第3章 代数式•基础通关（章节复习能力自测闯关卷）-2026-2027学年人教版数学七年级上册

2026-2027学年人教版（新教材）数学七年级上册章节复习能力自测闯关卷 第3章 代数式•基础通关 检测时间：90分钟 试题满分：100分 难度系数：0.55 班级： 姓名： 学号： 一．选择题（本大题有10小题，每小题2分，共20分.在每小题所给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题纸上） 1．（26-27七年级上·天津和平·期中）下列关于代数式的意义中，说法正确的是（     ）． A．的意义是加除以减 B．的意义是的倍与的和 C．的意义是的倍与的和的一半 D．的意义是与的平方和 2．（26-27七年级上·重庆·期中）若，则代数式的值为（     ） A．7 B．13 C． D． 3．（26-27七年级上·海南海口·期中）若，则的值是（     ） A．1 B． C． D．2026 4．（26-27七年级上·湖北鄂州·期中）“腹有诗书气自华，最是书香能致远．”为鼓励和推广全民阅读活动，某书店开展促销活动，促销方法是将原价为元的一批图书以元的价格出售，则下列说法中，能正确表达这批图书的促销方法的是（） A．在原价的基础上打8折后再减去15元 B．在原价的基础上打2折后再减去15元 C．在原价的基础上减去15元后再打8折 D．在原价的基础上减去15元后再打0.8折 5．（26-27七年级上·浙江·期中）已知一列数，，，，中，，，，，，则的个位数是（    ） A．6 B．8 C．4 D．3 6．（26-27七年级上·重庆·期中）学校为丰富图书角，计划购买一批科普读物．第一次采购价为每本a元，共花费300元，很快借阅一空；第二次又花费300元采购，因为商家促销，每本价格比第一次降低5元，则第二次购进的读物数量比第一次多了（     ）本． A． B． C． D． 7．（26-27七年级上·天津北辰·期中）下面各组中两种量成反比例关系的是（     ） ①圆柱的体积一定，它的底面积和高 ②加工零件的总时间一定，加工一个零件的时间和加工零件的总个数 ③差一定，被减数和减数 ④打同一份稿件，打字的速度和打字所用的时间 A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④ 8．（26-27七年级上·重庆九龙坡·期中）已知有理数、、在数轴上的位置如图所示，则等于（     ） A． B． C． D． 9．（26-27七年级上·山东济南·期中）如图是由同样大小的圆按一定规律排列所组成的，其中第1个图形中一共有4个圆，第2个图形中一共有8个圆，第3个图形中一共有14个圆，第4个图形中一共有22个圆．…按此规律排列下去，现已知第n个图形中圆的个数是74个，则(     ) A．6 B．7 C．8 D．9 10．（26-27七年级上·广东东莞·期中）如图，下面是由同样大小的圆点按一定规律排列组成的篆书简化“汉”字．图①中共有个圆点，图②中共有个圆点，图③中共有个圆点，图④中共有个圆点…依此规律，图⑧中共有圆点的个数是(     ) A． B． C． D． 二．填空题（本大题有8小题，每小题2分，共16分.） 11．（26-27七年级上·黑龙江牡丹江·期中）一次知识竞赛共有24道选择题，规定：答对1道得3分，答错1道扣1分，如果某位学生所有题目都答了，其中答对了道题，则他的成绩为________分． 12．（26-27七年级上·辽宁大连·期中）如图，用大小相同的小正方形拼出下面3个长方形：第1个长方形由个小正方形拼成，第2个长方形由个小正方形拼成，第3个长方形由个小正方形拼成，按照这个规律，第个长方形由___________个小正方形拼成． 13．（26-27七年级上·重庆九龙坡·期中）代数式时，则代数式_______________． 14．（26-27七年级上·陕西榆林·期中）小贤设计如图所示的程序，若，则输出的结果为_________． 15．（26-27七年级上·山东青岛·期中）下列各式中，可以表示图中正方形的面积的是_______（填所有正确结论的序号）． ①； ②； ③； ④． 16．（26-27七年级上·吉林·期中）仔细观察下图，第1个图形中★有5个，第2个图形中★有8个，…，按照此规律，第个图形中★有_______个． 17．（26-27七年级上·黑龙江牡丹江·期中）已知代数式的值为3，则代数式的值为________． 18．（26-27七年级上·北京东城·期中）如图1，“幻圆”的八个“圆圈”中的数分别是1，2，3，4，5，6，7，8，大圆上、小圆上以及大圆的两条直径上的四个数的和都等于18．将，，，0，1，2，3，4这八个数分别填入图2的“幻圆”的八个“圆圈”中，使大圆上、小圆上以及大圆的两条直径上的四个数的和都相等，其中，1，4已填入如图所示的位置．图2中，表示的这两个数的和为________； 三．解答题（本大题有8小题，共64分.解答时应写出文字说明或演算步骤.） 19．（本题6分）（26-27七年级上·湖南长沙·期中）当，时，分别求以下代数式的值： (1)； (2)． 20．（本题6分）（26-27七年级上·湖北鄂州·期中）如图是由长方形、正方形、直角三角形组成的图形（单位：） (1)用式子表示图形阴影部分的面积； (2)当，时，求阴影部分的面积． 21．（本题8分）（26-27七年级上·重庆·期中）我校七年级举行了数学计算能力大赛，学校准备在网上订购一批钢笔和笔袋作为奖品．经查询钢笔每支售价为50元，笔袋每个售价为10元．现有A、B两家网店均提供包邮服务，并给出了各自的优惠策略． A网店：买一支钢笔送一个笔袋； B网店：钢笔打9折，笔袋打8折． 已知要购买钢笔60支，笔袋个（）． (1)若在A网店购买，则需付款________元；若在B网店购买，则需付款________元；（只列式，不化简） (2)当时，只能选择一家网店购买，则哪家更加合算？请通过计算说明； 22．（本题8分）（26-27七年级上·吉林·期中）【阅读材料】整体思想就是在研究和解决有关数学问题时，发现问题的整体结构特征，用“整体”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，进行有目的、有意识的整体处理的解题思路． 例如：已知，求代数式的值． 明明同学在做作业时采用整体代入的方法如下： 解：由得，， 所以代数式的值为5． 【学以致用】 (1)若，则代数式的值为__________； (2)若，，则代数式的值为__________； (3)【拓展延伸】已知当时，，求当时，代数式的值． 23．（本题8分）（26-27七年级上·吉林·期中）七年级小强同学给出新定义如下：，． 例如：，． 根据上述知识，解答下列问题： (1)若，，则_________． (2)若，求的值． 24．（本题8分）（26-27七年级上·广西南宁·期中）阅读与探究 【问题情境】 如图，已知数轴上有、、三个点，它们表示的数分别为，，．与的距离可以用表示，计算方法为．完成下列问题： (1)填空：____，____． 【观察探究】 (2)现有动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿轴向右运动；同时动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿轴向右运动，当运动秒时，求点与点的距离． (3)在（2）的条件下，设运动时间为秒，试探索：的值是否随着时间的变化而改变？请说明理由． 【深入探究】 (4)在（2）的条件下，若点运动到达点后按原速立即返回向数轴负方向运动，点继续按原速度方向运动，当点运动到点时，、同时停止运动．设运动时间为秒，直接写出、两点之间的距离（用含的代数式表示）． 25．（本题10分）（26-27七年级上·山东青岛·期中）如图①、②，餐桌桌面由圆形折叠成正方形，可以节省占地面积；把正方形桌面展开得到圆形桌面，桌边坐的人数就会增加． 已知折叠前圆形桌面的直径为，折叠成正方形后其边长为． (1)餐桌桌面由圆形折叠成正方形时，桌面减少的面积_________； (2)按图③所示，把边长的正方形桌布铺在折叠前的圆形桌面上，则桌布垂下部分的面积_________：按图④所示，若铺在折叠后的正方形桌面上，则桌布垂下的面积_________； (3)正方形桌面展开得到圆形桌面后，用代数式表示桌面周长增加的长度；当时，桌面周长增加了多少？（取3） 26．（本题10分）（26-27七年级上·四川成都·阶段检测）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法．阅读材料，并完成下列相关问题． 材料一：如图1，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分①的面积是正方形面积的一半，部分②的面积是①面积的一半，部分③的面积是②面积的一半，以此类推，则阴影部分的面积是，空白部分的面积之和为：． 材料二：欲求的值，可以按照如下步骤进行： 令① 等式两边同时乘以2，得② 由②式减去①式，得， ． 解决问题： (1)图1部分③的面积为________； (2)如图2，若按这样的方式继续分割下去，受材料一的启发，可求得的值为________； (3)利用材料提供的方法，请你求出的值． 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年人教版（新教材）数学七年级上册章节复习能力自测闯关卷 第3章 代数式•基础通关 检测时间：90分钟 试题满分：100分 难度系数：0.55 一．选择题（本大题有10小题，每小题2分，共20分.在每小题所给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题纸上） 1．（26-27七年级上·天津和平·期中）下列关于代数式的意义中，说法正确的是（     ）． A．的意义是加除以减 B．的意义是的倍与的和 C．的意义是的倍与的和的一半 D．的意义是与的平方和 【答案】D 【思路引导】代数式的表述需要清晰地反映出每个运算步骤的顺序和意义，特别是当涉及到加、减、乘、除以及指数运算时，更需注意．错误的选项通常在于表述不准确或遗漏了某些运算的顺序． 【规范解答】解：A．“加除以减”按运算顺序对应代数式为，与不符，原说法错误，故此选项不符合题意； B．“的倍与的和”对应代数式为，与不符，原说法错误，故此选项不符合题意； C．“的倍与的和的一半”对应代数式为，与不符，原说法错误，故此选项不符合题意； D．表示与的平方和，原说法正确，故此选项符合题意． 2．（26-27七年级上·重庆·期中）若，则代数式的值为（     ） A．7 B．13 C． D． 【答案】D 【思路引导】将待求代数式变形为含的形式，整体代入计算． 【规范解答】解：， ∵， ∴原式． 3．（26-27七年级上·海南海口·期中）若，则的值是（     ） A．1 B． C． D．2026 【答案】A 【思路引导】根据绝对值和平方的非负性，求出x、y的值，代入计算，即可求解． 【规范解答】解：∵，，且， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 4．（26-27七年级上·湖北鄂州·期中）“腹有诗书气自华，最是书香能致远．”为鼓励和推广全民阅读活动，某书店开展促销活动，促销方法是将原价为元的一批图书以元的价格出售，则下列说法中，能正确表达这批图书的促销方法的是（） A．在原价的基础上打8折后再减去15元 B．在原价的基础上打2折后再减去15元 C．在原价的基础上减去15元后再打8折 D．在原价的基础上减去15元后再打0.8折 【答案】C 【规范解答】解：∵的运算顺序为先计算括号内的，即原价减去15元． ∴乘以对应在减价后的基础上打8折． 5．（26-27七年级上·浙江·期中）已知一列数，，，，中，，，，，，则的个位数是（    ） A．6 B．8 C．4 D．3 【答案】B 【思路引导】通过计算各项的个位数找循环周期，利用周期求解． 【规范解答】解：∵，个位数为3． ，即个位数为． ，即个位数为3． ∴个位数以3，8为周期循环，周期为2． ∵． ∴的个位数与的个位数相同，为8． 6．（26-27七年级上·重庆·期中）学校为丰富图书角，计划购买一批科普读物．第一次采购价为每本a元，共花费300元，很快借阅一空；第二次又花费300元采购，因为商家促销，每本价格比第一次降低5元，则第二次购进的读物数量比第一次多了（     ）本． A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】先分别求出两次购买的书本数量，再用第二次数量减去第一次数量，得到多出来的本数． 【规范解答】解：∵第一次采购单价为每本元，总花费为元， ∴第一次购进读物的数量为本． ∵第二次每本价格比第一次降低元，总花费为元， ∴第二次采购单价为每本元，购进读物的数量为本． ∴第二次购进的读物数量比第一次多本． 7．（26-27七年级上·天津北辰·期中）下面各组中两种量成反比例关系的是（     ） ①圆柱的体积一定，它的底面积和高 ②加工零件的总时间一定，加工一个零件的时间和加工零件的总个数 ③差一定，被减数和减数 ④打同一份稿件，打字的速度和打字所用的时间 A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④ 【答案】D 【思路引导】判断两种量是否成反比例，核心依据是二者的乘积是否为定值． 【规范解答】解：①圆柱体积，当一定时，（定值），底面积和高成反比例； ②设加工零件总时间为，加工一个零件的时间为，总个数为，则，当一定时，与的乘积为定值，二者成反比例； ③设被减数为，减数为，差为，则，当一定时，与的乘积不一定，二者不成反比例； ④设稿件总字数为，打字速度为，打字时间为，则，当一定时，与的乘积为定值，二者成反比例； 综上，①②④成反比例． 8．（26-27七年级上·重庆九龙坡·期中）已知有理数、、在数轴上的位置如图所示，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】根据数轴确定表示的数，再代入代数式中计算即可． 【规范解答】解：由数轴可知，，， ． 9．（26-27七年级上·山东济南·期中）如图是由同样大小的圆按一定规律排列所组成的，其中第1个图形中一共有4个圆，第2个图形中一共有8个圆，第3个图形中一共有14个圆，第4个图形中一共有22个圆．…按此规律排列下去，现已知第n个图形中圆的个数是74个，则(     ) A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【思路引导】根据前几个图形圆的个数，找出一般规律，得出第个图形中圆的个数是，然后列出方程，解方程即可． 【规范解答】解：因为第1个图形中一共有个圆， 第2个图形中一共有个圆， 第3个图形中一共有个圆， 第4个图形中一共有个圆， 以此类推，第个图形中圆的个数是； 则， 解得：． 10．（26-27七年级上·广东东莞·期中）如图，下面是由同样大小的圆点按一定规律排列组成的篆书简化“汉”字．图①中共有个圆点，图②中共有个圆点，图③中共有个圆点，图④中共有个圆点…依此规律，图⑧中共有圆点的个数是(     ) A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】先算相邻两图圆点数之差，看差怎样变化，再把这一变化规律用到图⑧上． 【规范解答】解：， ∴相邻两图圆点数之差依次为，即每往后一个图，多的个数比上一次多． ∴图⑤的圆点数为． ∴图⑥的圆点数为． ∴图⑦的圆点数为． ∴图⑧的圆点数为． ∴图⑧中共有圆点个， 故选：D． 二．填空题（本大题有8小题，每小题2分，共16分.） 11．（26-27七年级上·黑龙江牡丹江·期中）一次知识竞赛共有24道选择题，规定：答对1道得3分，答错1道扣1分，如果某位学生所有题目都答了，其中答对了道题，则他的成绩为________分． 【答案】 / 【思路引导】根据题意列代数式即可． 【规范解答】解：由题意知， 答错的题数为道， ∴ 学生的成绩为（分）． 12．（26-27七年级上·辽宁大连·期中）如图，用大小相同的小正方形拼出下面3个长方形：第1个长方形由个小正方形拼成，第2个长方形由个小正方形拼成，第3个长方形由个小正方形拼成，按照这个规律，第个长方形由___________个小正方形拼成． 【答案】 【思路引导】观察题干中给出的前三个长方形中小正方形个数的算式，找出因数与图形序号之间的对应关系． 【规范解答】解：由题意可知： 第1个长方形由 个小正方形拼成． 第2个长方形由 个小正方形拼成． 第3个长方形由 个小正方形拼成． 按照这个规律，第 个长方形的宽为 ，长为 ． 所以第 个长方形由 个小正方形拼成． 13．（26-27七年级上·重庆九龙坡·期中）代数式时，则代数式_______________． 【答案】 【思路引导】观察所求代数式的结构，可将其变形为含已知代数式的形式，采用整体代入法计算． 【规范解答】解：∵， ∴ ． 14．（26-27七年级上·陕西榆林·期中）小贤设计如图所示的程序，若，则输出的结果为_________． 【答案】 【思路引导】根据，得到，根据程序流程图的运算步骤先比较有理数的大小得到，进而计算即可得到答案． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴计算：． 15．（26-27七年级上·山东青岛·期中）下列各式中，可以表示图中正方形的面积的是_______（填所有正确结论的序号）． ①； ②； ③； ④． 【答案】①③/③① 【规范解答】解：图中正方形的面积可以表示为，． 16．（26-27七年级上·吉林·期中）仔细观察下图，第1个图形中★有5个，第2个图形中★有8个，…，按照此规律，第个图形中★有_______个． 【答案】/ 【规范解答】解：通过观察，得到的★数分别是5，8，11，…， 第一个图形为：， 第二个图形为：， 第三个图形为：， …， 所以第n个图形为：个． 17．（26-27七年级上·黑龙江牡丹江·期中）已知代数式的值为3，则代数式的值为________． 【答案】 【思路引导】观察已知代数式与所求代数式的结构关联，将所求式变形为含已知代数式的整体形式，采用整体代入法求值，无需单独求解、的具体值． 【规范解答】解：由题可知． 对所求代数式变形可得． 将代入上式得． 18．（26-27七年级上·北京东城·期中）如图1，“幻圆”的八个“圆圈”中的数分别是1，2，3，4，5，6，7，8，大圆上、小圆上以及大圆的两条直径上的四个数的和都等于18．将，，，0，1，2，3，4这八个数分别填入图2的“幻圆”的八个“圆圈”中，使大圆上、小圆上以及大圆的两条直径上的四个数的和都相等，其中，1，4已填入如图所示的位置．图2中，表示的这两个数的和为________； 【答案】 【思路引导】根据大圆和小圆包含所有数字且和相等，得出小圆数字之和，结合小圆上的已知数列方程求解． 【规范解答】解： ∵这个数的和为， 且大圆上、小圆上的四个数的和相等，这两个圆包含了所有个数， ∴小圆上四个数的和为． 由图可知，小圆上的四个数分别为，，，， ∴． ∴． 三．解答题（本大题有8小题，共64分.解答时应写出文字说明或演算步骤.） 19．（本题6分）（26-27七年级上·湖南长沙·期中）当，时，分别求以下代数式的值： (1)； (2)． 【答案】(1)39 (2) 【思路引导】（1）将未知数的值代入，然后按照有理数的乘法法则和减法法则计算即可． （2）将未知数的值代入，然后按照有理数的乘方和加减法法则计算即可． 【规范解答】（1）解： ，， ； （2）解： ，， 20．（本题6分）（26-27七年级上·湖北鄂州·期中）如图是由长方形、正方形、直角三角形组成的图形（单位：） (1)用式子表示图形阴影部分的面积； (2)当，时，求阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）根据长方形、正方形、直角三角形的面积表示阴影面积即可； （2）将，代入阴影部分面积的表达式中求解即可． 【规范解答】（1）解：， ， 则阴影部分的面积为； （2）解：由（1）可知，阴影部分的面积为， 当，时，阴影部分的面积为． 21．（本题8分）（26-27七年级上·重庆·期中）我校七年级举行了数学计算能力大赛，学校准备在网上订购一批钢笔和笔袋作为奖品．经查询钢笔每支售价为50元，笔袋每个售价为10元．现有A、B两家网店均提供包邮服务，并给出了各自的优惠策略． A网店：买一支钢笔送一个笔袋； B网店：钢笔打9折，笔袋打8折． 已知要购买钢笔60支，笔袋个（）． (1)若在A网店购买，则需付款________元；若在B网店购买，则需付款________元；（只列式，不化简） (2)当时，只能选择一家网店购买，则哪家更加合算？请通过计算说明； 【答案】(1)    ， (2)在A网店购买更加合算． 当时， （元） （元） ∴在A网店购买更加合算． 【思路引导】（1）根据购买方案列出代数式即可； （2）分别求出两种购买方式需要的钱数，比较后即可得到结论． 【规范解答】（1）解：根据题意，若在A网店购买，则需付款元；若在B网店购买，则需付款元； （2）略 22．（本题8分）（26-27七年级上·吉林·期中）【阅读材料】整体思想就是在研究和解决有关数学问题时，发现问题的整体结构特征，用“整体”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，进行有目的、有意识的整体处理的解题思路． 例如：已知，求代数式的值． 明明同学在做作业时采用整体代入的方法如下： 解：由得，， 所以代数式的值为5． 【学以致用】 (1)若，则代数式的值为__________； (2)若，，则代数式的值为__________； (3)【拓展延伸】已知当时，，求当时，代数式的值． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】（1）整体代入，计算即可； （2）将拆开为，问题得解； （3）将代入，可得，问题随之得解． 【规范解答】（1）解：∵， ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）∵当时，， ∴，即， 当时，代数式：． 23．（本题8分）（26-27七年级上·吉林·期中）七年级小强同学给出新定义如下：，． 例如：，． 根据上述知识，解答下列问题： (1)若，，则_________． (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【规范解答】（1）解：若，， 即； （2）， ， ，， ， ，， ． 24．（本题8分）（26-27七年级上·广西南宁·期中）阅读与探究 【问题情境】 如图，已知数轴上有、、三个点，它们表示的数分别为，，．与的距离可以用表示，计算方法为．完成下列问题： (1)填空：____，____． 【观察探究】 (2)现有动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿轴向右运动；同时动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿轴向右运动，当运动秒时，求点与点的距离． (3)在（2）的条件下，设运动时间为秒，试探索：的值是否随着时间的变化而改变？请说明理由． 【深入探究】 (4)在（2）的条件下，若点运动到达点后按原速立即返回向数轴负方向运动，点继续按原速度方向运动，当点运动到点时，、同时停止运动．设运动时间为秒，直接写出、两点之间的距离（用含的代数式表示）． 【答案】(1)， (2) (3)值不变，理由如下： 由题意可得，， ∴，值不变，恒等于； (4)当时，；当时， 【思路引导】（1）根据数轴上两点间的距离公式计算即可得出结果； （2）先求出运动秒时，点、所表示的数，再根据数轴上两点间的距离公式计算即可得出结果； （3）表示出，，再代入，计算即可得出结果； （4）先求出到时间，到时间，再分段计算即可得出结果． 【规范解答】（1）解：∵数轴上有、、三个点，它们表示的数分别为，，， ∴，； （2）解：当运动秒时，点表示的数为，点表示的数为， ∴； （3）略 （4）解：到时间为秒；到时间为秒， ①当时，点表示的数为，点表示的数为， 此时， ②当时，从返回，点表示的数为，点表示的数为， 此时， 综上所述，当时，；当时，． 25．（本题10分）（26-27七年级上·山东青岛·期中）如图①、②，餐桌桌面由圆形折叠成正方形，可以节省占地面积；把正方形桌面展开得到圆形桌面，桌边坐的人数就会增加． 已知折叠前圆形桌面的直径为，折叠成正方形后其边长为． (1)餐桌桌面由圆形折叠成正方形时，桌面减少的面积_________； (2)按图③所示，把边长的正方形桌布铺在折叠前的圆形桌面上，则桌布垂下部分的面积_________：按图④所示，若铺在折叠后的正方形桌面上，则桌布垂下的面积_________； (3)正方形桌面展开得到圆形桌面后，用代数式表示桌面周长增加的长度；当时，桌面周长增加了多少？（取3） 【答案】(1) (2)； (3)， 【思路引导】（1）用圆的面积减去正方形的面积即可； （2）用大正方形的面积减去圆的面积求出，用大正方形的面积减去小正方形的面积求出； （3）用圆的周长减去正方形的周长，列出代数式，将对应字母的值代入，求出增加的长度即可. 【规范解答】（1）解：由题意，； （2）解：由题意，，； （3）解：由题意，桌面周长增加的长度为， 当，取3时，， 故桌面周长增加了. 26．（本题10分）（26-27七年级上·四川成都·阶段检测）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法．阅读材料，并完成下列相关问题． 材料一：如图1，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分①的面积是正方形面积的一半，部分②的面积是①面积的一半，部分③的面积是②面积的一半，以此类推，则阴影部分的面积是，空白部分的面积之和为：． 材料二：欲求的值，可以按照如下步骤进行： 令① 等式两边同时乘以2，得② 由②式减去①式，得， ． 解决问题： (1)图1部分③的面积为________； (2)如图2，若按这样的方式继续分割下去，受材料一的启发，可求得的值为________； (3)利用材料提供的方法，请你求出的值． 【答案】(1)（或） (2) (3)结果为 【思路引导】（1）因为材料一明确了各部分面积的递推关系，即后一部分面积是前一部分的一半，所以按照该递推规则，结合正方形总面积为1，推导部分③的面积． （2）因为材料一给出了等比数列求和的数形结合思路，即空白部分面积和等于总面积减去最后剩余的阴影部分面积，所以将该思路迁移到目标求和式中，对应总面积为1，最后剩余项为，推导求和结果． （3）因为材料二提供了错位相减法的通用步骤，即设和为S，两边乘以公比，再作差消去中间项，所以将该方法应用到公比为5的等比数列求和中，按照设S、乘公比、作差的步骤推导结果． 【规范解答】（1）解：∵大正方形边长为1， ∴总面积为1． 部分①面积是正方形面积的，即； 部分②面积是①的一半，即； 部分③面积是②的一半，即． （2）解：边长为1的正方形总面积为1，所有部分的和， 等于正方形总面积减去最后剩余的极小部分的面积， ∴． （3）解： 令 ① 将等式两边同时乘以5， 得： ②， 用②式减去①式，相同项全部抵消， 得： 即， ∴． 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $