北京市汇文中学2026-2027学年九年级上学期数学期中试卷

北京汇文中学教育集团2026-2027学年度第一学期期中 考试 初三年级数学 本试卷共8页，共100分。考试时长120分钟。考生务必将答案答 在答题卡上，在试卷上作答无效。 一、选择题：本题共10小题，每小题2分，共20分。 1.下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( A.矩形B.等边三角形 C.等腰直角三角形 D.平行四边形 2,反比例函数y=的图象一定经过的点是( A.（-1,5) B.(1,5) C.(23) D.(-2,3) 3在平面直角坐标系中，点A(3,-4)关于原点对称的点的坐标是( A.(3,4) B.(3,-4) C.(-3,-4) D.(-3,4) 4.圆心角为120°的扇形的半径是3cm,则这个扇形的面积是 A.6πcm2 B.3πcm2 C.9πcm2 D.πcm2 5如图，以点P为圆心作圆，所得的圆与直线相切的是 A.以PA为半径的圆 B.以PB为半径的圆 C.以PC为半径的圆 D.以PD为半径的圆 6.如图，AB是⊙0的直径，∠BAC=50°，则∠D=( A.20°B.40°C.50°D.80 第1页，共8页 7.·:次函数的部分图象如图所示，对称轴是直线x=一1，则这个二次函数的解析式为( A.y=-x2+2x+3 B.y=x2+2x+3 C.y=-x2+2x-3 D.y=-x2-2x+3 3 ▣▣ 8若A(-2,小.B1,2.c(3,为)均在抛物线y=x-上.则 1,y2,y3的大小关系为 A.y2>y3>y1 B.y2>y1>y3 C.y3>y2>y1 D.y1>y2>y3 9.如图，游乐园里的原子滑车是很多人喜欢的项目，惊险刺激，原子滑车在轨道上运行的 过程中有一段路线可以看作是抛物线的一部分，原子滑车运行的竖直高度y(单位。m)与 水平距离x(单位：m)近似满足函数关系y=Qx2+x+c(a去0).如图记录了原子滑车在 该路段运行的x与y的三组数据A(x1,y1)、B(x,y2)、C(x3,y),根据上述函数模型和数 据，可推断出，此原子滑车运行到最低点时，所对应的水平距离x满足一 A.x<X B.x1<x<x2 C.x=x2 D.X2<x<Xg I0.如图，正方形ABCD的边长是2，E是AD边上一动点，连接BE,过点A作AF⊥BE于点 D F,P是AD边上另一动点，则PC+PF的最小值为 A.5+V5-1B.3-1C.V5+2-1D.213-2 二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。 11.关于x的一元二次方程x2+m+4=0有一个根为1，则m的值为 第2页，共8页 12,如图，点A是反比例函数y=《(x>0)图象上的一点，AB垂直于x 轴，垂足为B,△OAB的面积为6.则k=一 13.如图，四边形ABCD内接于⊙O,连接BD,已知 ∠BAD=∠BCD,且BC=DC,则∠BDC的度数为 14如图，⊙C与LAOB的两边分别相切，其中0A边与⊙C相切于点P, 若LA0B=90°，0P=4,则0C的长为 15.如图，已知AB是半圆0的直径，弦CD/∥AB,CD=8,AB=10,则 CD与AB之间的距离是一· 16.如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB'CD的位置，旋转 角为a(0°<a<90)若L1=112°，则a的大小是 17.如图，抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为 A(-2,4),B(1,1),则方程ax2=bx+c的解是 18.已知点P、Q分别为图形M和图形N上的任意点，若存在点P、Q使得 PQ=1我们就称图形M、N为理想图形，P、Q为关于图形M、N的一对 理想点， (1)如图，在正方形0ABC中，点A(0,2),点C(2,0),已知庶Q(-2,0), E(0,4),F(1,1)中，_与正方形0ABC为理想图形： (②)已知⊙0半径r=2,若直线y=x+b与⊙0有且只有一对理想点，则 第3页，共8页 知 三、解答题：本题共10个小题，共64分。 19.(6分)用适当的方法解方程： (1)(x-1)2-16=0 (2)x2-5x-6=0: ▣▣ 20.(5分)已知：如图，△ABC为锐角三角形，AB=AC 求作：一点P,使得∠APC=∠BAC 作法：①以点A为圆心，AB长为半径画圆： ②以点B为圆心，BC长为半径画弧，交⊙A于点C,D两点： ③连接DA并延长交⊙A于点P. A 点P即为所求 (1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）： B (2)完成下面的证明 证明：连接PC,BD .AB=AC, .点C在⊙A上， .BC=BD, ∴∠ ∴.∠BAC= ∠CAD ,点D,P在⊙A上， 1 ∴∠CPD=∠CAD.( (填推理的依据) ∴.∠APC=∠BAC 第4页，共8页 21,(5分)已知关于x的一元二次方程x2+(2k+1)x+k2+1=0有两个不等实数根 X1,X2: (1)求k的取值范围： (2)若x1x2=5,求k的值. 2.5分)在如图所示的平面直角坐标系中，作出函数y=的图象（不用列表），并 根据图象回答下列问题： (1)当x=-2时，求y的值 寄 (2)当-1<x<2且x≠0时，直接写出y的取值范围， 32 方-4-3-2-文十立34 3 4 23.(6分)如图，△ABC内接于⊙O,高AD经过圆心O. (1)求证：AB=AC: (2)若BC=16,⊙0的半径为10，求△ABC的面积. 第5页，共8页 24.(8分)教室内饮水机接通电源后自动循环工作：开机后加热升温，当水温达到 100℃时停止加热，水温自然冷却下降；当水温回落至30℃时，饮水机自动重启加热， 重复上述过程.值日班长于7：20到校接通饮水机电源，记接通电源后第x分钟时对应的 水温为y℃，水温随时间变化的测量数据如表所示： ▣▣ x（分 0 2 5 10 14 16 20 钟) y(℃) 30 50 80 100 70 50 43.75 35 请根据上述信息解决下列问题： (1)根据表中数据在如图给出的坐标系中，描出相应的点： y水温（单位：℃） 60 5 10 15 20x时间（单位：分） (2)选择适当的函数，分别求出第一次加热过程和第一次降温过程的函数关系式并写出自 变量x的取值范围： (3)上午第一节下课时间为8：45，同学们能不能喝到不超过50℃的水？请通过计算说 明 25.(6分)如图，⊙0是△ABC的外接圆，AB是⊙0的直径，∠DCA=LB (1)求证：CD是⊙0的切线： (②)若DE⊥AB,垂足为E,DE交AC于点F,求证：△DCF是等 腰三角形， B 第6页，共8页 26.(7分)已知抛物线C:y=m2+br-3a,经过点A(3,0) (1)求抛物线C的对称轴： (2)当a>0时，点B(m),C(22)在抛物线上，若片<，请直接写出n的取值范 围 (3)当a<0时，已知D0,3),将点D向右平移4个单位长度，向下平移2个单位长度，得 到点E,设点P是抛物线C上的动点，其横坐标为t若存在满足0≤t≤2的实数t,使得 点P的纵坐标与线段DB上的点的纵坐标相等，求☑的取值范围. 27.(8分)(1)已知正方形ABCD,M,N分别是边BC,CD上一点，连接AM,AN, MN,且LMAN=45°，将△ABM绕着点A逆时针旋转90度，使点B的对应点为点D, 点M的对应点为点P,在图1中完成上述作图： (2)在(1)的基础上，运用三角形全等的相关知识，可推理得到三条线段BM,MN,DN之 间的数量关系是 (3)如图2，正方形ABCD的边长为5，点E在线段BC上一动点（不与点B重合），连接AE,以 AE为边长在BC的上方作正方形AEFG,AF交线段CD于点H,连接FC. ①若DH=3,求BE: ②若△CFH是等腰三角形且FH+FC,直接写出BE的长 B E 图1 图2 第7页，共8页 28.(8分)对于⊙P及一个矩形给出如下定义：如果⊙P上存在到此矩形四个顶点距离 都相等的点，那么称⊙P是该矩形的“等距圆”如图所示，在平面直角坐标系xOy中，矩形 ABCD的顶点A的坐标为(3,2)，顶点C,D在x轴上，OC=OD,且⊙P的半径为4. (1)①在P1(0,-1),P2(2√3,3)，P3(3,2)中可以成为矩形ABCD的“等距圆”的圆心的 ▣后 是 ②如果点P在直线y=x+3上，且⊙P是矩形ABCD的等距圆”，求点P的坐标」 (2)如果点P在边长为2的正方形上运动，正方形的中心为T,-1+1),且正方形各边与 直线y=一x+1平行或垂直，若⊙P是矩形ABCD的等距圆”，则直接写出t的取值范围 第8页，共8页