， 当时，满足，故； 【小问3详解】 因为是奇函数，从而不等式对任意的恒成立等价于不等式对任意的恒成立. 又因为在上为增函数，所以等价于不等式对任意的恒成立， 即不等式对任意的恒成立. 所以必须有，即， 所以实数的取值范围. 故的取值范围为. 19. 给定函数，若实数使得，则称为函数的不动点，若实数使得，则称为函数的稳定点，函数的不动点一定是该函数的稳定点. （1）求函数的不动点； （2）若函数恰有两个不相等且均大于1的不动点、，求的取值范围； （3）设，，且恰好有两个不相等的稳定点、，求实数的取值范围. 【答案】（1）和3 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用不动点的定义列方程，解方程即得答案； （2）利用不动点的定义把问题转化成方程有两个大于1的不相等的实数根、，进而得到，再整理得到，进而求解即可； （3）利用稳定点的定义把问题转化成方程有两个不同的根，分类讨论即得答案. 【小问1详解】 令，得，整理得，解得或， 经检验知均满足要求，故函数的不动点为和3． 【小问2详解】 依题意，有两个大于1的不相等的实数根、， 即方程有两个大于1的不相等的实数根、， 所以，解得， 所以 ， 因为函数开口向上，对称轴为， 而，则， 所以的取值范围为． 【小问3详解】 令，得， 即，得， 所以有，此方程恰好有两个不同的实数解． ①当，即时，方程化为， 仅有一个实数解，不满足题意； ②当时，要么方程无实数解， 要么方程仅有一个实数解为1或者． 故或或， 解得或． 综上所述，实数的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $