精品解析：陕西省榆林市高新二中等校2026-2027学年八年级上学期期中考试数学试题

2026~2027学年度第一学期期中素养测评 八年级数学 （满分：120分 时间：120分钟） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 我国古代在数学和科技方面有许多发明创造．下面是同学们以计算工具、画图工具为原型绘制的简笔图，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 一个三角形的两边长分别为和，则第三边的长可能是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，，，，则的长为（ ） A. 3.5 B. 7 C. 10.5 D. 14 4. 如图，在中，，是的角平分线，于点E．若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，，点B，E，C，F在同一条直线上，与相交于点O．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，是的中线，是的中线．若的面积为，则的面积为（ ） A. B. C. D. 7. 如图；在中，点D为边上一点，连接，，若，则的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 8. 如图，两根相同长度的梯子倚靠在小巷中的两面墙上，墙面都与地面垂直，若点O恰为线段的中点，测得，则梯子的顶端C离地面的高度为（） A. B. C. D. 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 已知等腰三角形的周长为26，底边长为8，则它的腰长为__________． 10. 命题“对应角相等的两个三角形全等”的逆命题是__________命题．（填“真”或“假”） 11. 在一个直角三角形中，一个锐角的度数是另一个锐角度数的4倍，则较大锐角的度数为_________． 12. 如图，在中，点D在边上，点E在边上，把三角形纸片沿所在直线折叠，点A落在三角形内部的点处．若，，则的度数为__________ 13. 如图，线段与相交于点D，，连接，垂直平分，垂足为E，连接、，若，则的度数为__________． 14. 如图，在等边中，，点D在边上，点E在边的延长线上，且，连接交于点F，则的长为__________． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 在中，，比大，求的度数． 16. 在平面直角坐标系中，点与点关于x轴对称，求的值． 17. 如图，某商铺在竖直墙面上安装遮阳棚，墙面上的两个安装点为A、B，遮阳棚与斜撑杆相交于点C，从点C处垂下一根装饰挂件．若，，求证：是直角三角形． 18. 如图，已知，请你用尺规作图的方法在边上求作一点P，连接，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 19. 如图，点P在的平分线上，点B在上，点C在上，连接，，过点P作于点E，于点F．求证：． 20. 如图，在中，，点D在边上，连接，，过点D作平分，交边于点E，若，，求的长． 21. 如图；在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出关于y轴对称的（点A、B、C的对应点分别为点、、）； （2）在（1）的条件下，写出点、、的坐标． 22. 如图，在中，，于点D，于点E，与相交于点O，且．求证：是等边三角形． 23. 我国古代很早就有“测望”之术，魏晋时期数学家刘徽所著《海岛算经》就记载了借助立表（标杆）和视线测量海岛高远的方法．某数学兴趣小组受古代测望思想的启发，设计了一种测量某段河流宽度的方法．①在的延长线上取一点A，从点A出发沿的垂线方向走到点C处，用测角仪测出视线与的夹角；②在点C处沿背离河流的方向作的垂线；③在上取点D，使得；④测量、的长．已知图中所有点均在同一平面内，若测得，，求这段河流的宽度． 24. 如图，在中，点D在边上，于点E，于点F，且，连接，点G在上，连接，． （1）求证：平分； （2）若，，求四边形的周长． 25. 如果一个三角形的某个内角恰好等于另外两个内角的差，那么称这个三角形为“衡差三角形”．例如：三个内角分别为，，的三角形中，，所以它是“衡差三角形”． （1）下列三角形中，是“衡差三角形”的是__________（填序号）； ①三个内角的度数之比为的三角形；②有两个内角分别为和的三角形． （2）小秦发现：“衡差三角形”一定是直角三角形，请你帮他说明理由； （3）如图，在钝角中，，，平分交于点D．若是“衡差三角形”，求的度数． 26. 【问题提出】 （1）如图1，和都是等边三角形，连接．求证：； 【问题解决】 （2）如图2，某公园有一块边长为的等边三角形绿地，沿方向从点A向外延伸出一条笔直的林荫道（即的延长线）．夜间灯光秀时，在林荫道上的点D处（不与点A重合）放置一台投影灯，以为边在地面上投出等边三角形光影，点E与点B在直线的同侧．从点B出发有一条与垂直的小路，小路上的观景亭P与点A在直线的同侧，．连接，当点D在的延长线上运动时，求观景亭P与点E之间距离的最小值．（林荫道、小路的宽度及投影灯、观景亭的大小均忽略不计） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026~2027学年度第一学期期中素养测评 八年级数学 （满分：120分 时间：120分钟） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 我国古代在数学和科技方面有许多发明创造．下面是同学们以计算工具、画图工具为原型绘制的简笔图，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、是轴对称图形，故此选项符合题意； D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； 2. 一个三角形的两边长分别为和，则第三边的长可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：设第三边长为， ∵ 三角形两边长分别为, ∴ ， 即 , ∵ ， ∴符合要求． 3. 如图，在中，，，，则的长为（ ） A. 3.5 B. 7 C. 10.5 D. 14 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵，，，， ∴． 4. 如图，在中，，是的角平分线，于点E．若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，得到，先求出长度即可． 【详解】解：，， ． 是的角平分线，即，， ． 5. 如图，，点B，E，C，F在同一条直线上，与相交于点O．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由全等三角形的性质得到，，则可证明，得到，根据三角形内角和定理求出的度数即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 6. 如图，是的中线，是的中线．若的面积为，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形的中线等分面积可得，，据此即可求解． 【详解】解：∵是的中线，是的中线， ∴，， ∴， ∴． 7. 如图；在中，点D为边上一点，连接，，若，则的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 8. 如图，两根相同长度的梯子倚靠在小巷中的两面墙上，墙面都与地面垂直，若点O恰为线段的中点，测得，则梯子的顶端C离地面的高度为（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵点O恰为线段的中点， ∴． ∵墙面都与地面垂直， ∴． ∵两根相同长度的梯子， ∴． 在和中 ， ， ∴． 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 已知等腰三角形的周长为26，底边长为8，则它的腰长为__________． 【答案】9 【解析】 【分析】已知等腰三角形的周长与底边长，利用等腰三角形两腰相等的性质，结合周长的构成关系计算腰长． 【详解】解：∵等腰三角形的周长为26，底边长为8，且等腰三角形的两腰长度相等， ∴两腰的长度之和为， ∴腰长为． 10. 命题“对应角相等的两个三角形全等”的逆命题是__________命题．（填“真”或“假”） 【答案】真 【解析】 【分析】拆分原命题的题设与结论，交换位置得到逆命题，结合全等三角形的性质判断逆命题的真假． 【详解】解：拆分原命题的结构，原命题的题设为“两个三角形的对应角相等”，结论为“这两个三角形全等”， 根据互逆命题的定义，将题设与结论互换，得到逆命题为“全等三角形的对应角相等”， ∵ 全等三角形的对应角相等是全等三角形的基本性质， ∴ 该逆命题为真命题． 11. 在一个直角三角形中，一个锐角的度数是另一个锐角度数的4倍，则较大锐角的度数为_________． 【答案】72 【解析】 【分析】根据直角三角形两锐角互余的性质，结合两锐角的倍数关系建立方程求解即可． 【详解】解：∵ 直角三角形有一个内角为，三角形内角和为， ∴ 两个锐角的度数和为， 设较小锐角的度数为，则较大锐角的度数为， ∴ ， 解得， ∴ 较大锐角的度数为． 12. 如图，在中，点D在边上，点E在边上，把三角形纸片沿所在直线折叠，点A落在三角形内部的点处．若，，则的度数为__________ 【答案】24 【解析】 【分析】根据折叠可得，，，然后结合邻补角的性质以及三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：由折叠可得，， ∵， ∴， 由折叠可得，， ∴． 13. 如图，线段与相交于点D，，连接，垂直平分，垂足为E，连接、，若，则的度数为__________． 【答案】80 【解析】 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 14. 如图，在等边中，，点D在边上，点E在边的延长线上，且，连接交于点F，则的长为__________． 【答案】7 【解析】 【分析】作，交于点M，证明是等边三角形，得出，证明，得出，即可求出结论． 【详解】解：作，交于点M， 在等边中，， ∵， ，， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 在中，，比大，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理和已知条件求出的值，即可解答； 【详解】解：，比大， ，， 由三角形内角和定理得， 即， 解得， ． 16. 在平面直角坐标系中，点与点关于x轴对称，求的值． 【答案】0 【解析】 【分析】关于x轴对称的两点的坐标特征：横坐标不变，纵坐标互为相反数；据此可求得a与b的值，从而求得的值． 【详解】解：∵点A与点B关于x轴对称， ，， 解得，， ． 17. 如图，某商铺在竖直墙面上安装遮阳棚，墙面上的两个安装点为A、B，遮阳棚与斜撑杆相交于点C，从点C处垂下一根装饰挂件．若，，求证：是直角三角形． 【答案】证明：， ， ∵， ， ， ， 是直角三角形． 【解析】 【分析】根据平行线的性质求出，结合，求出，得出，即可证明． 【详解】略 18. 如图，已知，请你用尺规作图的方法在边上求作一点P，连接，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 解：如图，点P即为所求作． 【解析】 【分析】本题考查了线段的垂直平分线的作法．作线段的垂直平分线交于点P，连接即可．解题的关键是熟练掌握线段的垂直平分线的判定． 【详解】略 19. 如图，点P在的平分线上，点B在上，点C在上，连接，，过点P作于点E，于点F．求证：． 【答案】证明：∵点P在的平分线上，，， ， 在和中， ， ， ． 【解析】 【详解】略． 20. 如图，在中，，点D在边上，连接，，过点D作平分，交边于点E，若，，求的长． 【答案】1 【解析】 【详解】解：，平分， 是的中线， ， ， ． 21. 如图；在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出关于y轴对称的（点A、B、C的对应点分别为点、、）； （2）在（1）的条件下，写出点、、的坐标． 【答案】（1）如图，即为所求． （2）点，，． 【解析】 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 如图，在中，，于点D，于点E，与相交于点O，且．求证：是等边三角形． 【答案】证明：， ， ，， ， ，， ， 即， ， ， ， 又， 是等边三角形． 【解析】 【分析】根据，得出，结合，，得出，结合，求出，，结合即可证明是等边三角形． 【详解】略 23. 我国古代很早就有“测望”之术，魏晋时期数学家刘徽所著《海岛算经》就记载了借助立表（标杆）和视线测量海岛高远的方法．某数学兴趣小组受古代测望思想的启发，设计了一种测量某段河流宽度的方法．①在的延长线上取一点A，从点A出发沿的垂线方向走到点C处，用测角仪测出视线与的夹角；②在点C处沿背离河流的方向作的垂线；③在上取点D，使得；④测量、的长．已知图中所有点均在同一平面内，若测得，，求这段河流的宽度． 【答案】这段河流的宽度为 【解析】 【分析】证明，得出，即可解答； 【详解】解：由题意得，， ， 在和中，，，， ， ， ， 答：这段河流的宽度为． 24. 如图，在中，点D在边上，于点E，于点F，且，连接，点G在上，连接，． （1）求证：平分； （2）若，，求四边形的周长． 【答案】（1）证明：，，， ∴点D在的平分线上，即平分， ， 又， ， ， 即平分． （2） 【解析】 【分析】（1）先证明平分，即，根据三角形内角和定理得出，即平分． （2）根据角平分线的性质得出，证明，得出，即可解答； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）得，平分， 又，， ， 在和中， ，，， ． ， ∴四边形的周长为． 25. 如果一个三角形的某个内角恰好等于另外两个内角的差，那么称这个三角形为“衡差三角形”．例如：三个内角分别为，，的三角形中，，所以它是“衡差三角形”． （1）下列三角形中，是“衡差三角形”的是__________（填序号）； ①三个内角的度数之比为的三角形；②有两个内角分别为和的三角形． （2）小秦发现：“衡差三角形”一定是直角三角形，请你帮他说明理由； （3）如图，在钝角中，，，平分交于点D．若是“衡差三角形”，求的度数． 【答案】（1）① （2）设“衡差三角形”的三个内角为，，，且， ， 又， ， 解得， ∴“衡差三角形”一定是直角三角形． （3） 【解析】 【分析】（1）根据定义判断即可； （2）根据三角形内角和定理证明即可； （3）由（2）知“衡差三角形”是直角三角形，结合已知条件即可求解． 【小问1详解】 解：①三个内角的度数之比为2∶3∶5的三角形， ∵， ∴是“衡差三角形”； ②有两个内角分别为和的三角形，则第三个角为，不符合“衡差三角形”定义； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由（2）知“衡差三角形”是直角三角形， 是钝角三角形，， ， 平分， ， ， ， ， ， ． 26. 【问题提出】 （1）如图1，和都是等边三角形，连接．求证：； 【问题解决】 （2）如图2，某公园有一块边长为的等边三角形绿地，沿方向从点A向外延伸出一条笔直的林荫道（即的延长线）．夜间灯光秀时，在林荫道上的点D处（不与点A重合）放置一台投影灯，以为边在地面上投出等边三角形光影，点E与点B在直线的同侧．从点B出发有一条与垂直的小路，小路上的观景亭P与点A在直线的同侧，．连接，当点D在的延长线上运动时，求观景亭P与点E之间距离的最小值．（林荫道、小路的宽度及投影灯、观景亭的大小均忽略不计） 【答案】（1）证明：和都是等边三角形， ，，， ，即， 在与中， ； （2）观景亭P与点E之间距离的最小值为 【解析】 【分析】（1）利用证明即可； （2）连接，过点P作，交射线于点F．利用证明，推出，得到点E始终在以点B为端点、与成角（与点A在同侧）的一条确定的射线上运动，据此计算即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图2，连接，过点P作，交射线于点F． 和都是等边三角形， ，，， ， 在与中， ， ， ∵点D在的延长线上， ， ， 即点E始终在以点B为端点、与成角（与点A在同侧）的一条确定的射线上运动， ， ， ， 又， ， ， 当点E与点F重合时，取得最小值，最小值即为的长度， ∴观景亭P与点E之间距离的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $