精品解析：广西壮族自治区柳州市鹿寨县鹿寨中学2026-2027学年高一上学期11月期中考试数学试题

2029届高一（上）期中考试（数学） （本卷满分150分 考试时间120分钟） 一、单选题（共40分）：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 已知集合，若，则实数的值为（ ） A. B. C. 或 D. 2. “”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. .， 4. 已知，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 6. 若函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 7. 已知幂函数的图象过点，则函数的单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，则满足的a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（共18分）：在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 如图，已知矩形表示全集，是的两个子集，则阴影部分可表示为（ ） A. B. C. D. 10. 设正实数a，b满足，则（ ） A. 有最小值4 B. 有最小值 C. 有最大值 D. 11. 若函数在时，值域也为，则称为的“保值区间”.下列结论正确的是（ ） A. 函数不存在保值区间 B. 函数有无数多个保值区间 C. 若函数存在保值区间，则 D. 若函数存在保值区间，则 三、填空题（共15分） 12. 已知集合，，则______. 13. 不等式的解集为____． 14. 已知函数是上的减函数，则的取值范围是________. 四、解答题（共77分） 15. 已知全集，集合，，求： （1）； （2） 16. 已知 （1）求的取值范围 （2）求的取值范围 （3）若，求的取值范围 17. 如图，动物园要围成2间相同的长方形禽舍，四周和中间隔板均用钢筋网围成.（接头处不计） （1）若使每间禽舍面积为12m2，则每间禽舍的长和宽各设计为多长时，可使围成2间禽舍的钢筋网总长最小? （2）现有可围18m长的钢筋网的材料，当每间禽舍的长和宽各设计为多长时，可使每间禽舍面积最大? 18. 二次函数满足且． （1）求的解析式； （2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围． （3）令，函数在区间上的最小值为，最大值为，求． 19. 已知不等式的解集为． （1）若，求的值； （2）若，且不等式有且仅有9个整数解，求的取值范围； （3）若解关于的不等式：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2029届高一（上）期中考试（数学） （本卷满分150分 考试时间120分钟） 一、单选题（共40分）：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 已知集合，若，则实数的值为（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件得到或或，再利用集合的互异性即可求出结果. 【详解】因为，所以或或， 当时，，不满足集合元素的互异性， 当时，得到或（舍），又时，，满足题意， 当，得到，此时，不满足集合元素的互异性， 故选：A. 2. “”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程解法可得等价于且，可得结论. 【详解】易知， 当时，满足，但此时，即充分性不成立； 若，可得且，即必要性成立； 因此可得“”是“”的必要而不充分条件. 故选：B 3. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. .， 【答案】C 【解析】 【分析】由特称命题的否定为全称命题即可求解； 【详解】“，”的否定为，， 故选：C 4. 已知，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用待定系数法求得，再根据不等式的性质求解即可. 【详解】设， 则， 所以， ， 因为， 所以， 所以，即， 故选：C. 5. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用一元二次不等式的求解方法判断即得. 【详解】不等式化为：，而， 所以的不等式无解，即解集为. 故选：B 6. 若函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件列出不等式组，解出即可. 【详解】因为函数的定义域为， 所以，解得或， 故函数的定义域为， 故选：A. 7. 已知幂函数的图象过点，则函数的单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用待定系数法求出幂函数的解析式，然后利用复合函数的单调性得出结果． 【详解】设，因为的图象过点， 所以，解得，即， 可得在上单调递减， 则函数， 由，解得或， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的单调递增区间为. 故选：A. 8. 已知函数，则满足的a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分，和三种情况讨论，结合函数的单调性求解即可. 【详解】当时，， 则， 故无解； 当时，， 故无解； 当时，要使，有两种情况， 第一种情况，，即时， 此时由于函数在上单调递增， 则，解得； 第二种情况，，即时， 此时， 则，解得， 综上所述，a的取值范围是. 故选：D. 【点睛】关键点睛：根据分段函数解析式，找到临界点，从而分，和三种情况讨论，是解决本题的关键. 二、多选题（共18分）：在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 如图，已知矩形表示全集，是的两个子集，则阴影部分可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用集合的交集、并集以及补集的定义，结合韦恩图分析各选项即可求得结果. 【详解】根据图示可知阴影部分表示的元素是属于集合，而不属于集合， 即在阴影部分区域内任取一个元素，则满足，且，即且； 因此阴影部分可表示为，即A正确； 且，因此阴影部分可表示为，C正确； 易知阴影部分表示的集合是和的真子集，即B错误，D错误. 故选：AC. 10. 设正实数a，b满足，则（ ） A. 有最小值4 B. 有最小值 C. 有最大值 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值；B选项，使用基本不等式求出最大值为；C选项，平方后结合B选项求出答案；D选项，代入，从而得到. 【详解】A选项，由基本不等式得 ， 当且仅当，即时，等号成立，故A正确； B选项，由基本不等式得，当且仅当时，等号成立， 故，即最大值为，B错误； C选项，， 由B选项得，，故， 故，当且仅当时，等号成立， 有最大值，C正确； D选项，因为，所以，其中， 故 ， 当时，等号成立，故，D正确. 故选：ACD 11. 若函数在时，值域也为，则称为的“保值区间”.下列结论正确的是（ ） A. 函数不存在保值区间 B. 函数有无数多个保值区间 C. 若函数存在保值区间，则 D. 若函数存在保值区间，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，结合的单调性，令，解方程即可； 对于B，由题可知，当时，函数可能存在保值区间，结合函数的单调性，可得，所以当时，函数的保值区间为，最后由的任意性即可判断； 对于C，分和两种情况，结合函数的单调性即可求解； 对于D，由函数的单调性知，即方程在上有两解，令，换元得在上有两解，进而转化为函数的图象与有两个交点，结合图象即可得解. 【详解】对于A，在和上单调递增， 令，得， 解得或， 故存在保值区间，故A错误； 对于B，由， 可知当时，函数可能存在保值区间， 因为函数在单调递减， 则有， 可得，即，解得， 所以当时，函数的保值区间为， 由的任意性，可知函数有无数多个保值区间，故B正确； 对于C，若存在保值区间， ①当时，在上单调递增， 故，解得； ②当时，在上单调递减，在上单调递增， 因为，所以， 解得（舍去）， 综上，，故C正确； 对于D，函数在上单调递增， 若存在保值区间， 则， 可知方程在上有两解， 令，有， 则方程可化为， 所以在上有两解， 令， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 又，， 所以函数的大致图象如图所示， 因为在上有两解， 所以在上有两解， 即函数的图象与有两个交点， 由图可知，，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点睛：本题主要考查了新定义问题与函数的性质，解题的关键是充分理解“保值区间”的概念，根据函数的单调性与值域，结合换元法求解即可. 三、填空题（共15分） 12. 已知集合，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】先计算集合，结合交集的定义得到结果； 【详解】因为，， 则， 故答案为：. 13. 不等式的解集为____． 【答案】 【解析】 【分析】利用分式不等式的解法计算即可. 【详解】由得， 所以，且， 所以，且，解之得或. 故答案为：. 14. 已知函数是上的减函数，则的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数和直线的单调性，结合分割点处函数值之间的关系，列出不等式，求解即可. 【详解】依题意得，解得. 故答案为：. 四、解答题（共77分） 15. 已知全集，集合，，求： （1）； （2） 【答案】（1）； （2）或. 【解析】 【分析】（1）根据交集运算可得； （2）根据补集和并集运算求解即可. 【小问1详解】 因为，， 所以. 【小问2详解】 因为，， 所以，所以或. 16. 已知 （1）求的取值范围 （2）求的取值范围 （3）若，求的取值范围 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）(2)（3）由不等式的性质即可求解； 【小问1详解】 ， 【小问2详解】 【小问3详解】 由条件， ， 又 17. 如图，动物园要围成2间相同的长方形禽舍，四周和中间隔板均用钢筋网围成.（接头处不计） （1）若使每间禽舍面积为12m2，则每间禽舍的长和宽各设计为多长时，可使围成2间禽舍的钢筋网总长最小? （2）现有可围18m长的钢筋网的材料，当每间禽舍的长和宽各设计为多长时，可使每间禽舍面积最大? 【答案】（1）宽,长 （2）宽，长 【解析】 【分析】（1）设每间长方形禽舍宽为，长为，先由题意得，钢筋网总长为，再利用基本不等式即可求出的最小值以及此时的值； （2）由题意得，，每间禽舍面积为，再利用基本不等式即可求出面积的最大值以及此时的值. 【小问1详解】 设每间长方形禽舍宽为，长为，由题意可得， 设钢筋网总长为，则， 因为， 当且仅当，即时等号成立， 所以每间禽舍的宽,长时，可使围成两间禽舍的钢筋网总长最小，最小值为. 【小问2详解】 设每间长方形禽舍宽为，长为，由题意得，， 设每间禽舍面积为，则， 因为，当且仅当时等号成立， 所以，即， 所以每间禽舍的宽，长时，可使每间禽舍面积最大，面积最大为. 18. 二次函数满足且． （1）求的解析式； （2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围． （3）令，函数在区间上的最小值为，最大值为，求． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）设出，求出，用待定系数法求出函数； （2）由恒成立，得到恒成立，利用对勾函数的性质求的最小值，即可得解； （3）根据题意，，分，和研究二次函数最值，进行求解. 【小问1详解】 设，． 则． 从而，， 又， ， 又， ． 【小问2详解】 因为当时，不等式恒成立， 所以在上恒成立． 因为， 当且仅当，即时等号成立， 由于，所以在上单调递增， 所以在上， 所以. 【小问3详解】 根据题意，， 当时，函数在上单调递减， 所以，， 两式相减，得，代入解得， 所以区间为； 当时，函数在上单调递增， 所以，， 由于方程的两根为和， 而，故无解； 当时，函数在上先增后减， 则，所以， 此时， 所以，解得， 所以区间为， 综上所述，区间为或. 19. 已知不等式的解集为． （1）若，求的值； （2）若，且不等式有且仅有9个整数解，求的取值范围； （3）若解关于的不等式：． 【答案】（1）； （2）； （3）且. 【解析】 【分析】（1）由题意可得不等式的解集为，且不等式的解集为，然后利用根与系数的关系可得，，从而可求得的值； （2）结合（1）可得恒成立，可得，再由不等式有且仅有9个整数解，得，从而可求得的取值范围； （3）当时，由（1）的方法可得，再由恒成立，可得，从而可求得不等式的解集. 【小问1详解】 因为，不等式的解集为，结合二次函数图象的对称性， 不等式的解集为，且不等式的解集为， 所以方程的两个根分别为2和3，则，得，， 经验证满足不等式的解集为，所以. 【小问2详解】 由（1）知，，不等式可化为， 由（1）知不等式的解集为，所以恒成立， 所以，解得， 不等式等价于， 所以，得， 因为不等式有且仅有9个整数解， 所以，解得， 综上，的取值范围为. 【小问3详解】 若，同（1）分析，不等式的解集为，的解集为， 所以方程的两个根分别为2和3，则，得， 所以不等式的解集为，则恒成立， 所以，解得， 所以所求不等式为，解得或， 即不等式的解集为且. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $