精品解析：北京市第一七一中学2026-2027学年高二上学期期中数学试题

2026北京一七一中学高二（上）期中 数学 一､选择题共10题，每题4分，共40分.在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 若直线l过，两点，则直线l的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 双曲线的焦点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 一个盒子中装有大小和质地相同的4个球，其中有2个红球和2个白球，若从中任取2个球，则“恰有1个红球”的概率是（ ） A. B. C. D. 4. 若直线是圆的一条对称轴，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 5. 在长方体中，，则二面角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 6. 过两直线的交点，且与直线平行的直线方程为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，空间四边形中，，点分别为的中点，则（ ） A. B. C. D. 8. “”是“直线和直线垂直”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 9. 若两条直线，与圆的四个交点能构成正方形，则（ ） A. B. C. D. 4 10. 在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､填空题共5题，每题5分，共25分. 11. 已知向量，，则_____. 12. 某地区有高中生3000人，初中生6000人，小学生6000人．教育部门为了了解本地区中小学生的近视率，采用分层抽样的方法，按高中生、初中生、小学生进行分层，如果在各层中按比例分配样本，总样本量为150，那么在高中生中抽取了________人． 13. 已知双曲线，则双曲线的右焦点到其渐近线的距离是________． 14. 已知直线与交于两点， （1）时，______； （2）若在圆上或其内部存在一点，使得，则的取值范围为______． 15. 在棱长为2的正方体中，点满足，其中，给出下列四个结论： ①当时，的面积为定值； ②当时，，三棱锥的体积为定值； ③当时，存在唯一的，使得； ④当时，存在唯一的，使得平面. 其中所有正确结论的序号是_________. 三､解答题共6题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 在中，内角所对的边分别为．已知 （1）求的值； （2）求的值及的面积． 17. 生成式人工智能（AIGC）工具正处于蓬勃发展期，在对话系统、机器翻译、文本摘要等领域得到广泛应用．为了解学生对生成式人工智能工具的使用情况，某校从全体学生中随机抽取了100名学生，调查得到如下数据： 经常使用 20人 偶尔使用 30人 从未使用 50人 用频率估计概率． （1）估计该校学生经常使用生成式人工智能工具的概率； （2）假设每名学生使用生成式人工智能工具的情况相互独立，从该校全体学生中随机抽取两名学生，估计这两名学生中至少有一名学生经常使用生成式人工智能工具的概率； （3）从这100名学生中抽取5次，每次随机抽取10名学生，记第次抽取的10名学生中，有名学生经常使用生成式人工智能工具，有名学生偶尔使用或者从未使用过生成式人工智能工具．将，，，，的方差记为，，，，，的方差记为，比较，的大小．（结论不要求证明） 18. 已知椭圆长轴长为4，且椭圆的离心率，其左右焦点分别为． （1）求椭圆的方程； （2）设斜率为且过的直线与椭圆交于两点，求的面积． 19. 如图，四边形ABCD是矩形，平面ABCD，平面ABCD，，点F在棱PA上. （1）求证：平面CDE； （2）求直线BP与平面PEC所成角的正弦值； （3）若点F到平面PCE的距离为，求线段AF的长. 20. 已知椭圆的右焦点为，离心率为，直线过点且不平行于坐标轴，与有两个交点，线段的中点为. （1）求椭圆的方程； （2）延长线段与椭圆交于点，若四边形为平行四边形，求此时直线的斜率. 21. 已知集合，对于，定义与的差为与之间的距离为. （1）当时，设，求； （2）证明：，有，且； （3）证明：三个数中至少有一个是偶数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026北京一七一中学高二（上）期中 数学 一､选择题共10题，每题4分，共40分.在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 若直线l过，两点，则直线l的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由直线上的两点坐标计算直线的斜率，即可得到直线的倾斜角. 【详解】由题意得，直线的斜率， ∴直线l的倾斜角为. 故选：A. 2. 双曲线的焦点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据双曲线的方程，求得，结合双曲线的几何性质，即可求解. 【详解】由题意，双曲线，可得，所以， 且双曲线的焦点再轴上，所以双曲线的焦点坐标为. 故选：B. 3. 一个盒子中装有大小和质地相同的4个球，其中有2个红球和2个白球，若从中任取2个球，则“恰有1个红球”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】列举出所有情况及“恰有1个红球”的情况，求出概率. 【详解】设两个红球分别为，两个白球分别为， 则从中任取2个球，共有6种情况，分别为， 其中“恰有1个红球”的情况为，共4种情况， 故“恰有1个红球”的概率为. 故选：D 4. 若直线是圆的一条对称轴，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】先求圆心，根据直线经过圆心可得答案. 【详解】圆心坐标为，因为直线是圆的一条对称轴， 所以直线过圆心，可得，即. 故选：A 5. 在长方体中，，则二面角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】画出长方体，为二面角所成的平面角，求出的值即可得出答案. 【详解】长方体中，，， ，平面,平面,, 又平面平面， 为二面角所成的平面角， ， 所以二面角的余弦值为. 故选：D. 6. 过两直线的交点，且与直线平行的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出两直线交点，再由与直线平行得出斜率，由点斜式写出方程即可求解. 【详解】由解得，则直线的交点， 又直线的斜率为，则所求直线方程为，整理得. 故选：C. 7. 如图，空间四边形中，，点分别为的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由空间向量基本定理，代入计算，即可得到结果. 【详解】由题意可得，，， 所以. 故选：B 8. “”是“直线和直线垂直”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】因为直线和直线垂直，所以或，再根据充分必要条件的定义判断得解. 【详解】由直线和直线垂直， 可得或. 当时，直线和直线垂直； 当直线和直线垂直时，不一定成立. 所以是直线和直线垂直的充分不必要条件， 故选：A． 9. 若两条直线，与圆的四个交点能构成正方形，则（ ） A. B. C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由直线方程知，由题意正方形的边长等于直线、的距离，又，结合两线距离公式即可求的值. 【详解】由题设知：，要使，，，四点且构成正方形， ∴正方形的边长等于直线、的距离，则， 若圆的半径为r，，即，则， 由正方形的性质知：， ∴，即有. 故选：B. 10. 在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】依题意建立平面直角坐标系，设，表示出，，根据数量积的坐标表示、辅助角公式及正弦函数的性质计算可得； 【详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则，，， 因为，所以在以为圆心，为半径的圆上运动， 设，， 所以，， 所以 ，其中，， 因为，所以，即； 故选：D 二､填空题共5题，每题5分，共25分. 11. 已知向量，，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用空间向量的坐标运算求解. 【详解】向量，，则， 所以. 故答案为： 12. 某地区有高中生3000人，初中生6000人，小学生6000人．教育部门为了了解本地区中小学生的近视率，采用分层抽样的方法，按高中生、初中生、小学生进行分层，如果在各层中按比例分配样本，总样本量为150，那么在高中生中抽取了________人． 【答案】30 【解析】 【分析】根据分层抽样的抽样比即可求解. 【详解】高中生中抽取了人， 故答案为：30 13. 已知双曲线，则双曲线的右焦点到其渐近线的距离是________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据双曲线的标准方程写出右焦点坐标和渐近线方程，再利用点到直线距离公式求解即可． 【详解】的右焦点坐标为，渐近线方程为． 到即的距离为． 由对称性知到的距离为． 故答案为：2． 14. 已知直线与交于两点， （1）时，______； （2）若在圆上或其内部存在一点，使得，则的取值范围为______． 【答案】 ①. ； ②. 【解析】 【分析】（1）利用圆的标准方程及点到直线的距离公式，结合圆中半径、半弦长、弦心距的关系即可求解； （2）利用圆的性质及点到直线的距离公式，结合直线与圆的位置关系及绝对值不等式的解法即可求解. 【详解】（1）当时，， 所以圆的圆心坐标为，半径为. 圆心到直线的距离为 . 所以弦长 （2）由，得圆的圆心坐标为,半径为. 由在圆上或其内部存在一点，使得，需使得以为弦的圆心角， 所以圆心到直线的距离为, 即，解得，即或. 且直线与交于两点， 所以，解得 故实数的取值范围为. 故答案为：；. 15. 在棱长为2的正方体中，点满足，其中，给出下列四个结论： ①当时，的面积为定值； ②当时，，三棱锥的体积为定值； ③当时，存在唯一的，使得； ④当时，存在唯一的，使得平面. 其中所有正确结论的序号是_________. 【答案】②③ 【解析】 【分析】对于①：根据向量运算得出线段，再分别取点重合、点重合两种情况计算面积；对于②：根据向量运算得出线段，判断三棱锥的体积为定值；对于③：分别取线段的中点，根据向量运算得出点线段，利用勾股定理计算；对于④：因为与不垂直，即可判断. 【详解】对于①：当时，，则， 因为，所以线段， 若点重合，则，的面积为， 若点重合，则， 则，则的面积为， 故的面积不为定值，①错误； 对于②：当时，，则， 因为，所以线段， 因为平面，平面，所以平面， 则点到平面的距离为定值， 又的面积为定值，故三棱锥，即三棱锥的体积为定值，故②正确； 对于③：当时，， 分别取线段的中点，则， 则，点线段， 因为平面，平面，所以， 因为，， 所以，得， 故存在唯一的，使得，故③正确； 对于④：因为与不垂直，所以不存在点，使得平面，故④错误. 三､解答题共6题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 在中，内角所对的边分别为．已知 （1）求的值； （2）求的值及的面积． 【答案】（1） （2），9 【解析】 【分析】（1）由余弦定理求解， （2）由正弦定理与三角形面积公式求解． 【小问1详解】 因为，由余弦定理知： ，则. 【小问2详解】 由且A为三角形内角，则， 又，所以. 17. 生成式人工智能（AIGC）工具正处于蓬勃发展期，在对话系统、机器翻译、文本摘要等领域得到广泛应用．为了解学生对生成式人工智能工具的使用情况，某校从全体学生中随机抽取了100名学生，调查得到如下数据： 经常使用 20人 偶尔使用 30人 从未使用 50人 用频率估计概率． （1）估计该校学生经常使用生成式人工智能工具的概率； （2）假设每名学生使用生成式人工智能工具的情况相互独立，从该校全体学生中随机抽取两名学生，估计这两名学生中至少有一名学生经常使用生成式人工智能工具的概率； （3）从这100名学生中抽取5次，每次随机抽取10名学生，记第次抽取的10名学生中，有名学生经常使用生成式人工智能工具，有名学生偶尔使用或者从未使用过生成式人工智能工具．将，，，，的方差记为，，，，，的方差记为，比较，的大小．（结论不要求证明） 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用古典概型计算即得. （2）利用（1）的结论，利用独立事件、对立事件的概率公式计算即得. （3）利用平均数、方差的定义计算判断即得. 【小问1详解】 依题意，这100名学生中有20名学生经常使用生成式人工智能工具， 所以所求概率的估计值为. 【小问2详解】 设“第i名学生经常使用生成式人工智能工具”为事件， “从该校全体学生中随机选取两名学生，至少有一名学生经常使用生成式人工智能工具”这事件， ，依题意，与估计为， 于是与估计为， 所以所求概率估计为. 【小问3详解】 记，，，，的平均数为，，，，，的平均数为， 依题意，，，， 因此，， 所以. 18. 已知椭圆长轴长为4，且椭圆的离心率，其左右焦点分别为． （1）求椭圆的方程； （2）设斜率为且过的直线与椭圆交于两点，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由椭圆的基本性质得到椭圆的值，写出椭圆方程. （2）写出直线方程，联立方程组，由韦达定理得到和，用交点弦长公式得到线段长，由点到直线距离得到三角形高，从而算出三角形面积. 【小问1详解】 由题意可知：，则， ∵，∴， ∴， ∴椭圆 【小问2详解】 ，∴直线：， 联立方程组得, 设， 则， 点到直线的距离 ∴ 19. 如图，四边形ABCD是矩形，平面ABCD，平面ABCD，，点F在棱PA上. （1）求证：平面CDE； （2）求直线BP与平面PEC所成角的正弦值； （3）若点F到平面PCE的距离为，求线段AF的长. 【答案】（1）在矩形ABCD中，， 因为平面CDE，平面CDE，所以平面CDE. 因为平面ABCD，平面ABCD，所以， 因为平面CDE，平面CDE，所以平面CDE. 又因为平面PAB，平面PAB，，所以平面平面CDE. 因为平面PAB，所以平面CDE. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）证明平面平面CDE，利用面面平行的性质可证得平面CDE； （2）以点A为坐标原点，AB、AD、AP所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法求值即可； （3）设，则，利用空间向量法可得出关于t的方程，结合t的范围可求得t的值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面ABCD，平面ABCD，平面ABCD， 所以，又因为ABCD是矩形，， 所以AD、AB、AP两两垂直，以点A为坐标原点，AB、AD、AP所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系， 则、、， 所以， 设平面PEC的一个法向量为，则， 取，可得， 设直线BP与平面PEC所成角为θ，所以. 【小问3详解】 设，，则，所以， 因为点F到平面PCE的距离， 因为，解得，故. 20. 已知椭圆的右焦点为，离心率为，直线过点且不平行于坐标轴，与有两个交点，线段的中点为. （1）求椭圆的方程； （2）延长线段与椭圆交于点，若四边形为平行四边形，求此时直线的斜率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)有条件列出关于的方程，解方程求，由此可得椭圆C的方程； (2)由求点P的坐标，根据点在椭圆上列方程求直线l的斜率. 【小问1详解】 由题意可知，，， ∵， ∴，， ∴椭圆的方程为. 【小问2详解】 设直线l的方程为，，， 联立，消去y得，， 则， 若四边形为平行四边形，则，设 ∴，， ∵点P在椭圆上， ∴， 解得，即， ∴当四边形OAPB为平行四边形时，直线l的斜率为. 21. 已知集合，对于，定义与的差为与之间的距离为. （1）当时，设，求； （2）证明：，有，且； （3）证明：三个数中至少有一个是偶数. 【答案】（1），； （2）设，， 由题意知，所以； 从而， 由题意可知， 当时，， 当时，， 所以； （3）设，， 记，，，记； 由（2）可知； ， ， 因为，， 所以中1的个数为；中1的个数为； 设是使成立的的个数，则， 由此可得三个数不可能都是奇数， 即，，三个数中至少有一个是偶数． 【解析】 【分析】（1）根据定义直接代入公式计算即可； （2）对和分类讨论，分别求得均成立，即可得出结论； （3）根据（2）中的结论，分别求得中1的个数，设是使成立的的个数，则，由此可得三个数不可能都是奇数. 【小问1详解】 由题意可知； ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $