北京航空航天大学实验学校中学部2026-2027学年高二上学期期中练习数学试题

北航实验学校中学部2026-2027学年度第一学期 高二年级数兰学科期中练习 2026年11月 1. 本试卷分为1、Ⅱ两卷，共有26小题，试卷共6页，一张答题纸： 考生须知 2. 考试时间为120_分钟，满分为150分： 3,请用黑色签字笔（选择题涂卡使用2B铅笔），按规定要求在答题纸上作答： 4. 请将个人信息完整填写在相应位置。 第I卷（共100分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置。) 1.设向量立=(0,1,0)，6=(0,0,1)，则与d,共面的向量的坐标可以是（) A.(1,1,0) B.(1,0,1) C.(0,1,1) D.(1,1,1) D 2.如图，棱长为1的正方体ABCD-A1BC1D1中，AD,B元=（) A.0 B.1 C.2 D.2 3.在空间直角坐标系0-xy2中，已知A(1,2,-1),B(0,1,1),下列结论 正确的有(（) A.AB=3 B.0a.0B=-1 C.若万=(4,2，)，且万LAB,则1=3 D.若元=(1,1，k)且元‖A正，则k=2 4.我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的 Q 四棱锥称为阳马.如图所示，已知四棱锥P-ABCD是阳马，PA⊥平面ABCD, 且PB=PC,若丽=而=，亚=8，则丽=() 4 B.a+- b一1 444 C. 3a-6-3a 444 D.+5+ 5.已知m,n是两条不同的直线，心，B是两个不同的平面，则下列命题正确的是() A.若mca,ncB,al.B,则m‖n B.若m‖n,ncc,则mlc C.若a⊥B,m上B,1.m,则n⊥c D.若m⊥a,n⊥B,m⊥n,则a⊥B 第1页/共6页 6.空间直角坐标系中，已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,a),则“a=1是分=(1,1，Q)为平面 ABC的怯向量”的（) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 7.如图，矩形A'B'C'D'是水平放置的平面四边形ABCD用斜二测画法 画出的直观图，其中A'B'=2,B'C'=4,则原四边形ABCD的周长为 () A.4W3+8 B.20 C.12 D.8√2 8.如图，a⊥B,a∩B=l,A∈，B∈B,点A,B在楼上的射影分别是A1,B1 若AA1=BB1=2,AB=4,则异面直线AB1与A1B所 成角的余弦值为() A.gB.C.子D. 9.如果球、正方体与等边圆柱（圆柱底面圆的直径与高相等）的体积相等，设它们的表面 积依次为S1,S2,S3,那么S1S2,S3的大小关系为() A.S1>S2>S3 B.S2>S3>S1 C.S2>S1>S3 D.S3>S1>S2 10.已知某圆锥的底面半径为2，高为√3，P为该圆锥的顶点，点A,B,C在其底面圆周上， 且△ABC不是钝角三角形，记平面PAB,PBC,PCA与底面所成角的大小分别为81,02,03， 若81=60°，02=45°，则日3=（) A.30° B.45° C.60° D.90° 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，将结果填在答题纸上的相应位置） 11.已知向量d=(0,1,2),i=(1,0,1),=(2,k,0),若(d+t)1,则=_， t 12.已知四棱锥的底面是边长为2v2的正方形，侧棱长均为2√5.若圆柱的一个底的圆周经过 四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的表面积为 13.在中国传统文化中，灯笼作为节日和庆典的象征，常常蕴含着丰富的美学与数学设计：灯 笼不仅要考虑美观，还要具备结构上的合理性和稳定性：现在有一盏独特的国风灯笼，它的 第2页/共6页 外形结构包括多个几何体，具体设计如下： 灯笼的顶部是一个正四棱台，上底边长为2分米，下底边长为4分米， 高为2分米：灯笼的顶部下面是一个正四棱柱，底面边长为3分米，高 为6分米则灯笼的总体积为 分米3：已知灯笼侧面需要糊 纸，所以正四棱台侧面积与正四棱柱侧面积的和就是灯笼所霉纸张的总 面积，则灯笼所需纸张的总面积为」 分米2」 14.如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E,F分别为 AA1,AB的中点，点P是正疠体表面上的动点，若C1PI平面CD1BF, 则P点在正方体表面上运动所形成的轨迹长度 为 15.在正四面体P一ABC中，D,E,F分别是AB,BC,AC的中点，有下列四个命题： ①BCI平面PDF: ②平面PDF⊥平面ABC: ③DF⊥平面PAE: ④平面PAE⊥平面ABC 其中正确命题的序号是 三、解答题（本大题共3小题，共35分。解答应写出文宇说明过程或演算步骤，请将答案 写在答题纸上的相应位置。) 16.(本小题11分) 已知△ABC的面积S=(a2+b2-c2),且a=2simA. (I)求C的大小： (Ⅱ)记△ABC的周长为f(A).给出f(A)的解析式，并求其最大值 第3页/共6页 17.(本小题12分) 如图，直三棱柱ABC-A1BC1中，AB=AC=AA1=2,∠BAC=90°，M,N分别为AC,A1C1 的中点 (I)求证：C1MI平面AB1W: (I)求二面角A-BN-A1的余弦值： (1Ⅲ)求点M到平面AB1W的距离. 18.(本小题12分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD,△PAB为等边三角形，AD Il BC, AB=AD=BC=2,∠ABC=60 (I)求证：AC⊥平面PAB: (I)求直线PD与平面PBC所成角的正弦值： (II)在棱PD上是否存在点G,使得AG‖平面PBC?若存在， 求%的值：若不存在，说明理由. 第Ⅱ卷（共50分) 一、选择题（本大题共4小题，年小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置。) 19.如图，已知正四棱锥P-ABCD的高P0为4，棱AB的长为2，点H为侧棱PC上一动点， 则当△HBD面积取得最小值时，OH与平面ABCD所成角的余弦值为() A.√2 B.v2 C.22 D.42 3 3 3 /B 20.已知四棱锥S-ABCD的底面是正方形，侧棱长均相等，设SA与BC所成的角为a,SA与 平面ABCD所成的角为B,二面角S-AB-C的平面角为Y,则() A.B<Y<a B.Y<B<a C.a<y<β D.a<B<Y 21,已知MNW是正方体内切球的一条直径，点P在正方体表面上运动，正方体的棱长是2， 则PM.PN的取值范围为() A.[0,4] B.[0,2] C.[1,4] D.[1,2] 第4页/共6页 22.如图，在棱长为a的正方体ABCD-A1BC1D1中，E是棱A41上的一个动点，给出下列三 D 个结论： ①存在点E使得平面BBD1⊥平面B1D,DB: B ②△BBD1的面积为定值； D ③DB+BE的最小值为√5a 其中正确结论的个数是（) A.0 B.1 C.2 D.3 二、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分。请将结果填在答题纸上的相应位置） 23.在空间直角坐标系中，直线1的方向向量7=(0,2，-2)，点M(2,2,0)在直线1上，则点 N(0,2,1)到直线1的距离是 C 24.如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=3AB,DM=DD, C丽=CC,A正=1AA0≤1≤1)，设直线PM与DN所成角的大小为8. ①当入=时，c0s8= ②若s日≤无则的取值范围是 25.如图1，在矩形ABCD中，AB=2AD=2,B为AB的中点，将△ADB沿DB折起，点A折起 后的位置记为点A1,得到四棱锥A1-BCDB,M为A1C的中点，如图2.某同学在探究翻折过程 中线面位置关系时，得到下列四个结论： D E B 图1 图2 ①恒有A1D⊥A1B; ②恒有BM//平面A1DB; ③三棱锥A1一DBM的体积的最大值为 12 ④存在某个位置，使得平面A1DB⊥平面A1CD, 其中所有正确结论的序号是 第5页/共6页 三、解答题（本大题共1小题，共15分。解答应写出文字说明过程或演算步漂，请将答案 写在答题纸上的相应位置。) 26.(本小题15分) 已知neN,n之4，集合Bn=(l汉=(X1x2,x3,,x),x1∈(0,1]，1≤lS元，l∈N) 若a=(aa2g,a）eR,6=(4,b,bgbr)e月定义以a,6=2A,-bl. (英中：29=a+8++a) (1)若a,6eP,且a=(0,1,1,1),直接写出所有满足p(a,)=1的i: (11)是否存在a,b,cEPn,使p(G,b),p(位，)，p(6,c)均为奇数.若存在，写出一组满 足条件的d,,c:若不存在，请说明理由. (Ⅲ)设S三，记集合S中元素个数为S引.若对S中任意不相同的元素d,b,均有 p(a,列≥3，证明：S1≤ 第6页/共6页