北京市第一七一中学2026-2027学年高二上学期期中数学试题

2026北京一七一中学高二（上)期中 数学 一、选择题共10题，每题4分，共40分在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一 项。 1.若直线过P(0,1),Q(3,2)两点，则直线的倾斜角为() A.30° B.60° C.120° D.150° 2.双曲线x2-y2=1的焦点坐标是（) A.(0,-√②，(0，V2 B.(-√2,0)，(V2,0) C.(0,-2),(0,2) D.(-2,0),(2,0) 3.一个盒子中装有大小和质地相同的4个球，其中有2个红球和2个白球，若从中任取2个球，则“恰有1个红球” 的概率是() A号 B时 c D 4.若直线x+ay+1=0是圆x2+y2-2y=0的一条对称轴，则a=() A.-1 B.0 C.1 D.2 5.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=3,BC=2,AA1=1,则二面角D1-BC-D的余弦值为（) A号 B.26 5 C.V1o D.30 10 10 6过两直线x+y-3=0,2x-y=0的交点，且与直线y=x平行的直线方程为() A.x+3y+5=0 B.x+3y-5=0 C.x-3y+5=0 D.x-3y-5=0 7.如图，空间四边形0ABC中，OA=G,OB=b,OC=c,点M,N分别为0A,BC的中点，则MN=（) B A.za-36-z6 B.-d+6+c Cja-jB+j8 D.--6+d 第1页/共4页 8.“m=-1”是“直线mx+(m-1)y+1=0和直线2x+my+3=0垂直”的（) A充分不必要条件 B.必要不充分条件 C充要条件 D.既不充分也不必要条件 9若两条直线l1:y=2x+m,L2:y=2x+n与圆x2+y2-4x=0的四个交点能构成正方形，则m-n= （) A.4V5 B.2V10 C.2√2 D.4 10.在△ABC中，AC=3,BC=4,∠C=90°.P为△ABC所在平面内的动点，且PC=1,则PA·PB的取值范 围是( A.[-5,3] B.[-3,5] C.[-6,4] D.[-4,6] 二、填空题共5题，每题5分，共25分， 11.已知向量a=(2,3,1)五=(1,2,0)，则a-2b= 12.某地区有高中生3000人，初中生6000人，小学生6000人.教育部门为了了解本地区中小学生的近视率， 采用分层抽样的方法，按高中生、初中生、小学生进行分层，如果在各层中按比例分配样本，总样本量为 150,那么在高中生中抽取了人. 13.已知双曲线C:x2-二=1，则双曲线C的右焦点到其渐近线的距离是 4 14.已知直线l:3x+4y-10=0与⊙C:(x-a)2+y-2)2=4交于A,B两点， (1)a=-1时，|AB=_: (2)若在圆上或其内部存在一点P,使得∠APB=,则a的取值范围为 15.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P满足CP=1CD+CC,其中2∈[0,1]，u∈[0,1]，给出下 列四个结论： D A B ①当1=1时，Yμ∈[0,1]，△BC1P的面积为定值； ②当=1时，Vλ∈[0,1]，三棱锥P-A1CD的体积为定值： ③当2=时，存在唯一的μ∈[0,1]，使得BA1=BP; ④当n=时，存在唯一的1∈[0,1]，使得B1C,⊥平面BC,P. 其中所有正确结论的序号是 三、解答题共6题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 第2页/共4页 16.（本小题13分) 在△ABC中，内角AB,C所对的边分别为ab,c.已知b=5,c=6,c0sA= （1)求a的值； (2)求sinB的值及△ABC的面积. 17.(本小题13分) 生成式人工智能(AIGC)工具正处于蓬勃发展期，在对话系统、机器翻译、文本摘要等领域得到广泛应用， 为了解学生对生成式人工智能工具的使用情况，某校从全体学生中随机抽取了100名学生，调查得到如下 数据： 经常使用 20人 偶尔使用 30人 从未使用 50人 用频率估计概率， (1)估计该校学生经常使用生成式人工智能工具的概率： (2)假设每名学生使用生成式人工智能工具的情况相互独立，从该校全体学生中随机抽取两名学生，估计 这两名学生中至少有一名学生经常使用生成式人工智能工具的概率； (3)从这100名学生中抽取5次，每次随机抽取10名学生，记第i次(i=1,2,3,4,5)抽取的10名学生中，有 a,名学生经常使用生成式人工智能工具，有b,名学生偶尔使用或者从未使用过生成式人工智能工具将a1, a2,a3,a4,a5的方差记为s,b1,b2,b3,b4,bg的方差记为s品，比较s品，S的大小.（结论不要求证明） 18.(本小题14分) 已知椭圆C:兰+兰=1a>力>0)长轴长为4，且椭圆c的离心率为号，共左右焦点分别为R,R: (1)求椭圆C的方程； (2)设斜率为-且过F,的直线1与椭圆C交于P,Q两点，求△R,PQ的面积. 3 19.(本小题15分) 如图，四边形ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD,DE⊥平面ABCD,AB=DE=1,AD=PA=2,点F在棱PA 上 E B (1)求证：BFI平面CDE; 第3页/共4页 (2)求直线BP与平面PEC所成角的正弦值： (3)若点F到平面PEC的距离为，求线段AF的长. 20.(本小题15分) 已知椭圆C:三+发=1(a>b>0)的右焦点为F(1,0),离心率为号，直线过点F且不平行于坐标轴，1与椭圆 C有两交点A,B,线段AB的中点为M, （1)求椭圆C的方程； (2)延长线段OM与椭圆C交于点P,若四边形0APB为平行四边形，求此时直线的斜率. 21.(本小题15分) 已知集合Sn={XIX=(x1,x2,,xn),x∈(0,1，i=1,2,…,n(n≥2)，对于A=(a1,a2,,an),B= (b1,b2,,bn)∈Sn,定义A与B的差为A-B=(Ia1-b1l,la2-b2l.,lan-bnl);A与B之间的距离为 d(A,B)=Er=la-bil la-bil+la2-b21+..+lan -bnl. （1)当n=5时，设A=(0,1,0,0,1),B=(1,1,0,0,0),求A-B,d(A,B): (2)证明：VA,B,C∈Sn,有A-B∈Sn,且d(A-C,B-C)=d(A,B): (3)证明：HA,B,C∈Sn,d(A,B),d(A,C),d(B,C)三个数中至少有一个是偶数 第4页/共4页