北京市育英学校航天校区2026-2027学年第一学期期中考试高二数学试卷

2026-2027学年第一学期期中考试试卷 高二 数学 (时间：120分钟 满分：150分 为选择性必修一模块考试) 班级 姓名 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目要求的一项 1.已知点A(-2,0),B(0,b),如果直线AB的倾斜角为45°，那么实数b等于 A.3 B.2 C.1 D.0 2.已知空间向量AB=(6,8,6),AC=(-3,a,-3),若A,B,C三点共线，则4= A.-4 B.4 C.±4 D.-2 3.已知圆柱的上、下底面的中心分别为O,O,,过直线(OO2的平面截该圆柱所得的截面是面积为 32的正方形，则该圆柱的表面积为 A.32π B.40元 C.48π D.48V2π 4.若m,n是两条不同的直线，a,B,Y是三个不同的平面，则下列命题正确的是 A.若a⊥y,B⊥y,则a∥B B.若mlla,nlla,则mlln C.若x∩B=n,ml/n,则ml/a且mlB D.若m⊥a,n⊥B,m⊥n,则a⊥B 5.在aABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知A=元 a=23,b=2,则c A.4 B.3 C.2 D.√5 6.已知在正方体ABCD-ABCD中，E,F分别是棱BB,DC的中点，则异面直线AE与DF的夹 角是 A B. c. D. 7.某纪念塔的一部分建筑结构可抽象为三棱锥P-ABC,PA=PB=PC=2√3，底面△ABC是等腰 第1页 直角三角形，AB=BC,顶点P到底面ABC的距离为3，则点B到平面PAC的距离为 A.√2 B.√6 c.3 D.25 8.在棱长为1的正方体ABCD-ABCD中，点M,N分别是棱BC,CC的中点，动点P在正方形 BCCB,(包括边界)内运动，则PA∥平面AMN的一个充分不必要条件是 A.P为C D C B A B.P为BB的中点 C.P的轨迹长度为V2 D.P为BC的中点 M B 9.一副三角板如图拼接，使两个三角板所在的平面互相垂直.如果公共边AC=α，若直线AD上一 动点P,直线BC上一动点Q,则线段PQ长度的最小值为 A. -a 5 609 B. C. 2 A 女45 C 21 D. V30 a B 5 共3页 10.如图，在棱长为1的正方体ABCD-ABCD中，点M为AD的中点，点N是侧面DCCD上（包 括边界)的动点，点P是线段BD上的动点，给出以下结论，其中正确结论的序号为 A ①存在点N,使得对任意点P,都有MN⊥CP: B ②存在无数组点N和点P,使得CP∥MN: ③存在唯一的点P,使得B,D⊥平面MPC: ④存在点P,使得其到直线CD,的距离为V6 B A.①④ B.②③ C.②④ D.②③④ 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11.已知向量=(2,1,5)，b=（6,2,m)的夹角为钝角，则实数m的取值范围是 12.已知1，m为直线，a为平面，给出下列三个论断：①1⊥m②m/1α③1⊥a.以其中的两个论 断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题： 13.在正四棱柱ABCD-AB,CD中，AB=4,AA=5,E,F分别为棱AB,AB的中点，G,H 均为线段EF上的动点，GH=2,点G在线段FH上，当AH+AG取得最小值时，直线CH与底面 ABCD所成角的正切值为 14.清初著名数学家孔林宗曾提出一种“蒺藜形多面体”，其可由两个正交的全等正四面体组合而成 (每一个四面体的各个面都过另一个四面体的三条共项点的棱的中点).如图，若正四面体棱长为1， 则该组合体的表面积为 ;该组合体的外接球体积为 第2页 15.如图，在棱长为2的正方体ABCD-ABCD中，点P,Q分别在棱BB,DD上，且BP=DQ=x, 点M为B,C,的中点，给出下面四个结论： ①AC⊥PQ: D ②存在xE(0,2),使得∠PMQ是钝角： O ③当x=1时，△MPQ的面积取得最小值； ④当x∈(0,2)时，平面MPQ截该正方体 B 的表面所得的截面为六边形 其中正确结论的序号为 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出相应文字说明，演算步骤或证明过程 16.(本小题共13分) 已知空间向量ā=（-2，-2,1)，b=(4,2,z). (I)若a1(a-b),求z的值： (Ⅱ)若z=-3,求a与a+b的夹角. 17.(本小题共14分) 如图，在四边形ABCD中，AC=V7,CD=2AD,∠ADC=2 (I)求∠CAD的正弦值： (Ⅱ)若∠BAC=2∠CAD,且△ABC的面积是△ACD面积的4倍，求AB的长， B 共3页 18.（本小题共14分) 如图，在三棱柱ABC-AB,C,中，CC⊥平面ABC,AC⊥BC,AC=BC=CC=2,点D在 棱AC上，点E,F分别为棱BC,BB,的中点，AB∥平面DEF: (I)求证：点D为AC1的中点： C1 (Ⅱ)求证：平面ACB⊥平面DEF; A (I)求三棱锥E-ACB,的体积. 19.(本小题共15分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC,点E在AD上，PE⊥AD,AD=2BC,F为PA的 中点 (I)求证：BF∥平面PCD: (I)已知AD=PE=2,AB=1.若E为AD的中点，AB⊥AD,再从条件①、条件②、条件③这 三个条件中选择一个作为已知，使四棱锥P-ABCD存在且唯一确定，求直线PB与平面PCD所成角 的正弦值 条件①：PC⊥AD; 条件②：BF=3 条件③：tan∠PCE=2. 注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分：如果 选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 第3页 20.(本小题共15分) 四棱锥E-ABCD中，BC=2,AD=1,AD⊥AB,AD∥BC,平面ABE⊥平面ABCD,M 是棱BE的中点 (I)求证：BC⊥BE; (I)若P为CE上的点，BP⊥CD,AB⊥AE,AB=AE=2, (i)求二面角A-BP-C的余弦值； (ii)设平面APM∩平面CDE=I,求直线I与平面ABP所成的角的正弦值. D B 21.(本小题共14分) 已知集合Sn={XX=(1,x2,…,xn),x∈{0,1}，i=1,2,…,n(n≥2)，对于 A=(4,4,…,4),B=(6,b,…,b,)∈S,定义A与B之间的距离为dA,B)=∑1a4-b, (I)已知A=1,1,1,0)∈S4,写出所有的B∈S4,使得d(A,B)=1: (Ⅱ)已知I=QL,1,…,)∈Sn,若A,B∈Sn,并且d(I,A)=d(I,B)=p≤n,求d(A,B)的最大值： (I)设集合P二S,P中有m(m≥2)个元素，若P中任意两个元素间的距离的最小值为t,求证： l≤2Tf+1 共3页